2020届全国学海大联考新高考押题模拟考试(一)理科数学

2020届全国学海大联考新高考押题模拟考试（一）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数3(2i)i -的虚部为（ ） A. 2- B. 2C. 1-D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据21i =-化简3(2)=12i i i ---根据虚部的定义即可选出答案． 【详解】由3(2)(2)12i i i i i -=--=--，所以虚部为2-．故选A ． 【点睛】本题考查复数运算，以及虚部的定义，需要注意的是复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b ，属于基础题．2.已知集合2{|4}A x x x =<，{|25}B x x =<<，则A B =U （ ） A. {|02}x x << B. {|45}x x <<C. {|24}x x <<D. {|05}x x <<【答案】D【解析】 【分析】解出A 集合，再由并集的定义写出A B U 即可．【详解】由2{|4}A x x x =<⇒{|04}A x x =<<，则{|05}A B x x ⋃=<<．故选D ．【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件．属于基础题3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C 【解析】 【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．4.函数()(1)ln(1)f x x x =--的图象在点(2,0)处的切线方程为（ ） A. 2y x =- B. 24y x =-C. 2y x =-+D. 24y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出(2)1f '=，再由点斜式写出切线方程，即可选出答案．【详解】由()ln(1)1f x x -'=+，则(2)1f '=，所以函数()f x 的图象在点(2,0)处的切线方程为2y x =-．故选A ．【点睛】本题主要考查函数上某点的切线方程，需熟练掌握函数的求导法则，属于基础题．5.已知向量(1,3)a =r ，12,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，若//(2)c a b -r r r ，则单位向量c =r （ ）A. 34,55⎛⎫--⎪⎝⎭或34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛ ⎝⎭D. ,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,22⎛- ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据a r ，b r计算出2(3,4)a b -=-r r ，再根据//(2)c a b -r r r 与1c =r 即可解出c r ．【详解】因为(1,3)a =r ，12,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，所以2(3,4)a b -=-r r ，又//(2)c a b -r r r ，所以存在实数λ，使(2)c a b λ=-r r r ，所以|2|c a b λ=-r r r ，所以15λ=，所以34,55c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量平行，单位向量的定义，属于基础题． 6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】按程序框图计算-判断-循环即可得出答案．【详解】1ι=&时，12m =，122S =<； 2i =时，23m =，726S =<，3i =时，35m =，53230S =<； 4i =时，58m =，2872120S =>，输出结果为5i =．故选D ． 【点睛】本题考查程序框图的条件循环，按程序框图依次循环计算即可，属于基础题． 7.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（ ） A. 23nn a =B. 13-=n n aC. 312n n S -=D. 213n n S -= 【答案】D【解析】 【分析】根据题意联立方程组，即可解出1a 与q ，即可写出n a ，n S ．【详解】设公比为q ，有231418,916,3a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11,32,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩则1(12)213123n n n S --==-．故选D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，根据题意列出方程组，解出基本量是首要条件，属于基础题．8.从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（ ） A. 2100 B. 2200 C. 2160 D. 2400【答案】C 【解析】 【分析】因为四位数的千位数不能是0，故需讨论4个数中是否含有0，分别计算出再求和即可得出答案． 【详解】①这4个数中没有零时，组成没有重复数字的四位数的个数为224544C C A =1440；②这4个数中有零时，组成没有重复数字的四位数的个数为21135433C C A A 720=．所以组成没有重复数字的四位数的个数为14407202160+=．故选C ．【点睛】本题考查排列组合与简单的计数问题，其中还涉及分步计数原理与分类计数原理，解本题的关键在于对特殊数字0的处理．属于基础题． 9.函数sin ()e ex xx xf x -+=+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数排除B ，再由(0,)x π∈，()0f x >排除D,再由1+1()1e e e x x xx x f x -+<<+„即可选出答案．【详解】由sin ()()e e x xx xf x f x ----==-+，知函数()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，排除B ；当(0,)x π∈时，sin 0x >，可得()0f x >，排除D ；当(0,)x π∈时，0sin 1x x x <++„，当[,)x π∈+∞时，01sin 1x x x x <-++剟，故当(0,)x ∈+∞时0sin 1x x x <++„，此时1+1()1e e e x x xx x f x -+<<+„（利用不等e +1x x …），可排除A ．故选C ． 【点睛】本题考查函数图像的识别，本题采用排除法，一般需要考虑函数的奇偶性、单调性、最值，与x 轴或y 轴的交点等，需注意观察所给选项的特征．属于基础题．10.设函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若对任意的实数,()6x f x f π⎛⎫⎪⎝⎭„恒成立，则ω取最小值时，()f π=（ ）2 3 C. 2-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对任意的实数,()6x f x f π⎛⎫⎪⎝⎭„恒成立即说明()f x 在6x π=处取最大值，即可求出ω的最小值，即可求出()f π的值．【详解】由题意可知sin 163ππω⎛⎫-=⎪⎝⎭，得2()632k k πππωπ-=+∈Z ，则125()k k ω=+∈Z ，可得ω的最小值为5，此时()2sin 53f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()2sin 52sin 33f ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭B ． 【点睛】本题考查三角函数值，其关键在于根据其在6x π=取最大值解出三角函数，属于基础题．11.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O 的球面上，且球O 的表面积为20π，则该正方体的棱长为（ ）A. B. 5C. D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据球的表面积可求出其半径，再由多面体与正方体的位置关系可知正方体的棱长为其外接圆半径的2倍，即可得出答案．【详解】设球O 的半径为R ，有2420R ππ=，可得R =都相等，得球O 为该正方体的内切球，所以正方体的棱长为2R =A ．【点睛】本题考查根据正方体内切球表面积求正方体的棱长，读懂题意，理解其位置关系是解本题的关键，属于基础题．12.已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则b 的所有取值的积为（ ）B.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据过2F 的直线与双曲线交于,A B 两点,则分,A B 都在双曲线的右支上与,A B 在双曲线的两支上，根据题意分别求出其对应的b 值，再求积即可得出答案． 【详解】设双曲线C 的焦距为2c ．①如图，当直线AB 与双曲线C 右支和交于两点时，设2AF m =，则1222AF AF m =+=+．由1ABF ∆为等边三角形，有12BF AB m ==+，可得22BF =． 又由双曲线的性质知1222BF BF AB BF m -=-==，故22BF AF =， 所以12AB F F ⊥，可得223c =，有3c =，2b =．②如图，当直线AB 与双曲线C 两支相交于两点时，设2BF n =，则12||22BF BF n =+=+．由1ABF ∆为等边三角形，有12AF AB n ==+，可得222AF n =+， 由双曲线的性质知21(22)(2)2AF AF n n -=+-+=，可得2n =， 则14AF =，26AF =．在12AF F ∆中，22246246cos6027+c ︒-⨯⨯=7c =6b =．由①②知b 的所有取值的积为2623=B ．【点睛】本题主要考查利用双曲线与直线的位置关系解双曲线的标准方程，其中涉及到利用余弦定理的使用， 属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知32log 2a =，33log 17log 4b =-，则,a b 的大小关系为_________．（用“>”连接） 【答案】b a >【解析】 【分析】根据对数的性质，将其化简作差与0 比较，即可判断大小关系． 【详解】由3log 4a =，有3333316log 17log 4)log log 2log 2(1017a b <-=--==．所以.a b < 【点睛】本题考查利用作差法比较大小，解本题的关键在于熟练掌握同底对数的运算性质，属于基础题． 14.驾驶员“科目一”考试，又称科目一理论考试、驾驶员理论考试，是机动车驾驶证考核的一部分．根据《机动车驾驶证申领和使用规定》，考试内容包括驾车理论基础、道路安全法律法规、地方性法规等相关知识．考试形式为上机考试100道题，90分及以上过关．考试规则是：若上午第一次考试未通过，当场可以立刻补考一次；如果补考还没过，那么出了考场缴费后，下午可以再考，若还未通过可再补考一次．已知小王每一次通过考试的概率均为0.5，且每一场考试与补考是否通过相互独立，则当天小王通过“科目一”考试的概率为________． 【答案】1516【解析】 【分析】根据题意知小王当天有4次机会通过考试，且每次考试通过的概率都为0.5，小王要通过考试考试，4次机会中只需通过一次，而不通过，则需4次机会全部不过，这天考试小王只会出现两种结果，过与不过，因此可先求出其不通过的概率．再算通过的概率． 【详解】小王当天没有通过考试的概率为116，则小王当天通过考试的概率为11511616-=． 【点睛】本题考查随机事件的概率，本题若正面去求小王通过考试的概率，则需要讨论小王第一次考试就通过、第二次才通过、第三次才通过、第四次才通过；但是根据对立事件的概念，即可先求出其不通过的概率，再求通过的概率，这样就简化了解题思路，属于基础题．15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且523a a a =+，14314a a +=，则1011i iS ==∑________． 【答案】1011【解析】 【分析】先根据等式，建立1a 与d 的方程组，解出12a = 与=2d ，写出(1)n S n n =+，再利用裂项相消求及可求出1011i iS =∑． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，有111423,4314,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22(1)2n a n n =+-=，所以(22)(1)2n n n S n n +==+，则10111111111011(1)22310111111i i i =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++=-= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑L ． 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，等差数列前n 项和公式，利用裂项相消求方法前n 项和，正确解出(1)nS n n =+是本题的关键，属于基础题．16.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点A ,B 分别是椭圆C的上、下顶点，点P 是直线2y b=-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PB 与椭圆C 交于另一点Q ，直线AP ，AQ 的斜率的乘积恒为2-，则椭圆C 的离心率为________．3【解析】 【分析】设出Q (,)m n ，根据B (0,)b -与2y b =-可得到P ,2bm b n b ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，即可计算出AQ k n b m =-， 3()AP n b k m+=，再根据点Q (,)m n 在椭圆上与2A AQ P k k ⋅=-，求出2232b a =，再结合222a b c =+ 化简即可得出答案．【详解】设点Q 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b +=，可得22222()a b n m b-=点A 的坐标为(0,)b ，点B 的坐标为(0,)b -，直线BQ 的斜率为n b m +，可得直线PQ 的方程为n by x b m+=-，代入2y b =-，可求得点P的坐标为,2bm b n b ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭；直线AQ 的斜率为n b m -， 则直线AP 的斜率为33()bmn bbn b m++=，有222222222223()3()3()32()n b n b n b n b b a b n m m m a b -+--⨯===-=--， 可得2232b a =，有222332a c a -=，得e =【点睛】本题考查根据椭圆中两直线斜率为定值求其离心率，设出点Q ，用点Q 表示出AQ k 与AP k 是解本题的关键，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b csin cos 2B b A b +=． （1）求角A 的大小；（2）若3c =，ABC ∆的面积为a ．【答案】（1）3π；（2）a =. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，sin cos 2B b A b +=中的边化为角，化简再利用辅助角公式即可求出角A 的值． （2）根据1sin 2ABC S bc A ∆=可求出4b =，再利用a 边的余弦定理即可求出a 的值． 【详解】（1sin cos 2B b A b +=sin sin cosA 2sin A B B B +=，因为0B π<<，所以sin 0B >cos 2A A +=，即sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以62A ππ+=，所以3A π=．（2）由1133sin36sin33223ABCbS bc Aπ∆==⨯==，得4b=．由余弦定理，得22222cos43243cos91612133a b c bc Aπ=++=+-⨯⨯⨯=+-=．【点睛】本题考查解三角形，正弦定理一般用于等式两边为边或角正弦值的齐次式时边角的互化，余弦定理一般用于等式两边含有角的余弦值时或具有两边的平方和减第三边的平方的时候，属于基础题．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，点M，N分别为线段11A C，AB的中点，4AC BC==，11AA=，2ACBπ∠=．（1）证明：AC MN⊥；（2）求平面11AA B B与平面1MNB所成锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）4π．【解析】【分析】（1）取线段AC的中点P，连接PM，PN．通过说明PM AC⊥，PN AC⊥即AC⊥平面PMN，来说明AC MN⊥．（2）以点C为坐标原点，CA，CB，1CC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C xyz-，由题意知(2,2,0)CN=u u u v为平面11AA B B的法向量，计算出平面1MNB的法向量(2,1,2)n=r，再利用公式cos,CN nCN nCN n⋅〈〉=⋅u u u vu u u vu u u vrrr即可计算出平面11AA B B与平面1MNB所成锐二面角．【详解】（1）证明：如图，取线段AC的中点P，连接PM，PN．∵11A M MC=，AP PC=，∴1//PM CC．在直三棱柱111ABC A B C-中，1CC AC⊥，∴PM AC ⊥．∵AP PC =，AN NB =，∴//PN BC ． ∵BC AC ⊥，∴PN AC ⊥．∵MP PN P ⋂=，MP ⊂平面PMN ，NP ⊂平面PMN ，∴AC ⊥平面PMN ． ∵MN ⊂平面PMN ，∴AC MN ⊥．（2）解：如图，以点C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，1(0,0,1)C ，(2,2,0)N ，1(0,4,1)B ，(2,0,1)M ． ∵AC BC =，AN BN =，∴CN AB ⊥．∵1CN AA ⊥．∴CN ⊥平面11AA B B ，故(2,2,0)CN =u u u v为平面11AA B B 的一个法向量．设平面1MNB 的法向量为(,,)n x y z =r，由1(2,4,0)B M =-u u u u v ，(0,2,1)NM =-u u u u v ， 则1240,20,B M n x y NM n y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩u u u u v vu u u u v v所以22x y z y =⎧⎨=⎩，，取1y =，则(2,1,2)n =r ． 可得6CN n ⋅=u u u r v ，又22CN =u u u v ，3n =r ，∴2cos ,262CN n 〈〉==u r u u v ． 故平面11AA B B 与平面1MNB 所成锐二面角的大小为4π．【点睛】本题考查异面直线垂直，两平面所成锐二面角的大小．几何法证明线线垂直，需先证明线面垂直，根据线面垂直的性质定理说明线线垂直．若用向量法，则直接建系，利用两向量的数量积为0来说明两直线垂直．要求面面角一般利用平面的法向量公式来求．属于基础题．19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点． （1）若ABF ∆的面积为3，求直线l 的方程；（2）试判断以线段AB 为直径的圆与点F 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）240x y --=或240x y +-=；（2）点F 在以线段AB 为直径的圆内． 【解析】 【分析】（1）设直线l 为2x my =+，再与抛物线联立方程，即可得到124y y m +=，128y y =-再利用公式2112ABF ADF BDF S S S DF y y ∆∆∆=+=⨯⨯-=解出即可． （2）令11(,)A x y =，22(,)B x y =,则由（1）知124x x =，21244x x m -=+，判断FA FB ⋅u u u v u u u v 的正负即可说明点F 与以线段AB 为直径的圆的位置关系．【详解】（1）由题意知焦点F 的坐标为(1,0)．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为2x my =+．联立方程24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理得2480y my --=，可得124y y m +=，128y y =-，则2112ABF ADF BDF S S S DF y y ∆∆∆=+=⨯⨯-=== 由ABF ∆的面积为3，可得3=，解得12m =±，故直线l 的方程为240x y --=或240x y +-=．（2）由（1）知221212416y y x x ==，21212()444x x m y y m -=++=+．又由11(1,)FA x y =-u u u v，22(1,)FB x y =-uu r ，可得1212122212(1)(1)()1FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++-u u u v u u u v,224(44)81470m m =-+-+=--<．故AFB ∠为钝角，点F 在以线段AB 为直径的圆内．【点睛】本题考查根据抛物线与直线相交三角形的面积求直线方程，利用向量的数量积小于0说明点在圆的外面．属于中档题．20.某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为1010p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．（1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为X ，且7500()10000E X <<，求p 的取值范围； （2）已知120p =，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？ 【答案】（1）112016p <<；（2）由75005000>，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质． 【解析】 【分析】（1）Y 表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，首先计算出1000袋牛肉干变质的期望值()1000E Y p =，再代入()(1000())(5030)()(30+503)E X E Y E Y =---⨯⨯，再解出不等式即可．（2）对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处后产生的费用是不变的．是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用．即只需判断赔付费用与工资的大小关系即可说明是否需要聘请兼职员工． 【详解】（1）令Y 表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量． 由题意有(1000,)Y B p ～，则()1000E Y p =，故()(10001000)(5030)1000(30+503)20000200000E X p p p =---⨯⨯=-． 由7500()10000E X <<，有75002000020000010000p <-<，解得：112016p <<． 故当7500()10000E X <<时，p 的取值范围为112016p <<． （2） 当120p =时，由（1）知，1()10005020E Y =⨯=．设需要赔付给消费者的费用为Z 元，有()503507500k Z =⨯⨯=．由75005000>，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质． 【点睛】本题考查根据数学期望求概率，数学期望在实际生活中的应用，读懂题意理解数学期望的意义是解本题的关键，属于中档题． 21.已知函数()cos ,2xf x e x x π⎛⎫⎡⎫=-∈-+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭． （1）证明：函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一的极小值点0x ，且0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）证明：函数()f x 有且仅有两个零点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，再说明()f x '在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，且()04f π'-<，()00f '>即可．（2）验证0(0)e cos 00f =-=，即0x =是函数()f x 的一个零点；说明当(0,)x ∈+∞无零点；当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时有且仅有一个零点．即得证．【详解】证明：（1）由()e sin xf x x =+'．令+()e sin xg x x =，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数sin y x =为增函数，指数函数e x y =也为增函数，故当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()g x 为增函数． 又因为33e e 284π>>=>，可得4e π>444441e e sin e 0442e 2e g πππππππ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0(0)e sin 010g =+=>，故存在唯一的0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得0()0g x =．所以当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时()0<g x ，即()0f x '<；当0(,0)x x ∈时，()0>g x ，即()0f x '>，所以函数()f x在区间0,2x π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在区间0(,0)x 上单调递增， 所以函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一的极小值点0x ，且0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（2）①由0(0)e cos 00f =-=，可得0x =是函数()f x 的一个零点；②当(0,)x ∈+∞时，cos 1x …，e 1x >，可得()e cos 0xf x x =->，此时函数()f x 没有零点；③当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，由22e cos e 0,(0)022f f ππππ--⎛⎫⎛⎫-=--=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由（1）知min 0()()(0)0f x f x f =<=，可得函数()f x 在区间0,2x π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有且仅有一个零点． 综上，函数()f x 有且仅有两个零点．【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点与零点，需要区分极值点是()f x '的异号零点，函数的零点是()0f x = 的解．属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为42(x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数）,以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2243sin 1ρθ=+．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 的距离的最大值，并求此时点P 的坐标．【答案】（1）240x y ++=,2214x y +=；（2⎭． 【解析】 【分析】（1）将直线l 消参即可得到直线l 的直角坐标方程，利用公式222cos ,sin x x y y ρθρρθ=⎧+=⎨=⎩ 化简即可得出答案．（2）写出曲线C的参数方程，再代入点到直线的距离公式d = ，化简计算即可得出最大值，以及此时的P 点的坐标．【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程为240x y ++=．将222,sin x y y ρρθ=+=代入曲线C 的极坐标得2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）设曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，[0,2)απ∈），则点P 的坐标为(2cos ,sin )αα， 所以点P 到直线lsin 224πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，点P 到直线l， 此时4πα=，点P的坐标为⎭． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标的互化，利用椭圆的参数方程求椭圆上动点到定直线的最大值，熟练掌握点到直线的距离公式与三角函数的最值求法是解本题的关键，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知,,a b c 为正数，且满足3a b c ++=．证明： （1）1113ab bc ca++…； （2）2222223a b b c c a abc ++…．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）要证1113ab bc ca++…即证3a b c abc ++≥即1abc ≤，由3a b c =++…（2）要证2222223a b b c c a abc ++…，可证()()()222222222222+++6a b b cb c c a c a a b abc ++…，因为222222a b b c ab c +…，222222b c c a abc +…，222222c a a b a bc +…即()()()2222222222222222+++++22=2()a bb c b c c a c a a b ab c abc a bc abc a b c ++++…，将3a b c ++=带入即得证．【详解】证明：（1）因为3a b c =++…1a b c ===时取等号），所以01abc <„． 又由1113a b c ab bc ca abc abc ++++==，因为01abc <„，所以33abc …． 故有1113ab bc ca++…．（2）因为222222a b b c ab c +=…（当且仅当a c =时取“=”），222222b c c a abc +=…（当且仅当b a =时取“=”），222222c a a b a bc +=…（当且仅当c b =时取“=”）， 三式相加可得2222222()2()a b b c c a abc a b c ++++…（当且仅当a b c ==时，“=”成立）．又由3a b c ++=，得2222223a b b c c a abc ++…． 故有2222223a b b c c a abc ++…．【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，需要注意的是“一正、二定、三相等”缺一不可，本类题型难点在于如何配凑使用基本不等式得到目标式子．属于中档题．。