多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用

一、多元函数的基本概念

1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念

2、多元函数的极限

✧

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y A →=（或0

lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义

✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：

（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言

函数极限不存在；

（2）找两种不同趋近方式，若

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，

此时也可断言极限不存在。

✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，

等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：

例1．用εδ-定义证明

2222

(,)(0,0)

1

lim ()sin

0x y x y x y →+=+

例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22

2

222

()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。

例3 设22

2222,0

(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，讨论(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →是否存在？

例4（07年期末考试 一、2，3分）设222

24

22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y ，讨论

(,)(0,0)

lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222

(,)(0,0)sin()

lim x y x y x y →+

3、多元函数的连续性0000(,)(,)

lim

(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔

=

✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含

在定义域内的区域或闭区域。

✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”

例1． 讨论函数332

222

22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在（0，0）处的连续性。

例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222

24

22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y 在

点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求

(,)(1,2)lim

x y x y

xy →+ 例4

．(,)(0,0)lim x y →

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理

二、多元函数的偏导数

1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）

如果极限00000

(,)(,)

lim

x f x x y f x y x ∆→+∆-∆存在，则有

00

000

0000000

(,)(,)

(,)lim

x x x

x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x

x

x

=∆→=====+∆-∂∂=

===∂∂∆

（相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

如果极限00000

(,)(,)

lim

y f x y y f x y y ∆→+∆-∆存在，则有

00

000

0000000

(,)(,)

(,)lim

x x y

y y y y x x x x y y y y f x y y f x y z f z f x y y

y

y

=∆→=====+∆-∂∂=

===∂∂∆

对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

例1（08年期末考试 一、3，4分）已知222

222

22(),0(,)0,0⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

x y xy x y x y f x y x y ，

则(0,)=x f y

例2 （06年期末考试 十一，4分）试证2

2224

22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y 在点(0,0)

不连续，但存在一阶偏导数。

例3 设22

2222

221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，求(,),(,)x y f x y f x y 。

例4 设y x z =，求y x z z ,。

例5（03年期末考试，一、2，3分） 设(1)arcsin x u x y y =+-，则u

x

∂∂在(1,2)的值为（ ）。

2、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）

, 22(,)xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)xy z z

f x y y x x y

∂∂∂⎛⎫=

= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 22(,)yy z z f x y y y y ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)yx z z

f x y x y y x

⎛⎫∂∂∂=

= ⎪∂∂∂∂⎝⎭