单群与可解群
仅有两个非平凡正规子群的可解群
２ ０ １ ５ 年 ｌ Ｏ 月
山西大同大学学报旧 然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ １ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
证 明 必 要性 ： 由引理 ２ 及 群 Ｇ仅 有 两个 非 平 凡 正规 子群 得 Ｇ的极小 正 规子 群唯 一， 又 由于 （ Ｇ ） ＝ １ 所 以 Ｇ ） 为群 Ｇ 唯 一 的极小 正规 子群 。 由引理 ３ 得
群， Ｊ Ｊ ＿ Ｆ （ Ｇ ） 为Ｇ 的唯一极小正规子群， Ｑ 为初等交换
必要性： 因为 Ｇ仅 有 两 个 非 平 凡 正 规 子 群 日和
Ｋ且 圩ｎ Ｋ ＝ Ｉ ， 所以Ｇ ＝ Ｈ Ｋ即 Ｇ ＝ Ｈ ×Ｋ 又 由 Ｇ ＞ Ｈ ＞ Ｉ ，
Ｇ ＞ Ｋ ＞ １ 为 群 Ｇ的 主群 列， 由 Ｇ可 解 得 日和 均 为 初 等 交换 ｐ 一 群， 故Ｇ 交 换， 而 由 Ｇ仅 有两 个非 平 凡正 规 子 群得 Ｇ兰Ｃ ×Ｃ 其 中Ｐ ，ｑ 为 不 同素数 。
超特 殊Ｐ 一 群， 除非 Ｇ － Ａ 。
（ １ １ Ｇ 幂零 当且仅 当Ｇ 为Ｐ 阶循环群； （ ２ ） Ｇ可 解 但 非 幂 零 当且 仅 当 Ｇ ＝Ｐ Ｑ ， 其 中Ｐ
为初 等交 换Ｐ 一 群， Ｑ为 ｑ 阶循环 群且 Ｑ在 Ｐ上 作 用不
可约 。
２ 主要 结 果
定理 １ 设Ｇ 为有 限可解群 。如果 Ｇ 仅有两个非 平凡 正规 子 群，那 么 （ １ ） Ｇ 幂零当且仅当 Ｇ 为Ｐ 阶循环群或 Ｇ ＝ Ｃ ×
一
引理 ７ 设 ７ ｒ 一 群 Ⅳ作用在交换 ７ ｒ 一 群Ｇ 上， Ａ 是 日的不变子群， 且为Ｇ 的直 积因子， 即存在 Ｂ≤Ｇ
奇数群的可解性
奇数群的可解性
奇数阶群是可解群：数学上的单群是指没有非平凡正规子群的群。
任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。
这个过程可以一直做下去。
对于有限群，若尔当—赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。
所有的奇数阶群都是可解群。
因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数西罗测试：设n为一正合数，p是它的一个素因子。
若在n的所有约数中只有1模p同余于1，则不存在阶为n的单群。
证明：如n为一素数幂，则阶数为n的群有非平凡的中心，因而不是单群。
若n不是素数幂，则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知，阶数为n的群的西罗p—子群的个数模p同余于1且为n的约数。
但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗p —子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。
根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为n的群不是单群。
有限单群分类100年
1832 年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。
在某个瞬间，某位青年被对手的枪 射中腹部，随后去世。
在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界， 又失去了另一个伟大的头脑。
这位青年姓伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。
在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的 结构进行了彻底的分析。
其中的发现，可能出乎所有人的意料。
这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。
高度抽象的对称交错群 A_5 的一个 Cayley 图（一种群的图示） 什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答： 一个群是一个集合 G 以及在 G 上的一个运算，满足以下三个条件： 1. 存在一个 G 中的元素 e，使得对于 G 中的任意元素 x，有 x=xe=ex。
这样的 e 叫做 群的单位元 2. 对于 G 中的任意元素 x,y,z，有(xy)z=x(yz)，这是结合律 3. 对于 G 中的任意元素 x，存在 G 中的一个元素 y，使得 e=xy=yx。
这样的 y 被称为 x 的逆元 这样的定义， 即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。
但数学的力量就在于它 的抽象。
它什么都不是，所以它什么都是。
整数和加法就构成一个群。
什么数加上 0 都不变， 所以 0 是单位元； a+(b+c)=(a+b)+c， 这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元 0，所以相反数就是逆元。
正实数 和乘法也构成一个群，1 是它的单位元，乘法有结合律，倒数是逆元。
如果我们认为 9 点 +5 点相当于 9 点的 5 个小时后，也就是 2 点的话，就连时钟也构成一个群。
宝石的晶体 构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。
而对于自然界的 各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。
难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研 究各种对称性。
关于有限次单群的几个结论
引理 ５３ Ｇ‘ ［ １ ｑＧ
且商 ／ ‘ 换 反 若Ｈ ｑ 且Ｇ 为交 群， ‘ 群ＧＧ 是交 群． 之， Ｇ ／ 换 则Ｇ
，
．
引理 ６１ ［ １ Ｇ是幂零的次单群， （ 则Ｉ Ｉ Ｇ ＝Ｐ Ｐ是素数 ） Ｒ Ｇ是循环群．
引理 ７ １ Ｇ 为非幂零的可解 次单群， 则必有 ｌ ｑ，Ｇ ＝ ， Ｉ Ｇ ＝Ｐ ＜口 ｂ＞，ａ ＝１ ｐ＝ａ ，６ ａ ，ｂ ～ ｂ＝ａ ， ， 三ｌ ｄ ） （—１三０ｍｏ ｑ Ｐ＜ｇ， ｐ ｇ ｐ （ ｍｏ ｑ ，ｒｔ ） （ ｄ ）（ Ｒ ， 均为素数 ） ．
Ｇ ＝１ 其中Ｇ Ｇ （ １ ，， 循 ， 川／ ， ，． Ｓ ２． ） ．
环 ．由此可 知 Ｇ／ 循 环且 也循 环 ． 因为 Ｇ 非幂零 ，所 以非交换 ， Ｚ Ｇ） Ｇ 的真 正规 子群 ．若 又 故 （ 为
Ｚ Ｇ ≠１ 则由于Ｇ的次单性， （） ， 必有Ｚ Ｇ ：Ｈ， （） 因为Ｇ非交换， 由引理 ２ 可知Ｇ Ｈ＝Ｇ ＺＧ 不可能循环， ／ ／ （）
－
Ｄ ｃ ２ ０７ ｅ． ０
…
文章编号：１ ３ ８３２０ ） － ９ － ０ ． ４ （ ７ ６１ ４ ３ ０２ ０ ０ ２ ０
关于有 限次单群 的几个结论
刘锐 ， 晓琳 杨
（ 成 都 理 工 大 学信 息 管理 学 院，四 川 成都 ６０５ ） １０ ９
摘
要 ：本 文讨 论 了几个特殊的有限次单群的性质及结构，得到 了若干结论，丰富 了研 究次单群这一领域的成果．
尺 是 忠 实 表 示 ，所 以 Ｇ 兰Ｒ Ｇ）． 由 引 理 １ 可 知 Ｇ 必 有 ２ 阶 元 ｇ ， ｇ≠１ ＝１． 由 于 （ ， ｇ ａ （ ） ，（ ｇ） Ｒ ｇ ≠ａ口 Ｒ（ ） ＝口 Ｖ ， ａ∈Ｇ ， Ｒ ｇ 是一些对换 （ ，Ｒ ｇ ） 故 （） 以 ａ （ ）之积， Ｇ 共有 ２ 个元素， 而 ｑ 从而 Ｒ ｇ 是 （） ｇ个对换之积．由于 ｇ为奇数， 所以 Ｒ ｇ 是奇置换， （） 于是 尺 Ｇ） （ 中含有奇置换． 从而 （ ） Ｇ 中全体偶置换构成 了 （ ） Ｇ 的指数 为 ２ 的正规子群 ，且ｆ ｆｇ．由于 Ｒ Ｇ） （ ， 以 Ｒ Ｇ） ： Ｈ （ ＜Ｓ Ｇ） 所 （ 的换位元素全是偶置换 ， 即
近世代数科普
近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态：设f:G→G′，如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab)，则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时，称为满同态当f是⼀个单射时，称为单同态当f是⼀个双射时，称为同构，称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G}，f−1(x)={a:f(a)=x}，f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态，则f(e)=e′，f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态，则f(G)⩽G′Prof：对a′,b′∈f(G)，∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′，则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def：设H⩽G，若∀a∈G,aH=Ha，则称H为⼀个正规⼦群，记做H⊲G正规⼦群的等价结论：设H⩽G，∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G，∀a∈G,aHa−1⊆HProf：取a和a−1，aHa−1⊆H，a−1Ha⊆H设H⊲G，K⩽G，则H∩K⊲KProf：∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K（H是由正规⼦群，K由群的封闭性）3. 核Def：设f:G→G′是⼀个同态，则f−1(e)称为f的核，记做ker(f)核⼀定是正规⼦群：⼦群：∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群：∀g∈G,h∈ker(f)，f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f)，从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f)，从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算，AB={ab|a∈A,b∈B}Def：设H⩽G，G/H为H的陪集的集合，若H⊲G，G/H在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为H，元素aH的逆元为a−1HProf：∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G，则存在G→G/H的同态φ(a)=aH，称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态，则G/ker(f)≅G′Prof：记N=ker(f)，构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射，如果f(a)=f(b)，则a∈bN，则aN=bN，故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′，故为满射再证同构，ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论：设f:G→G′是⼀个同态，则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态，记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S1={K:N⩽K⩽G}，S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法，∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态，因此f(H)⩽G′(b) 证明单射，先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H，知H⊂f−1(f(H))，并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H)，因⽽∃h∈H,f(x)=f(h)，故x∈hN⊂H，故f−1(f(H))⊂H，因此f−1(f(H))=H，那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射，∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法，因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K，故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1，由f是满同构知f(K)∈S b，⼜由f:S1→S2是双射知，f是⼀个单射(b) 反之，∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′，从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′)，从⽽f−1(K′)∈S a，由f:S1→S2是双射知，f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理：设f:G→G′是⼀个满同态，设N=ker(f)，设N⊂H⊲G，则G/H≅G′/f(H)Prof：设G′/f(H)的⾃然同态为π，那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H))，由π,f为满同态，则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ)，即{x|πf(x)∈f(H)}，显然H⊆ker(φ)，⽽∀x∈ker(φ)，有πf(x)∈f(H)，即f(x)∈f(H)，即x∈f−1(f(x))⊆H，从⽽H=ker(φ)，由群同态基本定理，我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理：设H⩽G,N⊲G，则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义，先证HN是⼦群，⾸先HN=NH，∀h1,h2∈H,n1,n2∈N，n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN，故HN为⼦群Prof：设H/H∩N的⾃然同态为π，π(a)=a(H∩N)，构造f:HN→H，∀x∈aN,f(x)=a，则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ)，即{x|πf(x)∈H∩N}，⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N，故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e}，故x∈N，故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理：设N⊲G,N⩽H⊲G，则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof：第⼀群同构定理，取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def：如果G没有⾮平凡的正规⼦群（{e}和G），那么G称为单群G≠{e}是交换单群，当且仅当G为素数阶的循环群Prof：对任意g≠e，考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩，即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时，⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群（导群）a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦（交换⼦），记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群（导群），常记做G′, [G,G], G(1)（以后变量要取别的名字了...）当ab=ba时，[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf：g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′，故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof：aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1)，注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def：如果G(k)={e}，则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质，有这样的充要条件：群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e}，且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof：“⇒"：显然，G,G(1),G(2),....，满⾜题意“⇐”：如果G/N是阿贝尔群，考虑φ:G→G/N为⾃然同态，那么有φ([a,b])=e，即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N，在本题中，由于G/G1是阿贝尔群，故G(1)⩽G1，归纳得到G(k)⩽G k，即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa}，称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的，定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa}，称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S，且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x))，称f决定了群G在S上的作⽤，f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群，X,X′是两个⾮空集合，G作⽤在X,X′上，如果存在双射ϕ:X→X′，使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x))，则称这两个作⽤等价example：项链的旋转构成群，对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上，定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y}，易证R是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊，在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上，∀x∈X，定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群（显然为⼦群）如果|O x|=1，或者说∀g∈G,g(x)=x，则称x为不动点7. 齐性空间Def：设H⩽G，则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的，默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上，则\forall x \in X，G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof：定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射，因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射，因此此为⼀⼀映射，并且，f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群，G作⽤在X上，则|O_x| = |G/H_x|Prof：由上⼀个命题，f是⼀个⼀⼀映射，故这两个集合的基数相等ex：求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式，不难得到|H_1| = 3，|O_1| = 8，从⽽|G| = 24在G作⽤到G上，并且g(x) = gxg^{-1}时，此时H_x = C_G(X)，定义C(x)为和x共轭的元素的集合，则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义，从每个共轭类中选择⼀个元素，得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的，当x\in C(G)时，[G:C_G(x)] = 1，因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元，则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G，则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def：如果|G| = p^k(k\geq 1)，其中p为素数，则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上，设|X|=n，设t为X中不动点的数⽬，则t \equiv n(mod\;p)Prof：设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k，则有\sum |O_i| = n，注意到|O_i| = p^m(m\geq 0)，当且仅当|O_i| = 1时，有|O_i|\;mod\;p =1，否则|O_i| \;mod\;p=0，因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof：考虑G到G上的共轭变换，任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点，因此，我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p)，⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上，令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数，\forall g\in G，F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数，则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof：⾸先转化命题，我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式，\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|，因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}，即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x，这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1，如此，t为不同的轨道的条数，命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群，p为素数，如果p^k | n, k \geq 0，那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof：引理：设n = p^r*m, (p, m) = 1，对k \leq r，有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k（由Kummer\;TH显然）取G中所有含有p^k个元素的⼦集，构成集合X，令G作⽤在X上，定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|，由于p^{r-k+1} \nmid |X|，因此存在A\in X，使p^{r-k+1} \nmid |O_A|，下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知，v_p(H_A) \geq k，即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A，故|H_A| \leqslant |A| = p^k，从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k，则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r，P是G的⼀个西罗p-⼦群，\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof：考虑X为P的左陪集的集合，将H作⽤于X，h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1，那么存在⼀个不动点，使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2，即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}，因此H \leqslant gPg^{-1}推论1：任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论：⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def：对H \leqslant G，定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦，记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数，以及对任⼀西罗p-⼦群P，N(P)的阶为|G|的因⼦Prof：设X为G中所有西罗p-⼦群的集合，在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P，有O_P = X，H_P = N(P)，从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t，则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1，结合t | |G|，我们有t | m。
有限群的阶与群的结构
有限群的阶与群的结构夏晶【摘要】给出了若有限群G的阶是p1p2…pn,其中P1,…,Pn是不同的素数,则G 是超可解群.同时还给出了若群G的阶| G|=60p1p2…pn,其中p1,…,pn均是大于5的不同的素数,且G是极小单群,则G(=)A5.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(028)006【总页数】2页(P20-21)【关键词】极小单群;可解群;超解群【作者】夏晶【作者单位】大庆师范学院【正文语种】中文0 引言通过群的阶来给出群的一些性质已有许多结果.例如著名的Feit-Thompson定理:奇数阶群必可解和Burnside定理:设p、q是素数，a、b是正整数，则paqb阶群必可解等等.以及在文献［1］中还给出了象有限p-群(p是素数)是幂零群阶是2n，n是奇数的群是可解群，p2(p是素数)阶，群必为交换群等重要结果.该文给出了若群的阶|G|=p1p2…pn，则G是超可解群;以及群G的阶|G|=60p1…pn，若G 是极小单群，则G ≌ A5，这里p1，p2，…，pn是互不相同的大于5素数.1 主要概念和引理定义极小非可解群即每个真子群为可解的单群，称之为极小单群.引理1［1］设p是群G的阶的最小素因子，P∈Sylp(G)，P循环，则G有正规p-补.引理2［1］设G是非交换单群，p是G的阶的最小素因子，则p3||G|或12||G|. 引理3［1］ 60阶单群必同构于A5.引理4［2］极小单群有下述五个类型:Ⅱ.PSL(2，2q)，q 是素数，阶 2 q(22q-1)Ⅲ.PSL(2，3q)，q是奇素数，阶·3q(32p-1).Ⅳ.PSL(3，3)，33(33-1)(32-1)=24 ×33×13.Ⅴ.Suzuki群 S2(2q)，q奇素数，阶(22q+1)22q(2q-1).引理5［1］ 60阶单群必同构于A5.2 主要定理定理1 设G的阶为|G|=p1p2…pn，其中p1，p2，…，pn是不同的素数，则 G 是超可解群.证明不妨设p1＜p2＜… ＜pn.当n=1时，G是p-群，是幂零群，当然是超可解群.于是可以假设n≥2，Sylow定理知G的Sylow p1-子群P1的阶是素数p1，从而是循环子群.于是G有正规 p1- 补 G1，且|G1|=p2…pn.同理 G1有正规 p2- 补G2.即 G2◁G1，且|G2|=p3…pn.易知G2是G的Hall子群，再由G2是G的次正规子群，从而G2是G的正规子群.如此下去，我们得到G的一个正规子群列.使得 |Gi-1/Gi|=pi，i=1，2，…，n.从而 G 是超可解群.定理2 A5是极小单群.证明设N是A5的任意真子群，由|A5|=60，|M|||A| 知 |N|=1，2，3，5，4=2× 2，6=2 × 3，10=2 × 5，12=22 × 3，15=3 × 5，20=22×5，30=2 ×3 ×5，即|N|=p，paq，pqr型群.其中p、q、r是不同的素数，由文献［1］及定理1，知N是可解群.而A5是单群，从而A5是极小单群.定理3 设群G的阶为|G|=22×3×5×p1×p2×… ×pn，其中p1，…，pn均是大于5的不同素数，若G是极小单群，则G≌A5.即G是阶为60的单群.证明由引理4知G只有五个类型的可能.若 G是类型Ⅰ由5||G|，5，知p=5.即由引理5知G≌PSL(2.5)≌A5.若G是类型Ⅱ.由22|||G|，及q是素数知，q=2，即22(22×2-1)=60.从而有G ≌ A5≌PSL(2.4).若G是类型Ⅲ，q是奇素数，则33||G|，与|G|恰好被3 整除，矛盾，故 G≌/PSL(2，33).由24||PSL(3，3)|，知G≌/PSL(3，3)，即G不可能是类型Ⅳ.若G≌S2(2q).由q是奇素数知26||G|，与4|||G|矛盾.故G ≌/S2(2q).综上所述，有G≌A5.参考文献［1］徐明曜.有限群导引(上)［M］.北京:科学出版社，1999.［2］陈重穆.内外-∑群与极小非 -∑群［M］.重庆:西南师范大学出版社，1988.。
抽象代数第二版课程设计
抽象代数第二版课程设计一、课程背景抽象代数是现代数学的一个重要分支，是数学的一种高度抽象和理论化的体现。
抽象代数的发展历程关联到数学中许多基础问题的解决，如方程的求解、多项式的因式分解等等。
抽象代数的概念和理论在各种领域都有广泛的应用，如在密码学、编码理论、通讯等领域。
《抽象代数》（第二版）是一本经典的教材，该课程以该教材为主要教材，旨在让学生了解抽象代数这一重要分支，并掌握其基本理论和方法。
二、课程目标本课程旨在使学生：1.掌握抽象代数的基础理论和方法；2.理解群、环、域等基本代数结构的概念、性质及其在数学中的应用；3.理解群作用的概念和性质；4.掌握基本的代数计算方法；5.培养学生抽象思维和逻辑思维能力；6.培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容及安排第一部分：群论（30学时）1.群的基本概念–群的定义、群的性质；–子群的定义和性质；–同态、同构等基本概念。
2.群的分类–有限群、无限群；–阿贝尔群、非阿贝尔群；–单群、可解群等。
3.群作用–群作用的定义、性质和基本例子；–圆周排列群、对称群、线性群等的群作用；–Burnside引理的证明。
第二部分：环论（20学时）1.环的基本概念–定义和性质；–整环、域、布尔环等。
2.环与矩阵–环的基本运算、理想和同态等；–线性方程组、矩阵的秩等基本概念及其代数表示。
3.环的进一步理解–Euclid算法、唯一分解定理等；–四平方定理等。
第三部分：域论（20学时）1.域的基本概念–定义和性质；–代数闭包、三次以上方程的解法、高次方程的构造等。
2.有限域–二元有限域、线性码、考虑F_p[x]中的多项式的统计。
3.Galois理论–Galois群和Galois扩张的基本概念；–Galois定理及其推论。
第四部分：选修（10学时）1.线性群的性质及其应用；2.代数数论的基本概念和方法。
四、教学方法本课程采用讲授、练习相结合的教学方法。
在课堂上，重点讲授群论、环论、域论的基本理论，通过举例及问题讨论巩固学生的理解，激发学生对数学的兴趣和思考；同时，安排一定量的习题课，引导学生主动思考，通过问题解决和相互讨论的方式深化对知识的理解。
代数群的概念
代数群的概念一、代数群的定义代数群是由代数运算定义的群。
具体来说，设G是一个群，定义域为代数闭域K（例如，实数域R或复数域C）。
如果G中的元素都是K上的代数元，则称G为K上的代数群。
二、代数群的性质1.封闭性：对于任何a,b∈G，存在唯一的c∈G，使得a×c=b。
2.结合律：对于任何a,b,c∈G，有(a×b)×c=a×(b×c)。
3.单位元存在：存在一个元素e∈G，使得对于任何a∈G，有e ×a=a。
4.逆元存在：对于任何a∈G，存在一个元素a−1∈G，使得a×a−1=e。
三、代数群的分类根据不同的分类标准，代数群有以下几类：1.根据定义域分类：有理数域上的代数群、实数域上的代数群、复数域上的代数群等。
2.根据代数结构分类：单群、可解群、幂零群等。
3.根据具体形态分类：椭圆曲线、超椭圆曲线、代数簇等。
四、代数群的结构代数群的结构一般比较复杂，往往具有某种特定的对称性或对称性结构。
例如，椭圆曲线可以看作是平面曲线上的点构成的代数群，其对称性结构与平面曲线上的对称性有关。
超椭圆曲线的对称性结构则更为复杂。
五、代数群的运算规则代数群的运算规则与一般的群运算规则类似，但具体运算依赖于定义域和代数结构。
例如，在有理数域上定义的代数群，其运算规则通常涉及到有理数的加法、乘法和取逆等运算；而在复数域上定义的代数群，其运算规则则涉及到复数的加法、乘法和取逆等运算。
六、代数群在数学中的应用代数群在数学中有着广泛的应用。
例如，在代数几何中，代数簇可以看作是多项式方程的解构成的代数群；在数论中，椭圆曲线可以看作是平面曲线上的点构成的代数群；在物理中，一些复杂的系统也可以通过代数群来描述其对称性和对称性破缺等性质。
七、代数群与其他数学概念的关系1.与群论的关系：代数群是群论的一个重要分支，它是通过代数的运算定义的特殊类型的群。
研究代数群的性质和结构对于理解一般的群论概念具有重要意义。