单群与可解群
仅有两个非平凡正规子群的可解群
２ ０ １ ５ 年 ｌ Ｏ 月
山西大同大学学报旧 然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ １ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
证 明 必 要性 ： 由引理 ２ 及 群 Ｇ仅 有 两个 非 平 凡 正规 子群 得 Ｇ的极小 正 规子 群唯 一， 又 由于 （ Ｇ ） ＝ １ 所 以 Ｇ ） 为群 Ｇ 唯 一 的极小 正规 子群 。 由引理 ３ 得
群， Ｊ Ｊ ＿ Ｆ （ Ｇ ） 为Ｇ 的唯一极小正规子群， Ｑ 为初等交换
必要性： 因为 Ｇ仅 有 两 个 非 平 凡 正 规 子 群 日和
Ｋ且 圩ｎ Ｋ ＝ Ｉ ， 所以Ｇ ＝ Ｈ Ｋ即 Ｇ ＝ Ｈ ×Ｋ 又 由 Ｇ ＞ Ｈ ＞ Ｉ ，
Ｇ ＞ Ｋ ＞ １ 为 群 Ｇ的 主群 列， 由 Ｇ可 解 得 日和 均 为 初 等 交换 ｐ 一 群， 故Ｇ 交 换， 而 由 Ｇ仅 有两 个非 平 凡正 规 子 群得 Ｇ兰Ｃ ×Ｃ 其 中Ｐ ，ｑ 为 不 同素数 。
超特 殊Ｐ 一 群， 除非 Ｇ － Ａ 。
（ １ １ Ｇ 幂零 当且仅 当Ｇ 为Ｐ 阶循环群； （ ２ ） Ｇ可 解 但 非 幂 零 当且 仅 当 Ｇ ＝Ｐ Ｑ ， 其 中Ｐ
为初 等交 换Ｐ 一 群， Ｑ为 ｑ 阶循环 群且 Ｑ在 Ｐ上 作 用不
可约 。
２ 主要 结 果
定理 １ 设Ｇ 为有 限可解群 。如果 Ｇ 仅有两个非 平凡 正规 子 群，那 么 （ １ ） Ｇ 幂零当且仅当 Ｇ 为Ｐ 阶循环群或 Ｇ ＝ Ｃ ×
一
引理 ７ 设 ７ ｒ 一 群 Ⅳ作用在交换 ７ ｒ 一 群Ｇ 上， Ａ 是 日的不变子群， 且为Ｇ 的直 积因子， 即存在 Ｂ≤Ｇ
奇数群的可解性
奇数群的可解性
奇数阶群是可解群：数学上的单群是指没有非平凡正规子群的群。
任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。
这个过程可以一直做下去。
对于有限群，若尔当—赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。
所有的奇数阶群都是可解群。
因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数西罗测试：设n为一正合数，p是它的一个素因子。
若在n的所有约数中只有1模p同余于1，则不存在阶为n的单群。
证明：如n为一素数幂，则阶数为n的群有非平凡的中心，因而不是单群。
若n不是素数幂，则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知，阶数为n的群的西罗p—子群的个数模p同余于1且为n的约数。
但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗p —子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。
根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为n的群不是单群。
有限单群分类100年
1832 年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。
在某个瞬间，某位青年被对手的枪 射中腹部，随后去世。
在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界， 又失去了另一个伟大的头脑。
这位青年姓伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。
在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的 结构进行了彻底的分析。
其中的发现，可能出乎所有人的意料。
这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。
高度抽象的对称交错群 A_5 的一个 Cayley 图（一种群的图示） 什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答： 一个群是一个集合 G 以及在 G 上的一个运算，满足以下三个条件： 1. 存在一个 G 中的元素 e，使得对于 G 中的任意元素 x，有 x=xe=ex。
这样的 e 叫做 群的单位元 2. 对于 G 中的任意元素 x,y,z，有(xy)z=x(yz)，这是结合律 3. 对于 G 中的任意元素 x，存在 G 中的一个元素 y，使得 e=xy=yx。
这样的 y 被称为 x 的逆元 这样的定义， 即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。
但数学的力量就在于它 的抽象。
它什么都不是，所以它什么都是。
整数和加法就构成一个群。
什么数加上 0 都不变， 所以 0 是单位元； a+(b+c)=(a+b)+c， 这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元 0，所以相反数就是逆元。
正实数 和乘法也构成一个群，1 是它的单位元，乘法有结合律，倒数是逆元。
如果我们认为 9 点 +5 点相当于 9 点的 5 个小时后，也就是 2 点的话，就连时钟也构成一个群。
宝石的晶体 构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。
而对于自然界的 各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。
难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研 究各种对称性。
关于有限次单群的几个结论
引理 ５３ Ｇ‘ ［ １ ｑＧ
且商 ／ ‘ 换 反 若Ｈ ｑ 且Ｇ 为交 群， ‘ 群ＧＧ 是交 群． 之， Ｇ ／ 换 则Ｇ
，
．
引理 ６１ ［ １ Ｇ是幂零的次单群， （ 则Ｉ Ｉ Ｇ ＝Ｐ Ｐ是素数 ） Ｒ Ｇ是循环群．
引理 ７ １ Ｇ 为非幂零的可解 次单群， 则必有 ｌ ｑ，Ｇ ＝ ， Ｉ Ｇ ＝Ｐ ＜口 ｂ＞，ａ ＝１ ｐ＝ａ ，６ ａ ，ｂ ～ ｂ＝ａ ， ， 三ｌ ｄ ） （—１三０ｍｏ ｑ Ｐ＜ｇ， ｐ ｇ ｐ （ ｍｏ ｑ ，ｒｔ ） （ ｄ ）（ Ｒ ， 均为素数 ） ．
Ｇ ＝１ 其中Ｇ Ｇ （ １ ，， 循 ， 川／ ， ，． Ｓ ２． ） ．
环 ．由此可 知 Ｇ／ 循 环且 也循 环 ． 因为 Ｇ 非幂零 ，所 以非交换 ， Ｚ Ｇ） Ｇ 的真 正规 子群 ．若 又 故 （ 为
Ｚ Ｇ ≠１ 则由于Ｇ的次单性， （） ， 必有Ｚ Ｇ ：Ｈ， （） 因为Ｇ非交换， 由引理 ２ 可知Ｇ Ｈ＝Ｇ ＺＧ 不可能循环， ／ ／ （）
－
Ｄ ｃ ２ ０７ ｅ． ０
…
文章编号：１ ３ ８３２０ ） － ９ － ０ ． ４ （ ７ ６１ ４ ３ ０２ ０ ０ ２ ０
关于有 限次单群 的几个结论
刘锐 ， 晓琳 杨
（ 成 都 理 工 大 学信 息 管理 学 院，四 川 成都 ６０５ ） １０ ９
摘
要 ：本 文讨 论 了几个特殊的有限次单群的性质及结构，得到 了若干结论，丰富 了研 究次单群这一领域的成果．
尺 是 忠 实 表 示 ，所 以 Ｇ 兰Ｒ Ｇ）． 由 引 理 １ 可 知 Ｇ 必 有 ２ 阶 元 ｇ ， ｇ≠１ ＝１． 由 于 （ ， ｇ ａ （ ） ，（ ｇ） Ｒ ｇ ≠ａ口 Ｒ（ ） ＝口 Ｖ ， ａ∈Ｇ ， Ｒ ｇ 是一些对换 （ ，Ｒ ｇ ） 故 （） 以 ａ （ ）之积， Ｇ 共有 ２ 个元素， 而 ｑ 从而 Ｒ ｇ 是 （） ｇ个对换之积．由于 ｇ为奇数， 所以 Ｒ ｇ 是奇置换， （） 于是 尺 Ｇ） （ 中含有奇置换． 从而 （ ） Ｇ 中全体偶置换构成 了 （ ） Ｇ 的指数 为 ２ 的正规子群 ，且ｆ ｆｇ．由于 Ｒ Ｇ） （ ， 以 Ｒ Ｇ） ： Ｈ （ ＜Ｓ Ｇ） 所 （ 的换位元素全是偶置换 ， 即
近世代数科普
近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态：设f:G→G′，如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab)，则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时，称为满同态当f是⼀个单射时，称为单同态当f是⼀个双射时，称为同构，称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G}，f−1(x)={a:f(a)=x}，f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态，则f(e)=e′，f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态，则f(G)⩽G′Prof：对a′,b′∈f(G)，∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′，则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def：设H⩽G，若∀a∈G,aH=Ha，则称H为⼀个正规⼦群，记做H⊲G正规⼦群的等价结论：设H⩽G，∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G，∀a∈G,aHa−1⊆HProf：取a和a−1，aHa−1⊆H，a−1Ha⊆H设H⊲G，K⩽G，则H∩K⊲KProf：∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K（H是由正规⼦群，K由群的封闭性）3. 核Def：设f:G→G′是⼀个同态，则f−1(e)称为f的核，记做ker(f)核⼀定是正规⼦群：⼦群：∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群：∀g∈G,h∈ker(f)，f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f)，从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f)，从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算，AB={ab|a∈A,b∈B}Def：设H⩽G，G/H为H的陪集的集合，若H⊲G，G/H在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为H，元素aH的逆元为a−1HProf：∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G，则存在G→G/H的同态φ(a)=aH，称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态，则G/ker(f)≅G′Prof：记N=ker(f)，构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射，如果f(a)=f(b)，则a∈bN，则aN=bN，故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′，故为满射再证同构，ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论：设f:G→G′是⼀个同态，则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态，记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S1={K:N⩽K⩽G}，S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法，∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态，因此f(H)⩽G′(b) 证明单射，先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H，知H⊂f−1(f(H))，并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H)，因⽽∃h∈H,f(x)=f(h)，故x∈hN⊂H，故f−1(f(H))⊂H，因此f−1(f(H))=H，那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射，∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法，因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K，故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1，由f是满同构知f(K)∈S b，⼜由f:S1→S2是双射知，f是⼀个单射(b) 反之，∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′，从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′)，从⽽f−1(K′)∈S a，由f:S1→S2是双射知，f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理：设f:G→G′是⼀个满同态，设N=ker(f)，设N⊂H⊲G，则G/H≅G′/f(H)Prof：设G′/f(H)的⾃然同态为π，那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H))，由π,f为满同态，则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ)，即{x|πf(x)∈f(H)}，显然H⊆ker(φ)，⽽∀x∈ker(φ)，有πf(x)∈f(H)，即f(x)∈f(H)，即x∈f−1(f(x))⊆H，从⽽H=ker(φ)，由群同态基本定理，我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理：设H⩽G,N⊲G，则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义，先证HN是⼦群，⾸先HN=NH，∀h1,h2∈H,n1,n2∈N，n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN，故HN为⼦群Prof：设H/H∩N的⾃然同态为π，π(a)=a(H∩N)，构造f:HN→H，∀x∈aN,f(x)=a，则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ)，即{x|πf(x)∈H∩N}，⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N，故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e}，故x∈N，故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理：设N⊲G,N⩽H⊲G，则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof：第⼀群同构定理，取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def：如果G没有⾮平凡的正规⼦群（{e}和G），那么G称为单群G≠{e}是交换单群，当且仅当G为素数阶的循环群Prof：对任意g≠e，考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩，即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时，⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群（导群）a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦（交换⼦），记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群（导群），常记做G′, [G,G], G(1)（以后变量要取别的名字了...）当ab=ba时，[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf：g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′，故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof：aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1)，注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def：如果G(k)={e}，则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质，有这样的充要条件：群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e}，且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof：“⇒"：显然，G,G(1),G(2),....，满⾜题意“⇐”：如果G/N是阿贝尔群，考虑φ:G→G/N为⾃然同态，那么有φ([a,b])=e，即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N，在本题中，由于G/G1是阿贝尔群，故G(1)⩽G1，归纳得到G(k)⩽G k，即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa}，称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的，定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa}，称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S，且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x))，称f决定了群G在S上的作⽤，f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群，X,X′是两个⾮空集合，G作⽤在X,X′上，如果存在双射ϕ:X→X′，使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x))，则称这两个作⽤等价example：项链的旋转构成群，对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上，定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y}，易证R是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊，在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上，∀x∈X，定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群（显然为⼦群）如果|O x|=1，或者说∀g∈G,g(x)=x，则称x为不动点7. 齐性空间Def：设H⩽G，则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的，默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上，则\forall x \in X，G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof：定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射，因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射，因此此为⼀⼀映射，并且，f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群，G作⽤在X上，则|O_x| = |G/H_x|Prof：由上⼀个命题，f是⼀个⼀⼀映射，故这两个集合的基数相等ex：求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式，不难得到|H_1| = 3，|O_1| = 8，从⽽|G| = 24在G作⽤到G上，并且g(x) = gxg^{-1}时，此时H_x = C_G(X)，定义C(x)为和x共轭的元素的集合，则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义，从每个共轭类中选择⼀个元素，得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的，当x\in C(G)时，[G:C_G(x)] = 1，因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元，则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G，则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def：如果|G| = p^k(k\geq 1)，其中p为素数，则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上，设|X|=n，设t为X中不动点的数⽬，则t \equiv n(mod\;p)Prof：设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k，则有\sum |O_i| = n，注意到|O_i| = p^m(m\geq 0)，当且仅当|O_i| = 1时，有|O_i|\;mod\;p =1，否则|O_i| \;mod\;p=0，因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof：考虑G到G上的共轭变换，任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点，因此，我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p)，⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上，令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数，\forall g\in G，F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数，则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof：⾸先转化命题，我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式，\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|，因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}，即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x，这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1，如此，t为不同的轨道的条数，命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群，p为素数，如果p^k | n, k \geq 0，那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof：引理：设n = p^r*m, (p, m) = 1，对k \leq r，有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k（由Kummer\;TH显然）取G中所有含有p^k个元素的⼦集，构成集合X，令G作⽤在X上，定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|，由于p^{r-k+1} \nmid |X|，因此存在A\in X，使p^{r-k+1} \nmid |O_A|，下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知，v_p(H_A) \geq k，即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A，故|H_A| \leqslant |A| = p^k，从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k，则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r，P是G的⼀个西罗p-⼦群，\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof：考虑X为P的左陪集的集合，将H作⽤于X，h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1，那么存在⼀个不动点，使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2，即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}，因此H \leqslant gPg^{-1}推论1：任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论：⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def：对H \leqslant G，定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦，记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数，以及对任⼀西罗p-⼦群P，N(P)的阶为|G|的因⼦Prof：设X为G中所有西罗p-⼦群的集合，在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P，有O_P = X，H_P = N(P)，从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t，则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1，结合t | |G|，我们有t | m。
有限群的阶与群的结构
有限群的阶与群的结构夏晶【摘要】给出了若有限群G的阶是p1p2…pn,其中P1,…,Pn是不同的素数,则G 是超可解群.同时还给出了若群G的阶| G|=60p1p2…pn,其中p1,…,pn均是大于5的不同的素数,且G是极小单群,则G(=)A5.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(028)006【总页数】2页(P20-21)【关键词】极小单群;可解群;超解群【作者】夏晶【作者单位】大庆师范学院【正文语种】中文0 引言通过群的阶来给出群的一些性质已有许多结果.例如著名的Feit-Thompson定理:奇数阶群必可解和Burnside定理:设p、q是素数，a、b是正整数，则paqb阶群必可解等等.以及在文献［1］中还给出了象有限p-群(p是素数)是幂零群阶是2n，n是奇数的群是可解群，p2(p是素数)阶，群必为交换群等重要结果.该文给出了若群的阶|G|=p1p2…pn，则G是超可解群;以及群G的阶|G|=60p1…pn，若G 是极小单群，则G ≌ A5，这里p1，p2，…，pn是互不相同的大于5素数.1 主要概念和引理定义极小非可解群即每个真子群为可解的单群，称之为极小单群.引理1［1］设p是群G的阶的最小素因子，P∈Sylp(G)，P循环，则G有正规p-补.引理2［1］设G是非交换单群，p是G的阶的最小素因子，则p3||G|或12||G|. 引理3［1］ 60阶单群必同构于A5.引理4［2］极小单群有下述五个类型:Ⅱ.PSL(2，2q)，q 是素数，阶 2 q(22q-1)Ⅲ.PSL(2，3q)，q是奇素数，阶·3q(32p-1).Ⅳ.PSL(3，3)，33(33-1)(32-1)=24 ×33×13.Ⅴ.Suzuki群 S2(2q)，q奇素数，阶(22q+1)22q(2q-1).引理5［1］ 60阶单群必同构于A5.2 主要定理定理1 设G的阶为|G|=p1p2…pn，其中p1，p2，…，pn是不同的素数，则 G 是超可解群.证明不妨设p1＜p2＜… ＜pn.当n=1时，G是p-群，是幂零群，当然是超可解群.于是可以假设n≥2，Sylow定理知G的Sylow p1-子群P1的阶是素数p1，从而是循环子群.于是G有正规 p1- 补 G1，且|G1|=p2…pn.同理 G1有正规 p2- 补G2.即 G2◁G1，且|G2|=p3…pn.易知G2是G的Hall子群，再由G2是G的次正规子群，从而G2是G的正规子群.如此下去，我们得到G的一个正规子群列.使得 |Gi-1/Gi|=pi，i=1，2，…，n.从而 G 是超可解群.定理2 A5是极小单群.证明设N是A5的任意真子群，由|A5|=60，|M|||A| 知 |N|=1，2，3，5，4=2× 2，6=2 × 3，10=2 × 5，12=22 × 3，15=3 × 5，20=22×5，30=2 ×3 ×5，即|N|=p，paq，pqr型群.其中p、q、r是不同的素数，由文献［1］及定理1，知N是可解群.而A5是单群，从而A5是极小单群.定理3 设群G的阶为|G|=22×3×5×p1×p2×… ×pn，其中p1，…，pn均是大于5的不同素数，若G是极小单群，则G≌A5.即G是阶为60的单群.证明由引理4知G只有五个类型的可能.若 G是类型Ⅰ由5||G|，5，知p=5.即由引理5知G≌PSL(2.5)≌A5.若G是类型Ⅱ.由22|||G|，及q是素数知，q=2，即22(22×2-1)=60.从而有G ≌ A5≌PSL(2.4).若G是类型Ⅲ，q是奇素数，则33||G|，与|G|恰好被3 整除，矛盾，故 G≌/PSL(2，33).由24||PSL(3，3)|，知G≌/PSL(3，3)，即G不可能是类型Ⅳ.若G≌S2(2q).由q是奇素数知26||G|，与4|||G|矛盾.故G ≌/S2(2q).综上所述，有G≌A5.参考文献［1］徐明曜.有限群导引(上)［M］.北京:科学出版社，1999.［2］陈重穆.内外-∑群与极小非 -∑群［M］.重庆:西南师范大学出版社，1988.。
抽象代数第二版课程设计
抽象代数第二版课程设计一、课程背景抽象代数是现代数学的一个重要分支，是数学的一种高度抽象和理论化的体现。
抽象代数的发展历程关联到数学中许多基础问题的解决，如方程的求解、多项式的因式分解等等。
抽象代数的概念和理论在各种领域都有广泛的应用，如在密码学、编码理论、通讯等领域。
《抽象代数》（第二版）是一本经典的教材，该课程以该教材为主要教材，旨在让学生了解抽象代数这一重要分支，并掌握其基本理论和方法。
二、课程目标本课程旨在使学生：1.掌握抽象代数的基础理论和方法；2.理解群、环、域等基本代数结构的概念、性质及其在数学中的应用；3.理解群作用的概念和性质；4.掌握基本的代数计算方法；5.培养学生抽象思维和逻辑思维能力；6.培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容及安排第一部分：群论（30学时）1.群的基本概念–群的定义、群的性质；–子群的定义和性质；–同态、同构等基本概念。
2.群的分类–有限群、无限群；–阿贝尔群、非阿贝尔群；–单群、可解群等。
3.群作用–群作用的定义、性质和基本例子；–圆周排列群、对称群、线性群等的群作用；–Burnside引理的证明。
第二部分：环论（20学时）1.环的基本概念–定义和性质；–整环、域、布尔环等。
2.环与矩阵–环的基本运算、理想和同态等；–线性方程组、矩阵的秩等基本概念及其代数表示。
3.环的进一步理解–Euclid算法、唯一分解定理等；–四平方定理等。
第三部分：域论（20学时）1.域的基本概念–定义和性质；–代数闭包、三次以上方程的解法、高次方程的构造等。
2.有限域–二元有限域、线性码、考虑F_p[x]中的多项式的统计。
3.Galois理论–Galois群和Galois扩张的基本概念；–Galois定理及其推论。
第四部分：选修（10学时）1.线性群的性质及其应用；2.代数数论的基本概念和方法。
四、教学方法本课程采用讲授、练习相结合的教学方法。
在课堂上，重点讲授群论、环论、域论的基本理论，通过举例及问题讨论巩固学生的理解，激发学生对数学的兴趣和思考；同时，安排一定量的习题课，引导学生主动思考，通过问题解决和相互讨论的方式深化对知识的理解。
代数群的概念
代数群的概念一、代数群的定义代数群是由代数运算定义的群。
具体来说，设G是一个群，定义域为代数闭域K（例如，实数域R或复数域C）。
如果G中的元素都是K上的代数元，则称G为K上的代数群。
二、代数群的性质1.封闭性：对于任何a,b∈G，存在唯一的c∈G，使得a×c=b。
2.结合律：对于任何a,b,c∈G，有(a×b)×c=a×(b×c)。
3.单位元存在：存在一个元素e∈G，使得对于任何a∈G，有e ×a=a。
4.逆元存在：对于任何a∈G，存在一个元素a−1∈G，使得a×a−1=e。
三、代数群的分类根据不同的分类标准，代数群有以下几类：1.根据定义域分类：有理数域上的代数群、实数域上的代数群、复数域上的代数群等。
2.根据代数结构分类：单群、可解群、幂零群等。
3.根据具体形态分类：椭圆曲线、超椭圆曲线、代数簇等。
四、代数群的结构代数群的结构一般比较复杂，往往具有某种特定的对称性或对称性结构。
例如，椭圆曲线可以看作是平面曲线上的点构成的代数群，其对称性结构与平面曲线上的对称性有关。
超椭圆曲线的对称性结构则更为复杂。
五、代数群的运算规则代数群的运算规则与一般的群运算规则类似，但具体运算依赖于定义域和代数结构。
例如，在有理数域上定义的代数群，其运算规则通常涉及到有理数的加法、乘法和取逆等运算；而在复数域上定义的代数群，其运算规则则涉及到复数的加法、乘法和取逆等运算。
六、代数群在数学中的应用代数群在数学中有着广泛的应用。
例如，在代数几何中，代数簇可以看作是多项式方程的解构成的代数群；在数论中，椭圆曲线可以看作是平面曲线上的点构成的代数群；在物理中，一些复杂的系统也可以通过代数群来描述其对称性和对称性破缺等性质。
七、代数群与其他数学概念的关系1.与群论的关系：代数群是群论的一个重要分支，它是通过代数的运算定义的特殊类型的群。
研究代数群的性质和结构对于理解一般的群论概念具有重要意义。
p—群的中心问题初探
作者： 姜希
出版物刊名： 乐山师范学院学报
页码： 105-109页
主题词： 群的中心;有限群;可解群;单位元群;有限单群;无限群;正规子群;非交换群;循环群;基本定理
摘要：<正> 有限群大致可以分为两类,一类是有限单群,一类是有限可解群,有限可解群能分解成p—群之积是 P·霍尔(P·Hall)的工作,见文献[1,2,3],由此可见 p—群的理论在有限群中的重要地位。
关于 p—群的基本性质,不少群论的专著中都有介绍,参看文献[4,5,6]等。
群的许多定理并不涉及这群是否是有限群的问题,但是在有的时候对于有限群和无限群结论可以截然不同,而且即使结论相同,证明的方法也常常不同。
对于 p—群的情形,亦是如此。
本文将围绕 p—群的中心问题作初步的探索,最后与有限 p—群的基本定理的结论相反,给出一个中心为单位元群的无限 p —群的例子。
《近世代数》教案1(含绪论)
韶关学院课程教学设计（ 2 学时）教学过程、内容（含教与学的方法）绪论一、抽象代数发展简史1、代数的组成代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性质等问题.抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合，例如向量、矩阵超数、变换等，这些集合分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数.抽象代数，包含有群论、环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言.2、高次方程的根式解问题什么叫代数？代数的基本问题是什么呢？代数就是字母运算学，这是法国数学家韦达的观点，也是关于代数的第一种观点.到了15-16世纪，代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了，（关于代数的观点发生了变化，将代数定义为代数方程理论）.我们知道，一次、二次的方程有根式解，三次和三次以上的方程是否有根式解呢？经过数学家们的努力，1542年意大利数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的，卡当恳切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他，并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言，把这个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式，而应叫泰塔格利亚公式.在三次方程成功地解出之后，接着卡当的学生费拉里成功的解出了四次方程.三次、四次方程有求根公式，那么五次和五次以上的方程是否有公式解呢？世界上许多数学家试图找出五次和五次以上的方程的公式解，经过了三百年没有成功.在这期间，德国数学家高斯在1799年他的博士论文中作出了代数基本定理的证明.“每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根.”探求四次以上的方程的求解问题，多少数学家作了努力，但都失败了.直到1824年轻的数学家阿贝尔证明了“高于四次的一般方程用根式求解的不可能性”.这样，代数的这个问题才告一个段落.阿贝尔（1802-1829）是一个挪威的数学家，出生（1802.8.5）于一个穷牧师家里，兄弟姐妹七个，他排行第二，小学教育基本上是由父亲完成的.中学时是一个比阿贝尔大七岁的数学教师，名叫洪波义.此人学过一些纯粹数学，对中学数学很熟，他采取让学生发挥独立的工作能力的教学方法，给一些适合他们的数学问题鼓励学生们去解决.第一学年来，洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是：“一个优秀的数学天才”.他私人教阿贝尔高等数学.在中学读书的最后一年，他开始考虑当时著名的难题：五次方程的一般解问题.他按高斯对二次方程的处理方法，起初，阿贝尔以为他已经解决了用根式解一般的五次方程的问题.他的方法洪波义看不懂，也不知道有什么地方错，因此便拿去找教授看，结果也没有人了解他的东西.一位叫达根的教授劝告阿贝尔研究一些椭圆积分.后来阿贝尔用实际例子来验证，证明他的发现是错误的.当阿贝尔18岁时父亲去世了，大哥精神不正常，家庭生活十分贫困.阿贝尔上大学是由洪波义出面，希望几个教授帮忙，结果教授们和朋友们都把薪水分出一点，凑起来给阿贝尔作为学习和生活的经济来源.阿贝尔自己还写信给当局提出要求，幸运地获得了免费的宿舍.1824年，阿贝尔重新考虑了一元五次方程的根式解问题.他试图证明这个解答是不可能的.首先他成功的证明了下述定理：“可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理函数.”然后阿贝尔用这个定理证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性.阿贝尔的家境贫困，大学毕业后，他靠为一些学生补习功课而生活，好心的朋友克勤为了替阿贝尔谋求一个职业而尽力奔走，终于在1828.10.8写信告诉阿贝尔“职业是肯定有了”.但克勤不知道，我们的阿贝尔在三月肺结核病病情恶化了，4月6日，这世上少有的天才就这样怀着沉重的心情，在他未婚妻旁离开了人间.克勤的消息来迟了.“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌150年！”法国数学家厄米特说：这话并不夸张.在和阿贝尔同时代的一个法国青年伽罗华读到了阿贝尔的著作，不到20岁，就在代数方程论上作出了卓越的贡献，创立了“伽罗华理论”.他使阿贝尔的思想得到了更好的发展.3、伽罗华和他的理论的兴起法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.他是第一个提出“群”的思想的数学家，一般称他为近世代数的创始人.伽罗瓦使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期.伽罗瓦是巴黎附近一个小镇镇长的儿子，他积极参加学生运动.伽罗华在中学时遇到了一位叫里沙的好老师（数学家），在里沙的指导下开始学习阿贝尔的著作，给出5次及5次以上方程有根式解的充要条件.他的论文三次交到法兰西科学院评审（柯西、付里叶、波松）.最后是波松“完全不能理解！”.伽罗瓦是1832年5月31日死于爱情决斗.伽罗瓦提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念.后来凯莱对群作了抽象定义(Cayley，1821-1895).他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响.“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”.直到1878年，凯莱又写了抽象群的四篇文章才引起注意.1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842-1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群.1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856-1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念.1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体.20世纪初给出了群的抽象公理系统.群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开.例如，找出给定阶的有限群的全体.群分解为单群、可解群等问题一直被研究着.有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决.伯恩赛德（Burnside，1852-1927年）曾提出过许多问题和猜想.如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的.前者至今尚未解决，后者于1963年解决.舒尔（Schur，1875-1941）于1901年提出有限群表示的问题.群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出.庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学.”这当然是过分夸大了.1843年，哈密顿（Hamilton, W. R. ）发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数.1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数.1870年，克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义.4、诺特和抽象代数学的兴起有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是爱米·诺特（1882-1935）, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，其父亲麦克斯是一位大数学家，1900年入埃朗根大学（上千名学生中只有两位女生），1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位.诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响.1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式.她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组.还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题.对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明.她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起. 1922年，诺特终于被聘为教授，但政府不承认.1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”.1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡.1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念.1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理.1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件.诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变.诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一.1927－1935年，诺特研究非交换代数与“非交换算术”.她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上.后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群.最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数.诺特的学生范．德．瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构.这就发生了质变.由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支.人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展.诺特的思想通过《近世代数学》得到广泛的传播.她的主要论文收在《诺特全集》(1982年)中. 1955年范．德．瓦尔登的《近世代数学》改版为《代数学》（一、二册）（瓦尔登后来研究数学史）.抽象代数的另一部分是域论.1910年施泰尼茨（Steinitz，1871-1928）发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑.他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得.环论是抽象代数中较晚成熟的.尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物.韦德伯恩（Wedderburn，1882-1948）《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环.环和理想的系统理论由诺特给出.她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论.诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础.诺特对环和理想作了十分深刻的研究.人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年.1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论.到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子.这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.到了20世纪60年代，美国代数学家贾柯勃逊编著的《抽象代数学》（一、二、三册）代替了瓦尔登的《代数学》，到了20世纪70-80年代贾柯勃逊改版为《基础代数学》（一、二册）分别于1974年和1980年出版.5、代数是研究代数系统的科学抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位.而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响.泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来.中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代.当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著.现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的.在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量.可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了.一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学.现代数学的基础课程正在更新.50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体.时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛函分析.现代数学理论是由这三根支柱撑着的.现在，我们来追寻它们形成和发展的历史足迹，并从这一侧面窥视21世纪数学的特征.参考文献：[1] 乐秀成, 刘宁. 青年数学家、战士和人:E.伽罗瓦[J]. 自然辩证法通讯, 1980,(06)[2] 胡作玄. 爱米·诺特与抽象代数学的兴起[J]. 自然辩证法通讯, 1983,(02)二、近世代数的特点、意义与学习方法1、近世代数的特点代数学经历了两个转变，它有三种观点：第一种观点：代数是字母运算学（这是韦达的观点）；第二种观点：代数是代数方程理论；第三种观点：代数是研究各种代数系统（即研究群、环、域等的结构与性质）.第一、第二是具体的，第三是抽象的，它的对象不一定是数，如向量、矩阵、线性变换等.由于它理论的抽象，对象的广泛，因而就带来应用的广泛性.近世代数的大多数概念是采取公理化定义，这就使它的理论更严谨，许多学科都用到近世代数的思想和方法.近世代数具有以下特点：概念的抽象性、理论的严谨性、应用的广泛性.2、学习近世代数的意义一是数学类专业的基础课程，后继课程学习的需要，更高一级学校学习的准备；二是指导中学教学与实践，处理好中学数学的有关教材内容，能在高观点下看清中学数学的来龙去脉；三是培养同学的科学思维、逻辑推理和运算的能力,以及辩证唯物论观点.3、学习方法与要求学习的四步曲：预习、听课（笔记）、复习、练习；①预习：认真看书，做好预习工作，带着问题来听课，做到有的放矢；②听课（笔记）：认真听课，做好笔记，笔记的形式可以多样，与书上不同的；③复习：认真做好复习工作，多思考、多提问题.问题可以自问自答；有问题要自己先想想，再问老师.要扣概念，找模型；④练习：复习后再练习、作业，作业要独立完成，不要抄题解、不要抄别人的.请记住：预习、听课（笔记）、复习、练习，再预习等，这就是学习上的良性循环.我们一定要做到学习上的良性循环，克服恶性循环，牢牢掌握学习的主动权，努力做到：概念准、理论熟、思路活、计算快.教材：张禾瑞著的《近世代数基础》.参考书：吴品三的《近世代数》；熊全淹的《近世代数》；谢帮杰的《抽象代数学》；范．德．瓦尔登的《代数学》（一、二册）；贾柯勃逊的《基础代数学》（一、二册）；[美]G.伯克霍夫、S.麦克莱恩 著，王连祥、徐广善译 《近世代数概论》.三、近世代数的教学安排51课时,讲四章内容，共135页，每次课约7页.教学安排如下：第一章 基本概念 10课时（含绪论），含习题2课时；第二章 群 论 18课时，含习题4课时；第三章 环与域 16课时，含习题4课时；第四章 整环里的因子分解（2节） 5课时，含习题1课时；复习 2课时.教学内容及各章课时（见教学进度表）并参考“《近世代数》课程标准”.第一章 基本概念在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除.数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算.这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算.近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究各种代数系统，即带有运算的集合.因此我们的讨论就从最基本的概念——集合、映射开始.§1.1 集 合一、集合及其表示集合是一个不加定义的基本概念，它描述性的定义为：作为整体看的一堆东西若干个（有限或无限多个）固定事物的全体组成一个集合的事物叫做这个集合的元素.注意：1.强调“全体”，2.确定集合的表示法：1.列举法；2.性质法；3.图象法集合用大写拉丁字母A ，B ，C ，…来表示.元素用小写拉丁字母a ，b ，c ，…来表示.集合的属于与不属于的表示：a A∉∈，a A二、若干记号1.数集：N，Z，Q，R，C，*Z，*Q2.逻辑：全称号：∀（对于任意）特称号：∃（存在），|∃（存在唯一）若A则B：A B⇒A等价于B：A B⇔或者：∨，而且：∧三、空集合、子集与集合的相等空集合：一个没有元素的集合，记为∅子集：设A，B是两个集合，若x B x A⊆.∀∈⇒∈，则称B是A的子集，记为B A 空集合是任何集合的子集，即∀集合A，均有A∅⊆.为此需证明命题“x x A∀∈∅⇒∈”，但这个前提不成立.任一命题，只要前提不真，那么，无论结论如何，整个命题被认为成立，故有A∅⊆.真子集：若集合B是集合A的子集，而且至少有一个A的元不属于B，则称B是A的真子集，记为B A⊂.集合的相等：若集合A和集合B所包含的元素完全一样，则称集合A等于集合B，记为A B=⇔⊆∧⊆.=.充要条件：A B A B B A四、集合的运算、幂集合、卡氏积设A，B是全集U的两个子集，则A，B的交、并、差为：⋂=∈∧∈{|}A B x x A x B第 11 页 {|}A B x x A x B ⋃=∈∨∈\{|}A B x x A x B =∈∉但性质：交换律，结合律，分配律幂集合：设A 是给定的两个集合，A 的所有子集所组成的的集合叫做A 的幂集合，用A 2表示.例如：设{a b c}A =，，，则A 2={{a}{b}{c}{a b}{b c}{a c}{a b c}}∅，，，，，，，，，，，，. 卡氏积：设1A ，2A ，…，n A 是n 个集合集合12n 12={|(,,,),,1,2,,}n i i A A A x x a a a a A i n ⨯⨯⨯=∈= 称作集合1A ，2A ，…，n A 的积，这也是一个集合.当12n A A A === 时，记为n A .。