正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
■这个结果用在有限群上就有：3.4.4 定理Lagrange定理G是有限群。
任给G的子群H，都有|H| | |G|。
■如果|a| = d，则|<a>| = d，所以有：3.4.5 定理G是有限群。
任给a∈G，都有|a| | |G|。
■现在考虑正规的等价关系。
群只有一个运算⋅，所以群上的正规等价关系是条件是：如果x ~ y, a ~ b，则xa ~ yb。
这个条件称为正规性条件。
3.4.6 引理~是群G上的正规等价关系。
(1) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则a-1 ~ b-1。
(2) e是G的子群。
证(1) 显然有a-1~a-1, b-1~b-1，由正规性得a-1ab-1 ~ a-1bb-1，所以b-1 ~ a-1，由对称性得a-1 ~ b-1。
(2)2.1 e∈e。
2.2 任给a, b∈e，都有a ~ e, b ~ e，由正规性得ab ~ ee= e，所以ab∈e。
2.3 任给a∈e，都有a ~ e，由(1)得a-1 ~ e-1 = e，所以a-1∈e。
■3.4.7 定理G是群，~是G上的正规等价关系，则存在G的子群H，使得~ = ~H。
证取G的子群H =e，证明~ = ~H。
如果a ~ b，则由正规性得ab-1 ~ bb-1 = e，所以ab-1∈e= H，因此a ~H b。
23如果a ~H b ，则由~H 的定义得ab -1∈H =e ，所以ab -1~ e ，由正规性ab -1b ~ eb ，所以a ~ b 。
■定理3.4.7说明了G 上任何一个正规等价关系都是由G 的子群生成的，但并不是每个子群都能生成正规等价关系。
3.4.8 定义 正规子群 H 是G 的子群，如果~H 是正规等价关系，则称H 是G 的正规子群，记为H G 。
3.4.9 例 {e }和G 都是G 的正规子群。
如果群G 除{e }和G 外没有其它正规子群，则称G 为单群。
3.4.10 例 G 是有限群，H ＜G 。
如果||||H G = 2，则H G 。
特别地，因为|S ||S |n n= 2，所以A n S n 。
取a ∉H =e ，则G /~H ={e ,a }，任给x ∈G ，都有x ~H e 或x ~H a ，因此⌝(x ~H e ) 当且仅当 x ~H a 。
先证明如果x ~H y ，则x -1 ~H y -1。
设x ~H y 。
如果x -1 ~H e ，则x ~H e ，所以y ~H e ，所以y -1 ~H e ，所以y -1 ~H e ，因此x -1 ~H y -1。
如果x -1 ~H a ，则⌝(x -1 ~H e )，所以⌝(x ~H e )，所以⌝(y ~H e )，所以⌝(y -1 ~H e )，所以y -1 ~H a ，因此x -1 ~H y -1。
再证~H 是正规的。
设x ~H s ，y ~H t ，则由以上所证得y -1 ~H t -1，所以x ~H y -1 当且仅当 s ~H t -1。
如果xy ~H e ，则x (y -1)-1 ~H e ，所以x ~H y -1，所以s ~H t -1，所以s (t -1)-1 ~H e ，所以st ~H e ，因此xy ~ st 。
如果xy ~H a ，则⌝(xy ~H e )，所以⌝(x (y -1)-1 ~H e )，所以⌝(x ~H y -1)，所以⌝(s ~H t -1)，所以⌝(s (t -1)-1 ~H e )，所以⌝(st ~H e )，所以st ~H a ，因此xy ~ st 。
3.4.11 例 G 是一个群，集合Z(G ) = {a | a ∈G 且任给x ∈G ，都有ax = xa}称为G的中心，Z(G)是G的正规子群。
先证Z(G)是G的子群。
任给a, b∈Z(G)，任给x∈G，都有(ab-1)x = a(b-1x) = a(x-1b)-1 = a(bx-1)-1 = a(xb-1) = (ax)b-1= (xa)b-1 = x(ab-1)，所以ab-1∈Z(G)。
再证Z(G)是G的正规子群。
如果x ~Z(G)s，y ~Z(G)t，则由~Z(G)的定义得xs-1, yt-1∈Z(G)，所以xs-1yt-1∈Z(G)，由yt-1∈Z(G)得s-1yt-1 = yt-1s-1，所以xy(st)-1 = xyt-1s-1 = xs-1yt-1∈Z(G)，由~Z(G)的定义得xy ~Z(G)st。
■用H本身的条件来刻画更为方便。
3.4.12 定理H是G的子群。
H是G正规子群当且仅当任给a∈G，任给h∈H，都有aha-1∈H。
证设H是G正规子群。
任给a∈G，任给h∈H，都有h ~H e，由正规性得ah ~H ae = a，由~H的定义得aha-1∈H。
设任给a∈G，任给h∈H，aha-1∈H。
如果x~H s，y~H t，则由~H的定义得xs-1∈H且yt-1∈H，由xs-1∈H得s-1x= x-1(xs-1)x∈H，所以s-1xyt-1∈H，因此xy(st)-1= xyt-1s-1 = s(s-1xyt-1)s-1∈H，由~H的定义得xy~H st。
■3.4.13 例同构保持正规子群不变。
H1＜G1且H2＜G2，如果H1≌H2且G1≌G2，则H1 G1当且仅当H2 G2。
3.4.14 例交换群的每个子群都是正规子群，因为在交换群中有aha-1 = h。
特别地，n Z是Z的正规子群。
3.4.15 例取例3.2.5中的群R*×R，则{1}×R是它的正规子群，而R*×{0}不是它的正规子群。
任给<a, b>∈R*×R，任给<1, h>∈{1}×R，都有<a, b><1, h><a, b>-1 = <1, bh>∈{1}×R。
取<1, 1>∈R*×R，<2, 0>∈R*×{0}，则4<1, 1><2, 0><1, 1>-1 = <2, -1>∉R*×{0}。
和子群不一样，正规子群没有传递性。
从H K且K G一般不能得到H G。
如虽有B A4且A4 S4，但没有B S4。
但关于子群的另一性质对于正规子群仍然成立。
3.4.16 定理如果H G，K＜G且H⊆K，则H K。
■因为每个正规的等价关系都是由正规子群生成，我们用正规子群来重述群的商结构。
3.4.17 定理<G, ⋅, e>是群，H G，则<G / ~H, ⋅, >是群。
证(1)任给x,y,z∈G / ~H，(x y)z=zx=x(y z)。
(yz(=)xy)(2) 任给x∈G / ~H，e x=ex=x。
(3) 任给x∈G / ~H，取1-x∈G / ~H，则x1-x=1-xx=e。
■群<G, ⋅, e>的商结构<G / ~H, ⋅, e>称为商群，因为~H由H生成，而e= H，所以也把商群<G / ~H, ⋅, e>记为<G / H, ⋅, H>，简记为G / H。
由定理3.4.15还可知，在商群<G / ~H, ⋅, e>中，a的逆元素a-1就是1-a。
3.4.18 例n≥1，Z对于n Z的商群Z / n Z≌Z / n。
3.4.19 例由定理2.3.14可知In(G)＜Aut(G)，由习题3.3.8可知，任给ηa∈In(G)，任给σ∈Aut(G)，都有σ◦ηa◦σ-1∈In(G)，所以In(G) Aut(G)。
Aut(G)对于In(G)的商群Aut(G) / In(G)称为G的外自同构群。
以下考虑群的同态，G1和G2是两个群，σ是G1到G2的映射。
σ是同态条件是：(1) σ(e1) = e2。
(2) 任给a, b∈G，都有σ(ab) = σ(a)σ(b)。
53.4.20 定理如果σ是G1到G2的同态，则任给a∈G，都有σ(a-1) = σ(a)-1。
证同定理3.2.23。
■3.4.21 例H是G的子群，取σ：H→Gσ(a) = a则σ是H到G的单同态，因为σ(e) = e, σ(ab) = ab = σ(a)σ(b)。
如果H是G的真子群，则σ不是满同态。
3.4.22 例F：S n→U2F(σ) = sgn(σ) 是S n到U2的同态，因为F(e) = 1, F(σ◦τ) = sgn(σ◦τ) = sgn(σ)sgn(τ) = F(σ)F(τ)。
显然，F 是满同态。
3.4.23 例取例3.2.5中的群R*×R，取σ：R*×R→R* σ(<a, b>) = a则σ是R*×R到R*的满同态，因为σ(<1, 0>) = 1，σ(<a1, b1><a2, b2>) = σ(<a1a2, a1b2+b1>) = a1a2=σ(<a1, b1>)σ(<a2, b2>)。
1.31.5共轭元正规子群
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
XCX 1 C X G
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
S = { E= S1, S2，…，Ss} ， X是群G中某个确定的元，则集合
（ 1. 4 -1）
{ XS1X-1, XS2X-1 ，…， XSsX-1}= XSX-1 （1. 4-2）
构成群，称为群G的共轭子群 .
证明： （1）若XSmX-1及XSnX-1是集合XSX-1中的任意两元， 那么，由于Sm及Sn是群S中的元，(XSmX-1)(XSnX-1)=X (SmSn) X-1也是XSX-1中的一个元，满足封闭性条件. （2）若XSmX-1 ， XSnX-1及XSpX-1是XSX-1中的三个 元，那么它们之间的乘积满足结合律. （3） 由于S 中有单位元， XSX-1中肯定有单位元. （4） 同样，由于S中每个元都有逆元，所以XSX-1的 每个元都有逆元.
C3V群分成几类？
• 类的简单性质 ( l ) 单位元自成一类． ( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的， 即不同的类中没有共同的元． ( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元． ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切 X∈G 都有
(1.3-7)
于是
(Si Sj)X(SiSj)-1 = Si ( SjXSj)-1Si-1 = Si XSi-1 =X
(1.3-8)
近世代数考试复习
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
浅谈正规子群的判定条件
重要的角色。对于群 Ｇ 如何确定子群 日为 Ｇ的正规子群对于判定 Ｇ是否可解起到关键作用。 ， 所以讨论子 群 成为正 规子 群 的条 件也显 得非 常 的重 要 ， 献 。 其作 了一定 的探讨 。 文 在此 基础 上 从正 规 子群 的 文 对 本
定 义 出发 ， 出 了子 群成 为正规 子群 的若干条 件 。 给
已有 的简 单结论 列 出如下 ：
（ ） Ｇ的两个平凡子群 ｛｝ Ｇ都是 Ｇ的正规子群 ； １群 ｅ与 （ ）交换 群 的任 一子 群都是 正规 子群 ； ２ （ ）群 Ｇ的中心 Ｃ Ｇ ３ （ ）是 Ｇ的正 规子群 ， Ｃ Ｇ 且 （ ）的任一 子群也 是 Ｇ的正规 子群 ； （） ４ 两个正规子群的交（ ） 积 仍为正规子群； （ ）群 Ｇ的指数 为 ２的子 群 必 是 Ｇ的正 规子群 ； ５ （） ６ ｎ次交错 群是 ｎ次对 称群 的正规 子群 下 面给 出正规子 群 的一些 判别 条件 ： 定理 １ Ｇ为任 意 的群 ， 为 Ｇ任一 子群 ， 么 以下 四个条 件是 等价 的 ： Ｊ 日 那
群．
证 明 ａ ・ Ｈ ＝ｃ 故 ａｂ Ｈ ｂ Ｈ， ｅｅ∈ ａ ｂ ： ｃ ． ａ ＨＨ Ｈ 因 ｂ∈ ｃ 故 ａ Ｈ ＝ｃ ．Ｖａ∈ Ｇ，ｌ —Ｈ ＝ａ ～ ＝ Ｈ， ｂ Ｈ ａａ ｉ ａＨ
，
所 以 ａ ａ ａ ａ Ｈ ＝Ｈ， ａ ａ Ｈ， ｉ ｌ ｅ ｉ ｌ～ 即 ｌ ｅ ｉ 故 是 的一 个正规 子群．
证 明 ｅ＝ ｅ ｅ ｅ ， ｅ∈ Ｃ， Ｃ非空． — ～ ｅ故 即
有限个换位子的乘积与有限个换位子的乘积还是有限个换位子的乘积 ， Ｃ关于 Ｇ的乘法是封闭的． 故 因为 （ ｂ ｂ ～ ＝６ ａ １ａ 于是换 位子 的逆还 是换 位子． 以有 限个 换位 子 的乘积 的逆还是 有 限个 ａ ａ ） ～ － ， ｂ 所 换位 子 的乘 积 ， Ｖｃ∈ Ｃ 有 Ｃ ∈Ｃ 因此 ， 故 ， ～ ． Ｃ是 Ｇ的子群．
正规子群和商群
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H I N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H I N 因此H I N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
解：因为 H(13) {(13),(123)}
(13)H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
所以 N 是 G 的不变子群.
定理 设 N G ，则 N 是 G 的正规子群
a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N a G ,有 aNa1 N
由前面讨论可知：由不变子群确定的群的左右陪集分解是 一回事，即由此得到的左右商集是一致的。
叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
性质3 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
（留作练习） 我们知道“子群”的概念具有传递性:
N H，H G N G
3-2正规子群和商群
因为 H (13) = {(13), (123)}
(12) N = {(12), (23), (13)} = N (1 2)
的不变子群. ，所以 N 是 G 的不变子群.
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二、正规子群的性质 性质1 性质1 设 N ≤ G ，则 N 是 G 的不变子群 ⇔ ∀a ∈ G ,有 aN = Na
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G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
四、商群
N
关于
G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
定义 2
G ，则称 G / N = { aN | a ∈ G } 关于 aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成的群为 G 关于
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五 商群的应用
定理5 是一个pn阶有限交换群 其中p是一个素数 定理 设G是一个 阶有限交换群 其中 是一个素数 则 是一个 阶有限交换群,其中 是一个素数,则 G有p阶元素 从而有 阶子群 阶元素,从而有 阶子群. 有 阶元素 从而有p阶子群 证:
对n用数学归纳法. 当n = 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为pk(1 ≤ k < n)的交换群成立, 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a ≠ e, 若p a , 令
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例
n次交代群 A n 是n次对称群 Sn的一个正规子群 . 证 :由于任意 n次置换 σ与其逆 σ −1有相同的奇偶 性, 从而易知 σA nσ A n > Sn .
第三章 正规子群和群的同态与同构
_
_
_
G ~ G，
_
例 令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通 乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法 作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！ 负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的 集合，叫做 ϕ的核 ，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合， 叫做
ϕ的象集 ，记为 Im ϕ .
结论： 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
正规子群的判定条件
正规子群的判定条件
在群论中，一个子集要成为一个正规子群，需要满足以下条件：
1. 封闭性：该子集对于群的乘法运算封闭，即对于任意的元素a和b属于该子集，它们的乘积ab也属于该子集。
2. 单位元：该子集包含原群的单位元素，即恒等元素e。
3. 逆元：对于该子集中的任意元素a，它的逆元素a⁻¹也属于该子集。
4. 对称性：对于该子集中的任意元素a和原群中的任意元素g，如果ag和ga都属于该子集，则称该子集是正规子群。
具体来说，如果一个子集N满足对于任意的元素a属于N和任意的元素g属于原群G，都有ag和ga都属于N，那么N就是G的正规子群。
正规子群的重要性在于它们可以作为群的商空间，用于定义群的商群和因子群等概念，进一步研究群的结构和性质。
正规子群
定理 11.14 设 N 是群 G 的子群， N⊴G ⇔ ∀g∈G 有 gNg−1=N 证 任取 g∈G 有 g G gNg−1 = N ⇔ (gNg−1)g = Ng ⇔ gN = Ng 由正规子群定义，定理得证.
2．正规子群的判别实例 例 设 N≤ G，若 G 的其他子群都不与 N 等势，则 N⊴G. 证 任取 g∈G，易证 gNg−1 是 G 的子群， 下面证 N ≈ gNg−1. ∀n∈N，令 f(n) = gng−1，则 f：N→ gNg−1. f(n1)=f(n2) ⇒ gn1g−1=gn2g−1 ⇒ n1=n2，即 f 是单射. ∀gng−1∈gNg−1，∃n∈N，f(n) = gng−1 ，f 是满射. 从而 N ≈ gNg−1. 根据已知条件，必有 gNg−1 = N. 所以 N⊴G.
例
设<Z,+>是整数加群,令
3Z = {3z | z∈Z} 则 3Z 是 Z 的正规子群. Z 关于 3Z 的商群 Z/3Z = {[0], [1], [2]} 其中 [i] = {3z+i | z∈Z}，i = 0, 1, 2
且 Z/3Z 中的运算如下表所示.
例 设 N≤ G，若[G:N] = 2，则 N⊴G. 证 由[G:N] = 2 可知存在两个不交的右陪集 N 与 Ng，即 G = N∪Ng，g∉N 同理可知也存在两个不交的左陪集 N 与 gN，即 G = N∪gN，g∉N 任取 g∈G，若 g∈N，则有 gN = N = Ng. 若 g∉N，则有 gN = G−N = Ng. 从而证明了 N 是 G 的正规子群. 说明： 上述例题的结果可以作为正规子群的判别方法
三、商群 1. 商群定义及其实例 商群定义：设 G 是群，N 是 G 的正规子群，令 G/N 是 N 在 G 中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即 G/N = {Ng | g∈G} 在 G/N 上定义二元运算ο如下：对于任意的 Na, Nb∈G/N， Na ο Nb=Nab 可以证明 G/N 关于ο运算构成一个群，称为 G 的商群.
近世代数考试复习
近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。