近世代数课件--正规子群
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正规子群
( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 定理 到 的 的子群， 态，并且 H是( G, ∘)的子群，则 H的像 f (H)是群 是 的子群 的像 是群 ( G’, *)的子群；若 f 是满同态，则( G, ∘)的正规子 的子群； 是满同态， 的子群 的正规子 是群( 的正规子群。 群N的像 f (N)是群 G’, *)的正规子群。 的像 是群 的正规子群 定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 定理 到 的 并且H’和 分别是 分别是( 态，并且 和N’分别是 G’, *)的子群和正规子群 的子群和正规子群 的原像H= f -1(H’)和N = f -1(N’)分别是 则H’和N’的原像 和 的原像 和 分别是 ( G, ∘)的子群和正规子群。 的子群和正规子群。 的子群和正规子群
定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 定理 的商群 都是 ( G, ∘)的满同态像。 的满同态像。 的满同态像 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。 是一个满同态。 满同态 • 研究子群 的一个作用就是可以通过H来推测整个 研究子群H的一个作用就是可以通过 来推测整个 的一个作用就是可以通过 的性质。 群G的性质。如果现在是一个正规子群 的话， 的性质 如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 以及商群 那么就有两个群，正规子群 以及商群 可以 利用了。 利用了。
是一个群， 例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 是一个群 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， ， 的正规子群。 则Cg是G的正规子群。 的正规子群
的非空子集。 证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 的非空子集 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， ∘ ∘ ∘ 故Cg是G的子群。 的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , ， ∘ ∘ 因此C 的正规子群。 因此 g是G的正规子群。 的正规子群
定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 定理 的商群 都是 ( G, ∘)的满同态像。 的满同态像。 的满同态像 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。 是一个满同态。 满同态 • 研究子群 的一个作用就是可以通过H来推测整个 研究子群H的一个作用就是可以通过 来推测整个 的一个作用就是可以通过 的性质。 群G的性质。如果现在是一个正规子群 的话， 的性质 如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 以及商群 那么就有两个群，正规子群 以及商群 可以 利用了。 利用了。
是一个群， 例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 是一个群 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， ， 的正规子群。 则Cg是G的正规子群。 的正规子群
的非空子集。 证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 的非空子集 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， ∘ ∘ ∘ 故Cg是G的子群。 的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , ， ∘ ∘ 因此C 的正规子群。 因此 g是G的正规子群。 的正规子群
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数--正规子群与商群
3.商群: 注意当Ｎ是Ｇ的正规子群时，Ｇ关于 Ｎ才能作成商群．
练习
1.设N G,且[G : N ] 2,证明: N G.
2.设N G, 证明 : N G NG (N ) G.
作业
教材P69第1,4题
第八节 正规子群与商群
• 正规子群的定义 • 正规子群的等价性命题 • 商群 • 小结
设H G,若
一、正规子群的定义
定义 设N G, 若a G, 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1 任意一个群G都有两个正规子群e与G,
这两个正规子群称为G的平凡正规子群.
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana1 n1 N
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a1Na N n N, a1na N 于是n a(a1na)a1 aNa1 N aNa1 aNa1 N
则(G / N,)是一个群. G / N称为G关于N的商群.
推论 商群G / N的阶是N在G中的指数[G : N ],
当G是有限群时, G / N的阶是 | G | . |N|
四、小结
1.正规子群: G中每个元素a对应的左陪集aN和 右陪集Na都相等;
2.正规子群的等价性命题:它既是正规子群的性质， 也是正规子群的判定定理；
(4) (5)aN,a N ana1 aNa1 N ana1 n1, n1 N an n1a Na aN Na 反之, n N aNa1 n an2a1, n2 N na an2 aN Na aN 故aN Na
练习
1.设N G,且[G : N ] 2,证明: N G.
2.设N G, 证明 : N G NG (N ) G.
作业
教材P69第1,4题
第八节 正规子群与商群
• 正规子群的定义 • 正规子群的等价性命题 • 商群 • 小结
设H G,若
一、正规子群的定义
定义 设N G, 若a G, 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1 任意一个群G都有两个正规子群e与G,
这两个正规子群称为G的平凡正规子群.
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana1 n1 N
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a1Na N n N, a1na N 于是n a(a1na)a1 aNa1 N aNa1 aNa1 N
则(G / N,)是一个群. G / N称为G关于N的商群.
推论 商群G / N的阶是N在G中的指数[G : N ],
当G是有限群时, G / N的阶是 | G | . |N|
四、小结
1.正规子群: G中每个元素a对应的左陪集aN和 右陪集Na都相等;
2.正规子群的等价性命题:它既是正规子群的性质， 也是正规子群的判定定理；
(4) (5)aN,a N ana1 aNa1 N ana1 n1, n1 N an n1a Na aN Na 反之, n N aNa1 n an2a1, n2 N na an2 aN Na aN 故aN Na
近世代数 2.8子群
§8 子群一、子群的定义定义若群G的非空子集H对于G的乘法来说作成一个群, 则称H为G的子群, 记为H ≤G .例1 设G是一个群, 则H1 = G和H2 = { e } 都是G的子群(平凡子群).非平凡子群H也叫真子群, 记为H <G .例2 对于普通乘法来说, C*是一个群. R*是C*的一个子群.例3 在整数加群Z中, H = { 2n | n∈Z } 是一个子群.推论设H ≤G, 则H的单位元就是G的单位元e ; ∀a∈H, a 在H中的逆元就是a在G中的逆元.二、子群的判别定理1 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H⇒ab∈H；(ii )∀a∈H⇒a -1∈H.定理2 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(iii) ∀a, b∈H⇒ab -1∈H.定理3 群G的非空有限子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H ⇒ab∈H.三、子群的生成设G是一个群, 取定a∈G, 作子集H = { a n | n∈Z }.则H是G的一个子群. H叫做元a生成的(循环)子群:H = ( a ) .例4 G = { 1, -1, i, -i} 关于普通乘法作成一个群( i是虚数单位) . 由元- 1 生成的循环子群为H = ( -1 ) = { 1, -1 }.例5 在模6的剩余类加群Z6中, 由元[ 2 ] 生成的循环子群为H = ( [ 2 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] }.四、循环群的子群定理4 循环群的子群仍为循环群.例6 在模6的剩余类加群Z6是循环群, 所以其子群都是循环子群. 故Z6的所有子群为H0 = ( [ 0 ] ) = { [ 0 ] };H1 = ( [ 1 ] ) = ( [ 5 ] ) = Z6= { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] };H2 = ( [ 2 ] ) = ( [ 4 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] };H3 = ( [ 3 ] ) = { [ 0 ], [ 3 ] }.。
近世代数课件--1.5正规子群与商群
第一章与计算科学学院
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
§5
正规子群与商群
定义 5.1 件:
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§5
正规子群与商群
为了进一步讨论右陪集,先引入如下定 义:对于群 G 的任意非空子集 A 和 B ,我们 将集合
{ab | a A, b B}
称为 A 与 B 的乘积,记作 AB . 特别 地,当
A {a} 时,可将 AB 简记作 aB ;当 B {b} 时,
(a b) (a1 b1 ) (a a1 ) (b b1 ) ,
立即可知， n | (( a b) (a1 b1 )) ,从而,
a b a1 b1 (mod n) .
“ 是 (2)由(1)可知, ” Z n 上的代数运算.
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AH HA H .
命题 5.7 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 子群.那么,对于任意的 a G , H 的以 a 为代表 的右陪集为 [a] Ha .
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§5
正规子群与商群
证明 我们有
正规子群与商群
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 a ～ b 和 b ～ c 总可以推得 a ～ c ,则称～具有传递 性. (4)若～同时具有自反性、对称性和传 递性,则称～是 A 上的一个等价关系.
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目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§6 §7
§5
正规子群与商群
定义 5.1 件:
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§5
正规子群与商群
为了进一步讨论右陪集,先引入如下定 义:对于群 G 的任意非空子集 A 和 B ,我们 将集合
{ab | a A, b B}
称为 A 与 B 的乘积,记作 AB . 特别 地,当
A {a} 时,可将 AB 简记作 aB ;当 B {b} 时,
(a b) (a1 b1 ) (a a1 ) (b b1 ) ,
立即可知， n | (( a b) (a1 b1 )) ,从而,
a b a1 b1 (mod n) .
“ 是 (2)由(1)可知, ” Z n 上的代数运算.
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AH HA H .
命题 5.7 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 子群.那么,对于任意的 a G , H 的以 a 为代表 的右陪集为 [a] Ha .
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§5
正规子群与商群
证明 我们有
正规子群与商群
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 a ～ b 和 b ～ c 总可以推得 a ～ c ,则称～具有传递 性. (4)若～同时具有自反性、对称性和传 递性,则称～是 A 上的一个等价关系.
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第10讲正规子群与群论的基本课题.ppt
1)(b∈G,h∈H) b1hb =k ∈H . ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例2 交换群的每个子群都是正规子群.
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h)
因为, bH={bh: h∈H}, 显然有bH = Hb.
b1h b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
设Ｈ是群Ｇ的一个子群，I是G关于H的左陪集代表系, 在左陪集
空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
3
第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
思路就成了天空中的雨后彩虹—--仅供欣赏! 于是,人们就把这样的群叫做单群. 研究单群就是群论的基本课题之一. (有限单群的分类问题)
7
第10讲 正规子群与群论的基本课题 反之,如果已知群G的正规子群H和相应的商群G/H≌N, 问: 能否由H和N来确定G的结构?
或者说: 已知两个群H和N,是否有一个群G使得 H◁G 且 G/H≌N?
3) (b) b1 Hb=H 4) (b) b1 Hb H
2.6近世代数
§2.6正规子群和商群§2.6.1正规子群的概念定义1 设G 为群，H ≤G ，若G g ∈∀有 gH=Hg则称H 为G 的正规子群（或不变子群），记为H G 。
注：1°任何群都有两个平凡的正规子群：{e}，G 。
2°若G 为Abel 群，则∀H ≤G ⇒ H G 。
3°指数为2的子群H 必为正规子群。
n A n S ！例子：设G ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫≠∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0,,10r Q s r s r 易见，G 对矩阵的乘法构成群。
若H ＝101s s Q⎧⎛⎞⎫∈⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎭⎩⇒H G 。
§2.6.2正规子群的性质定理1 设H 是G 的子群，则以下命题是相互等价的：（1）G a ∈∀，有Ha aH =。
（2）G a ∈∀ ，H h ∈∀有H aha ∈−1。
（3）G a ∈∀ ，有H aHa ⊆−1。
（4）G a ∈∀ ，有H aHa =−1。
证明：（1）⇒（2）： G a ∈∀ ，H h ∈∀有Ha ah ∈，于是H h ∈∃1使a h ah 1= ⇒ H h aha ∈=−11。
（2）⇒（3）：G a ∈∀ ，H h ∈∀有H h ∈∀，自然有H aHa ⊆−1。
（3）⇒（4）： G a ∈∀，有H aHa ⊆−1，同样有H a H a ⊆−−−111)(，于是H h ∈∀，有H h ha a ∈=−11 ，得111−−∈=aHa a ah h 1−⊆⇒aHa H ，故H aHa =−1。
（4）⇒（1）：由H aHa =−1⇒Ha a aHa =−)(1，即Ha aH =。
注：1°检验一个子群是否为正规子群，可用上述条款中的任意一款。
如上例中，任取G s r a ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1，H t h ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11，要证H G ，检验H rt s r r t s r aha∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−111111111，所以H G 。
近世代数课件-1.3子群
04
子群的应用
在密码学中的应用
子群概念在密码学中用于构造密码算 法，如基于子群特性的密码算法，利 用子群性质来提高算法的安全性和效 率。
子群概念在密码学中用于设计数字签 名方案，如基于子群特性的数字签名 方案，利用子群性质来验证信息的完 整性和真实性。
子群概念在密码学中用于设计公钥密 码系统，如基于子群特性的公钥密码 系统，利用子群性质来保证信息的安 全性和机密性。
THANKS
感谢观看
结合律
对于任意的$a, b, c in H$，都有 $(ab)c = a(bc)$。
单位元存在
存在一个元素$e in H$，使得对 于任意的$a in H$，都有$ea = a = ae$。
逆元存在
对于任意的$a in H$，都存在一 个元素$b in H$，使得$ab = e
= ba$。
子群与群的关系
子群是群的子集，具 有群的全部性质。
子群可以包含在另一 个子群中，也可以是 群的全部元素构成的 子集。
子群可以由群的元素 构成，也可以由群的 所有子集构成群
定义
如果存在一个元素$a$属于子群$H$，使得$H$中的每一个元素都可以表示为 $a^k$（$k$为整数），则称$H$为循环子群。
例子
在模3的加法下，集合${0,1,2}$的子群${0,2}$是一个循环子群，因为可以表示 为${a^k | k in Z}$，其中$a=2$。
正规子群
定义
如果对于任意$x in G$，都有$x^{-1} H x subseteq H$，则称 $H$为正规子群。
例子
在整数加法下，集合${0,1,2}$的子群${0,2}$是一个正规子群， 因为对于任意整数$k$，有$(2k)^{-1}(2k) in {0,2}$。
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2012-9-19 数学与计算科学学院
定义7.5.2 设 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同 态，则称G’ 的单位元 i 在 f 下的原像构成的G 的 子集 { g | f (g) = i , g ∈ G }为满同态 f 的核，记为 Ker f。
例如，f (x, y)=x是从群 (R2, +)到群 (R, +)的满同态, 群(R, +)的单位元是 0 Ker f={ (x, y) | f (x, y)=0 } ={ (0, y) | y ∈ R }
“⇒” gHg-1=( gH) g-1=(Hg) g-1=Hgga-1=He=H “⇐” gH=( gH )e=gH(g-1g)=( gHg-1) g=Hg
定理7.5.2 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于∀g ∈ G，h ∈ H，都有 ghg-1∈ H 。
“⇒” 由定理7.5.1 即可得。
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定理7.5.5 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 态，并且 H是( G, ∘)的子群，则 H的像 f (H)是群 ( G’, *)的子群；若 f 是满同态，则( G, ∘)的正规子 群N的像 f (N)是群( G’, *)的正规子群。
“⇐” ghg-1∈ H ⇒ gHg-1⊆ H ⇒ H =a(a-1Ha)a-1⊆ a-1Ha = gHg-1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 若H是群( G, ∘)正规子群，则H的右(或左)陪集称 为H的陪集。 • 若H是群( G, ∘)正规子群，则G关于 ∼ 的商集记作 G/H，即由H的陪集构成的集合，并且 ∼是(G, ∘) 上的同余关系。定义G/H上的运算⊙如下： Ha⊙Hb= H(a∘b), a, b ∈ G 于是(G/H, ⊙)是一个群，称为( G, ∘)关于正规子群 H的商群。当G为有限群时，有|G|/|H|=|G/H|
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定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 ( G, ∘)的满同态像。 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。
• 研究子群H的一个作用就是可以通过H来推测整个 群G的性质。如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 利用了。
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例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， 则Cg是G的正规子群。
证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， 故Cg是G的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , 因此Cg是G的正规子群。
定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 态，并且H’和N’分别是( G’, *)的子群和正规子群 则H’和N’的原像H= f -1(H’)和N = f -1(N’)分别是 ( G, ∘)的子群和正规子群。
2012-9-19 数学与计算科学学院
2012-9-19
数学与计算科学学院
定理7.5.4 若 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同 态，则Ker f是( G, ∘)的正规子群，并且 (G/Ker f ,⊙) ≅ ( G’, *) 。
例. 如前例 f (x, y)=x，Ker f={ (0, y) | y ∈ R }。 R2/Ker f ={ [x]| x ∈ R }, [x]={ (x, y) | y ∈ R } [a]⊕[b] = a + b (R2/Ker f ,⊕) ≅ (R, +)
7.5 正规子群、商群与群的同态基本定理
定义7.5.1 设H为群( G, ∘)的一个子群，若对任意的 a ∈G，都有 aH=Ha ，则称 H为 G 的正规子群 （或不变子群）。 • 若G 为交换群，则G 的每个子群都是G 的正规子 群；反之，由aH=Ha，不能说明元素a与H中的每 个元素都可交换。 • 一般的群G ，至少有两个正规子群，一个是G的 最小子群{ e }，另一个是G的最大子群G自身。这 两个子群称为平凡的正规子群。
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例7.5.2 H={ (1), (12) }是三次对称群 S3 的子群， 但不是正规子群。 因为 (13)H ≠H(13)， (23)H ≠H(23)，
若取 A={ (1), (123), (132) }，容易验证: A是S3的 子群，并且是由(123)生成的循环子群。又因为
(1)A= (123)A=(132)A=A(1)=A(123)=A(132)= {(1), (123), (132)} (12)A= (13)A=(23)A=A(12)=A(13)=A(23)={(12), (13), (23)}
因此A是S3 的正规子群。
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定理7.5.1 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于∀ g ∈ G ，都有gHg-1 =H。
定义7.5.2 设 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同 态，则称G’ 的单位元 i 在 f 下的原像构成的G 的 子集 { g | f (g) = i , g ∈ G }为满同态 f 的核，记为 Ker f。
例如，f (x, y)=x是从群 (R2, +)到群 (R, +)的满同态, 群(R, +)的单位元是 0 Ker f={ (x, y) | f (x, y)=0 } ={ (0, y) | y ∈ R }
“⇒” gHg-1=( gH) g-1=(Hg) g-1=Hgga-1=He=H “⇐” gH=( gH )e=gH(g-1g)=( gHg-1) g=Hg
定理7.5.2 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于∀g ∈ G，h ∈ H，都有 ghg-1∈ H 。
“⇒” 由定理7.5.1 即可得。
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定理7.5.5 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 态，并且 H是( G, ∘)的子群，则 H的像 f (H)是群 ( G’, *)的子群；若 f 是满同态，则( G, ∘)的正规子 群N的像 f (N)是群( G’, *)的正规子群。
“⇐” ghg-1∈ H ⇒ gHg-1⊆ H ⇒ H =a(a-1Ha)a-1⊆ a-1Ha = gHg-1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 若H是群( G, ∘)正规子群，则H的右(或左)陪集称 为H的陪集。 • 若H是群( G, ∘)正规子群，则G关于 ∼ 的商集记作 G/H，即由H的陪集构成的集合，并且 ∼是(G, ∘) 上的同余关系。定义G/H上的运算⊙如下： Ha⊙Hb= H(a∘b), a, b ∈ G 于是(G/H, ⊙)是一个群，称为( G, ∘)关于正规子群 H的商群。当G为有限群时，有|G|/|H|=|G/H|
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定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 ( G, ∘)的满同态像。 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。
• 研究子群H的一个作用就是可以通过H来推测整个 群G的性质。如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 利用了。
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例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， 则Cg是G的正规子群。
证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， 故Cg是G的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , 因此Cg是G的正规子群。
定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 态，并且H’和N’分别是( G’, *)的子群和正规子群 则H’和N’的原像H= f -1(H’)和N = f -1(N’)分别是 ( G, ∘)的子群和正规子群。
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定理7.5.4 若 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同 态，则Ker f是( G, ∘)的正规子群，并且 (G/Ker f ,⊙) ≅ ( G’, *) 。
例. 如前例 f (x, y)=x，Ker f={ (0, y) | y ∈ R }。 R2/Ker f ={ [x]| x ∈ R }, [x]={ (x, y) | y ∈ R } [a]⊕[b] = a + b (R2/Ker f ,⊕) ≅ (R, +)
7.5 正规子群、商群与群的同态基本定理
定义7.5.1 设H为群( G, ∘)的一个子群，若对任意的 a ∈G，都有 aH=Ha ，则称 H为 G 的正规子群 （或不变子群）。 • 若G 为交换群，则G 的每个子群都是G 的正规子 群；反之，由aH=Ha，不能说明元素a与H中的每 个元素都可交换。 • 一般的群G ，至少有两个正规子群，一个是G的 最小子群{ e }，另一个是G的最大子群G自身。这 两个子群称为平凡的正规子群。
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例7.5.2 H={ (1), (12) }是三次对称群 S3 的子群， 但不是正规子群。 因为 (13)H ≠H(13)， (23)H ≠H(23)，
若取 A={ (1), (123), (132) }，容易验证: A是S3的 子群，并且是由(123)生成的循环子群。又因为
(1)A= (123)A=(132)A=A(1)=A(123)=A(132)= {(1), (123), (132)} (12)A= (13)A=(23)A=A(12)=A(13)=A(23)={(12), (13), (23)}
因此A是S3 的正规子群。
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定理7.5.1 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于∀ g ∈ G ，都有gHg-1 =H。