论述全特征子群 特征子群与正规子群之间的关系
群论的分支规则

群论的分支规则群论是数学的一个分支,主要研究的是抽象代数结构——群。
群论的分支规则是指在研究群的过程中,如何将一个大的群分解为更小、更简单的子群。
这些子群之间有一定的关系,可以帮助我们更好地理解和研究整个群的性质。
群论的分支规则主要包括以下几点:1. 正规子群:设G是一个群,H是G的一个子群,如果H满足条件(a) H本身是一个群;(b) H中任意两个元素的乘积仍在H中;(c) G中任意一个元素与H中任意一个元素的乘积仍在G中。
那么H 就是G的一个正规子群。
正规子群具有传递性,即如果H和K都是G 的正规子群,且H包含于K,那么K也包含于H。
2. 商群:设G是一个群,H是G的一个正规子群,那么由G中所有与H无关的元素组成的集合(记作G/H)以及G/H上定义的运算(即将G中的元素g和H中的元素h映射到G/H中的(gH)),就构成了一个群,称为G关于H的商群。
商群可以看作是将G分解为不相交的正规子群H的并集。
3. 循环子群:设G是一个有限群,H是G的一个子群,如果存在一个元素g∈G,使得对于任意的h∈H,都有gh=hg。
那么称H为G 的一个循环子群。
循环子群具有封闭性,即如果H是G的一个循环子群,那么H的任何非空子集也是循环子群。
4. 交换子群:设G是一个群,H是G的一个子群,如果H中任意两个元素的乘积都在H中,那么我们称H为G的一个交换子群。
交换子群具有传递性,即如果H和K都是G的交换子群,且H包含于K,那么K也包含于H。
5. 幂零子群:设G是一个有限群,H是G的一个子群,如果存在一个正整数n,使得hn=e(其中e是G的单位元)对于任意的h∈H都成立,那么我们称H为G的一个幂零子群。
幂零子群具有传递性,即如果H和K都是G的幂零子群,且H包含于K,那么K也包含于H。
通过以上分支规则,我们可以将一个复杂的群分解为更小、更简单的子群,从而更好地理解和研究整个群的性质。
近世代数试卷2020春期中测试a

南阳师范学院2020春期数学与统计学院各专业《近世代数》课程期中测试题(2020.4.19)一、判断题(正确的打√,错误的打×):(每小题1分,共12分)1.( )设A ,B ,C 为群G 的三个非空子集合,则()A B C AB AC ⋃=⋃.2.( )无限循环群存在着无限个循环子群.3.( )置换(12)(234)σ=为6阶元素.4.( )群G 的子群H 是正规子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,.5.( )设H G ≤,,. a b G aH bH ∈≠时,可能有aH bH φ⋂≠.6.( )有限半群G 满足左消去律,则G 作成群.7.( )集合M 上的等价关系确定M 上的一个分类.8.( )如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群.9.( )一个群中两个子群的交与并都作成群.10.( )一个集合上的全体双射变换作成一个变换群..11.( )有理数加群不能与非零有理数乘法群同构.12.( )群不一定与其商群同态.二、填空或单项选择填空题:(每小题2分,共32分)1. M 为实数集合,代数运算是普通乘法.则 是M 上的自同态映射:1A. ||; B. ; C. 2; D. x x x x x x x x -→→→→-.2. 设F 是数域,则下列 的法则ϕ为X 到Y 的单射:A. ()n X M F =,Y =F . :||A A ϕ→;B. X Z =,Y 为有理数集合. 2:x x ϕ→;C. n X F =,Y =F . 121:(,,,)n a a a a ϕ→K ;D. ()n X M F Y ==,()n C M F ∈是可逆方阵. 1:A CAC ϕ-→3. 下列 的法则ϕ为X 到Y 的映射:A. X ,Y 为正有理数集合. 法则:x ϕ→B. {1,2,3},{2,4,6,12}.X Y ==法则:2x x ϕ→;C. X 为有理数集合,Y 为实数集合. 法则1+3:x x ϕ→;D. X Y =均为有理数集合,法则:ba ab ϕ→+.4.X 是数域F 上的全体n 级方阵的集合,Y =F . 下列 的法则ϕ不是X 到Y 的满射:A. :||A A ϕ→;B. :()A Tr A ϕ→;C. :()A A ϕ→秩;D. *:A A →ϕ 5. M 是有理数集合,下列M 的关系 是M 的等价关系:A.|aRb a b ⇔;B.aRb a b ⇔<;C.0ba aRb ⇔>;D.220aRb a b ⇔+≥.6.设21:G G f →是一个群同态满射,那么下列错误的命题是( )A.f 的同态核是1G 的正规子群;B.2G 的正规子群的逆象是1G 的正规子群;C.1G 的子群的象是2G 的正规子群;D.1G 的正规子群的象是2G 的正规子群.7.13阶有限群的子群个数为( )A. 0;B. 2;C. 1;D. 5.8. M 是非零有理数集合,代数运算为通常的乘法. 下列映射 是M 的自同构映射:A. 1:a aϕ→; B. 2:2a a ϕ→;C. :1a a ϕ→+;D. :31a a ϕ→+ 9.下列运算是代数运算的为 .A.在整数集Z 上,abb a b a +=ο; B.在有理数集Q 上,ab b a =ο; C.在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;D.在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο. 10.设H 是群G 的6阶子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,,则=G .A.6;B.24;C.10;D.1211.设()ο,G 为群,其中G 是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定的常数.那么群()ο,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是 .A.0和x -;B.1和0;C.k 和k x 2-;D.k -和)2(k x +-.12.设G 为一个群,,H G K G ≤≤,下列命题中不成立的是( )A. ||(:)||G G H H =;B.||||G H G 是有限群时,;C. 如果,H K G 在中指数均有限,则H K ⋂在G 中的指数也有限;D. ()||||:是有限群时,=⋅G G H G H .13.凯莱定理:任一个群都同一个 同构.14.给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π .15.在同构意义下,无限循环群只有 个,它(们)是 ,生成元素有 个.16.群的正规子群、特征子群、全特征子群之间的关系是_______________________.三、 计算题(每小题8分,共24分)1. 试写出15阶循环群G a =<>的所有生成元素和子群, 并写出子群在群中的指数. 2.3S 关于{(1),(12)}=H 的所有左陪集和右陪集,并给出对应的左、右陪集的代表系.3.设有置换(135)(47),(263)(27)(14)στ==.(1) 求11,στσστσ--;(2) 确定置换1στσ-的奇偶性.四、讨论与证明题(每小题8分,共32分)1. 下列结论是否正确?正确的给出证明,错误的请给出反例.(1)正规子群的正规子群仍是正规子群;(2)不存在所有元素阶都有限的无限群;2.设M 为有理数集,又令(,):(,,0).a b x ax b a b M a τ+∈≠a 讨论:(,){|,,0}a b G a b M a τ=∈≠ 关于变换的乘法是否作成群?是M 的双射还是非双射变换群?3.证明:()2:()ϕ∀∈a A A A GL Q 是从2阶线性群()2GL Q 到非零有理数乘群*Q 的同态满射,并求出同态核,根据同态基本定理证明()2GL Q 的一个商群与*Q 同构.4.证明:4阶群G 若不是循环群则必与Klein 四元群同构。
近世代数基础1

S
1 p
gS
2 p
g
1
(其中S
1 p
,
S p2为sylow
p子群)
8.对{e}≠G,若 G 没有非平凡正规子群,称为单群。
9.交换群 G 是单群⇔ G Z p ,p 为素数。 10.阶数最小的非交换单群是 60 阶的 5 元交代群 A5。
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近世代数基础
2.6 群在集上的作用
2.4 同态
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近世代数基础
1.设群(G,·)和(H,×),φ 是 G 到 H 的映射,若对 x, y G 有
(x y) (x) (y) 则称 φ 是群(G,·)到(H,×)的同态。当 φ 是单/满射时称 φ 为单/满同态。φ 的像(G 的同态像)为 Im {(x) | x G} H ;φ 的核为 Ker {x G | (x) e,e为H的恒等元} G 。当 φ 为满 同态时 Imφ=H;当 φ 为单同态时 Kerφ={e}。
是双射,且 (1) S T (S) (T ) (2) S G (S) G (3)若 S G 则 G / S G /(S)
2.5 有限群 设有限群 G 的阶为 n,子群 H、元素 a 阶为 m。
1.m|n 且 an=e。 2.设 H 在 G 中不同左陪集的个数为[G:H],称[G:H]为 H 在 G 中的指数,则 n=[G:H]m, 即|G|=|H|[G:H]。若 H G,则|G/H|=t,即|G|=|H||G/H|。
(x y) (y) (x) 则称 φ 是群(G,·)到(H,×)的反同构,称群(G,·)反同构于(H,×),记为 (G,) 1 (H ,) 。反同构关 系具有对称性。
正规子群

定理7.5.5 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 定理 到 的 的子群, 态,并且 H是( G, ∘)的子群,则 H的像 f (H)是群 是 的子群 的像 是群 ( G’, *)的子群;若 f 是满同态,则( G, ∘)的正规子 的子群; 是满同态, 的子群 的正规子 是群( 的正规子群。 群N的像 f (N)是群 G’, *)的正规子群。 的像 是群 的正规子群 定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 定理 到 的 并且H’和 分别是 分别是( 态,并且 和N’分别是 G’, *)的子群和正规子群 的子群和正规子群 的原像H= f -1(H’)和N = f -1(N’)分别是 则H’和N’的原像 和 的原像 和 分别是 ( G, ∘)的子群和正规子群。 的子群和( G, ∘)是一个群,令 是一个群 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }, , 的正规子群。 则Cg是G的正规子群。 的正规子群
的非空子集。 证 由 e ∈ Cg知, Cg是G的非空子集。 的非空子集 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b), ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1,所以 a∘b, a-1 ∈ Cg, ∘ ∘ ∘ 故Cg是G的子群。 的子群。 对a ∈ G,由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , , ∘ ∘ 因此C 的正规子群。 因此 g是G的正规子群。 的正规子群
定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 定理 的商群 都是 ( G, ∘)的满同态像。 的满同态像。 的满同态像 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。 是一个满同态。 满同态 • 研究子群 的一个作用就是可以通过H来推测整个 研究子群H的一个作用就是可以通过 来推测整个 的一个作用就是可以通过 的性质。 群G的性质。如果现在是一个正规子群 的话, 的性质 如果现在是一个正规子群H 的话, 那么就有两个群,正规子群H以及商群G/H可以 以及商群 那么就有两个群,正规子群 以及商群 可以 利用了。 利用了。
第三章 正规子群和群的同态与同构

§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群,如果存在映射ϕ:G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G(即ϕ 保运算) )
G ⇒ ϕ ( N ) G;
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5.子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群, 两个正规子群之积仍是正规子群,也就是说,若H ≤ G , N ≤ G, 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G,进一步,若还有H ∩ N = {e},
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G,那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子,试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G,任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N, (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三 循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群,且G ∼ G,若G为循环群, 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广 交换群的满同态象仍为交换群;交换群的商群 也是交换群.
ϕ
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
引理 设σ :G → G是群同态映射,又H ≤ G,如果H ⊇ Kerϕ, 则
离散数学(78)

18
作业
复习要点: 子群的判定定理 有哪些重要子群,它们之间存在什么关系? 循环群的定义 有限循环群与n阶循环群的区别 怎样求循环群的生成元 怎样求循环群的子群 书面作业: 习题十七,13, 16, 18, 19, 20
19
5
关于子群的证明
证明中心C为子群 证 由于e属于C, C非空. 任取 x, y∈C,对于任意 a∈G有 (xy−1)a = x(y−1a) = x(a−1y)−1 = x(ya−1)−1 = x(ay−1) = (xa)y−1 = (ax)y−1 = a(xy−1) 因此 xy−1属于C. 由判定定理2,命题得证.
2
子群判定定理一
定理1 G 是群,H 是 G 的非空子集,则 H≤G ⇔ ∀a,b∈H, ab∈H, b−1∈H 证:只证充分性. H 非空,存在 a 属于H, 由条件2,a−1属于H, 由条件1,有aa−1属于H, 即 e 属于H
3
子群判定定理二和三
定理2 G是群,H是G的非空子集,则 H≤G ⇔ ∀a,b∈H, ab−1∈H 证 充分性. H ≠ ∅ ⇒∃b∈H b∈H ⇒ bb−1∈H ⇒ e∈H ∀a, a∈H ⇒ ea−1∈H ⇒ a−1∈H ∀a,b, a,b∈H ⇒ a,b−1∈H ⇒ a(b−1)−1∈H ⇒ ab∈H 定理3 G是群,H 是 G 的有限非空子集,则 H≤G ⇔ ∀a,b∈H, ab∈H 证明见教科书.
定义 设G为群, H是G 的非空子集,若H 关于G 中运 算构成群,则称 H 为G 的子群,记作 H≤G. 如果子群H 是G 的真子集,则称为真子群,记作H<G. 说明:子群H 就是G 的子代数. 假若H 的单位元为 e’, 且 x 在H 中相对 e’ 的逆元为 x’, 则 xe’= x = xe ⇒ e’ = e xx’ = e’ = e = xx−1 ⇒ x’= x−1
第10讲正规子群与群论的基本课题.ppt

1)(b∈G,h∈H) b1hb =k ∈H . ■
9
第10讲 正规子群与群论的基本课题
例2 交换群的每个子群都是正规子群.
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h)
因为, bH={bh: h∈H}, 显然有bH = Hb.
b1h b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
设H是群G的一个子群,I是G关于H的左陪集代表系, 在左陪集
空间{G/H}l ={aH: a∈I}上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是=由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的,它必
须与代表元的选择无关,即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗? 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
aH bH={xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
3
第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
思路就成了天空中的雨后彩虹—--仅供欣赏! 于是,人们就把这样的群叫做单群. 研究单群就是群论的基本课题之一. (有限单群的分类问题)
7
第10讲 正规子群与群论的基本课题 反之,如果已知群G的正规子群H和相应的商群G/H≌N, 问: 能否由H和N来确定G的结构?
或者说: 已知两个群H和N,是否有一个群G使得 H◁G 且 G/H≌N?
3) (b) b1 Hb=H 4) (b) b1 Hb H
代数学基础课件群和子群的基本概念

a*b=b*a=e,其中e为单位元 。
群的例子
01
02
03
整数加法群
整数集合和加法运算,单 位元为0,逆元为-a。
矩阵乘法群
n阶矩阵集合和乘法运算 ,单位元为单位矩阵,逆 元为矩阵的逆。
置换群
n个元素的集合和所有可 能的置换,单位元为恒等 置换,逆元为元素的逆置 置换。
要点一
总结词
向量表示法是将群中的元素表示为向量,利用向量的加法 、数乘和向量的模等性质来描述群的结构和性质。
要点二
详细描述
向量表示法适用于连续群或无限群,通过将群中的元素表 示为向量,可以更好地描述群的连续性和无穷性。这种方 法在物理学、工程学等领域有广泛应用。
符号表示法
总结词
符号表示法是一种简洁的表示群和子群的方法,通过 符号的组合和运算规则来描述群的结构和性质。
群具有单位元和逆元,满足结合 律、交换律和幺半群的定义。
群的基本性质
01
02
03
04
封闭性
群中的任意两个元素通过二元 运算得到的仍然是群中的元素
。
结合律
群中的任意三个元素按照任意 顺序进行二元运算,结果都相
等。
单位元存在
存在一个元素e,使得对于群 中的任意元素a,都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
单位元
群中存在一个单位元e,使 得对于群中任意元素a,都 有ea=a和ae=a。
逆元
群中任意元素a都存在一个 逆元a',使得aa'=e和 a'a=e。
子群的运算规则
子群必须是封闭的
子群必须具有逆元
子群中的元素按照群中的运算规则进 行组合时,结果仍属于子群。
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本科生代数论文课题:论述全特征子群,特征子群与正规子群之间的关系班级:2011级应用数学班姓名:xx学号:xxxxxxxx专业:xxxxxxxxxxx学院:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师:xxxx摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述,如:全特征子群,特征子群,正规子群等等。
从而推导出全特征字群,特征子群,正规子群间的关系。
本文先从全特征子群开始研究,依次为特征子群,正规子群。
经过本文对全特征字群,特征子群,正规子群的研究,我发现了其规律:全特征子群包含与特征子群,特征子群包含于正规子群。
一.陪集的引入定理1 设H是群G的一个子群,a∈G。
则称群G的子集aH={ax|x∈H}为群H关于子群H的一个左陪集。
而称Ha={xa|x∈H}为群G关于子群H的一个右陪集。
左陪集的相关性质:⑴如果a∈H,则a∈aH。
⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH⑷aH=bH,即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H(b ∈H)⑸若aH∩bH≠空集,则aH=bH定理2 设H,K是群G的两个子群,则群G关于交H∩K的所有左陪集,就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。
即有:c(H∩K)=cH∩cK。
定理3如果用aH,bH,cH,…表示子群G中的所有不同的左陪集,则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。
而称{a,b,c, …}为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解:G=H a ∪H b ∪Hc …。
则称{ a ,b ,c ,…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1:取S的子群H={(1),(12)},则(1)H={(1),(12)},H(1)={(1),(12)},(13)H={(13),(123)},H(13)={(13),(132)},(132)H={(132),(23)};H (123)={(123),(23)}。
则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H(123)。
定理4群G中关于子群H的互异的左(或右)陪集的个数,叫做H在G的指数,记为:(G∶H)。
定理5设H是有限群G的一个子群,则:|G|=|H|(G∶H),从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。
推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。
例2:由于S(3)=6,故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。
例如:子群H={(1),(12)}的阶是2,指数是3,且有|S(3)|=|H|(S(3):H),即6=2 ▪3。
定理6设G是一个有限群,又K≤H≤G,则:(G∶K)(H∶K)=(G∶K)。
二.自同构群的定义定理1 设M是一个有代数运算的集合(不必是群),则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M 的自同构群。
证明 设,στ是M 的任意两个自同构,则,a b M ∀∈,有()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====即στ也是M 的一个自同构。
这表明,全体自同构关于变换 的乘法封闭。
又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==,故111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。
群的定义的第3条成立。
另外,变换的乘法显然满足结合律,且恒等变换就是单位元,群的定义的第1、2条也成立。
所以,M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
推论1 群G (在定理1中取M G =)的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
这个群叫作群G 的自同构群,记作A u t G 。
由上面,如果||G n =,则A u t n G S ≤。
例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。
解 4A u t K σ∀∈。
由于σ是自同构,必有()e e σ=(幺元变成幺元)。
又由于σ是双射,因此()()()eabcea b c σσσσ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。
每个全排列不一定都是自同构,但根据4K 的运算特点,可以验证这些全排列都是4K 的自同构。
例如,设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====,则可以验证它是4K 的自同构:()()()()ab c c ba a b σσσσ====,()()()()ac b a bc a c σσσσ====, .由于,,a b c 的全排列共有6 个,与3S 同构,因此4K 的全体自同构也有6 个,43A u t K S ≅。
2.循环群的自同构群定理2 (1)无限循环群的自同构群是一个2阶循环群; (2)n 阶循环群的自同构群是一个阶的群,其中()n ϕ 是欧拉函数(即小于n 且与n 互素的正整数的个数)。
证明 由于在同构映射下,循环群的生成元与生成元相对应, 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
因此,一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。
例如,设G a =<>是由a 生成的循环群,则当k 是小于n 且与n 互素的正整数时,ka 也是G 的生成元,即k G a =<>。
此时,令:k G G σ→,()kk a a σ=,则有()iikk a aσ=,且i ja a≠时,()()i jk k a a σσ≠,()()()()()iji ji j kik jki jk k k k a a aaa aa a σσσσ++⋅====,即k σ是G 的自同构。
由于无限循环群只有2个生成元,n 阶循环群只有()n ϕ个生成元,所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。
例2 (1)求G a =<>,||4a =,4阶循环群的自同构群。
解 (4)2ϕ=,两个生成元为3,a a ,从而{},A u t G εσ=,其中2323e a a a e aaa ε⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭是恒等置换,2332e a a a e aaa σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。
(2)求G a =<>,||5a =,5阶循环群的自同构群。
(5)4ϕ=,4个生成元为234,,,a a a a ,从而{}123,,,A u t G εσσσ=,其中,ε是恒等置换,2341243ea a aa eaaa a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭, 2342342ea aa a e aaaa σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭,2343432e a a a a e aaaa σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。
推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。
证明 由定理2知,这两种群的自同构群都是2阶群,2是素数,所有2阶群都彼此同构,都与2次单位根群同构。
3. 内自同构群定理3 设G 是一个群,a G ∈,则(1)1:,()a x axa x G σ-→∀∈是G 的一个自同构,称为G 的内自同构; (2)G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群,称为 G 的内自同构群,记为In n G ; (3)In n A u t G G 。
证明 (1)易知aσ是G 的一个双射变换。
又111()()()()()()a a a xy a xy a axaayax y σσσ---===,所以aσ是G 的一个自同构。
(2)设aσ与bσ是G 的任何两个自同构,则x G ∀∈,1111()(())()()()()()a b a b a ab x x bxb a bxb aab x ab x σσσσσσ----=====, 即有ab abσσσ=仍是一个内自同构,此表明In n G 关于变换的乘法封闭。
又易知()11In n a aG σσ--=∈,且eσε=是幺元,结合律显然成立,所以In n G 关于变换的乘法作成一个群。
(3),A u t In n aG G τσ∀∈∀∈,x G ∀∈。
令1()x y τ-=,即()y x τ=,则1111()()()()()()()()()()a a a x y ayaa y aa x a x ττσττσττττττσ----=====, 由x 的任意性有1()In n a a G ττστσ-=∈,所以In n A u t G G 。
注意:设N G ,则a G ∀∈有1aN aN -⊆,即()a N N σ⊆,亦即N对G 的任何内自同构都保持不变;反之,若G 的一个子群有此性质,则它必是G 的正规子群。
这就是说,G 的正规子群就是对G 的任何内自同构都保持不变的子群:,()In n N G G N N σσ⇔∀∈⊆ 。
因此,也常称正规子群为不变子群。
群的中心: 称(){|,}C G a ax xa x G ==∀∈为群的中心,即群G 的中心就是与G 的所有元素都可交换的元素组成的集合。
根据中心的定义,显然有()C G G 。
三、有关群的定理定理1 设H 是群G 的一个子群,如果H 对G 的每个自同态映射都不变,既对每个自同态映射φ都有φ(H )∈H, 则称H 为群G 的一个全特征子群。
定理2 对群G 的所有自同构都不变的子群,亦即对G 的任何自同构ε都有 ε(N )∈N的子群N ,叫做G 的一个特征子群。
定理3 设N 是群G 的一个子群,如果对G 中每个元素a 都有 aN=Na,则称N 是群G 的一个正规子群。
定理4 设群G 的子群H 由有限个元素构成,即H={a,b,c, …n}则称H 为G 的一个有限子群。
例1:H≦G,且H 有有限个元素构成,H={a,b,c, …n},则称H 为G 的一个有限子群。
四、讨论全特征字群,特征子群,正规子群间的关系证明:①因为G与e都是G的特征子群,特征子群一定是正规子群显然反之不成立。
例如,由于Klein四元群是交换群,它的每个子群都是正规子群,因此由已知可得N={e,a}是Klien的一个正规子群,但它不是Klien的特征子群。
是Klien的一个自同构,然而却有θ(N)={e,b}≠N②同理G与e都是群G的全特征子群,显然。
且全特征子群一定是特征子群显然。
反之不成立。
例如:群G的中心C是G的一个特征子群。
证明:任取c∈C,x∈G, θ∈AutG,则θ(c)x=θ(c)[θ(θ(x))]= θ[cθ(x)]=θ[θ(x)c]=θ[θ(x)]θ(c)=xθ(c)即θ(c)∈C, θ(c) C,即C是G的一个特征子群。
但应注意,群的中心不一定是全特征子群。
例如:有理数域Q上的2阶线性群G=GL(Q)的中心(Q上所有2阶纯量矩阵)不是全特征子群。
证明:任取A∈G,即A为有理数域Q上一个2阶满稚方阵,则ㄧAㄧ是个有理数。