正规子群和商群
群论的分支规则
群论的分支规则群论是数学的一个分支，主要研究的是抽象代数结构——群。
群论的分支规则是指在研究群的过程中，如何将一个大的群分解为更小、更简单的子群。
这些子群之间有一定的关系，可以帮助我们更好地理解和研究整个群的性质。
群论的分支规则主要包括以下几点：1. 正规子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H满足条件(a) H本身是一个群；(b) H中任意两个元素的乘积仍在H中；(c) G中任意一个元素与H中任意一个元素的乘积仍在G中。
那么H 就是G的一个正规子群。
正规子群具有传递性，即如果H和K都是G 的正规子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
2. 商群：设G是一个群，H是G的一个正规子群，那么由G中所有与H无关的元素组成的集合（记作G/H）以及G/H上定义的运算（即将G中的元素g和H中的元素h映射到G/H中的(gH)），就构成了一个群，称为G关于H的商群。
商群可以看作是将G分解为不相交的正规子群H的并集。
3. 循环子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个元素g∈G，使得对于任意的h∈H，都有gh=hg。
那么称H为G 的一个循环子群。
循环子群具有封闭性，即如果H是G的一个循环子群，那么H的任何非空子集也是循环子群。
4. 交换子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H中任意两个元素的乘积都在H中，那么我们称H为G的一个交换子群。
交换子群具有传递性，即如果H和K都是G的交换子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
5. 幂零子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个正整数n，使得hn=e（其中e是G的单位元）对于任意的h∈H都成立，那么我们称H为G的一个幂零子群。
幂零子群具有传递性，即如果H和K都是G的幂零子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
通过以上分支规则，我们可以将一个复杂的群分解为更小、更简单的子群，从而更好地理解和研究整个群的性质。
近世代数--正规子群与商群
练习
1.设N G,且[G : N ] 2,证明: N G.
2.设N G, 证明 : N G NG (N ) G.
作业
教材P69第1,4题
第八节 正规子群与商群
• 正规子群的定义 • 正规子群的等价性命题 • 商群 • 小结
设H G,若
一、正规子群的定义
定义 设N G, 若a G, 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1 任意一个群G都有两个正规子群e与G,
这两个正规子群称为G的平凡正规子群.
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana1 n1 N
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a1Na N n N, a1na N 于是n a(a1na)a1 aNa1 N aNa1 aNa1 N
则(G / N,)是一个群. G / N称为G关于N的商群.
推论 商群G / N的阶是N在G中的指数[G : N ],
当G是有限群时, G / N的阶是 | G | . |N|
四、小结
1.正规子群: G中每个元素a对应的左陪集aN和 右陪集Na都相等;
2.正规子群的等价性命题:它既是正规子群的性质， 也是正规子群的判定定理；
(4) (5)aN,a N ana1 aNa1 N ana1 n1, n1 N an n1a Na aN Na 反之, n N aNa1 n an2a1, n2 N na an2 aN Na aN 故aN Na
3-2正规子群和商群
因为 H (13) = {(13), (123)}
(12) N = {(12), (23), (13)} = N (1 2)
的不变子群. ，所以 N 是 G 的不变子群.
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二、正规子群的性质 性质1 性质1 设 N ≤ G ，则 N 是 G 的不变子群 ⇔ ∀a ∈ G ,有 aN = Na
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G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
四、商群
N
关于
G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
定义 2
G ，则称 G / N = { aN | a ∈ G } 关于 aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成的群为 G 关于
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五 商群的应用
定理5 是一个pn阶有限交换群 其中p是一个素数 定理 设G是一个 阶有限交换群 其中 是一个素数 则 是一个 阶有限交换群,其中 是一个素数,则 G有p阶元素 从而有 阶子群 阶元素,从而有 阶子群. 有 阶元素 从而有p阶子群 证:
对n用数学归纳法. 当n = 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为pk(1 ≤ k < n)的交换群成立, 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a ≠ e, 若p a , 令
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例
n次交代群 A n 是n次对称群 Sn的一个正规子群 . 证 :由于任意 n次置换 σ与其逆 σ −1有相同的奇偶 性, 从而易知 σA nσ A n > Sn .
710 正规子群与商群
正规子群与商群Normal Subgroup and Quotient Group●设(H, ⋅) 是群(G, ⋅) 的一个子群，若对于任意g∈G，有gH = Hg，则称(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的正规子群(normal subgroup)或正则子群、不变子群，记作H G●在正规子群中左陪集和右陪集相等，因此统称为陪集●例◆Abel群的子群都是正规子群◆n是的正规子群●定理◆群(G, ⋅)的子群(H, ⋅)是(G, ⋅)的一个正规子群当且仅当对于任意g∈G，h∈H，有ghg-1∈H●证明◆ (必要性)对于任意g∈G, h∈H，由于gH=Hg，存在h1∈H使得gh=h1g，即ghg-1= h1∈H◆（充分性）即证明对于任意g∈G，gH=Hg•对于任意h∈H，gh∈gH，由于ghg-1∈H，存在h1∈H使得ghg-1=h1，即gh = h1g∈Hg。
这表明gH⊆Hg•类似地可以证明Hg⊆gH。
于是gH=Hg，即H 是G的一个正规子群设(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的一个正规子群，定义G/H为{ Hg|g∈G } ，对于任意Ha, Hb∈G/H 定义G/H上的运算◦为Ha◦Hb=Hab。
则(G/H, ◦) 构成一个群，称为G关于H的商群（quotient group）。
G/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(1) 首先证明◦运算是良性定义的：即若Ha=Hx且Hb=Hy，则Hx◦Hy = Ha◦Hb•若Ha=Hx=xH，Hb=Hy=yH，则对于任意h∈H，, h2∈H使得hab=xh1b=xyh2∈xyH。
由此得存在h1到Hab ⊆xyH = Hxy•类似地可以证明Hxy ⊆Hab•因此有Hxy = HabG/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(2) ◦运算的封闭性是显然的。
◆(3) ◦运算的结合性由群(G, ⋅) 上运算的结合性易得◆(4) G/H中存在关于◦运算的单位元He=H◆(5) G/H中任何一个元素都存在关于◦运算的逆元：(Ha)-1= Ha-1◆因此(G/H, ◦)构成一个群●G = {π0, π1, π2, π3} ●S = {π0, π1}，T = {π2, π3} ●S 是 G 的正规子群 ●G /S = {S , T }●(G /S , ◦) 是一个商群 π0 = 1 2 3 4 1 2 3 4 π2 = 1 2 3 4 1 2 4 3π1 = 1 2 3 4 2 1 3 4 π3 = 1 2 3 4 2 1 4 3 ◦ {π0, π1} {π2, π3} {π0, π1} {π0, π1} {π2, π3} {π, π} {π, π} {π, π}The END。
近世代数课件--1.5正规子群与商群
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
§5
正规子群与商群
定义 5.1 件:
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§5
正规子群与商群
为了进一步讨论右陪集,先引入如下定 义:对于群 G 的任意非空子集 A 和 B ,我们 将集合
{ab | a A, b B}
称为 A 与 B 的乘积,记作 AB . 特别 地,当
A {a} 时,可将 AB 简记作 aB ;当 B {b} 时,
(a b) (a1 b1 ) (a a1 ) (b b1 ) ,
立即可知， n | (( a b) (a1 b1 )) ,从而,
a b a1 b1 (mod n) .
“ 是 (2)由(1)可知, ” Z n 上的代数运算.
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AH HA H .
命题 5.7 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 子群.那么,对于任意的 a G , H 的以 a 为代表 的右陪集为 [a] Ha .
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§5
正规子群与商群
证明 我们有
正规子群与商群
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 a ～ b 和 b ～ c 总可以推得 a ～ c ,则称～具有传递 性. (4)若～同时具有自反性、对称性和传 递性,则称～是 A 上的一个等价关系.
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正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
正规子群与商群
G/H={a | a∈G }。
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定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关 于H的商群。
证明: 不难证明子集乘法:
aH，bH∈G/H， aH·bH ={ah1bh2|h1，h2∈H}
是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。 且G/H中有单位元H:
aH ∈G/H，aH·H=H ·aH=aH。
⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H )；
⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H.
推论2 设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是 交换群。
推2论0213/8/有6 限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End9
又任意aH∈G/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。
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例: 在(Z，+)中， Hm=<m>是正规子群， Z/Hm=Z/(m)={ 0,1,2,,m1 }， 即整数模m的同余类群。
一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。
根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则
§2.2 正规子群与商群
( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group)
前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与 右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性 的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群 的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。
2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup)
(2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H
(4) a ∈G，有aHa-1= H
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(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
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性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H I N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H I N 因此H I N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
解：因为 H(13) {(13),(123)}
(13)H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
所以 N 是 G 的不变子群.
定理 设 N G ，则 N 是 G 的正规子群
a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N a G ,有 aNa1 N
由前面讨论可知：由不变子群确定的群的左右陪集分解是 一回事，即由此得到的左右商集是一致的。
叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
性质3 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
（留作练习） 我们知道“子群”的概念具有传递性:
N H，H G N G
那么“正规子群”是否也具有传递性呢？
例 S4中，K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} B4 {(1), (12)(34)}
5g N ,a G,
a 5g (a) 5g N N G
G / N [0],[1],[2],[3],[4]
性质2证明
假定H是G的子群，N是G的不变子群，证 明，HN是G的子群. 证明：
h1n1, h2n2 HN , (h1, h2 H , n1, n2 N )
③ (aNbN )cN aN(bNcN ) (abc)N ，有结合律；
④ (eN )(aN ) aN ,有左单位元 eN N ；
⑤ (a1N )(aN ) eN ,每个元有逆元.
对于商群：
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N]N ] ＝ G .
bN G / N (b G),则r Z , b ar bN ar N (aN )r
所以 G / N {bN | b G} (aN )为循环群.
从商群的角度重新认识剩余类加群
Zn
第一，回忆剩余类加群。 第二，重新认识 Zn。设
G Z(整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
例2 交换群的子群都是正规子群.
设G是交换群，H G，a G,都有
aH {ah | h H} {ha | h H} Ha
例3 任意群 G,
中心是正规子群吗？
C(G) {c G | a G, ca ac}
称为 G 的中心.
证明：a G,ea ae a,eC(G),C(G)
x, y C(G), 对a G, xa ax, ya ay
(xy)a x( ya) x(ay) (xa) y (ax) y a(xy), xy C(G) 且x1a x1ae x1axx1 x1(ax)x1 x1(xa)x1 ax1, x1 C(G) 因此C(G) G.
B4 K 4 , K4 S4 , B4 不是 S4 的不变子群.
注： N H, H G ，但 N 未必是 G 的不变子 群，即无传递性.
补例1 设 G 为整数加群, N 5g g G
（1）证明 N G ；（2）求 G / N.
5 g1, 5 g2 N
5g1 5g2 5( g1 g2 ) N N G
第8节 正规子群和商群
定义 例子 等价条件 商群
这一节里要讲到一种重要的子群，就是正规子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H的一个右陪 集 Ha 未必等于 H的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
伽罗华在180年多前发现，对任意群G， H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与 Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子 群H则具有特别重要的意义，他把这类子群
另外aC(G) {ac | c C(G)} {ca | c C(G)} C(G)a C(G)是G的不变子群.
注：含于群的中心的子群都是正规子群.
G S3 {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} H {(1), (12)} N {(1), (12 3), (1 3 2)}
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
5)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群.
证明：设G (a) 为循环群,N G ，因循环群为交换群， 且循环群的子群为循环群，故 N G.
问：H G ，SL {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理：N G，G / N {aN | a G} 关于乘法 aN bN (ab)N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于N 的商群.
证明：① N =eNG / N ，故非空；
② 乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）： aN aN ,bN bN ,(aN )(bN ) (ab)N ,(aN )(bN ) (ab)N n1, n2 N , a an1, b bn2 ab a(n1b)n2 a(bn3 )n2 abN abN abN