Sylow子群的极大子群次正规的群
【精品】有限群的几乎次正规子群及可解性
【关键字】精品有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。
关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。
1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。
2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。
2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。
本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。
文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g表示h是g 的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集；(g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。
所用的概念和符号参照文献[4]。
1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh 和n∩h都是g的次正规子群。
注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。
但反之不真。
事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g 的s-正规子群，也不是g的次正规子群。
h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。
为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。
非正规子群是Sylow子群的有限群
非正规子群是Sylow子群的有限群褚智伟【期刊名称】《《南通大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(018)002【总页数】4页(P87-90)【关键词】有限群; 非正规子群; 共轭; Sylow子群【作者】褚智伟【作者单位】南通师范高等专科学校学前教育第一学院江苏南通 226006【正文语种】中文【中图分类】O152.1研究子群的正规性与有限群结构的关系是有限群的重要课题之一。
著名的Dedekind 群就是每个子群都正规的有限群。
这里我们讨论其对偶问题：非正规子群的性质对有限群结构的影响。
Sylow 子群是有限群中最重要的子群，它的正规性影响到群的幂零性，又是群性质和数量性质沟通的桥梁。
文献[1-2]研究了子群的性质对有限群结构的影响；文献[3]给出了恰有p 个相互共轭的非正规子群的有限群结构；文献[4]给出了非正规子群的共轭类类数为4的有限幂零群；文献[5-10]给出了恰有2，4，5，6，7 个非正规子群的有限群及有限NN-群的非正规子群的有限群结构。
本文将研究非正规子群为Sylow 子群的群结构，从数量性质出发探讨群结构的存在性。
1 预备知识和相关引理本文中涉及的群均为有限群。
Pr表示群G 的Sylow r-子群；nr表示群G 的Sylow r-子群的个数；表示群G 的非正规子群的共轭类类数；τ(G)表示群G 中非正规子群的个数；π(G)表示群G 的阶所含全体素因子的集合；表示与H 共轭的子群的个数。
首先，我们介绍几个有用的引理。
引理1[11]若G 为有限群，则如下命题等价：1）。
2）是一个非交换可裂扩张，其中N 为素数阶循环群，P 为素数幂阶循环群，，即，其中：p=2 时，n ≥3；p ≥3 时，n ≥2。
引理2[12]若G 为有限非幂零群，，P为G 的非正规的Sylow p-子群，则G 中除Sylow p-子群外，其余Sylow 子群都正规于G。
当P ＜ NG(P)时，，其中是一非交换可裂扩张，。
关于有限群超可解性的一种新判定方法
关于有限群超可解性的一种新判定方法刘阿明;李保军;黄程【摘要】利用子群的弱s-置换性质研究超可解子群的积的问题,并给出群的超可解性的一些判别方法.设群G可以表示为2个子群A和B的积,A在G中拟正规且B为超可解,如果A的Sylow子群的所有极大子群在G中弱s-置换,则G为超可解群.从而得到1个群为超可解群的这样的一种新判别法.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2014(029)006【总页数】4页(P665-668)【关键词】基础数学;代数学;有限群;超可解群;Sylow子群;拟正规子群;弱s-可置换【作者】刘阿明;李保军;黄程【作者单位】成都信息工程学院应用数学学院,四川成都,610225;成都信息工程学院应用数学学院,四川成都,610225;成都信息工程学院应用数学学院,四川成都,610225【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言讨论的群皆为有限群文中未交代的符号和定义都是标准的[1－2]。
群的超可解性的描述和判定是有限群研究的重要课题之一。
不同于幂零群或可解群，2个正规子群之积不一定为超可解子群。
因此2个超可解子群乘积的结构以及超可解子群的积仍为超可解群的条件成为广受关注的研究内容。
譬如，Baer[3]证明了，如果G为2个正规超可解子群之积，且G'(群G的换位子群)幂零，则G为超可解群;Friesen[4]证明2个指数互质的正规的超可解子群之积仍为超可解群;文献[5－6]等讨论了非正规超可解子群的积为超可解的一些条件。
近年来，群论专家们在对群的超可解性的研究中，引入许多新的研究工具和子群性质，其中被广泛关注的内容是A Skiba[7]提出的子群弱s-置换性质。
定义1[7]:G是有限群，H≤G，称H在G中是弱s-可置换的，如果存在H的1个次正规子群T使HT=G，并且H∩T≤HsG，其中HsG是由H的所有在G中s-可置换的子群生成的子群。
借助子群的弱s-置换性质，研究超可解子群的积的问题，并给出群的超可解性的一些判别方法证明以下定理:定理1 设G=AB，其中A在G中是拟正规的且B为超可解的。
第三章 正规子群和群的同态与同构
_
_
_
G ~ G，
_
例 令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通 乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法 作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！ 负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的 集合，叫做 ϕ的核 ，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合， 叫做
ϕ的象集 ，记为 Im ϕ .
结论： 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
(完整word版)正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
所有极大子群皆交换或正规的有限群
所有极大子群皆交换或正规的有限群雒晓良;秦鑫【摘要】本文研究了极大子群或者交换或者正规的有限群的结构.首先我们证明了这类群为可解群并且G/f(G)幂零.其次通过分析这类群的子群,给出了这类群的一个充要条件以及一些结构性质.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)001【总页数】3页(P1-3)【关键词】可解群;极大子群;幂零长;A-群;非幂零群【作者】雒晓良;秦鑫【作者单位】吕梁学院数学系,山西离石,033000;吕梁学院数学系,山西离石,033000【正文语种】中文【中图分类】O152.1每个极大子群都交换的有限非交换群即内交换群由陈重穆老师在文献［1］已经给出了完全的刻画，而每个极大子群都正规的有限群是幂零群，因此自然地我们考虑极大子群或者交换或者正规的有限群.因为幂零群的每个极大子群都是正规的，所以我们在本文中只讨论非幂零的情形.为了证明本文的结论，我们需要一些引理.引理1［2］(Feit-Thompson)设G是有限群，若G是奇数阶群，则G是可解群.引理2设G是有限群，如果G是2-幂零的，则G为可解群.证明已知G是2-幂零的，从而G中存在正规的Hall 2'-子群设为H.此时H是奇数阶群，由引理1知H为可解群，而G/H是2-群且2-群都是可解群，从而G为可解群.引理3［3］设G是有限群，N◁G且N为交换群，若N∩Φ(G)=1，则N在G中有补.引理4［2］设G是有限群，K◁G，则Φ(K)≤Φ(G).引理5［2］［P.Hall三子群引理］设A，B，C是有限群G的子群，N◁G.若［B，C，A］≤N，［C，A，B］≤N，则［A，B，C］≤N.引理6［2］(Deskins，Janko和Thompson)设H是有限群G的极大子群.若H为幂零群，且H的Sylow 2-子群的幂零类小于2，则G为可解群.引理7设G是有限群，H是G的Hall π-子群且NG(H)≤M，则M=NG(M).证明令N=NG(M)，此时M◁N，H≤M且H是M的Hall π-子群，从而由Frattini论断，有N= MNN(H)≤MNG(H)≤M，故可得M=NG(M).定理1如果有限群G的每个极大子群或者交换或者正规，则(1)G是可解群;(2)G的幂零长nl(G)不超过2(即G/F(G)幂零).证明(1)如果存在G的可解正规子群N，而显然G/N满足假设条件，则由归纳法可知G/N可解，从而G可解.故以下假设G中没有可解的正规子群.如果G的所有极大子群都非交换，则由题设可知G的极大子群都正规，即G幂零.从而假设G中存在交换的极大子群M.若M是奇阶群，则由Thompson定理即引理6得G可解.M是偶阶群时，取M的Sylow 2-子群P，显然NG(P)≥CG(P)≥M.而因G中没有可解的正规子群即NG(P)＜G.而又因M是G的极大子群，故NG(P)=CG(P)=M.由Burnside定理得G是2-幂零的，从而由引理2得G可解.(2)设G是极小阶反例.取G的极小正规子群N，因为G/N仍然满足引理条件，所以由G的极小性得nl(G/N)≤2.若M是G的另一极小正规子群，则也有nl(G/M)≤2，于是nl(G)≤max{nl(G/N)}，{nl(G/M)}≤2，矛盾.故我们可设G只有唯一的极小正规子群N.若N∩Φ(G)≠1，则因N∩Φ(G)◁G，由N的极小正规性得N≤Φ(G)，于是nl(G)=nl(G/N)≤2，矛盾.若N∩Φ(G)=1，由引理3可知存在M≤G使得G=M∝N(N和M的半直积).因为N是G的唯一极小正规子群，所以M在G中不正规.此时可证M是G的极大子群，否则存在G的极大子群H，使得M＜H，显然H∩N◁H，而N是可解群G的极小正规子群，即N交换，从而H∩N◁N，于是H∩N◁HN =G，故得H∩N=1，即H与M均为N在G中的补且M＜H，矛盾.从而由引理条件推出M一定是交换群.于是G的幂零长nl(G)≤2，矛盾.引理8设H是有限群G的Hall子群.若G的极大子群或者交换或者正规，则H或者交换或者在G中正规.证明若H在G中不正规，则存在G的极大子群M使得NG(H)≤M.由引理7知M 在G中不正规，即M交换.从而H交换.称有限群G是A-群，如果G可解且其所有Sylow子群都是交换群.Huppert在文献［3］中系统地研究了A-群的性质.引理9设有限群G是非幂零A-群.如果G的每个极大子群或者交换或者正规，则存在G中正规的Sylow子群P使得G/P交换.证明设p∈π(G)，P∈Sylp(G).假设P在G中不正规，则存在G的极大子群M使得NG(P)≤M.由引理7知M在G中不正规，即M交换.从而NG(P)交换，故NG(P)=CG(P)，于是由Burnside定理得G是p-幂零的.故对任意素数p∈π(G)，或者G的Sylow p-子群正规或者G是p-幂零的.令π={p∈π(G)|G的Sylow p-子群正规}.显然π不是空集.设H和K分别为G的Hallπ-子群和Hallπ'-子群，则H是G的幂零的正规子群.对∀q∈π'有G是q-幂零的，从而K是q-幂零的，因此K也是幂零的.因为G非幂零，必然存在H的Sylow子群R，使得KR≤G非交换，由引理8即KR在G中正规即KR/R，◁G/R，而因KR/R≅K幂零，故有G/R=H/R×KR/R幂零，而由题G为A-群，故G/R为A-群.于是G/R交换.定理2设有限群G是非幂零的，则G的每个极大子群或者交换或者正规当且仅当G满足下述条件:(1)存在G中正规的Sylow p-子群P使得G/P交换;(2)令M为G的极大子群，则或M◁G或M=A Z(G)p，其中A是G的某个Hallp'-子群，Z(G)p是Z(G)的Sylow p-子群.证明充分性显然，下证必要性.若G是A-群，则由引理9知G中存在正规的Sylow p-子群P使得G/P是交换的.若G中存在非交换的Sylow子群P，不妨设为Sylow p-子群.由引理8有P◁G.取G的Sylow q-子群Q，其中q≠p.因PQ非交换，由引理8得PQ◁G.故G/P是幂零的.如果G中存在另一个非交换的Sylow子群R，则类似可知G/R幂零，从而G是幂零的，矛盾.因此P是G的唯一的非交换Sylow子群，从而G/P交换.总之，存在G中正规的Sylow子群P使得G/P交换，令P为Sylow p-子群.因为G非幂零，则G/Z(G)非幂零，从而存在G/Z(G)的非正规的极大子群，令为M/Z(G).此时M在G中不正规，从而M是交换的.如果|G/Z:M/Z|是p'-数，则P≤M.从而因G/P是交换群可得M◁G，矛盾.而由定理1知G可解，即G/Z(G)可解，故|G/Z(G):M/Z(G)|是p的幂.令A是M的Hall p'-子群，Mp是M的Sylow p-子群，易知A同样是G的Hall p'-子群并且是交换群.从而G=PA.因G的Sylow p-子群正规，则M=MpA和Mp=Cp(A).结合引理4和P◁G，我们有Φ(P)≤Φ(G)≤M，从而Φ(P)≤Cp(A).此时Cp(A)◁P.此时易知［A，Cp(A)，P］=1和［Cp(A)，P，A］=1.从而由三子群引理5有［P，A，Cp(A)］=，1则因为P=Cp(A)［P，A］得Cp(A)≤Z(P).故Cp(A)≤Z(G)，于是Cp(A)=Z(G)p.因此M=AZ(G)p.【相关文献】［1］陈重穆.内外Σ群与极小非Σ群［M］.重庆:西南师范大学出版社.1988.［2］徐明曜.有限群导引(上，下)［M］.北京:科学出版社.2001.［3］Huppert B.Endliche gruppen I［M］.Berlin and New York:Springer-Verlag.1967. ［4］李晓华，肖光灿.子群皆次正规或自正规的有限群［J］.四川师范大学学报(自然科学版).2000，23(5):479～481.［5］Luo X L，Guo X Y.Finite groups in which every non-abelian subgroup is s-permutable［J］.Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2009，33 (6):1143～1147.。
p_超可解群的若干充分条件_谢凤艳_闫俊娜
p 是群 G 的素因子，如果 G 有正规子群 E 使得 G / E 为 p超可解群且 E 的每个 Sylow p子 如果 G 有 p-可解正规子群 E 使得 G / E 为 p-超可解群且 E 的每个 Sylow p-子群的极大
群的极大子群在 G 中 s-半置换的，则 G 为 p-超可解群．
q ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ x = Q x H． 从而 ss-半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 中 XN ∩ H = N ∩ HQ x 正规于 HQ x ，即 HQ x ≤ N G （ N ∩ H） ． 因为 N 为交换群，所以 N ∩ H 正规于 N． 又因为 N ∩ H = （ N ∩ E ） ∩ P1 正规于 P1 ，所以 N ∩ H 正规于 NP1 = G p ，故 N ∩ H 正规于 G． 由 N 的极小正规性 从而 G p = P1 ，矛盾． 故 N ∩ H = 1 ． 因为 得 N = N ∩ H 或者 N ∩ H = 1 ． 若 N = N ∩ H，则 N ≤ H ≤ P1 ， N ≤ H， H 是 P 的极大子群且 N ≤ G p ∩ E = P ，所以 P = NH． 故 N = p． = p． 由于 H
x
若（ ii） 成立． 设 P ∈ Syl p （ G ） ，则 N ≤ P． 设 H 为包含在 N 中 P 的极小正规子群，则 H
ssq ≠ p，则存在 x ∈ X 使得 HQ = Q x H． 因 半置换，故存在 T ∈ X ss （ H） ． 设 Q ∈ Syl q （ T） ，其中， 在 G 中 Xx 为 N 为初等交换群，所以 H 正规于 N． 因为 N 正规于 G ，所以 H 是 G 的次正规子群． 由于 Q ∈ Syl q （ G ） ，所 x x x q｝ 群． 故 H ∈ Syl p （ HQ x ） 且 H 是 HQ x 的次正规子群， 从而 H 正规于 HQ ， 以 HQ 为｛ p， 即 Q ≤ N G （ H） ． 又
2_极大子群次正规的有限群的一个注记_郭鹏飞
2006年第27卷第2期中北大学学报(自然科学版)V ol.27 N o.2 2006 (总第106期)JOURNAL O F NORTH UNIVERSIT Y O F CHINA(NATURAL S CIENCE EDITION)(Sum No.106)文章编号:1673-3193(2006)02-0115-032-极大子群次正规的有限群的一个注记郭鹏飞1,2(1.山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;2.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港222006)摘 要: 设H是有限群G的一个子群,若存在G的极大子群K,使得H是K的极大子群,则称H为G的一个2-极大子群.本文考查了群G的所有2-极大子群均在G中次正规时对有限群G结构的影响,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件;当G的F ratt ini子群为1时,考虑F(G)的所有极小子群均在G中正规及群G阶的素因子之间的关系,得到群G幂零的一个充分条件.关键词: 次正规子群;正规子群;极小子群;内幂零群中图分类号: O152 文献标识码:AA Note on Subnormal Finite Groups with2-Maximal SubgroupsGU O Peng-fei1,2(1.Scho ol of M athematics and Co mputer Sciences,Shanx i No rma l U niv ersity,L infen041004,China;2.D ept.of M athematics,Lianyungang T eachers′Colleg e,L iany ung ang222006,China)Abstract:A subg roup H of a finite g roup G is said to be2-m ax imal subgr oup in G if ther e is a subg roup K w hich is a max imal subgro up of G such that H is a max imal subgro up of K.A fter taking into account of the impact of all the subnorm al2-m aximal subgroups in G on the str ucture of the finite g roup G,the author has o btained tw o sufficient conditions for finite m inimal non-nilpotent g roups to be super-solv-able,and obtained a sufficient co ndition fo r finite gr oups to be nilpotent by taking into acco unt of the fact that ev er y m inimal subg roup of F(G)is no rmal in G and of the relationship o f the pr im e diviso rs of ûGûw hile (G)=1.Key words:subno rmal subg roups;nor mal subg roups;m inimal subg roups;no n-nilpotent gro ups 设G是一个群,G0,G1,…,G r是G的一些子群,满足1=G rüG r-1ü…üG1üG0=G,则称此群列为G的一个次正规群列,G i(i=0,1,…,r)称为G的次正规子群.次正规子群最早被H.Wielandt[1]研究. T.Foguel于1997年在文献[2]中引入了共轭置换子群的概念:群G的子群H称为G的共轭置换子群,若H H g=H g H,对任意g∈G都成立,记为H<c-p G.在文献[3]中,张勤海等证明了:设群G的2-极大子群均在G中共轭置换,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零.由文献[2]知,共轭置换子群是次正规子群.本文在文献[3]的基础上,将条件“共轭置换”减弱为“次正规”,考虑群G的2-极大子群次正规的情况,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件,并且对Fitting子群F(G)的每个极小子群正规于G的情况进行了研究,得到群G幂零的一个充分条件.本文考虑的群均为有限群,所用群论术语、符号可参阅文献[4],内幂零群的结构见文献[4].特别地,H sn G表示H为G的次正规子群,M<G表示M为G的真子群,P(G)表示ûGû的不同素因子的个数.X收稿日期:2005-10-29 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471085);山西省自然科学基金资助项目(20051007);教育部科学技术研究重点项目(10203);山西省回国留学人员基金资助项目 作者简介:郭鹏飞(1972-),男,讲师,博士生.主要从事群论的研究.116中北大学学报(自然科学版)2006年第2期1 预备知识引理1[5] 设G为有限群,ûGû=q s p r,p,q为素数,q sû(p-1),s=1,2,则G超可解.引理2[6] 设G为有限群,G=Z1Z2…Z n为两两可换的循环群Z i的乘积,则G为超可解.定义1 对于有限群G的阶之任一约数d,若存在G的d阶子群,则称群G为CLT群;群G的所有商群都是CLT群,则G叫做QCLT群.2 主要结果定理1 设群G的2-极大子群均在G中次正规,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零,且当G内幂零时,不妨设G=P Q,其中PüG,QüG,P∈Syl p(G),Q∈Syl q(G);若qû(p-1),则G超可解.证明 若P(G)≠2,由于极大次正规子群是正规的,所以由假设可知,G的每一极大子群均幂零.若G非幂零,则G内幂零,从而P(G)=2,与P(G)≠2的假定矛盾,故G幂零.考虑P(G)=2.设ûGû=p a q b,G为内幂零群.若b≤2,由引理1可知,G超可解;若a=1,由引理2可知,G超可解.故可设a≥2且b≥3.由于G可解,所以P M<・G,有ûG:Mû=r i(r=p或q).下证i=1.(a)若ûG:Mû=q i(i≥2),则P≤M.由于M幂零,不妨设M=P×Q i,其中ûQ iû=q b-i,必存在Q i+1,使Q i<・Q i+1<Q g(g∈G).令T=PQ i+1,则M<・T<G,与M<・G矛盾,故ûG:Mû=q.(b)若ûG:Mû=p i(i≥2),则存在Q g∈Syl q(G)(g∈G),使Q g≤M.由于M幂零,不妨设M=P i×Q,其中ûP iû=p a-i.1)若P i=1,即M=Q.设N<・M,有ûM/Nû=q.由N=5(Q)≤Z(G)可知,NüG,从而ûG/Nû=p i q.又qû(p-1),由引理1得G/N超可解,故ûG:Mû=ûG/N:M/Nû=p.与假设矛盾,所以i=1.2)若P i>1,取P i-1<・P i<P,令R=P i-1×Q,则R<・M<・G.由题设可知,R sn G.又因为QüR,所以Q sn G.由于次正规的H all子群是正规的,所以QüG,与内幂零群的定义关系矛盾,故ûG:Mû=p.由以上讨论可知,P M<・G,均有ûG:Mû为素数,故据Huppert定理可知,G超可解.注1 定理1中假设条件“qû(p-1)”不可去.下面的例子说明存在非超可解的内交换群G,其阶为p2q且qù(p-1),但它的2-极大子群均在G中次正规.例如:设G=(〈c1〉×〈c2〉)×〈a〉≌(Z5×Z5)×Z3,其中a3=c51=c52=1,c a1=c2,c a2=c41c42.下证G中不存在15阶子群.若否,设H为G的15阶子群.因为15阶子群均为循环群,从而H= Z3×Z5,即c a1=c1或c a2=c2,与假设矛盾,所以G中必无15阶子群,从而G的极大子群的阶只能为3,5, 25.对P1<・P∈Syl5(G),由于PüG且P为初等交换群,所以G的2-极大子群均在G中次正规.但G 有一个主群列1ü〈c1〉×〈c2〉üG,其主因子〈c1〉×〈c2〉的阶不为素数,故G非超可解.定理2 设群G的2-极大子群均在G中次正规,且G是QCLT群,则G超可解.证明 设G为极小阶反例.由定理1可知,G为内超可解群.显然,群G的2-极大子群均在G中次正规是商群遗传的.由QCLT群的定义可知,定理条件商群遗传,所以G为极小非超可解群.由文献[7]知,G同构于下述群之一:(a)p n q阶内交换群,qù(p-1);(b)p n r p阶群,p n-1‖(r-1),n≥2;(c)8r2阶群,4û(r-1);(d)p n+m r p阶群,m≥2,p max(n,m)û(r-1);(e)p n+m+1r p阶群,p max(n,m)û(r-1);(f )p n qr p 阶群,p n q û(r -1),p û(q -1).由上述群(c )～(e )的定义关系可知,G 中不存在循环的Sylow 子群.群(f )中,P (G )>2,与内幂零群的定义关系矛盾.由p n q 阶内交换群的定义关系易知,G 中不存在p n -1q 阶子群,非QCLT 群,所以(a)不成立.由(b)的定义关系易知,G 中不存在p n rp -1阶子群,非QCLT 群,与假设矛盾.所以极小阶反例不存在,从而得G 超可解.注2 定理2中假设条件“群G 是QCLT 群”不可去.如A 4满足“群G 的2-极大子群均在G 中次正规”,但非超可解.定理3 设G 是有限群,5(G )=1.若F (G )的所有极小子群均在G 中正规,且P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),则G 幂零.证明 对ûG û用归纳法.(a)假设ûF (G )û为素数p ,由P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),可知G 为奇阶群.由Feit-Thom pson 定理知G 可解,从而C G (F (G ))≤F (G ),进而C G (F (G ))=F (G ).易知F (G )为G 的p -Sy low 子群.此时断言P (G )必为1;否则,设ûG û=p A 11p A 22…p A s s (s ≥2,p 1=p ).P Q ∈Syl q (G ),q ≠p ,令T =F (G )Q ,则Q ≌T /F (G )ïAut (F (G ))≌Z p -1,故q û(p -1),与假设矛盾,从而G 幂零.(b)假设F (G )不为G 的极小子群,取K 为F (G )的极小子群.不妨设ûK û=p .1)若C G (K )=G ,因为5(G )=1,所以存在H <・G ,使得G =K ×H 且5(H )≤5(G )=1.而F (H )≤F (G ),由归纳法可知H 幂零,从而G 幂零.2)若C G (K )<G ,由N /C -定理可知,G /C G (K )ïAut(K )≌Z p -1,故必存在某素数q ,使q û(p -1),与定理假设矛盾,所以C G (K )=G .与假设矛盾,从而G 幂零.由(a ),(b )可知,G 幂零.注3 定理3中假设条件“P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1)”不可去.如S 3满足其余条件,但非幂零.参考文献:[1] W ielandt H .Eine ver allg emeinerung der invar ianten unter g ruppen [J ].M at h .Z .,1939,45:209-244.[2] F og uel T .Conjug ate-per mutable subgr oups[J].Jo ur nel o f A lg ebr a,1997,191:235-239.[3] 张勤海,赵俊英.超可解群的若干充分条件[J].数学杂志,2005,25(4):399-404.Z hang Q H,Z ha o J Y.So me sufficient conditio ns o f finite super solvable gr oups[J].Jour nel o f M athemat ics,2005,25(4):399-404.(in Chinese )[4] 徐明曜.有限群导引.上册[M ].北京:科学出版社,1999:142.[5] 张远达.幂零与可解之间[M ].武汉:武汉大学出版社,1988:42.[6] [德]贝.胡佩特.有限群论.第一卷[M ].福州:福建人民出版社,1992:314.[7] 陈重穆.内外2-群与极小非2群[M ].重庆:西南师大出版社,1988:49.117(总第106期)2-极大子群次正规的有限群的一个注记(郭鹏飞)。