黑龙江省2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题文 Word版
2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二(上)期末数学试卷(理科)
12017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60 分） 1 - （5 分）向量.I’：.； ，若二.二，则 x 的值为（）A.- 3 B. 1 C. - 1 D . 32. （5分）已知函数f （x ） =x+lnx ,则f （1）的值为（ ）A. 1B. 2C. - 1 D .- 2 3.（5分）某学校高一、高二、高三共有学生 3500人，其中高三学生数是高一 学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300人，现在按十的抽样比用分层 抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A . 8 B. 11 C. 16 D . 104. （5分）某公司在2014年上半年的收入x （单位：万元）与月支出 万元）的统计资料如下表所示:马，田忌的中等马优于齐王的下等马， 劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐 王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛， 则田忌获胜的概率y （单位: 根据统计资料，则（ ）A. 月收入的中位数是15,B. 月收入的中位数是17,C.月收入的中位数是16, x 与y 有正线性相关关系 x 与y 有负线性相关关系 x 与y 有正线性相关关系x 与y 有负线性相关关系为（6. (5 分)点集Q= (x, y) | 0<x<e, 0<y<e}, A={ (x, y) | y>e x, (x, y)€內，在点集Q中任取一个元素a,贝U a€ A的概率为( )A.7. (5分)下列说法错误的是( )A.函数f (x)的奇函数”是“f(0) =0”的充分不必要条件.B•已知A, B, C不共线，若I1'. I := i,则P>△ ABC的重心.C. 命题? x o€ R, sinx o》T的否定是：? x€ R, sinx v 1”.D. 命题若a=，则cos : ”的逆否命题是：若cos ：亠，则•一”.3 2 2 32 28. (5分)过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双a2 b2曲线交于A, B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为( )A.匚B. ―:C. ―或―:D.二或T J―'9. (5分)若双曲线x2+my2=m (m€ R)的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 丄■1、B. 丄二'C.丄D. ，. I :.10. (5分)已知正三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则ABi与侧面ACCA1所成角的正弦值等于( )A. B. 1 C. - D.4 4 2 211. (5分)设函数f (x) =—x2- 9lnx在区间[a- 1, a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A. (1, 2]B. [4, +x)C. (-X, 2]D. (0, 3]12. (5分)设函数f (x) =「sin旦,若存在f (x)的极值点X。
2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版
大庆中学2017-2018学年度上学期期末考试高二年级文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.命题“x R ∀∈，2x x ≠”的否定是（ ）A ．2,x R x x ∃∉≠B ．2,x R x x ∃∈=C ．2,x R x x ∀∉≠D ．2,x R x x ∀∈= 2.抛物线220x y =的焦点坐标为（ ）A ．(0,5)B ．(0,5)-C ．(5,0)D ．(5,0)-3.已知椭圆2221(0)25x y m m +=>的左焦点为1(3,0)F -，则m =（ ） A ．16 B ．9 C ．4 D ．34.如下图所示，程序框图的输出结果是（ ）A ．8B ．5 C.4 D ．35.在区间[1,5]上任取一个数，则此数不大于3的概率是（ ） A ．35 B ．25 C.12 D ．136.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（）C.A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.157.函数()sin x f x x e =+，则'(0)f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．38.已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2,21m m >-<<- B ．2,1m m ><- C.2m >- D ．12m -<< 9.函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C.(1,4) D ．(0,3)10.过双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΩ-=>>的右焦点F 作x 轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M ，且直线AM 的斜率大于2，其中A 为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(3,)+∞ C. D ．)+∞11.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =（ ）A ．3B ．2 C.52 D ．83 12.已知3()ln 44x f x x x=-+，2()24g x x ax =--+，若对任意的1(0,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ）A ．5(,]4-∞-B ．5[,)4+∞ C.1[,)8-+∞ D ．15[,]84- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.离心率为2且与椭圆221259x y +=有共有焦点的双曲线方程是 ． 14.某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.则a = ，d = .15.曲线21x y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为 ．16.已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22每题满分12分）17.已知等差数列{}n a 中，1410a a +=，510a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.已知ABC ∆1，且sin sin B C A +. （1）求边BC 的长；（2）若ABC ∆的面积为1sin 3A ，求角A 的度数.19.为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计女生月“关注度”的中位数，及抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；（2）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率.20.如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=︒，//AF DE ，22DE DA AF ===.（1）求证：AC ⊥平面BDE . （2）求证：//AC 平面BEF .21.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过，且椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，O 为坐标原点，OP OQ ⊥，且l 与圆心为O 的定圆W 相切，求圆W 的方程.试卷答案一、选择题1-5:BACCA 6-10:DCABB 11、12：DC 二、填空题13.221412x y -= 14.30，0.2 15.310x y -+= 16.(,3)(6,)-∞-+∞ 三、解答题17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵1410a a +=，510a =，∴112310410a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴12a =，2d =， ∴2n a n =（2）由上问可得：14111(1)1n n n b a a n n n n +===-++ ∴11111(1)()()22334n S =-+-+-+111()1111nn n n n +-=-=+++ 18.（1）由题意及正弦定理，得AC AB +.∵1AB BC AC ++=1BC +=， ∴1BC =. （2）∵11sin sin 23ABC S AC AB A A ∆=⋅⋅=，∴23AC AB ⋅=.又∵AC AB +=222cos 2AC AB BC A AC AB +-==⋅22()22AC AB AC AB BCAC AB+-⋅-⋅43113423--==，∴60A =︒.19.（1）由频率分布直方图，知0.10.20.20.5++=，女生月“关注度”的中位数为15（天） 根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频率，再求和(0.080.050.02)540++⨯⨯+(0.060.030.01)54050++⨯⨯=；（3）记“在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A ，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.0150.05⨯=，人数为0.05402⨯=人，分别记为12,a a .在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天的频率为0.0250.10⨯=，人数为0.10404⨯=人，分别记为1234,,,b b b b ，则在抽取的80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2人，所有可能的结果为12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，14212223(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b ，24121314(,),(,),(,),(,)a b b b b b b b ，232434(,),(,),(,)b b b b b b 共15种，而事件A 包含的结果有12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，1421222324(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b 共9种，所以93()155P A ==. 20.（1）因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， 即D E AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，BD DE D = ，所以AC ⊥平面BDE . （2）设AC BD O = ，取BE 中点G ，连接FG 、OG ，如下图：所以OG 平行且等于12DE ， 因为//AF DE ，2DE AF =，所以AF 平行且等于OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，//AO FG ，因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .21.（1）函数()f x 的定义域为(1,)+∞，1'()11f x x =--， 当1'()101f x x =->-时，函数()f x 的递增区间为(1,2)，当1'()101f x x =-<-时，函数()f x 的递减区间为(2,)+∞ 所以函数()f x 的递增区间为(1,2)，函数()f x 的递减区间为(2,)+∞ （2）由()0f x ≤得ln(1)11x k x -+≥-，令ln(1)11x y x -+=-，则2ln(1)'(1)x y x --=-， 当12x <<时，'0y >，当2x >时，'0y <， 所以ln(1)11x y x -+=-的最大值为(2)1y =，故1k ≥.22.（1）因为C 经过点，所以22b =，又因为椭圆C 所以24a =， 所以椭圆C 的方程为：22142x y +=. （2）设1122(,)(,)P x y Q x y ，l 的方程为y kx m =+由2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得222(12)4240k x kmx m +++-=， 122412mkx x k+=-+，21222412m x x k -=+， ∵OP OQ ⊥∴12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++221212(1)()k x x km x x m =++++ 222222(1)(24)4012k m k m m k+--=+=+. ∴2223444(1)m k k =+=+，2222164(21)(24)k m k m ∆=-+-=228(42)0k m -+>成立，因为l 与圆心为O 的定圆W 相切，所以O 到l 的距离d ==即定圆W 的方程为2243x y +=.。
2017-2018学年度高二数学上学期期末考试试题(文)
2017——2018学年度第一学期期末检测高二数学 2018.1考试说明：1.本试题分第I 卷和第II 卷两部分。
第I 卷和第II 卷答案填涂在答题卡的相应位置，考试结束只上交答题卡。
2.满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题纸（或答题卡）上各题的答题区域内作答，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1.直线30x +=的倾斜角的大小是 A ．030B ．060C ．0120D ．01502．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝A.,sin 1x R x ∃∈≥B. ,sin 1x R x ∀∈≥C.,sin 1x R x ∃∈>D.,sin 1x R x ∀∈> 3．将半径为1的球形容器内的水倒入底面半径为1的圆锥容器中恰好倒满，求圆锥形容器的高h = A.8 B.6 C.4 D.24. 圆1:C 1)2()2(22=-++y x 与圆2:C 22410130x y x y +--+=的位置关系是 A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 平面α∥平面β的一个充分条件是A.存在一条直线a a ααβ，∥，∥B.存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C.存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D.存在两条异面直线αββα面，面面，面////,,,b a b a b a ⊂⊂ 6. 圆心在直线20x y -+=上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为A ．222210x y x y ++-+=B ．222210x y x y +-++=C ．22220x y x y ++-=D ． 22220x y x y +--= 7. 如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下面结论错误．．的是 A ．//BD 平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CBD D ．异面直线AD 与1CB 角为608.已知椭圆：2249144x y +=，则以点(3,2)P 为中点的椭圆的弦所在直线的方程是 A ．02132=++y x B ．02123=-+y x C ．23120x y +-= D ．49300x y +-=9. 正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是 A.3aπ B.2aπ C. a π2 D. a π310. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 A ．2 B ．4 C ．8 D ．611.下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是①3:62:2+++=>-<m mx x y q m m p ；，或有两个不同的零点 ②()()()x f y q xf x f p ==-:1:；是偶函数③βαβαtan tan :cos cos :==q p ； ④A C B C q A B A p U U ⊆=::； A.①② B. ①④ C. ②③ D.③④12. 若直线220(0,0)ax by a b +-=>>平分圆224210x y x y +--+=的周长，则ba 21+ 的最小值为A ．1B ．5 C．．223+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案写在答题纸上 13.过点(1,3)P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为______________14. 命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 ； 15. 圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ； 16.设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：① x 、y 、z 均为直线； ② x 、y 是直线，z 是平面； ③ z 是直线，x 、y 是平面； ④ x 、y 、z 均为平面. 其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是______________三、解答题：本题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内 17. (本小题满分共12分)设命题2:log (21)0,p x -<命题2:(21)(1)0,q x a x a a -+++≤若p ⌝是q ⌝的必要而非充分条件，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分共12分)如图，棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD.（Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1；（Ⅱ）证明：平面AB 1C//平面DA 1C 119.(本小题满分共12分)若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为A .（Ⅰ）求区域A 的面积；（Ⅱ）求2m x y =+的最小值； （Ⅲ）求22n x y =+的最小值. 20．(本小题满分共12分)已知圆22:()5(3)C x m y m -+=<与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个公共点为(3,1),A 若点(4,4)P 与椭圆的左焦点1F 的连线1PF 与圆C 相. （Ⅰ）求m 的值及圆C 的方程 ； （II ）求椭圆E 的方程. 21，(本小题满分共12分)如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形.（Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4BC =，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积.22．(本小题满分共14分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点.若椭圆的长轴长是6，且32cos =∠OFA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求点），10(R 与椭圆C 上的点N 之间的最大距离；(Ⅲ)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,3(-P ,交y 轴于点M .若2=,求直线l 的斜率．2017——2018学年度第一学期期中考试高二数学答题纸2018.1高二答案一，选择题： A C C D D A D C B B B D13.270x y -+= 14.若,a b 至少有一个为零,则a b 为零 15. 4S π 16.② ③ 三，解答题 17.解： 1:1,2p x <<:()((1))0,1q x a x a a x a --+≤≤≤+。
2017-2018学年牡丹江高二上期末数学试卷(理科)含答案解析
18．（12 分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在
相同条件下进行了 6 次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：
甲 27 38 30 37 35 31
7 枚导弹的编号可能是（ ）
A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63
C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，43
3．（5 分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）
D．检查某种产品，合格率高于 70%与合格率为 70%
4．（5 分） =（ ）
A． B． C． D．
5．（5 分）执行如图的程序框图，那么输出的 S 值是（ ）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
17．（10 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方
形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方
1．（5 分）两个整数 1908 和 4187 的最大公约数是（ ）
A．53 B．43 C．51 D．67
2．（5 分）要从已编号（1～70）的 70 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 7 枚
来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的
15．（5 分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是 ．
①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则
张华获胜
②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华
2017-2018高二数学上学期期末试卷
2017--2018高二上学期期末数学试卷(必修五——选修1-1 ，2-1)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0B．∃x∈R，x2≥0C．∀x∈R，x2＜0D．∀x∈R，x2≤02．双曲线的实轴长为（）A．4B．3C．2D．13．已知P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=（）A．2B．5C．7D．84．若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x5．“”是“”的（）A. 充分而不必要B. 充分必要条件．C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．237．在△ABC中，若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+2n+1，则a n=（）A．a n=B．a n=2×3n﹣1C．a n=2×3n﹣1+2D．a n=9．设椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A. B. C. D.10．若不等式（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．11．已知,是直线，是平面，给出下列命题：①若，，，则或．②若，，，则．③若m,n,m∥,n∥,则∥．④若，且，，则．其中正确的命题是（）A. ①,②B. ②.③C. ②.④D. ③, ④12．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．1B．C．4D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈R，使得x2+mx+m＞0”为真命题，则实数m的取值范围为．14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.15.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆的方程为16．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q关于x的不等式4x2+4(m-2)+1>0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围.18．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．(理)19．（12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(文)19．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e．（1）求f（x）的单调区间；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1都成立，求k的最大值．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（Ⅰ）设b n=．证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，x2+lnx＜x3是否恒成立，并说明理由．原阳一中高二期末数学试卷参考答案一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为：∃x∈R，x2＜0．故选：A．2．【解答】解：双曲线中，a2=1，∴a=1，∴2a=2，即双曲线的实轴长2．故选：C．3．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a=5，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，∵|PF1|=3，∴|PF2|=7．故选：C．4．【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7, ∴p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．5．【解答】由条件得x≠0，则x值可以小于0可以大于0，故推不出x>0；反之，当x>0时，一定有x≠0。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=B．y=﹣C．y=x D．y=﹣12．（5分）若，则cos2α的值为（）A．B．C．D．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若α∥β，m⊥α，则m⊥β；③m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．x=π6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+6 B．6π+6 C．3π+12 D．127．（5分）P是双曲线右支上一点，F是其右焦点，点A（6，0），则|PA|+|PF|的最小值是（）A．3 B．6 C．16 D．198．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinB=2sinA，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线y2=x，过（1，0）的直线与抛物线交于A，B两点，则△ABO（其中O为坐标原点）面积的最小值是（）A．B．1 C．2 D．411．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为（）A．B．C．D．12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．B．C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数，则的值为．14．（5分）已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|PA|+|PB|=6，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，则=．16．（5分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，AA1⊥l于A1，BB1⊥l 于B1，AB中点为M，MM1⊥l于M1，则下列说法：①△AOB为钝角三角形②△AM1B为直角三角形③△A1FB1为钝角三角形④AM1⊥A1F正确命题的序号是（填写你认为正确的所有命题的序号．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C依次成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC周长的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值，并求出取得最大值时x的值．19．（12分）如图1，已知知矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且，现将△ABD沿BD折起，如图2，点A的位置记为A'，此时．（1）求证：BD⊥面A'HE；（2）求三棱锥D﹣A'EH的体积．20．（12分）已知双曲线的离心率为2，右顶点为（1，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线y=﹣x+m与y轴交于点P，与双曲线C的左、右支分别交于点Q，R，且，求m的值．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA=b，E为PD中点，F为PA上一点，且．（1）求证：CE∥平面BFD；（2）设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为，求a：b的值．22．（12分）已知点A（1，1），P，Q为抛物线y2=x上两动点，且．（1）求证：直线PQ必过一定点；（2）求线段PQ的中点M的轨迹方程．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=B．y=﹣C．y=x D．y=﹣1【分析】根据题意，由抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再代入抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴正半轴上；所以：2p=4，即=1，则其准线方程是y=﹣1；故选：D．【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，关键掌握抛物线的标准方程的求法，属于基础题．2．（5分）若，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：若=﹣sinα，∴sinα=﹣，则cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若α∥β，m⊥α，则m⊥β；③m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m∥α，n∥α，则m∥n．其中正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断其真假性即可．【解答】解：对于①，当m⊥n，m⊥α时，则n∥α或n⊂α，∴①错误；对于②，当α∥β，m⊥α时，则m⊥β，∴②正确；对于③，当m⊥β，α⊥β时，则m∥α或m⊂α，∴③错误；对于④，当m∥α，n∥α时，则m∥n或m、n相交或m、n异面，④错误．综上，正确的命题是③，共1个．故选：B．【点评】本题考查了用符号语言表示的空间中的平行与垂直关系的应用问题，是综合题．4．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程．5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．x=π【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合余弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得y=cos（2x+﹣）=cos（2x+）的图象，令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，再令k=1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x=，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+6 B．6π+6 C．3π+12 D．12【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，然后由锥体体积求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，则其体积V=．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（5分）P是双曲线右支上一点，F是其右焦点，点A（6，0），则|PA|+|PF|的最小值是（）A．3 B．6 C．16 D．19【分析】根据题意，设双曲线的左焦点为M，由双曲线的方程求出a的值，由双曲线的定义可得|PM|﹣|PF|=2a=8，进而分析可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|﹣2a≥|AM|﹣2a=3，即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为M，双曲线的方程为，其中a==4，若P是双曲线的右支上一点，则有|PM|﹣|PF|=2a=8，|PA|+|PF|=|PA|+|PM|﹣2a≥|AM|﹣2a=3，当PAM三点共线，即P在x轴上时，等号成立，故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义及应用，利用三点共线以及双曲线的几何性质是解决本题的关键．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinB=2sinA，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据正弦、余弦定理求出a、b的值，再计算△ABC的面积．【解答】解：△ABC中，若sinB=2sinA，则b=2a，又，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a•2acos=3a2=9，解得a=，∴b=2，∴△ABC的面积为S△ABC=absinC=××2×sin=．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．9．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．【分析】由=，利用等积法能求出点A到平面A 1BC的距离．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，∵=，∴，∴，解得h=，故选：B．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意等积法的合理运用．10．（5分）已知抛物线y2=x，过（1，0）的直线与抛物线交于A，B两点，则△ABO（其中O为坐标原点）面积的最小值是（）A．B．1 C．2 D．4【分析】当直线AB的斜率不存在时，求出三角形的面积，当直线的斜率存在时，设直线方程为x=ky+1，代入抛物线方程可化为y2﹣ky﹣1=0，根据弦长公式和点到直线的距离，即可求△AOB的面积．【解答】解：当直线AB的斜率不存在时，此时AB的方程为x=1，∴y=±1，=|AB|×1=×2×1=1，∴S△ABO当直线的斜率存在时，设直线方程为x=ky+1，代入抛物线方程可化为y2﹣ky﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=k，y1y2=﹣1，∴|AB|=•=•，点O到直线AB的距离d=，=×|AB|•d=＞1，∴S△ABO综上所述△ABO（其中O为坐标原点）面积的最小值是1，故选：B．【点评】本题考查了直线与抛物线的相交问题转化为方程联立可得根与系数、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．11．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用对应图形的面积即可得到a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，若不等式组构成平面区域则a＞0，此时对应的区域为△ABC，则A（1，0），B（0，1），C（1，1+2a），∴AC=1+2a，则△ABC的面积S=×（1+2a）•1=4，解得a=，故选：C．【点评】本题主要考查线二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．B．C．1 D．2【分析】设AC=m，则BC=，=，当m最大时，体积最大，由=≤=2，推导出四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，AC=BC=，由此能求出“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】解：设AC=m，则BC=，==，∴当m最大时，体积最大，=≤=2，当且仅当m=时，取最大值，∴当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1体积最大时，AC=BC=，此时“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=（）×2=2．故选：D．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数，则的值为．【分析】利用辅助角公式化简，然后代入x=求解．【解答】解：∵=2sin（x+），∴=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题．14．（5分）已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|PA|+|PB|=6，则动点P的轨迹方程为．【分析】利用椭圆的定义判断出动点P的轨迹，再由题意求出基本量，代入椭圆的标准方程即可．【解答】解：因为动点P满足|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，所以由椭圆的定义得：动点P的轨迹是以A（﹣2，0），B（2，0）为焦点的椭圆，则a=3、c=2，即b2=9﹣4=5，所以动点P的轨迹方程是，故答案为：．【点评】本题考查定义法求动点的轨迹方程，以及椭圆的定义、标准方程，熟练掌握椭圆的定义、标准方程是解题的关键．15．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，则=3．【分析】由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得sinAcosB=3sinBcosA，由同角三角函数基本关系整体代入可得．【解答】解：∵△ABC中acosB﹣bcosA=c，∴由正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinC=sin（A+B），∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，∴sinAcosB=3sinBcosA，∴==3，故答案为：3．【点评】本题考查正弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式以及同角三角函数基本关系，属基础题．16．（5分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，AA1⊥l于A1，BB1⊥l 于B1，AB中点为M，MM1⊥l于M1，则下列说法：①△AOB为钝角三角形②△AM1B为直角三角形③△A1FB1为钝角三角形④AM1⊥A1F正确命题的序号是①②④（填写你认为正确的所有命题的序号．【分析】利用抛物线的定义、性质，平面几何知识逐一判定即可．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以设经过点F的直线的方程为x=my+，把它代入抛物线方程，可得y2﹣2pmy﹣p2=0；因为A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，x2＞0）则y1y2=﹣p2 ，∴x1x2=对于①，∴∠AOB为钝角，故①正确；对于③，如图，由抛物线的定义可知AA1=AF，三角形AA1F是等腰三角形；因为AA1∥OF，所以A1F平分∠OFA，同理B1F平分∠OFB，所以∠A1FB1=90°，故③错，对于②，由③得FM1=M1A1=M1B1，BB1=BF，AA1=AF．∴M1A平分∠A1M1F，M1B平分∠B1M1F∴，故②正确对于④，设AM1⊥与A1F交于点G，由②③得△AA1G≌△AFM1，∴AM1⊥A1F，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了抛物线的概念和性质的运用，考查了直线的方程和性质，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C依次成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）由三角形内角和定理结合A，B，C成等差数列求得B；（2）由正弦定理求出周长，结合角A的范围即可求出△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴A+C=2B．又A+B+C=π，∴；（2）在△ABC中，由正弦定理，，∴△ABC的周长=．又∵，∴．∴△ABC周长的取值范围（，]．【点评】本题考查解三角形，考查正弦定理的应用，关键是对A，B，C成等差数列的应用，是中档题．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值，并求出取得最大值时x的值．【分析】（1）利用和与差，二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数性质即可求解单调递减区间；（2）x在上，求解内层函数的范围，结合三角函数结合三角函数性质即可求解最大值．【解答】解：函数=4（cos2x）+sin2x+cos2x﹣2=cos2x=由，得：∴函数f（x）的单调减区间为．（2）∵x∈上，∴则当=，即时，f（x）取得最大值为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，三角恒等式化简能力和计算能力．属于基础题．19．（12分）如图1，已知知矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且，现将△ABD沿BD折起，如图2，点A的位置记为A'，此时．（1）求证：BD⊥面A'HE；（2）求三棱锥D﹣A'EH的体积．【分析】（1）推导出AE⊥BD，BD⊥A'H，BD⊥EH，由此能证明BD⊥面A'HE．（2）推导出AH=A′H=4，EH=1，DH=8，A′H⊥EH，由此能求出三棱锥D﹣A'EH的体积．【解答】证明：（1）∵ABCD为矩形，，∴AE⊥BD，∴图2中，BD⊥A'H，BD⊥EH，∵A'H∩HE=H，∴BD⊥面A'HE．（2）∵矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且，∴AE==5，BD==10，△BEH∽△DAH，∴==，∴AH=A′H=4，EH=1，DH=8，∵，∴A′H⊥EH，∴==2，∴三棱锥D﹣A'EH的体积：===．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．20．（12分）已知双曲线的离心率为2，右顶点为（1，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线y=﹣x+m与y轴交于点P，与双曲线C的左、右支分别交于点Q，R，且，求m的值．【分析】（1）利用已知条件求出a，b，c，然后求解双曲线方程；（2）设Q点横坐标为x Q，P点横坐标为x P．通过，联立方程组，转化求解即可．【解答】解：（1）因为，所以（2）设Q点横坐标为x Q，P点横坐标为x P．平行线分线段成比例定理：，联立：得：2x2+2mx﹣3﹣m2=0，，则m2=1，m=1或m=﹣1（舍）与已知条件不符．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a 的正方形，PA=b，E为PD中点，F为PA上一点，且．（1）求证：CE∥平面BFD；（2）设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为，求a：b的值．【分析】（1）取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由三角形中位线定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，进一步得到CE∥面BDF，=V P﹣MOD，即可求出（2）利用等体积法，即V M﹣POD【解答】（1）证明：如图所示，取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由题可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO∥GC；又G为PF中点，E为PD中点，∴GE∥FD．又GE∩GC=G，GE、GC⊂平面GEC，FO∩FD=F，FO，FD⊂平面FOD．∴平面GEC∥平面FOD．∵CE⊂平面GEC，∴CE∥面BDF，解（2）如图所示，连接OM，MD，PM，=V P﹣MOD，∴V M﹣POD∵四边形ABCD是边长为a的正方形，AC与BD交于点O，M为OC的中点=a2，∴S△OMD∵PA⊥平面ABCD，PA=b，=•b•a2，∴V P﹣MOD∵PA⊥AC，AO=a，∴PO==，OD=a，=×a•，∴S△POD=•b••a•，∴V M﹣POD∴•b••a•=•b•a2，整理可得8b2=21a2，∴a：b=2：【点评】本题考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积公式，考查了运算能力和识图能力，属于中档题22．（12分）已知点A（1，1），P，Q为抛物线y2=x上两动点，且．（1）求证：直线PQ必过一定点；（2）求线段PQ的中点M的轨迹方程．【分析】（1）设直线方程为x=my+n，，整理得y2﹣my﹣n=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则y1+y2=m，y1y2=n，利用向量的数量积，转化求解即可．（2）由点差法得弦中点公式为．可得，整理得x=2y2+2y+2（在已知抛物线内部）．【解答】解：（1）设直线方程为x=my+n，，整理得y2﹣my﹣n=0设P（x1，y1），Q（x2，y2）则y1+y2=m，y1y2=n，，=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，，（y1+1）（y2+1）+1=0，y1y2+y1+y2+2=0，﹣n+m+2=0，n=m+2则直线方程为x=my+n=my+m+2=m（y+1）+2过定点（2，﹣1）．（2）P，Q为抛物线y2=x上两动点，设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点M为（x M，y M），由点差法得弦中点公式为：=，因为PQ恒过（2，﹣1），则，整理得x=2y2+2y+2（在已知抛物线内部）．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，恒过定点的直线系方程的应用，考查计算能力．。
2017-2018学年高二上学期期末考试文科数学试卷(word版附答案)
2017-2018学年高二上学期期末考试文科数学试卷1、考试时间：120分钟2、 满分：150分3、考试范围：导数，命题，圆锥曲线一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( )A. 14B. 12 C ．2 D ．4 2．对∀k ∈R ，则方程221+=x ky 所表示的曲线不可能是( )A ．两条直线B ．圆C ．椭圆或双曲线D ．抛物线 3． 不可能以直线b x y +=23作为切线的曲线是( ) A ．x y 1-=B ．x y sin =C ． x y ln =D ． x e y =4．已知)0,1(1-F ,)0,1(2F 是椭圆的两焦点，过1F 的直线l 交椭圆于N M ,，若N MF 2∆的周长为8，则椭圆方程为A.13422=+y xB.13422=+x yC.1151622=+y xD.1151622=+x y 5．“双曲线方程为622=-y x ”是“双曲线离心率2=e ”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 6.下列四个命题中，真命题是 ( )A. 若1>m ，则220-+>x x m ；B. “正方形是矩形”的否命题；C. “若21,1则==x x ”的逆命题； D. “若0,00则且+===x y x y ”的逆否命题.7．过点(0,1)作直线，使它与抛物线24=y x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. 23D. 349．函数f (x )＝x 2＋2x f ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)＜f (1)C ．f (－1)＞f (1)D ．无法确定10．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的两条渐近线均和圆C ：22650+-+=x y x 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154-=x yB.22145-=x yC. 22136-=x yD.22163-=x y 11、如图是甲、乙两人的位移s 与时间t 关系图象，以下说法错误的是（ ）A ．甲、乙两人在［0，0t ］内的平均速度相同B ．甲、乙两人在0t t =时刻的瞬时速度相同C ．甲做匀速运动，乙做变速运动D ．当0t t >时，在［0,t t ］内任一时刻乙的瞬时速度 大于甲的瞬时速度12． 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A. )53,55(B. )55,52(C. )53,52(D. )55,0( 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．14．抛物线ax y =2的焦点恰好为双曲线222x y -=的右焦点，则=a . 15．曲线y ＝x ＋1x 2(x ＞0)在点)2,1(处的切线的一般方程为_________________. 16. 已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是 ．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：方程13122=-++ty t x 所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式210()t a t a ---<.（1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知命题:p x ∀∈R ，2sin 1≤+a x ，命题0:q x ∃∈R ，使得()200110x a x +-+<.若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，求实数a 的取值范围.19．(1)已知函数()xf x e =，过原点作曲线()y f x =的切线，求切线方程；(2)已知函数32()=+++f x x bx cx d 的图象过点P （0，2），且在点(1,(1))--M f 处的切线方程为076=+-y x ．求函数()=y f x 的解析式；20．已知定点()0,4A -，点P 是圆224x y +=上的动点。
哈尔滨高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析.doc
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．177．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．312．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为 ． 15．（3分）若双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一条渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．16．（3分）△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P 到平面ABC 的距离是： ．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，点M（1，1），求S的最大值．△ABM2017-2018学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C．3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A．B．C．D．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为，故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，∴自然数n的最小值为9．故选：C．6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．20 C．06 D．17【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17，24，06，则第6个红色球的编号为06，故选：C．7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D．9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A 的横坐标相同，∴=a，∴=3，故选：C．二、填空题13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6．故答案为：6．14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2] ．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．故答案为：7．三、解答题17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式==，=．）【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，x i y i=18.5；b==5；a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，故所求的回归直线方程为=5x﹣7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．，θ1），则有，（2）设P（ρ设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．则有，所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，由于：，则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（1，2，），=（0，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，﹣，﹣4），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等的最大值．差数列，点M（1，1），求S△ABM【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）=0，∴m=0，∴直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，∴|AB|=．∵M到y=kx的距离为d=∴S=•=∴S2=，∴（S2）′=，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k=﹣时，S取得最大值．。
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黑龙江省牡丹江市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）
1．已知点()3,2在椭圆22
221x y a b
+=上，则( ) A. 点()3,2--不在椭圆上 B. 点()3,2-不在椭圆上
C. 点()3,2-在椭圆上
D. 无法判断点()3,2--， ()3,2-， ()3,2-是否在椭圆上
2．设椭圆22
:1259
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长
为（ ）
A. 9
B. 13
C. 15
D. 18
3.阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13
，则椭圆的方程是（ ） A. 2214
x y += B. 22198x y += C. 22143x y += D. 22
189x y +=
5.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（ ）． A. 1322
=-y x B. 1322=-y x C. 112422=-y x D. 14122
2=-y x 6．方程⎩⎨⎧=≤≤-=2
)11(2y t t x (t 为参数）表示的曲线是（ ）。
A. 一条直线
B. 两条射线
C. 一条线段
D. 抛物线的一部分
7. 把二进制的数11111(2)化成十进制的数为( )
A. 31
B. 15
C. 16
D. 11
8．已知双曲线22
21(0)4
x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离线率为（ ）
A. 9532 9．抛物线24x y =的准线方程是（ ）．
A. 1y =
B. 1y =-
C. 1x =-
D. 1x =
10．已知双曲线C 的中心为原点，点)
F
是双曲线C 的一个焦点，点F 到渐近线的距离
为1，则C 的方程为（ ） A. 221x y -= B. 22
12y x -= C. 22123x y -= D. 22
133x y -= 11．椭圆12
92
2=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若4||1=PF ，则21PF F ∠的余弦值 为（ ） A. 21- B. 21 C. 23- D.2
3
12．设抛物线22y x =的焦点为F ，过点)
M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛
物线的准线相交于点C ， 2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCF ACF
S S ∆∆=（ ） A. 12 B. 23 C. 47 D. 45
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．在极坐标系中，点P 的坐标为)3,2(π
，则点P 的直角坐标为__________.
14．已知椭圆19
252
2=+y x 与坐标轴依次交于D C B A ,,,四点，则四边形ABCD 的面积为_______.
15．过抛物线x y 62=的焦点且与x 轴垂直的直线交抛物线N M ,，则=||MN ________．
16．l 是经过双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 焦点F 且与实轴垂直的直线，B A ,是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使060=∠APB ，则双曲线离心率的最大值为__________．
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θ
θsin 1cos 1y x （θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．把1C 的参数方程式化为普通方程， 2C 的极坐标方程式化为直角坐标方程。
18．（12分）求与椭圆14922=+y x 有相同的焦距，且离心率为5
5的椭圆的标准方程。
19．（12分）已知直线l ：03=--a y x ，圆C 的极坐标方程为θρsin 2=.
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值。
20. （12分）在抛物线y x 4
12=
上找一点P ，使P 到直线54-=x y 的距离最短。
21. （12分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 5515521（t
为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值。
22．（12分）椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为22，右顶点为)0,2(． （Ⅰ）求椭圆方程．
（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线l 与椭圆交于点A 、B ，且AB F 2∆面积为34，求直线l 的方程。