2020年高一下学期数学第一次月考试卷
2020年高一下学期数学第一次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高二上·安徽月考) 设，，分别为内角，，的对边. 已知
，则（）
A .
B . 1
C .
D . 2
2. （2分）sin75°=（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高二下·榆社期中) 现在有这么一列数：2，，，，，，，…，按照规律，横线中的数应为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2019·东北三省模拟) 的内角，，的对边为，，，若，且的面积为，则的最大值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
5. （2分） (2018高二上·湖南月考) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）(2017·柳州模拟) 在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA=（）
A .
B . -
C . -
D .
7. （2分） (2015高二上·莆田期末) 已知A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4）为三角形的三个
顶点，则△ABC为（）
A . 直角三角形
B . 钝角三角形
C . 锐角三角形
D . 等腰三角形
8. （2分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km 的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）
A . 1-
B .
C . 1-
D .
9. （2分） (2018高一上·佛山月考) 设 , , , ,则下列不等式正确的是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2020·淮南模拟) 已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）在中，，，则的最小值是（）
A .
B . 2
C .
D . 6
12. （2分）三边长分别是，则它的最大锐角的平分线分三角形的面积比是（）
A . 1:1
B . 1:2
C . 1:4
D . 4:3
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·苏州期末) 已知角的终边上的一点的坐标为，则
________．
14. （1分） (2018高一下·双鸭山期末) 已知数列{an}满足a1=—1，an+1=an+ ，n∈N* ，则通项公式an=________；
15. （1分） (2017高二下·淮安期末) 已知，且﹣π＜θ＜﹣，则
=________．
16. （1分） (2018高三上·嘉兴期末) 在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2019高一下·蛟河月考) 计算
（1）；
（2）
18. （5分） (2017高一下·黄山期末) 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a= ，sinC= sinB，求△ABC的面积．
19. （10分） (2018高二下·邯郸期末) 在中，，，的对边分别为，，，若，
（1）求的大小；
（2）若，，求，的值.
20. （10分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三角形的面积S= accosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=2 ，点D在AB的延长线上，且AD=3，cos∠ADC= ，求b的值．
21. （5分） (2017高二下·营口会考) 在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=7，b=3，c=5，求△ABC的最大内角与sinC的值．
22. （15分） (2018高一下·衡阳期末) 已知函数 .
（1）当时，求的值域；
（2）当时，函数的图象关于对称，求函数的对称轴．
（3）若图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得的图象，又知的所有正根从小到大依次为，且，求的解析式．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、19-1、19-2、20-1、
20-2、21-1、22-1、
22-2
、
22-3、
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【2019-2020】高一数学下学期第一次月考试题
教学资料参考范本【2019-2020】高一数学下学期第一次月考试题撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第Ⅰ卷一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共60 分。
）1．1.在中，若，，，则为（）．ABC△A．B．或C．D．或2.在中，则等于（）．A．B．C．D．3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°4.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若b=2acosC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰或直角三角形5.如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距600m，则铁塔AB 的高度是（）A．120m B．480mC．240m D．600m6．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．7.若在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：6，则sinB等于（）A． B．C．D．8.已知在等比数列{an}中，a4，a8是方程x2﹣8x+9=0的两根，则a6为（）A．﹣3 B．±3C．3 D．29.已知等差数列的前项和为，若，则（）A．18 B．36 C．54 D．7210.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48D．6311.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日D．12日12.已知等比数列{an}中，a3=4，a4a6=32，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16第Ⅱ卷二、填空题（每小题 5分，共20 分。
河北省武安市第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
从而由正弦定理得sin B sin C＝ sin A× sin A＝ sin2A＝ × ＝ .
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现 时，就要考虑一个条件， , ,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式 ,灵活使用其中的一个.
由余弦定理得： ，解得： 或3，经检验均符合，设边AC上的高是 ，当 时， ；当 时，
故选：AB
11．ABC
【分析】
利用公式表达出 ，利用三角函数恒等变换，求出 的范围，进而求出结果.
【详解】
，所以 ，因为 ，所以 ， ，显然ABC均满足题意.
故选：ABC
12．ABC
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断 、 、 、 的结论．
注意到 ，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到 ，进而得到结论.
【详解】
∴BA⊥AC,
∴△ABC为直角三角形，
故选：
5．B
【分析】
求得 ，根据夹角公式求得 与 的夹角.
【详解】
由于 ，所以 ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
由于 ，所以 .
故选：B
6．B
【分析】
根据三边关系求出 ，根据二倍角公式结合正弦定理即可得解.
21．已知向量 ， ， ，
（1）若 ，且 ，求x的值.
（2）若函数 ，求 的最小值.
（3）是否存在实数k，使得 ？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。
高一数学下学期第一次月考试卷含解析 试题
一中2021-2021学年高一下学期第一次月考创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.计算的结果等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦的二倍角公式可得结果.【详解】由余弦的二倍角公式得应选：B【点睛】此题考察余弦二倍角公式的应用，属于简单题.2.为第二象限角，，那么的值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】∵α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，那么sin＝×－×＝，应选A.3.设，那么等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦的两角和公式可得，平方即可得到结果.【详解】,即，两边平方可得，可得，应选：B【点睛】此题考察正弦的两角和公式和正弦的二倍角公式的应用，属于简单题.4.设向量与垂直，那么等于〔〕A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】由两个向量垂直的坐标运算结合余弦的二倍角公式可得结果.【详解】向量与垂直，可得，又应选：D【点睛】此题考察两个向量垂直的坐标运算，考察余弦二倍角公式的应用，属于简单题.5.在中，，那么一定是〔〕A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，应选：D【点睛】此题考察利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.6.在△ABC中，A＝60°，a＝4，，那么B等于( )A. 45°或者135°B. 135°C. 45°D. 以上答案都不对【答案】C【解析】试题分析：由得考点：正弦定理解三角形7.在△ABC中,,，，那么AC的长为〔〕A. B. C. 或者 D.【答案】C【解析】试题分析：由余弦定理可得：,即,解得或者，应选项为C.考点：余弦定理.中，设，假设，那么三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法确定【答案】B【解析】试题分析：如图,由即可得与的夹角为钝角，由于.所以为钝角.所以选B.考点：1.向量的和差运算.2.向量的数量积.9.假设△的三个内角满足，那么△A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C是最大的角，由余弦定理,所以C为钝角，因此三角形一定是钝角三角形考点：三角形形状的断定及正、余弦定理的应用【此处有视频，请去附件查看】10.化简( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦的二倍角公式可得，再由可得结果.【详解】又，所以sin4<0,cos4<0,那么，应选：D【点睛】此题考察正弦的二倍角公式的应用，考察三角函数值符号的判断，属于根底题.11.，那么的值是〔〕A. 1B. －1C.D. 0【答案】B【解析】试题分析：利用三角恒等变换进展化简，即，所以有；此题也可令，从而有，即，故此题正确选项为B.考点：三角函数的恒等变换.12.在中，，，，假如三角形有两解，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得,即,故由题设且,解之得，所以应选A.考点：余弦定理及运用．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.函数的值域是___________________.【答案】【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数进展化简，然后由正弦函数的性质可得结论.【详解】函数,所以当时函数取到最大值为，当时函数取到最小值为，即函数值域为故答案为：【点睛】此题考察余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，考察正弦函数性质，属于根底题。
2020-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一(下)第一次月考数学试卷 Word版含解析
2022-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角2．若点P 在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）A．（1，）B．（，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）3．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sinαcosα=（）A．B．C．D．5．已知（）A．B．C．D．6．将函数y=sin4x 的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．7．函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=8．设，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 9．函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，10．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：（把答案填在答题卡相应题号后的横线上，本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．sin15°+cos15°=．12．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．13．已知，则sin（2α+β）=．14．函数的最小正周期为．15．下列命题中真命题的序号是．①y=sin|x|与y=sinx的象关于y轴对称．②y=cos（﹣x）与y=cos|x|的图象相同．③y=|sinx|与y=sin（﹣x）的图象关于x轴对称．④y=cosx与y=cos（﹣x）的图象关于y轴对称．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．已知tanα=3，计算：（1）；（2）sinαcosα；（3）（sinα+cosα）2．17．已知函数y=a﹣bcos3x（b＞0）的最大值为，最小值为﹣，求函数y=﹣4asin3bx的单调区间、最大值和最小正周期．18．已知cosα=，cos（α+β）=，且，，求tan及β的值．19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，﹣＜φ＜）图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出这个函数的单调区间．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．。
高一下学期第一次月考数学试题(解析版
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围.
【18题答案】
【答案】（1）条件选择见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①由正弦定理得 即可求出 ；若选②由正弦定理得 即可求出 .
（2）用正弦定理得表示出 得到 利用三角函数求出 的取值范围.
【小问1详解】
若选①则由正弦定理得
【解析】
【分析】由题可得 .作差法可判断A；用基本不等式可判断B；分别化简不等式左边和右边可判断C；假设法可判断D.
【详解】如图
易知 .
A： （当 时取等号） 故A正确；
B： （当 时取等号）故B正确；
C：
又 （当 时取等号） 故C正确；
D：假设 成立
则
即
即
当 且 时上式不成立故D错误.
故选：ABC.
同理由 三点共线则存在实数 使得
所以 解得 所以 所以A正确.
又由 且
可得 解得 则
可得 所以B正确；
又由
当且仅当 时等号成立所以C正确.
又由 可得 所以D不正确.
故选：ABC.
12.设 分别为 中ab两边上的高 的面积记为S.当 时下列不等式正确的是( )
A. 【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得 的值由 以及 可得 的值再由最高点可求得 的值即可得 的解析式由正弦函数的对称中心可得 对称中心；
（2）由图象的平移变换求得 的解析式由正弦函数的性质可得 的值域令 的取值为 的值域解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得： 可得 所以
A. B.
C. D.
2019-2020学年四川省宜宾市叙州区第一中学校(原宜宾县一中)高一下学期第一次在线月考数学试卷
绝密★启用前2020年春四川省叙州区第一中学高一第一学月考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知区间，则 A ．B ．C ．D ．2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．3．函数的最小正周期为 A ．B ．C ．D ．4．已知f (x )＝cos2x，则下列等式成立的 是 A ．f (2π－x )＝f (x ) B ．f (2π＋x )＝f (x ) C ．f (－x )＝－f (x ) D ．f (－x )＝f (x )5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A ．3-B ．1-C ．1D ．36．若角θ的终边过点13(,)22-，则sin θ等于A ．12B ．12-C ．3-D ．3 7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用1S ，2S 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合的是A ．B ．C ．D ．8．为了求函数()237xf x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如表所示：x1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 ()f x－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为 A ．1.32B ．1.39C ．1.4D ．1.39．函数sin()2y x x π=⋅+的部分图象是A ．B ．C ．D ．10．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,211．定义在R 上的奇函数()f x 以5为周期，若()30f =，则在()0,10内，()0f x =的解的最少个数是 A ．3B ．4C ．5D ．712．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,6第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省实验中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试卷及答案
2020-2021学年山西省实验中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（共12小题）.1．下列说法正确的是（）A．若向量，满足||＞||，且与同向，则＞B．若∥且∥，则∥C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线D．非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反2．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．已知在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝4：3：2，则cos B等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝（）A．B．C．D．5．已知•＝﹣12，||＝4，和的夹角为135°，则||为（）A．12B．6C．D．36．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量＝（a+c，b），＝（b ﹣a，c﹣a），若向量∥，则角C的大小是（）A．B．C．D．7．在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则＝（）A．1B．2C．3D．48．如图，在山根A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为（）A．500米B．1000米C．1200米D．1500米9．在△ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a、b、c若（b﹣c）sin B＝2c sin C且，则△ABC面积等于（）A．B．C．D．310．在△ABC中，若＝，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形11．若函数f（x）＝2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．3212．设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（）A．[﹣6，1]B．[4，8]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，6]二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）13．在△ABC中，BC＝x，AC＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是．14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线与CD 交于点F．若，，则＝．15．已知＝（1，3），＝（2+λ，1），且与成锐角，则实数λ的取值范围是．16．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°．如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为．三、解答题（本题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知平面向量＝（1，x），＝（2x+3，﹣x），x∈R．（1）若x＝2，求在上的投影向量c的坐标；（2）若⊥，求x的值．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos＝，•＝3．（1）求△ABC的面积S．（2）若b+c＝6，求a的值．19．已知||＝1，||＝2，与的夹角为120°．（1）求|2+|；（2）求向量2+与向量﹣的夹角θ的余弦值．20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b•cos A＝c cos A+a cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求△ABC的面积S的取值范围．参考答案一、单选题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．）1．下列说法正确的是（）A．若向量，满足||＞||，且与同向，则＞B．若∥且∥，则∥C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线D．非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反解：对于A：向量，满足||＞||，且与同向，则＞，由于向量是不能比较大小的，故A错误；对于B：若∥且∥（），则∥，故B错误；对于C：向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线或直线AB∥直线CD，故C 错误；对于D：非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反，故D正确．故选：D．2．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．3．已知在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝4：3：2，则cos B等于（）A．B．C．D．解：依题意设a＝4k，b＝3k，c＝2k（k＞0），则cos B＝＝＝．故选：A．4．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝（）A．B．C．D．解：由内角和定理得：A＝180°﹣60°﹣75°＝45°，根据正弦定理得：＝，又a＝8，sin A＝，sin B＝，则b＝＝＝4．故选：C．5．已知•＝﹣12，||＝4，和的夹角为135°，则||为（）A．12B．6C．D．3解：由题意利用两个向量的数量积的定义可得＝cos135°＝4•（），解得＝6，故选：B．6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量＝（a+c，b），＝（b ﹣a，c﹣a），若向量∥，则角C的大小是（）A．B．C．D．解：∵∴（a+c）（c﹣a）＝b（b﹣a）∴b2+a2﹣c2＝ab2cos C＝1∴C＝故选：B．7．在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则＝（）A．1B．2C．3D．4解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系．则：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．因为AB＝2CD＝2，∠B＝45，所以AD＝DC＝1，M为腰BC的中点，则M点到AD的距离＝（DC+AB）＝，M点到AB的距离＝DA＝所以，，所以＝9/4﹣1/4＝2．故选：B．8．如图，在山根A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为（）A．500米B．1000米C．1200米D．1500米解：依题意，过S点作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，∵∠SAE＝30°，AS＝1000米，∴CD＝SE＝AS•sin30°＝500米，依题意，在Rt△HAS中，∠HAS＝45°﹣30°＝15°，∴HS＝AS•sin15°，在Rt△BHS中，∠HBS＝30°，∴BS＝2HS＝2000sin15°，在Rt△BSD中，BD＝BS•sin75°＝2000sin15°•sin75°＝2000sin15°•cos15°＝1000×sin30°＝500米．∴BC＝BD+CD＝1000米．故选：B．9．在△ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a、b、c若（b﹣c）sin B＝2c sin C且，则△ABC面积等于（）A．B．C．D．3解：∵（b﹣c）sin B＝2c sin C由正弦定理可得（b﹣c）b＝2c2即b2﹣bc﹣2c2＝0∴b＝2c∵，由余弦定理可得，＝∴c＝2，b＝4，sin A＝＝则＝×＝故选：A．10．在△ABC中，若＝，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解：∵cos B＝，cos A＝，∴a2+c2﹣b2＝2ac•cos B，b2+c2﹣a2＝2bc•cos A，∴＝＝＝，又＝，∴＝＝，即sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．11．若函数f（x）＝2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．32解：由f（x）＝2sin（）＝0可得∴x＝6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x＝4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C两点关于A对称即x1+x2＝8，y1+y2＝0则（+）•＝（x1+x2，y1+y2）•（4，0）＝4（x1+x2）＝32故选：D．12．设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（）A．[﹣6，1]B．[4，8]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，6]解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得（sinα﹣1）2+（16t2+18t+2）＝0可得﹣（16t2+18t+2）∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．故选：A．二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）13．在△ABC中，BC＝x，AC＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是．解：∵在△ABC中，BC＝x，AC＝2，B＝45°，且三角形有两解，∴如图：x sin45°＜2＜x，解得，∴x的取值范围是，故答案为：．14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线与CD 交于点F．若，，则＝．解：∵△DEF∽△BEADF：BA＝DE：BE＝1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO＝2：3，CG：CO＝2：3，∴等于，∵＝+＝＝，∴＝+＝+，故答案为：．15．已知＝（1，3），＝（2+λ，1），且与成锐角，则实数λ的取值范围是{λ|λ＞﹣5，且λ≠﹣}．解：由题意可得＞0，且、不共线，∴，求得λ＞﹣5，且λ≠﹣，故答案为：{λ|λ＞﹣5，且λ≠﹣}．16．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°．如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为a．解：由题意知∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°，又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°．所以AD＝CD＝AC＝a．在△BCD中，∠DBC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，由正弦定理得＝，所以BD＝CD•＝a•＝a，在△ADB中，由余弦定理得：AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB＝a2+（）2﹣2•a•a•＝a2，所以AB＝a．故答案为：a．三、解答题（本题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知平面向量＝（1，x），＝（2x+3，﹣x），x∈R．（1）若x＝2，求在上的投影向量c的坐标；（2）若⊥，求x的值．解：（1）若x＝2，则＝（1，2），＝（7，﹣2），则＝＝（，）．（2）若⊥，则＝（1，x）•（2x+3，﹣x）＝1×（2x+3）+x（﹣x）＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos＝，•＝3．（1）求△ABC的面积S．（2）若b+c＝6，求a的值．解：（1）在△ABC中，∵cos＝，∴cos A＝2×﹣1＝，A∈（0，π），∴sin A＝＝．又•＝3，∴bc×＝3，解得bc＝5．∴S＝＝2．（2）∵b+c＝6，bc＝5，∴a2＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc×cos A＝62﹣2×5﹣2×5×＝20，解得a＝2．19．已知||＝1，||＝2，与的夹角为120°．（1）求|2+|；（2）求向量2+与向量﹣的夹角θ的余弦值．解：（1）因为＝•＝，所以．（2）因为＝，所以又＝＝＝﹣1，所以＝．20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b•cos A＝c cos A+a cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求△ABC的面积S的取值范围．解：（1）由正弦定理，2b cos A＝c cos A+a cos C，所以2cos A sin B＝cos A sin C+sin A cos C＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．（2）由正弦定理，，所求b＝2sin B，c＝2sin C，所以S＝×＝sin（B+）×4，＝sin B（）＝，＝+，＝，＝+sin（2B﹣），又因为锐角△ABC是锐角三角形，所以，所以，＜2B﹣，所以sin（2B﹣）≤1，所以。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年第一学期高一第一次月考数学试卷(含评分细则)
湖南省雅礼中学2020年下学期高一第一次月考试卷数 学（时间：120分钟分值：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是(D )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2、集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝(D )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}3、设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式中错误的是(B )A ．(∁U A )∪B ＝U B ．(∁U A )∪(∁U B )＝UC ．A ∩(∁U B )＝∅D ．(∁U A )∩(∁U B )＝∁U B4、“b a ,为正数”是“ab b a 2>+”的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知命题p ：01x ∃＞，2010x -＞，那么p ⌝是（C ）A ．2110x x ∀-，＞＞B ．200110x x ∃-，≤＞C ．2110x x ∀-，≤＞D ．200110x x ∃-≤，≤6、已知函数()()2143f x x x R -=+∈，若()15f a =，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．3C ．4D ．57、已知命题“∃x ∈R ,使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是(D)A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．a >948、已知2>x ，则函数421)(-+=x x x f 的最小值为（A ）A.22+ B.222+ C.2D.22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9、使ab >0成立的充分不必要条件可以是(ACD )A ．a >0，b >0B ．a ＋b >0C ．a <0，b <0D ．a >1，b >110、下列说法中，正确的是（BC ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0>ab 11、已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（CD ）.A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.12、下列说法正确的是（BCD ）A.若R x ∈，则21≥+xx B.若51≤<≤-y x ，则06<-≤-y x C.“1>x 或2>y ”是“3>+y x ”的必要不充分条件D.若||||b b a a >，则ba >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_a ≤－1_______．14、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=0,10,10,0)(x x x x x f ，则)))1(((-f f f 的值是_____2_____．15、若}31|{≤≤∈∃x x x ，使得不等式022≥++a x x 成立，则实数a 的取值范围为15-≥a .16、已知1,=+∈+b a R b a ，,则：（1）2121+++b a 的最小值是__54_________;（2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是2+.【解析】（1）由于1,=+∈+b a R b a ，，则5)2()2(=+++b a 所以54)222121512121≥++++++=+++b a b a b a （，当且仅当21==b a 时等号成立；（2）22222111()22(2b b a b b a ab b a b abab ab ++++++===当且仅当a =即2a =，1b =-时等号成立.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.【解析】（1） 集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤ 集合{}|22A x x =-≤≤，则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2) 集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，则MA ⊆622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-，故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<-18、设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}A B x x =-<<（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有⎩⎨⎧≤--≥--1131a a ，解得02a ≤≤.19、已知函数x x x f 2622)(-+-=.（1）求)(x f 的定义域；（2）求)(x f 的值域.【解析】（1）由⎩⎨⎧≥-≥-026022x x 得)(x f 的定义域为]3,1[；（2）易知0)(≥x f .又121642426)26)(22(222)(22-+-+=-+--+-=x x x x x x x f =1)2(442+--+x .由于)(x f 的定义域为]3,1[，易得]8,4[)(2∈x f ，故求)(x f 的值域为]22,2[.20、已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，得实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-.由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又p、q⌝均为真命题，所以实数m需满足12mm<-⎧⎨<-⎩，解得2m<-，所以实数m的取值范围为2m<-.21、某单位决定投资3200旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元；两侧墙砌砖，每1m长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）.（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每21m造价20元，则当仓库占地面积S取最大值时，正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为()0x x>米，一侧砖墙长为()0y y>米，则仓库占地面积S（1）402453200x y+⨯=，6400493209S xyx y+==≥≤当且仅当9160,40==yx时取等号.故该仓库占地面积S的最大值为96400.（2）依题设，得40245203200x y xy+⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S≥+=+=，则1600S+-≤，即)10160+≤，故10≤S，从而100≤S，当且仅当4090x y=且100xy=即15x=时取等号，所以S的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米.22、（1）已知a，b，c均为正数,求证:aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba；（2）已知正数x，y满足2x y+=，若2122+++<yyxxa恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）证明∵a，b，c均为正数,∴ab2+ba2≥2ac3+ca3≥2bc23+cb32≥2以上三式相加,得ab2+ba2+ac3+ca3+bc23+cb32≥6∴（ab2+ba2-1）+（ac3+ca3-1）+（bc23+cb32-1）≥3即aacb-+32+bbca223-++3332≥-+ccba.(当且仅当a=2b=3c时等号成立).（2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以(1)(2)5x y +++=，所以：12155x y +++=则2222(11)(22)1212x y x y x y x y +-+-+=+++++，22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-++=+++，14122412x y x y =+-+++-+++，14112x y =+-++，1214()()15512x y x y ++=++-++14(1)24155(2)5(1)5x y y x ++=+++-++≥4115-+，当且仅当34,32==y x 等号成立要使2122+++<y y x x a 恒成立，只需满足min21）（+++<y x a 即可，故54<a ．。
2023-2024学年安徽省合肥市高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a b ≠ ，则a 与b的方向必不相同；③a b > ，则a b > ；④向量a 是单位向量，向量b 也是单位向量，则向量a 与向量b共线；⑤方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A ．①⑤B ．④C ．⑤D ．②④【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a b ≠ ，但a 与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||a b += ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||AC a b =+则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．3．已知a ，b 均为单位向量，(2)(2)2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【正确答案】A【分析】根据(2)(2)2a b a b +⋅-=-，求得a b ⋅=r r ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为22(2)(2)232232a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以2a b ⋅=r r ．设a与b 的夹角为θ，则cos .2||||a b a b θ⋅==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．23i j+ B ．42i j + C ．2i j - D ．2i j-+ 【正确答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2A B ，所以()2,1AB =-，所以2AB i j =- .故选：C.5．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，若a b∥，则3a b + 等于（）A B C D【正确答案】A【分析】由两向量平行得出b坐标中的y ，即可求出3a b + 的值.【详解】由题意，∵()1,2a =r ，()2,b y =- ，a b∥，∴()1220y ⨯⨯--=，解得4y =-，∴()2,4b =--∴()()()33,62,41,2a b +=+--=== 故选：A.6．已知向量(2,3)u x =+ ，(,1)v x = ，当()f x u v =⋅取得最小值时，x 的值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【正确答案】B【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2f x x =++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2f x u v x x x x x =⋅=++=++=++，故当=1x -时，f (x )取得最小值2．故选：B.7．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB = ，则AC等于（）A ．1B CD ．2【正确答案】A【分析】根据OC OB =，可得30ABC OCB ∠=∠=︒，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC ，由OC OB =，得30ABC OCB ∠=∠=︒.因为C 为半圆上的点，所以90ACB ∠=︒，所以112AC AB ==．故选：A.8．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【正确答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+ ，再将其用AM，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A (2，3)，B (-3，4)，如图所示，x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为i 和j，则下列说法正确的是（）A ．23OA i j=+ B ．34O i j B =+ C ．5AB i j =-+ D ．5BA i j=+ 【正确答案】AC【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OA i j =+ ，34OB i j =-+，故A 正确，B 不正确；5AB OB OA i j =-=-+ ，5A A i j B B =-=-，故C 正确，D 不正确．故选：AC10．在ABC 中，若3330b c B ===︒，，，则a 的值可以为（）A 3B ．23C ．33D ．43【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cos b a c ac B =+-，得2339232a a =+-⨯⨯，即23360a a -+=，解得：3a =23a =故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点2C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点2D ．该船在由A 行驶至B 的这5min 6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确.故选：ABD ．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，tan B =ABC 的面积为则2b a c-可能取到的值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC由tan B =sin 3B =，再利用ABC 的面积为6ac =，再利用余弦定理可得22()8b a c =-+，然后代入2||b ac -中利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：tan B = 1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B 6ac ∴=，由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c ，当且仅8||||-=-a c a c 等号成立，故2b a c-的最小值为AC 选项．故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac =，再利用余弦定理得出22()8b a c =-+，结合基本不等式求解.三、填空题13．已知点()1,5A --和向量()2,3a =r，若3AB a =，则点B 的坐标为________．【正确答案】()5,4【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OA AB OB =+求向量OB 的坐标，由此可得点B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为()1,5OA =--，()36,9AB a == ，故()5,4O A B OA B =+=，故点B 的坐标为()5,4．故答案为.()5,414．若向量()()(),3,1,4,2,1a k b c === ，已知23a b - 与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【正确答案】99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据23a b - 与c 的夹角为钝角，由()230a b c -⋅< ，且23a b - 与c 的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4a k b == ，得()2323,6a b k -=--．又23a b - 与c的夹角为钝角，∴()22360k --<，得3k <，若()23//a b c - ，则2312k -=-，即92k =-．当92k =-时，23a b - 与c 共线且反向，不合题意．综上，k 的取值范围为99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，设P 为ABC 内一点，且202PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S =△△________．【正确答案】15##0.2【分析】设AB 的中点是D ，连接PD ，根据平面向量线性运算法则，得到14P C D P =-，即可得到面积比.【详解】设AB 的中点是D ，连接PD ，由202PA PB PC ++= ，可得12PA PB PC +=-，因为122PA PB PD PC +==- ，所以14P C D P =- ，所以P 为CD 的五等分点（靠近D 点），即15P D D C =，所以ABP 的面积为ABC 的面积的15．故答案为.1516．在ABC 中，3a =60A = ，求32b c +的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得2sin b B =，2sin c C =.代入，进行三角恒等变换可得326sin 4sin b c B C +=+219)B ϕ=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sin sin sin 32ab cA B C ===，得2sin b B =，2sin c C =.326sin 4sin b c B C+=+()316sin 4sin 1206sin 4sin 22B B B B B ⎫=+︒-=++⎪⎪⎝⎭6sin 32sin B B B=++8sin)B B Bϕ=+=+)Bϕ=+，其中tan4ϕ=，所以max(32)b c+=故答案为.本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.四、解答题17．已知向量12a e e=-，1243b e e=+，其中()()121,0,0,1e e==．(1)试计算a b⋅及a b+的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．【正确答案】(1)1a b⋅=，a b+(2)10【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：()()()1,00,11,1a=-=-，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311a b⋅=⨯+⨯-=，a b+（2）设a b，的夹角为θ，由cosa b a bθ⋅=⋅⋅，cos a ba bθ⋅=⋅．18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60︒角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为,u v，河水的流速为w，求,,u v w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．【正确答案】(1)u w v=+(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30︒，则,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）结合图象，求出BC uu u r即可.【详解】（1）如图，u 是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60︒角的静水中的船速，则v 与u的夹角为30︒，由题意知，,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ==== ，由向量加法的三角形法则知，OC OA OB =+，即u w v =+ ；（2）因为10km /h OB v == ，而1sin 30105km /h 2BC OB =︒=⨯= ，所以这条河河水的流速为5km /h ，方向顺着河岸向下．19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【正确答案】ac ＝【分析】由b sin Acos B 边化角求得B ，由sin C ＝2sin A 得c ＝2a ，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为b sin Acos B ．所以由正弦定理，得sin sin cos .B A A B =sin 0,sin cos A B B ≠∴ ，即tan B =π0π,=3B B <<∴ ∵sinC ＝2sin A ，∴由正弦定理，得c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cosπ3，解得a c ＝2a ＝20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）45；（2）7.【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=得出72sin 10ADB ∠=sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos 10ADB ∠=，所以2sin 10ADB ∠=.又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin 2522sin 7102AC C AD ADC ⨯⋅∠==∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=.1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛== ⎝⎭，(1)求a b + 方向的单位向量；(2)若向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)57211414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)17,222⎛⎫⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()12,0,,22a b ⎛== ⎝⎭，求得a b + 的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线求解.【详解】（1）由已知()152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b +=所以14a b +=⎪⎭，即a b +方向的单位向量为1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅= ，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得2t =-，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得17,,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）4；（2）存在，且2a =.【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.。