幂函数的图像与性质

幂函数的图像与性质

（三）幂函数 1、幂函数的定义

形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）

A ．y x =

B ．3y x =

C ．2y x =

D ．1

y x -=

例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；

变式 已知幂函数2

223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数

y =_______．

2.幂函数的图像

幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．

α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；

α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

3、幂函数的性质

y=x

y=x 2 y=x 3

12

y x = y=x -1

定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且

值域 R [0，+∞）

R

[0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且

奇偶性 奇 偶 奇

非奇非偶 奇

单调性

增

x ∈[0，+∞）时，增；

x ∈(,0]-∞时，减

增 增

x ∈(0,+∞)时，减；

x ∈(-∞,0)时，减

定点

（1，1）

例3．比较大小：

（1）112

2

1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112

5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5

4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质：

(1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；

当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．

(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．

例4．已知幂函数2

23

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于

原点对称，求m 的值．

例5.已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求

m 的值，并画出它的图象．

变式：已知幂函数f(x)=x 322

--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a

）

（）（x xf b

x f -

的奇偶性.

5.规律方法

（1）．幂函数y ＝x α(α＝0,1)的图象

（2）.幂函数(,,,a q q

y x a p q N p p

*==

∈为最简分式）的图象

6.性质：

（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ；

（3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当1

1,1,3,3

a =-时，幂函数

是 ．

例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）

()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>

()D a d c b >>>

例7 若点

在幂函数

的图象上，点

在幂函数

的图象上，定义

，试求函数

的最大值以及单调区间。

例8 若函数

在区间

上是递减函数，求实数的取值范围。

x

O

y a

y x =

b y x =

c

y x =

【巩固练习】

1．在函数220

3

1,3,,y y x y x x y x x

=

==-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

2、幂函数的图象都经过点（ ）

A ．（1，1）

B ．（0，1）

C ．（0，0）

D ．（1，0） 3、幂函数2

5

-=x

y 的定义域为（ ）

A ．(0,+∞)

B ．[0,+∞)

C ．R

D ．(-∞，0)U (0,+∞) 4．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0

B ．a <0

C ．a =0

D ．不能确定

5．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A ．m >1 B ．m <1

C ．m =l

D ．不能确定

6．若函数f (x )＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是( )

A ．单调递减的偶函数

B ．单调递减的奇函数

C ．单调递增的偶函数

D ．单调递增的奇函数 7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：

x 1

12 f (x )

1

22

则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |－4≤x ≤4}

B ．{x |0≤x ≤4}

C ．{x |－2≤x ≤2}

D ．{x |0＜x ≤2} 8．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)

的图象不过原点，则m 的取值是( )

A ．－1≤m ≤2

B ．m ＝1或m ＝2

C ．m ＝2

D ．m ＝1