复变函数习题答案,习题一
复变函数论第三版课后习题答案[1]
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第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3iz e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
复变函数论习题及答案
第一章习题1．设12z -=，求||z 及Arg z .2．设12z z i ==，试用指数形式表 z 1 z 2及12z z .3．解二项方程440(0).z a a +=> 4．证明2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
5．设z 1、z 2、z 3三点适合条件： 1231230 |z ||||| 1.z z z z z ++=++=及试证明z 1、z 2、z 3是一个内接于单位圆周||1z =的正三角形的顶点。
6．下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1）1|212|||,()z z z z z z -=-≠；（2）|||4|z z ≤-；（3）111z z -<+；（4）0arg(1) 2Re 34z z π<-<≤≤且；（5）|| 2 z >且|3|1z ->； （6）Im 1 ||2z z ><且；（7）||2 0arg 4z z π<<<且；（8）131 2222i i z z ->->且.7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .az az c += （a 是非零复常数，c 是实常数）8．证明：z 平面上的圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=.其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2||.AC β> 9．试证：复平面上的三点1,0,a bi a bi +-+共直线。
10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线： （1）(1)z i t =+； （2）cos sin z a t ib t =+；（3）i z t t =+； （4）22i z t t =+.11．函数1w z =将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线（,z x iy w u iv =+=+）？（1）224;x y +=（2）y x =；（3）x = 1； （4）( x -1)2+y 2=1. 12．试证：（1）多项式1010()(0)n n n p z a z a z a a -=+++≠在z 平面上连续；（2）有理分式函数101101()n n nm m m a z a z a f z b z b z b --+++=+++（000,0a b ≠≠）在z 平面上除分母为的点外都连续。
复变函数综合练习题及答案
1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。
第1章复变函数习题答案习题详解
第1章复变函数习题答案习题详解第一章习题详解1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231+解：()()()132349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：133231=⎪⎭⎫ ⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+i Im 共轭复数：1323231i i +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 模：1311323231222=+=+i辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg2) iii --131 解：()()()2532332113311131312ii i i i i i i i ii i i i -=-+-=++---=+-+-=--实部：23131=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i i Im 共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 模：234434253131222==+=--iii辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3) ()()ii i 25243-+ 解：()()()22672267272625243ii i i i i i --=-+=--=-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 模：()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4) ii i+-2184解：ii i i i i31414218-=+-=+- 实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i i i Im共轭复数：()ii i i 314218+=+- 模：1031422218=+=+-i i i辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg2． 当x 、y 等于什么实数时，等式()iiy i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。
复变函数习题第一章答案
34 3 5 ； z = ( )2 + ( )2 = 2 2 2
5 arg z = − arctan( ) . 3 (3 + 4i )(1 + 2i ) 2 3 + 4i 2 − 5 + 10i 2 (2) z = ( ] =( ) =[ ) 2 2 1 − 2i 5 1 +2
= (−1 + 2i ) 2 = −3 − 4i ，
x + 1 + i ( y − 3) = (1 + i )(5 + 3i ) ，即 x + 1 + i ( y − 3) = 2 + 5i ，
根据复数相等的概念，有
1
x +1 = 2 x =1 ， 即 . y − 3 = 8 y = 11
⒊ 将下列复数化为三角式和指数式： （1） − 5i ； （3） 1 + i 3 ； 解 (1) （2） − 1 ； （4）
− i 2
π
π
π
.
(2) 这里 x = −1 , y = 0 ,则 z =
(−1) 2 + (0) 2 = 1 ,
从而有 cos θ = −1 , sin θ = 0 ; 得 arg z = π , 则三角式与指数式分别为:
z = [cos(π ) + i sin(π )] , z = e πi .
5
（1） x + y = 4 ；
2 2
（2） y = x ； （4） ( x − 1) + y = 1 ．
2 2
（3） x = 1 ； 解
ω=
x 1 y , = 2 −i 2 2 z x +y x + y2
第一章复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)（1）1-； （2）ππ2(cosisin )33-； （3）1cos isin αα-+；（4）1ie +； （5）i sin R e θ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L；主辐角为4π3；原题即为代数形式；三角形式为4π4π2(cosisin )33+；指数形式为4πi32e ．（2）略为 5πi 35π5π2[cos sin ], 233i e +（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα（4）略为 i;(cos1isin1)ee e +（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+（6）该复数取两个值略为i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+=+=+1.2 计算下列复数 1）()103i 1+-；2）()31i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k πi632e0,1,2k +=；1.3计算下列复数（1（2答案 （1）（2）(/62/3)i n e ππ+1.4 已知x【解】令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到2212()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以即实部为,x ±虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值．1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以1.6 如果复数b a i +是实系数方程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根．证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()kkz z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得即()0i ≡-b a P．故b a i -也是()0=z P 之根．注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．1.7 证明：2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.【解】 因为222244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n nnnn n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1）cos5θ； （2）sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+1.10 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有1.11 对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：22221111||(||||)||||nnnnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成立。
复变函数习题及解答
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案（1）实部－1；虚部；模为2；辐角为；主辐角为；原题即为代数形式；三角形式为；指数形式为．（2）略为（3）略为（4）略为（5）略为：（6）该复数取两个值略为计算下列复数1）；2）；答案1）；2）；计算下列复数（1）；（2）；答案（1）（2）已知为实数，求复数的实部和虚部．【解】令，即为实数域(Real).平方得到，根据复数相等，所以即实部为虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为值．如果试证明对于任何复常数有【证明】因为，所以如果复数是实系数方程的根，则一定也是该方程的根．证因为，，…，均为实数，故，，…，．且，故由共轭复数性质有：．则由已知．两端取共轭得即．故也是之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．证明：,并说明其几何意义．若，试求的值.【解】因为所以即为所以将下列复数表为的幂的形式（1）；（2）答案证明：如果是1的n次方根中的一个复数根，但是即不是主根，则必有对于复数，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：成立。
【证明】对任意n个复数，由三角不等式知再由关于实数的柯西不等式得,证毕。
证明成立．下列不等式在复数平面上表示怎样的点集1）；2）；3）；4）；5）（答 1）平面上由与所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以为心，内半径为2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为的角形区域；4）宽度为的说平带形域，边界为，；5）以为心，为半径的圆之外部区域）指出下列关系表示的点之轨迹或范围；并说明是何种点集1）2）解 1）令，由知且即这样的点为平面上从点出发（但不含点）与实轴倾角为的射线．此射线所形成的点集既非开集，也非闭集．2）设，则原条件即为即由模的定义得化简得这是一椭圆，长半轴为，短半轴为，中心在原点，它是有界闭集（全部为边界点）．描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是无界，单连通还是多（或复）连通.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解（1）是以i为圆心、在以2为半径的圆外，3为半径的圆内的圆环，是有界闭区域、多连通．（图形略）（2）即是下半平面，无界单连通闭区域．（3）到3的距离比到2的距离大，因此，它是左半平面，去掉一点，是无界的多连通的区域.（4）在直线的上方，其中．无界单连通区域（5）即或是无界多连通区域（6）此不等是焦点在和初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域）．（7）这是半支双曲线：，部分是无界单连通区域．（8）不等式即，或，只有当，成立，因此，只代表复平面上一个点．已知映射，求(1) 圆周的象；（2）直线的象；（3）区域的象．答案 (1) ，为圆周（2）直线（3）先看直线 x=1的象，而 z＝0 的象在圆的外部，因此的象是圆的内部即为讨论下列函数在指定点的极限存在性，若存在求出其值，并判断在该点的连续性．1）， 2)，解 1），则，，，又注意即在点处极限存在且连续．2）设，则显然，在点极限存在且连续．但注意不存在，事实上，令，有，对不同值有不同结果，故知不存在．所以，不存在．由连续与极限的关系知在处极限不存在、不连续．注这两个问题均通过极限存在的充要条件将问题转化为两个二元实函数在对应点处极限存在性的判断问题，这是最常用的方法．在问题1）中，又根据连徐的另一等价定义，立即得到在处不仅极限存在，而且在该点连续的结论；在2）中，实际上是一复变量实值函数，即，所以由充要条件只需判断一个二元实函数在点的极限存在性．由该二元实函数在点极限不存在即得在处极限的不存在性．若函数在点点连续，证明（1）在该点连续；（2）的模在该点连续．本章计算机编程实践与思考(说明：读者可参考第五部分计算机仿真编程实践)使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic计算机仿真求解下列复数的实部、虚部;共轭复数；模与辐角；计算机仿真计算：计算机仿真求解方程计算机仿真编程实践：若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式成立.用计算机编程实践方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C++）实现：（1）绘出单位圆及其内接正十七边形；（2）计算机编程求出边长；（3）能否对多变形进行推广，得出相应的计算机仿真计算方法.计算机仿真编程验证对复平面任意两个以上的不重合的有限远点，（即保证分母不为零），恒等式是否还成立呢注意式中自然数，而m, k为1至N的整数.（提示：利用随机函数产生随机数，从而验证恒等式是否成立）。
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习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin22ii i eπππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥（2）对任意复数12,,z z有2221212122Re()z z z z z z+=++证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y=+++，而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy=+++++-2222112212122()x y x y x x y y=+++++221212()()x x y y=+++，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a bi+是实系数代数方程10110n nna z a z a z a--++++=的一个根，那么a bi-也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n nz z=，由此得到：10110()()0n nna z a z a z a--++++=由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。
结论得证。
（4）若1,a=则,b a∀≠皆有1a baab-=-证明：根据已知条件，有1aa=，因此：11()a b a b a b a ab aa ab a a b a---====---，证毕。
（5）若1, 1a b <<，则有11a bab-<-证明：222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，因为1, 1a b <<，所以，2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--< ，因而221a b ab -<-，即11a bab-<-，结论得证。
7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+， 在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同向且1n z =，即n z 应为a 的单位化向量，由此，n a z a=，z=8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知2131z z Arg z z --应为0或π的整数倍，至此得到：123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。
9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为：121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩，因而，复参数方程为： 112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数）（1）(1)z i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）iz t t=+解：只需化为实参数方程即可。
（1）,x t yt ==，因而表示直线y x =（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22221x y a b+=（3）1,x t yt==，因而表示双曲线1xy = 11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=， 其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：220xy Ax By c ++++=，代入, 22z z z z x y i +-==，并注意到222x y z zz +==，由此 022z z z zzz A B c i+-+++=， 整理，得 022A Bi A Bizz z z c -++++=记2A Bi a +=，则2A Bia -=，由此得到 0zz az az c +++=，结论得证。
12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。
证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。
对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋于0x 时，arg zπ→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg z π→-，由此说明0lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？解：对于1x =，其方程可表示为1z yi =+，代入映射函数中，得211111iy w u iv z iy y -=+===++， 因而映成的像曲线的方程为 221, 11yuv y y-==++，消去参数y ，得 2221,1uv u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。
对于224xy +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中，得 11cos sin 2cos 2sin 2i w u iv z i θθθθ-=+===+因而映成的像曲线的方程为 11cos , sin 22u v θθ==-，消去参数θ，得2214uv +=，表示一半径为12的圆周。
14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1）0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表示圆心为0z ，半径为r 的圆周。
（2）0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。
（3）138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。
代入,zx iy ==化为实方程得22(2)11615x y -+=（4）,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的垂直平分线，即x 轴。
（5）arg()4z i π-=，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为4π的射线。
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。