第3章 信道均衡算法

第3章 信道均衡算法3.1 引言自适应型的滤波器有两种能力：自主学习能力和自主跟踪能力。

不同的优化标准准则的约束下，根据不同的性能要求，自适应型的滤波选用的算法可以归结为两类：递推最小二乘(简称RLS)算法、最小均方误差(简称LMS)算法。

在最小均方误差标准约束下，为了得到滤波器的输出信号与滤波器的期望信号两者间的最小的均方误差()2E e n ⎡⎤⎣⎦，我们使用LMS 算法。

在最小二乘准则标准约束下，为了得到估计误差的最小的加权平方和()21||n n i i e i λ-=∑，我们采用RLS 算法，并设定了带有权比的向量()W n 。

阶跃因子为λ，也就是遗忘因子，并且01λ<≤。

很多经典的自适应滤波的算法都是从以上两个准则的基础上导出的。

3.2 不同类别的信道均衡算法应用在自适应型的滤波器中3.2.1 自适应滤波的最小均方误差算法最小均方误差算法的优点明显：整个过程需要的计算少，实现起来十分方便。

使用最小均方误差算法中的最速下降法时，我们用到的迭代公式如下错误！未找到引用源。

：()()()()T e n d n X n W n =- （3-1）()()()()12W n W n e n X n μ+=+ （3-2）设步长因子μ，设自适应型的滤波器在n 时的权向量()W n ，设n 时刻的输入端的信号矢量表示为()()()(),1, (1)n x n x n x n L =--+⎡⎤⎣⎦X ，设自适应型的滤波器长度为L 。

定义期望信号是()d n ，误差信号是()e n ，噪声信号是()v n 。

已知该使用该算法达到收敛的条件是：max 10μλ<<，定义自相关矩阵的最大特征值max λ是系统输入信号的最大特征值。

自适应型的滤波算法有三项最重要的指标：使用的时变系统在最开始的收敛速度、得到稳定状态后测量误差和是否有能力继续跟踪。

噪声信号在大部分情况下都是在输入端产生的，为了能有效的处理噪声，该算法会产生参数失调噪声，并且偏移噪声的大小取决于噪声信号。

稳态误差的大小是和阶跃因子相关的，收敛速度也是如此：如果设定大的步长因子，我们就会得到较大的稳态误差，也就会有更快的收敛速度，如果取小的步长因子，就会相应的使收敛速度变慢，进而得到较快的R 稳态误差，跟踪速度也是如此。

无论是取大的值还是取小的值，步长因子的值一旦确定下来就难以改变，这无法满足我们对算法性能的要求。

为了提高算法的性能，很多的自适应型的滤波算法都是通过改变步长这一方式，被不断的发现提出的。

3.2.2 RLS 自适应滤波算法在最小二乘标准准则的约束下，使用RLS 算法，在自适应型的滤波器的解算中，根据输入信号的带有权重的向量回归自相关矩阵的性质，目标是得到最小的估计误差的加权平方和。

输入信号的频率谱线的有关特性并不会影响到收敛性能，其收敛速度比LMS 算法更快。

然而，由于其计算复杂度高，存储所需的计算量非常大。

无法达到理想状态，所以一般不用于实际系统3.2.3 变换域自适应滤波算法特征值由输入信号在系统中的自相关矩阵求得且与LMS 算法的收敛性有关。

如果特征值越小，证明该算法的收敛能力越强，反之收敛能力差。

因此，为了使特征值由输入信号的自相关矩阵求得的值较小，学者们探索出提出一种新的算法，是一种变换域自适应滤波算法，通过正交变换的方式对输入信号变换，其目的是让特征值的发散程度降低。

变换域信号代替时域信号是该算法的核心，自适应算在得到变换域中来进一步使用。

变换域算法分为以下几个计算流程：第一，先进行正交变换，用求得的变换域信号代替输入原始的时域信号。

第二，对变换后的信号再进行求平方根运算。

第三，完成滤波，滤波可以通过选取一些适当的算法来实现。

3.2.4 共轭梯度算法虽然RLS算法收敛速度较快，但需要估计逆矩阵。

如果估计的逆矩阵失去了正确性，则该算法发散，且算法的计算内容需要大量存储，对实现没有帮助，更会提高实验的复杂性。

虽然这些算法有时能有效减少了计算，但它们都具有数值稳定性问题。

共轭梯度自适应滤波算法不包含RLS算法中的矩阵运算，不存在数值稳定性问题，保持了RLS算法的快速收敛错误！未找到引用源。

3.3 本章小结本章主要介绍和总结了自适应滤波算法,并介绍了四种现代自适应滤波算法。

LMS算法是最基本的自适应滤波算法。

同时,还讨论了四种自适应滤波算法的收敛速度。

计算复杂性,数值稳定性的影响算法性能的元素进行了较为简单的比较。

每一种算法都有自己的优缺点,在进行自适应滤波的时候都是值得借鉴的。

第4章 LMS 自适应滤波算法研究4.1 引言LMS 算法,利用得到的粗梯度估算值推测梯度最急剧下降算法的基础上,算法的性能很好,而且适用范围有限,但计算量少,容易实现实用的优点。

这是广泛使用的。

LMS 算法的基本原理是遵循下降法,即在加权梯度值的负方向上进行搜索,从而实现最佳权重,以实现最小均方误差的意义上的自适应滤波。

为了无线信道的多路径效应,信号产生ISI 和均衡器用来抑制失真。

应用环境的时变特性是均衡器是自适应的,因此不必事先知道信道和发送信号的统计特性。

而是根据需要事先了解训练最好的动作状态,实现通道会失真,可以补偿的需要。

如果输入信号和信道变化的统计特性,则可以跟踪该变化。

在少数迭代之后恢复最佳的操作状态。

自适应滤波器可以分为两部分:参数可调数字滤波器和自适应算法。

本章主要介绍算法原理。

4.2 最小均方误差(LMS)算法原理LMS 算法的判据是最小均方误差，即使期望信号()d n 与滤波器输出信号()y n 之间的差值()e n 的平方值的期望值最小，并且根据该准则对权重系数()i w n 进行修改，所得到的算法被称为最小均方误差算法（LMS ）错误！未找到引用源。

假设N 阶有限冲激序列滤波器的抽头权系数为()i w n ，滤波器的输入信号为()x n ，输出信号为()y n ，则有限冲激序列横向滤波器方程可表示为：()()()1Ni i y n w n x n i ==-∑ （4-1）令()d n 代表期望信号，定义误差信号：()()()()()()1Ni i e n d n y n d n w n x n i ==-=--∑ （4-2）采用向量形式表示权系数及输入W 和()n X ，可以将误差信号()e n 写作()()()()()T T e n d n n d n n =-=-W X X W （4-3）误差的平方为：()()()()()()222T T T e n d n d n n n n =-+X W W X X W （4-4）上式两边取数学期望后，得到均方误差：(){}(){}()(){}()(){}222T T T E e n E d n E d n n E n n =-+X W W X X W （4-5） 定义互相关函数向量：()(){}TT xd Ed n n =R X （4-6）和自相关函数矩阵：()(){}T xx E n n =R X X （4-7）所以均方误差可表述为：(){}(){}222TT xd xx E e n E d n =-+R W W R W （4-8）这表明，均方误差是具有凹抛物线的权系数向量W 的二次函数，因此它具有唯一最小值。

调整加权因子使平均自乘误差最小化。

这相当于抛物线的最小值。

你可以用梯度找到最小值。

利用加权系数公式(4-8)推导出均方误差的梯度：()(){}(){}(){}222, (22)xd xx E e n E e n n E e n δδδδ⎡⎤⎢⎥∇=∇==-+⎢⎥⎣⎦1N R R W W W （4-9） 令()0n ∇=，即可以求出最佳权系数向量：1opt xx xd -=W R R （4-10）将opt W 代入式（4-8），得到最小均方误差：(){}(){}22min T xd opt E e n E d n =-R W （4-11）用公式（4-11）求最佳权系数向量的精确解，需要知道统计先验知识xx R 和xd R 的和，需要进行矩阵求逆等。

根据最快下降法的优化，“下一时刻”权系数向量()1n +W 应等于“当前时刻”权重系数向量()n W 加上负均方误差梯度()n -∇ 的比例，即：()()()1n n n μ+=-∇W W （4-12）阶跃因子μ用于控制收敛速度和常数误差常数，因此也称为收敛因子。

LMS 算法有两个关键点：梯度计算和收敛因子选择错误！未找到引用源。

精确计算梯度()n ∇是一件非常困难的事，在实际情况下几乎是不可能的，因此，与均方误差的估计值相比，有一个相对粗略但非常有效的计算方法：取()2e n 作为均方误差(){}2E e n 的估计值，即：()()()2=2e n e n e n ∧⎡⎤∇∇=∇⎡⎤⎣⎦⎣⎦ （4-13） 式中的()e n ∇⎡⎤⎣⎦为：()()()()()T e n d n W n X n X n ⎡⎤∇=∇-=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ （4-14）在公式(4-14)中替换(4-13)，我们得到()n ∇如下：()()()2n e n X n ∧∇=- （4-15）于是，较优化的LMS 算法最终为： ()()()()12W n W n e n X n μ+=+ （4-16）由于LMS 算法是一种随机梯度算法,挖掘权重向量更新的方向是完全随机的,并且在每次迭代之后不期望瞬时功率。

因此受到重复中的梯度噪声的影响。

但是,由于循环迭代过程本身是不断估计且平均的过程,所以这不会对算法的性能产生较大影响。

4.2.1 LMS 算法的失调由于LMS 算法在迭代时使用随机的梯度,所以在算法的收敛之后的瞬间误差功率比理论上的最小值更大,它是以一定值为中心的随机值。

用这种不平衡来描述自适应滤波器稳态误差的瞬时误差功率与理论最小值之间的关系：()min minlim n e n e v e →∞-= （4-17） 可以证明，式（4-17）等效于： 12N k k v μλ==∑ （4-18）输入信号的自相关矩阵的值是k λ，并且用N 表示滤波器的阶数，μ表示步长因子。

根据自相关矩阵的本征值分解理论,矩阵的对角元素等于()0r ，式（4-18）等价于以下的方程式:：[]()(){}(){}12200|u |||||222N w k v tr Nr E n k E u n E μμμ-====-==∑R （4-19）其中，w E 为滤波器抽头输入的总功率。

4.2.2 平均时间常数平均时间常数被用于测量LMS 算法的收敛速度，定义为：,11142mse av N k k N v N τμλ===∑ （4-20） 由式（4-19）和式（4-20）可知，LMS 算法的稳定状态偏移与滤波顺序和步长成正比例，与收敛时间成反比，会聚率和稳定状态的不均衡相矛盾。