运筹学及其应用3.4 改进单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法，又称单纯性法，是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它在运筹学中发挥着重要作用。
它主要应用于决策及资源分配问题，可以帮助决策者更好地把握资源的优化配置，并寻求最优解。
单纯性法是以线性规划问题作为理论基础，它是将该问题转化为一系列形如Ax=b的线性方程组的运筹学方法。
在这个方程组通过调整方程中的系数和右面常数而变换为形如Cx≤d的不等式形式，而这种不等式系统称为单纯性约束条件。
单纯性法从不等式中寻找一系列基向量，并通过改变基向量来实现改变不等式的求解方程之间的关系，从而求出最优解的问题。
传统的单纯性法分为有界单纯性和无界单纯性两种情形。
无界单纯性以简单费用曲线方法、扩展的简单费用曲线方法和增广次数法三大类。
有界单纯性主要是对对角单纯性和非对角单纯性这两类单纯性系统分别使用不同的方法进行求解。
单纯性求解方法在线性规划问题求解中具有重要应用，它能通过求解线性规划问题中的一系列互不相关的子问题来求出最优解。
使用该方法，可以以最少的成本达到最优的收益，它包括费用最低优化、网络流优化、全格研究和数学优化模型等。
【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)
的最优解S(k)和最优值
(k +1) (k ) (k )
q(S(k) )
(k + 1) (k )
) f (X = X + S 若 f (X (3)令 X 取 X * = X (k+1) ,停止,否则转(4) (4)计算 f = f (X (k) ) f (X (k+1) ), q = f (X (k) ) q(S(k) ) 1/ 2k ..若 f < 0.1q 令
第三章
无约束非线性规划
3.4 信赖域法, Matlab解无约束非线性规划
一.信赖域法: 1.思想: 1) 前两节方法的结构原理为用二次模型产生下降方 向,在下降方向上确定可接受的步长,得到新迭代点. 若二次模型不近似原目标函数,则在搜索方向上无 法找到满意的下降迭代点. 能否先指定步长的界,再用二次模型确定方向和步 长? *注:保证在下近似,可使f(x)与 二次模
y(1) = x +α(x xmax )
2 扩展:给定扩展系数 >1,计算.(加速) 扩展:给定扩展系数γ 计算.(加速) 计算.(加速
y(2) = x +γ ( y(1) x)
3.5 直接算法
一, 2,改进单纯形法: (续) ,改进单纯形法: (1)若f(y(1))<f(x min), 则 若 那么y 取代x 否则, 取代x 若f(y(1))> f(y(2)), 那么 (2)取代 max; 否则, y(1)取代 max (2)若max{f(x(i))| x(i) ≠x max } ≥ f(y(1)) ≥ f(x min), y(1)取代 max . 取代x 若 3° 收缩:若f(x max )> f(y(1)) > f(x(i)), x(i) ≠x max ,计算 ° 收缩: 计算
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种运筹学中常用的数学方法，用于求解线性规划问题。
它的基本思想是利用几何形状的变化来逐步接近最优解。
虽然单纯形法在很多情况下都能够有效地求解线性规划问题，但是也存在一些局限性和不足之处，这就需要对单纯形法进行改进和优化。
单纯形法在处理大规模线性规划问题时效率较低。
在实际应用中，很多线性规划问题都是由成千上万个变量和约束组成的大规模问题，对于这种情况，传统的单纯形法往往需要消耗大量的时间和计算资源。
改进单纯形法的效率是十分必要的。
单纯形法在面对非线性规划问题时无法使用。
传统的单纯形法只适用于线性规划问题，对于非线性规划问题则无能为力。
而在实际问题中，不少线性规划问题实际上是非线性规划问题的近似，因此需要一种能够适用于非线性规划问题的求解方法。
单纯形法在处理解空间过大的问题时也存在困难。
一些线性规划问题的解空间非常大，导致单纯形法难以在有限的时间内找到最优解。
在这种情况下，单纯形法常常会陷入局部最优解而无法达到全局最优解。
为了克服单纯形法存在的上述问题，学者们对单纯形法进行了多方面的改进。
一方面，他们提出了一系列的改进型单纯形法，比如双重单纯法、内点法等。
这些改进型单纯形法通过改变基本解的选择方式和变量的搜索方向等，来提高单纯形法的运算效率和稳定性，从而适用于更广泛的线性规划问题。
研究者们也提出了一些新的数学方法，比如内点法、模糊规划等，来解决单纯形法无法处理的非线性规划问题。
内点法通过引入新的概念和算法，使得求解非线性规划问题变得可能。
而模糊规划则是一种能够处理带有模糊参数的规划问题的方法，它在一定程度上可以扩展单纯形法的适用范围。
随着计算机技术的不断发展，人们还提出了一些基于并行计算和分布式计算的单纯形法改进方法。
这些方法通过充分利用计算资源，将原本需要很长时间才能完成的计算任务分配给多核处理器或者多台计算机，从而大大缩短了求解时间，提高了单纯形法的效率。
单纯形法的改进是一个持续的课题，它不仅包括对传统单纯形法的改进，还包括对新型数学方法和计算技术的引入。
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。
一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。
运筹学单纯形法各个步骤详解
运筹学单纯形法各个步骤详解1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点高深莫测，但其实特别有意思的东西——运筹学的单纯形法。
别看它名字复杂，其实它就是解决线性规划问题的绝招，像一把钥匙，打开了优化的宝藏。
想象一下，如果你有一大堆资源，要把它们分配到不同的地方，听起来就像玩拼图一样。
好了，废话不多说，咱们直接进入正题！2. 单纯形法的基本概念2.1 线性规划的起源首先，线性规划是啥？简单来说，它就是在一系列限制条件下，想要最大化或最小化某个目标函数。
这听起来像是在做一场抉择，你得在各种选择中找到最优解。
有点像在超市里，看到一堆零食，犹豫不决，最后只能选那包最爱吃的，既美味又划算。
2.2 单纯形法的基本思路而单纯形法就是解决这个问题的武器。
它的核心思想很简单，跟追求完美一样，咱们要一步步地朝着最优解迈进。
想象你在爬山，每一步都在找那个最容易走的路，直到你站在山顶，俯瞰整个美景，啊，真是太棒了！3. 单纯形法的步骤3.1 初始化那么，怎么开始呢？首先，咱们得把问题转化为标准形式。
这就像把一个繁杂的图案简化成几何图形，让它看起来更清晰。
要把不等式转换为等式，添加松弛变量，这样就可以把问题整理得干干净净。
3.2 构建初始单纯形表接下来，咱们构建初始单纯形表。
这个表就像一本菜单，上面列出了所有可能的选择和它们的成本。
每个变量都有自己的“价格”，而咱们的目标就是尽量少花钱，最大化收益。
想想你逛街时，总是想着要花最少的钱买到最好的东西，嘿，这就是单纯形法的精神！3.3 寻找基变量和入基变量然后，咱们得找出“基变量”和“入基变量”。
基变量就像在舞台上表演的演员，而入基变量就是准备加入的“新人”。
在这个过程中，咱们得判断哪个新人能让整个表演更精彩。
如果找对了，舞台瞬间就能变得熠熠生辉，若是找错了，哎呀，那可就尴尬了。
3.4 更新单纯形表一旦找到了合适的入基变量，咱们就得更新单纯形表。
这一步就像在调味，添加新的元素，让整体味道更加丰富。
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
运筹学 第二章 单纯形法
按最小非负比值规则：
5 0 1 1/ 3 1 1 2 1
x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 1
0 15 0 1/ 6 0 4 0 1/ 6 1 1 0 1/ 3 0 8 0
至此，检验行已没有负数， 当前解即为最优解。
0
此时对应的LP问题为：
min S 0 x1 0 x2 x3 x4 0 x5 1
x4 1 x1 2 x2 2 x3 s.t 0 x1 3x2 3x3 x4 x5 5 x 0 (i 1,2,3,4,5) i
i 1, ,5
可行基{ x1 , x 2 , x 3 }
令非基变量 x4 , 最优值：
x 5为0，得到最优解
17 max Z 2
15
7 3 15 X 3 ( , , ,0,0)T 2 2 2
此基本可行解对应可行域的顶点(7 / 2, 3 / 2) 其结果与图解法一致。 总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基 可行解的非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行的初等变换不能把0变成1。
此时，
x4
已经从24降到了0，达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基{x1 , x3 , x5 } 。 由此得到一个新的基本可行解： X 1 ( 4,0,15,0,1)T
8
此基本可行解对应可行域的顶点(4,0)
目标函数值： ( X1 ) 2 4 8 Z ( X 0 ) 0. Z
T
X 0 (0,0,15,24,5)
(对应可行域的 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
σENXXB
+
N
B−1 NX N − z = −C
= B−1b B B−1b
4
σENXXB
+
N
B−1b B B−1b
即 (CN − CB B−1N )X N − z = −CB B−1b
令 XN = 0
得 X B = B−1b,
z = CB B−1b,
σ N
= CN
− CB B−1N
基本可行解
X
=
B
−1b
0
目标函数
z = CBB−1b
注! 使σ N ≥ 0的B为最优基,
若能找到最优 B,则最优解直接由上式求 出.
5
v 在单纯形法的矩阵形式中我们可以发现，单纯形表中的其它 数字可利用B −1和原始系数进行运算直接得到：
σ j = c j − z j = c j − C B B −1 Pj
b' = B −1b
P
' j
=
B −1Pj
z = CB B−1b
v 这就是改进单纯形法的出发点。
v
令向量Y表示C
B
B
−1
，即
Y
= CBB−1 称其为单纯形乘子。
6
A = (B, N ), C = (CB ,C N ), X = ( X B , X N ),
min z = CB X B + C N X N BX B + NX N = b X B ≥ 0, X N ≥ 0
3
BX B + NX N = b CBXB + CN XN − z = 0 B−1BX B + B−1 NX N = B−1b 得X B = − B−1 NX N + B−1b 代入CB X B + CN X N − z = 0 (CN − CB B−1N )X N − z = −CB B−1b
3.4 改进单纯形法
v 单纯形法计算的特点是每迭代一次，就要把整个单 纯形表重新计算一遍。从计算机的角度来讲，单纯 形法并不是一种经济高效的方法。
v 首先是要占用大量的存贮空间，其次，由于每次计 算都利用上一次的单纯形表，当计算次数较多时， 容易造成误差的积累，直接影响计算精度和收敛速 度。
v 改进单纯形法的基本计算步骤和单纯形法基本相同， 但在上述两方面有所改进。
1
v 在单纯形法的迭代过程中，我们实际需要的 只有以下各项：
v 1、检验数σ j = cj − zj ,以判断是否最优或确定 换入基变量。
v 2值、b换i' ，入根变据量ab所i'i'j 决在定列换的出各基元变素量ai'j。和基变量的
2
单纯形法的矩阵形式
Min z = CX
s.t.
AX=b
X≥0