(完整版)圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在， 并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 1）点：坐标 x 0, y 02）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法： 若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量的方程（组） ，运用方程思想求解。
、典型例题：于 A, B 两点，当 l 的斜率为 1时，坐标原点 O 到l 的距离为 （1）求 a,b 的值uuur uuur uuur（2） C 上是否存在点 P ，使得当 l 绕F 旋转到某一位置时，有 OP OA OB 成立？若存 在，求出所有的 P 的坐标和 l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e c 3a:b:c 3: 2 :1a322例 1：已知椭圆 C : x 2 y 2 1 a ab0 的离心率为过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交2则a3c,b2c ，依题意可得：c,0，当l 的斜率为1时l:y xc xycd O解得：c13,b椭圆方程为：x22）设P x0, y0 ，x1, y1 ,B x2,y2当l 斜率存在时，设l:kxuuur uuur uuur QOP OA OBx0 x1x2联立直线与椭圆方程：3k2 2 x2 6k2 xx16k2x23k226k 2,3k22,6k23k 224272k 448k2y0 y1y2x2 3 y23k260y1y2 ky2消去6x1 x 2y 可得：2x2 3k 22k6k33k22k21 6 ，整理可得：4k3k 224k23k 2 2因为P 在椭圆上3 3k42k226 3k 222224k23k 23k224k 2 6 3k 2当k 2时，l :2x当k 2 时，l :y3,22,2当斜率不存在时，可知l:x，A1,2 3,B3233则P2,0 不在椭圆上1,综上所述： l : y 2 x 1 ，P 3, 2或l:y 2x 1，P 3, 22 2 2 2 22 例 2：过椭圆 : x 2 y 2 1 a a 2 b 2 b 0 的右焦点 F 2的直线交椭圆于 A,B 两点， F 1为其左 焦点，已知 VAF 1B 的周长为 8， 椭圆的离心率为 32 1) 求椭圆 的方程 2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 P,Q ，且 OP OQ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：(1)由 VAF 1B 的周长可得： 4a 8 a2 c 3c 3 a2 b 2椭圆 2 x 2 x 4 y 2 1 2) 假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内 r1若直线 PQ 斜率存在，设 PQ: kx m ， P x 1, y 1 ,Q x 2,y 2Q PQ 与圆相切 dO m k 21 2k 2OP OQ uuur uuur OP OQ 即 x 1x 2 y 1y 2 0联立方程： y kx m 22x 2 4 y 24 1 4k 2 x 28kmx4m240x 1 x 28km 4k 2 1, x 1x 2 4m 2 4 4k 2 1y 1y 2kx 1 m kx 2 mk 2x 1x 2 km x 1 x 2 x 1x 2 y 1 y 2k 21 x 1x 2km x 1x 2 m 2225m 4k 44k 21若PQ:x 25，则 P 2 5,2 5,Q 2 5,2 55 5 5 5 5uuur uuur 2OP OQ 0 PQ: x 5符合题意52若PQ : x5 ，同理可得也符合条件5综上所述，圆的方程为： 2 24 x 2 y 2 5例 3：22已知椭圆 x2 y2 a 2b2 1 a b 0 经过点 0,，离心率为 1，左，右焦点分别为2F1c,0 和 F 2 c,0（1）求椭圆 C 的方程2）设椭圆 C 与x 轴负半轴交点为 A ，过点 M 4,0 作斜率为 k k 0 的直线 l ，交椭圆C 于B,D 两点（ B 在 M,D 之间），N 为 BD 中点，并设直线 ON 的斜率为 k 1 ① 证明： k k 1 为定值② 是否存在实数 k ，使得 F 1N AD ？如果存在，求直线 l 的方程；如果不存在，请说明 理由c1解：（1）依题意可知： e可得： a:b: c 2: 3:1a24m244k 2 1k21km8km 2 2m 4k 21225m 2 4k 2 4 0 对任意的 将m 2 r 2 k 2 1 代入可得： 225r 2 4 k 2 1 0存在符合条件的圆，其方程为： 当 PQ 斜率不存在时，可m,k 均成立5r 2 k 2 1 4 k 2 1 0 24 r5 22xyPQ 为x25 5x 2椭圆方程为：2x 4c 22 y3c21，代入 0, 3 可得： c 122椭圆方程x y14 32）① 证明： 设B x 1,y 1,D x 2,y 2 ，线段 BD 的中点 N x 0, y 0 设直线 l 的方程为：k yx 4 ，联立方程：y 3x 2 4 y 212化为：3 4k2232k 2x 64k 212 00解得： k 2 x 1 x2 32k 232k3,x 1x 2 4k264k 24k 2123 x0 x 1 x 2 216k 2 4k 23 y 0 x 012k 4k 23k1 y0 x0 4k k 1k ② 假设存在实数 k ，使得 F 1 N yx12k 3 4k 2 16k 2 3 4k 2 y2k x 2 44kAD ， kF 1Nk AD 14k4k2x2F 1N 4k1 4k 2k x2 x2即 4k 2 x 2 22 16k 2 4k 2 1 x28k2x22 2 8k 2因为 D 在椭圆上，所以 x 2 2,2 ，矛盾所以不存在符合条件的直线22例 4 ：设 F 为椭圆 E : x2 y2 1 a bab的右焦点，点3P 1, 在椭圆 E 上，直线2l 0: 3x 4y 10 0与以原点为圆心，以椭圆 E 的长半轴长为半径的圆相切3x 24y 2 32消去 y 可得：124k 2 3 x 28k 2 12k x 4k 2 12k 3 08k 212k 4 4k 2212k 3 4k 23 144 1k k 244k 3 1 k 2144 1k k 24k 2 31）求椭圆 E 的方程2）过点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点，过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于另l ，使得四边形 PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出 l 的方程； 若不存在，说明理由 解：（1）Q l 0 与圆相切2x椭圆方程为：4联立直线 l 与椭圆方程：同理：联立直线 PQ 与椭圆方程：点 Q ，问是否存在直线 d O l102 r 53将 P 1, 代入椭圆方程2x 22 yb 21 可得： b 32）由椭圆方程可得：1,0设直线 l : y k x 1，则 PQ:yy3x 2x14y 2消去 y 可得： 4k 2 3 12x 2 8k 2x 4k 2 12 0AB8k 24 4k 23 4k 2122 144k 21441 k2x 1 x 2k 24k 2 13212 k 2 1 4k 2 3PQ因为四边形 PABQ 的对角线互相平分 3解得： k4若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（ 1）设 P x, y ,F 1 c,0 ,F 2 c,0uuuuuu PF 1c x, y,PF 2c x, yuuu uuur 222cPF 1 2PF 2 x 2y2 2b 2由 x22y21 可得：2 yb 2 b2x 2代入可得：ab 2a 2uuur uuur 2 2PF 1 PF 2 x 2 y 22 c b 2 2 2 1 2 x b c 2c 2 2 22 x b ca auuur uuur 2Q x a, aPF 1 PF 2 b 2maxc 2b 2 3c 2c 2 a 2 c 2 3c 2222c a 224c a四边形 PABQ 为平行四边形AB PQ12 k 24k 2 311k 2144 1k k 24k 2存在直线 l : 3x 4y0时， 四边形 PABQ 的对角线互相平分2 x例 5：椭圆 C :2 a 22 yb 2ab 0 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ，右顶点为 A ， P 为椭圆 C 1uuur uuur 上任意一点，且 PF 1 PF 2 的最大值的取值范围是c 2 ,3c 2，其中 c a 2 b 21）求椭圆C 1的离心率 e 的取值范围2）设双曲线 C 2 以椭圆 C 1 的焦点为顶点，顶点为焦点， B 是双曲线 C 2 在第一象限上任意一点，当 e 取得最小值时， 试问是否存在常数0 ，使得 BAF 1 BF 1A 恒成立？2) 当e12时，可得： a 2c, b3c2x双曲线方程为 2c 22y21， A 2c,0 , F 1 c,0 ，设 3c2 B x 0,y 0 ， x 00, y 0 0当 AB x 轴时， x0 2c, y 0 3ctanBF 1A 33c c 1 BF 1A因为BAF 1所以 BAF 1 2 BF 1A考虑 tan tan2 2， 面证明 BAF 1 BF 1A 2tan1 tan 2由双曲线方程 2 x 2c 2y3c 2 2对任意 yx 0 2cBF 1A BF 1A1，可得：B 点均使得BAF 1BF 1 A 成立,tanBF 1AkBF 1yx 0 cyx 0 c2 y 0 x 0 c2 y 02 x 0 c 2 y 02 x 03c 2 tan2 BF 1 A 2 y 0 x 0 c 2 x 0 BAF 1 BF 1A 结论得证 2时， BAF 1 例 6：如图， 2椭圆 E: x 2 a 2 yx 0 c3x 023c2x2 y2cx 04c22 x 0 c 2c x 0c 2c x 0 2cBF 1A 恒成立 2b y 2 1 a b 0 圆相交于 A,B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，1)求椭圆 E 的方程xtan BAF 1的离心率是 2，过点 P 0,12的动直线 l 与椭直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 22）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得对于任意直线 l ，Q Q B A P P B A恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由22椭圆方程为 2xb 2 b y2 1由直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 及椭圆的对称性可得： 点 2,1 在椭圆上22xy椭圆方程为42Q 在 AB 的中垂线上，即 Q 位于 y 轴上，设 Q 0,y 0当l 与x 轴垂直时，则 A 0, 2 ,B 0, 2A x 1,y 1 ,B x 2, y 2解：（1） e c 2a2a:b:c 2 :1:12b 2 b2 1 b 2a 2 42）当 l 与 x 轴平行时，由对称性可得： PA PBQA QBP PA B 1即 QA QBPA 2 1, PB 21QAy 02, QB y 0 2QA PA QBPBQ P,Q 不重合Q 0,2面判断 Q 0,2 若直线22 1可解得y 02 2 1y 0y 0 2能否对任意直线均成立 l 的 斜 率 存 在 ， 设 l : y kxy 0 1 或 y 0 21，第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何1 2m2 2 00 成立直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F （1）求椭圆 C 的方程（2）动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到直 线 l 的距离之积等于 1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由联立方程可得： x 2 2y 24 y kx 1221 2k2 x 2 4kx 2 0QAQBPA可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分 BQA只需证明 k QAk QBk QAk QB 0A x 1, y 1 ,B x 2, y 2k QAy 1 x 1y 2 2x 2k QA k QBy 1 2x 1y 2 2x 2x 2 y 1 2 x 1y 2 2 x 2y 1 x 1 y 2 2 x 1 x 2x 1x 2x 1x 2因为 A x 1, y 1 ,B x 2, y 2 在直线kx 1 上，y 1y 2kx1 1代入①可得：kx 2 1 k QA1 2 x 1x 22kx 1x 2 x 1 x 2联立方程可得：x 22y 2 kx 1x 1 x 2k QA4k1 2k2k 22 1 2k 22 1 2k 22 , x 1x 2x 1x 2x 1x 2221 2k2 x 222 1 2k 24k 1 2k 2 0 4kx 20k QAQP 平分 BQA由角平分线公式可得：QAQBP P B A2 x例 7 ：椭圆 C :2 a b y2 1 a b 0 的上顶点为 A ，4bP , 是 C 上的一点，以 AP 为33第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何解：由椭圆可知：A 0,b , F c,0uuur uuur uuurQ FA uuur c,b ,FP43bc,3FA FP 04b2024b2c c c c3333Q AP 为直径的圆经过F FA FP代入椭圆方程可得：在椭圆上，316 1b2b2b2 4c32cb232a bcx椭圆方程为22）假设存在x 轴上两定点M1 1,0 , M 22 ,0 ，设直线l: y kx md M1 , d M 212 k2k21所以依题意：d M 1 l 2m k21 2 km 1 k211①因为直线l 与椭圆相切，联立方程：y kx m 2 y x2 k2x y2m22k221 x 4kmx 2m220由直线l 与椭圆相切可知 24km 24 2k 22化简可得：m22k 21，代入①可得：k 1 2 km 1 2k 212k21 1km 1 2 2k2第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何1 2m2 2 0k1 2 1km120 ，依题意可得：无论 k,m 为何值，等式均成立1 2 1 1 2 01 21 112所以存在两定点：M11,0,M 2 1,0例 8：已知椭圆 C 1 :x 24y2 1的左右焦点分别为 F 1, F 2 ，点 P 是C 1上任意一点， O 是坐uuur uuur uuur标原点， OQ PF 1 PF 2 ，设点 Q 的轨迹为 C 21）求点 Q 的轨迹 C 2 的方程uuur uuuur uuuur uuur2）若点T 满足：OT MN 2OM ON ，其中 M , N 是C 2上的点，且直线 OM,ON 的1斜率之积等于 ，是否存在两定点，4标；若不存在，请说明理由y 21uuur uuuu uuuur uuur Q OT MN 2OM ONx,yx1x 2,y 1 y 2 2 x 1, y 1x 2,y 2x 2x 2x1y2y 2 y1设点 T x, y ， 2） M x 1, y 1 , Nx 2, y 2使得 TA TB 为定值？若存在， 求出定点 A,B 的坐1）设点 Q 的坐标为x, y ， 点 P 的坐标为 x 0, y 0 ， 则x 02 4 y 02 1由椭圆方程可得： F 123,0 ,F 2 23,0uuur Q OQ uuu rPF uuu r PFuuur 且 PF 1 x 0,uuur y 0 ,PF 2 32 x 0, y 02x 0 , 2y 02 x 0 2y 0x 0y 0x2 代入到y222x 02 4 y 02 1可得：c 1010y 2 1设直线 OM , ON 的斜率分别为 k OM ,k ON ， 由已知可得： k OM kONy 2 y 1x2 x1x 1x 2 4y 1 y 2 考虑 x 2 4 y 22x 2 x 1 2 242y 2y12 x 14y 122 x 24y 224x 1x 2 16y 1 y 2Q M ,N 是 C 2上的点 2x1 2x 2 4y 124y 22x 2 4 y 24 4 4 20 x 2即T 的轨迹方程为 20 1， 由定义可知， T 到椭圆 x 220 1焦点的距离和为定值 A,B 为椭圆的焦点 15,0 , B 15,0 所以存在定点 A, B 2 x 例 9 ：椭圆 E : 2 a 22yb 2 b 0 的焦点到直线 x 3y 10 0 的距离为 10，离心率为 5 2 5，抛物线 G : y 522 px p 0 的焦点与椭圆 E 的焦点重合， 斜率为 k 的直线 l 过 G 的 焦点与 E 交于 A,B ，与 G 交于 C,D 1）求椭圆 E 及抛物线 G 的方程 2）是否存在常数 ，使得1 ABCD为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（ 1）设 E, G 的公共焦点为 F c,0dFc225b2 a 2c2 12E:x 25a3y 28x2）设直线 l : y k x 2 ， A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3, y 3 ,D x 4,y 4与椭圆联立方程： y k x 222x25 y2 55k 2 1 x 2 20k 2x 20k 25 020k 2x 1 x 22, x 1x 21 5k20k 251 5k 2AB 1 k 2x 12x24x1x21 5k 2直线与抛物线联立方程： kx 8x 2 2 2 k 2x24k 228 x 4k 2 0x 3 x 4 4k 28 k 2Q CD 是焦点弦 CDx3x 4 48 k 2 1k 21 AB 5k 2CD 2 5 k 2 1 k 2 8 k 2 1 4 20k 28 5 k 2120 5 k 2 8 5 k 2 1若 A 1B为常数，则 20 CD54 16 5 5例 10 ：如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，2 x 椭圆 C : 2 a b 21a的离心率为直线 l 与 x 轴交于点 E ，与椭圆 C 交于 A,B 两点，当直线 右焦点时，弦AB 的长为 2 63 1）求椭圆 C 的方程 2）是否存在点 E ，使得 12 EA 2 1 EB2请求出点 E 的坐标，并求出该定值； 若不存在， 请说明理 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C的为定值？若存在， 解：（ 1）依题意可得：c6 ea:b:c 3 :1: 21 EA23y 2当l与x轴垂直且E为右焦点时，AB 为通径AB2b 2 2 6a3a 6,b 222x2y21622）思路：本题若直接用用字母表示A, E, B坐标并表示EA ,EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。
第8章-第11节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
y－1＝k1x， 由 y＝－2，
3 x＝－ ， 3 k1 得 ∴M－k ，－2. 1 y ＝－ 2 ， 1 x＝－ ， 1 k2 得 ∴N－k ，－2. 2 y ＝－ 2 ，
高三一轮总复习 攻考向·三级提能
定点问题
(2016· 福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为 1 (0,1)，(0，－1)，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为－ 4 ，直线AP，BP与 直线y＝－2分别交于点M，N.
(1)求动点P的轨迹方程； (2)求线段MN的最小值； (3)以线段MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐 标；若不经过定点，请说明理由．
2 2 x 2 1 2 x1＋ 2 ＋2－ 2 ＝2＋ 2 x1，
＋
2 6 2 ＝2＋ 2 . 2
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
∴2 2＋
2 2 ＝4＋ 2 (x1＋x2)， 2
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∴x1＋x2＝2.
2 2 x1＋2y1＝4， ①当x1≠x2时，由 2 2 x ＋ 2 y 2 2＝4， 2 2 2 x2 － x ＋ 2( y － y 1 2 1 2)＝0，
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(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分 别为(x1，y1)，(x2，y2)． x2 y2 ＋ ＝1， 联立 4 2 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. y＝kx＋1， 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 4k 2 所以x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝－ 2 . 2k ＋1 2k ＋1
最全总结之圆锥曲线定点问题
圆锥曲线的定点问题类型一 直线过定点问题例1. 双曲线)0(13222>=-a y ax 的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B 、两点，1F AB ∆的面积为12,抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．解析：（Ⅰ）设()()2,00F c c >，则23c a =+令x c =代入C 的方程有：3A y a= ∴1216322122F ABA a S c y a∆+=⨯⨯== ∴1a =，故12pa ==，即2p = ∴抛物线E 的方称为：24y x =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1,0P t t -≠，则2,4t M t ⎛⎫⎪⎝⎭直线PO 的方称为y tx =-，代入抛物线E 的方程有：244,N tt ⎛⎫-⎪⎝⎭ 当24t ≠时，22244444MNt tt k t t t +==--， ∴直线MN 的方程为：22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，即()2414ty x t =-- ∴此时直线MN 过定点()1,0，当24t =时，直线MN 的方称为：1x =，此时仍过点()1,0 即证直线MN 过定点． 跟踪训练1. （泰安市2019届）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程； （2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．解析：（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为，∴点在椭圆上，∴，① 又，∴，∴，②，由①②联立，解得，∴椭圆的标准方程为：，（2）设直线，设，把直线代入椭圆方程，整理可得，，即，∴，，∵，∵都在轴上方．且，∴，∴，即，整理可得，∴，即，整理可得，∴直线为，∴直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点曲线22:1243x y Γ-=的一个焦点， O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于P ，直线OP 交抛物线于点N ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线MN 过定点G ，并求出此定点的坐标．解析：（Ⅰ）由曲线22:1243x y Γ-=，化为标准方程可得2211344x y -=， 所以曲线22:11344x y Γ-=是焦点在x 轴上的双曲线，其中2213,44a b ==，故2221c a b =+=， Γ的焦点坐标分别为()()121,01,0F F -、，因为抛物线的焦点坐标为,0,(0)2p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由题意知12p=，所以2p =，即抛物线的方程为24y x =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线24y x =的准线方程为1x =-，设()1,P m -，显然0m ≠．故2,4m M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而直线OP 的方程为y mx =-,联立直线与抛物线方程得24{ y x y mx ==-，解得244,N m m ⎛⎫-⎪⎝⎭①当2244m m =，即2m =±时，直线MN 的方程为1x =，②当2244m m ≠，即2m ≠±时，直线MN 的方程为22444m m y m x m ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，整理得MN的方程为()2414my x m =--，此时直线恒过定点()1,0G ， ()1,0Q 也在直线MN 的方程为1x =上，故直线MN 的方程恒过定点()1,0G ．3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点P 到其焦点F 的距离为32，以P 为圆心且与抛物线准线l 相切的圆恰好过原点O ．点A 是l 与x 轴的交点， ,M N 两点在抛物线上且直线MN 过A 点，过M 点及()1,1B -的直线交抛物线于Q 点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线QN 过一定点，并求出该点坐标． 解析：（1）依题意得23||||==PF PO ,则△POF 是等腰三角形，所以点P 的横坐标为x=4p,由抛物线的焦半径公式：223242||=⇒=+=+=p p p p x PF 故抛物线的方程为x y 42=（2）证明：如图所示，设AM 的方程为()1y k x =+，代入抛物线的方程，可得2440ky y k -+=．设()11,M x y ， ()22,N x y ， ()33,Q x y ，则124y y =，由1313134MQ y y k x x y y -==-+，直线MB 的方程为()13411y x y y +=-+，∴()1113411y x y y +=-+，可得31341y y y +=-+，∴323441y y y +=-+， ∴()2323440y y y y +++=．① 直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+．可得()232340y y y y y x -++=，②由①②可得1x =， 4y =-，∴直线QN 过定点()1,4-．4．如图，已知()11,0F -， ()21,0F 是椭圆C 的左右焦点， B 为椭圆C 的上顶点，点P 在椭圆C 上，直线1PF 与y 轴的交点为M ， O 为坐标原点，且2PM F M =， 34OM =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于S ， T 两点（异于点B ），证明：直线ST 过定点，并求该定点的坐标．解析：（1）由题意可得MO 为12F PF ∆的中位线，从而可得2MO PF P ，故212PF F F ⊥，且22322b PF OM a ===，然后根据222a b c =+和1c =可得24a =， 23b =，由此可得椭圆的方程13422=+y x ． （2）解法一：设),(),,(2211y x T y x S ，直线BS: 3+=kx y联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1343y 22y x kx 整理得038)34(22=++kx x k 解得83kx =或0x =（舍去）．∴183kx =，以1k -代替上式中的k ，可得22838343k k x k=-=+ 由题意可得，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线''B S ， 则得到的直线''S T 与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，该定点一定是直线''S T 与ST 的交点，故该点必在y 轴上．设该点坐标()0,t ，则有121121t y y y x x x --=--， ∴121221y x x y t x x -=-(1212211kx x x x k x x ⎛+-- ⎝⎭=-， 将12,x x的值代入上式，化简得t = ∴直线ST经过定点0,7⎛- ⎝⎭． 解法二：化齐次式。
(完整版)解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
圆锥曲线中的存在性问题
第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。
要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。
1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。
在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。
在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。
此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。
一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。
应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。
圆锥曲线中的证明与存在性问题
1
1
2
同理，联立直线 BC 与抛物线 W 的方程，并消去 y 得 x ＋ x － x 0－ 02
＝0，且｜ BC ｜＝ 1 +
＝ 1+
1 1
2
+ 20 ，
1 2
−
·｜ x 2－ x 0｜＝
1+
1 2
1
−
·−
− 20
∴｜ AB ｜＋｜ BC ｜＝ 1 +
−4
−
3+2−6
−2
＝
9−6+18 −2 +4 3+2−6
，
−62 +4−8+24
−62 +4−8+24
＝ 2
＝ 2
2
9 +8 +6−12−36
9 +72−182 +6−12−36
2 −32 +2−4+12
−62 +4−8+24
｜，｜ ｜，｜ ｜成等差数列，并求该数列的公差.
(2)由题意得 F (1，0).设 P ( x 3， y 3)，
则( x 3－1， y 3)＋( x 1－1， y 1)＋( x 2－1， y 2)＝(0，0).
由(1)及题设得 x 3＝3－( x 1＋ x 2)＝1，
y 3＝－( y 1＋ y 2)＝－2 m ＜0.
圆锥曲线中的证明与存在性问题
考点一
例1
圆锥曲线中的证明问题
(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩ 联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =时，):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒=2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443k y k x k =+=+01034y k x k∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=-② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nky k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<-因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=-- 22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤（2）当12e =时，可得：2,a c b = ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+ ()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E截得的线段长为点)在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x轴垂直时，则((,0,A B1,1PA PB ∴=-=+00QA y QB y ==+QA PA QBPB∴=⇒=可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥0FA FP ∴⋅= ()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得：2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++)22115k AB k+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k +∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++=()222222420181kk AB CD k λλ++∴+=+==+ 若1AB CDλ+为常数，则204= 5λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为3（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：3c e a ==::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径22b AB a ∴==a b ∴=22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。
第9节 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题(课件PPT)
12
解：(1)由题意知 A(1，1)，B(4，－2)，设点 P 的坐标为(xP，yP)， 切线 l1：y－1＝k(x－1)，联立yy－2＝1x＝k(x－1)，由抛物线与直线 l1 相切，解得 k＝12， 即 l1：y＝12x＋12，同理，l2：y＝－14x－1.
xP＝－2， 联立 l1，l2 的方程，可解得yP＝－12， 即点 P 的坐标为－2，－12.
y0)，由 k1＋k2＝2 得y0x－0 1＋－yx00－1＝2，得 x0＝－1. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，
y2)． 则x22＋y2＝1 ，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， y＝kx＋m
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17 则 Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝1－＋42kkm2，x1·x2＝21m＋2－2k22 . 由 k1＋k2＝2，得y1x－1 1＋y2x－2 1＝2， 即(kx2＋m－1)x1x＋1x2(kx1＋m－1)x2＝2，(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)，(2－2k)(2m2－
点，不妨设 C 为椭圆的左顶点，则 C(－ 2，0)，x1＋x2＝－x3＝ 2，x1＝x2＝ 22，
可取 A 22， 23，B 22，－ 23，则 S△ABC＝12×
3×3 2
2＝3
4
6 .
综上，△ABC 的面积为定值，定值为346.
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解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线 的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变 化，始终是一个确定的值．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值， 再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而 得到定值．
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线中的存在性问题
为解决实际问题提供更多思路和方法。
05
圆锥曲线中的体存在性问题
体在圆锥曲线上的存在性定理
1 2
圆锥曲线上的体存在性定理
在给定条件下，圆锥曲线上存在一个或多个满足 特定性质的点或物体。
适用范围
适用于椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线。
3
证明方法
利用数学分析、代数和几何等工具进行证明。
体在圆锥曲线上的存在性证明
线在圆锥曲线上的存在性证明
代数证明
通过代数方法，利用圆锥曲线的 方程和导数，证明切线和割线的 存在性。这种方法需要一定的数 学基础。
几何证明
通过几何方法，利用圆锥曲线的 性质和几何关系，证明切线和割 线的存在性。这种方法需要较强 的几何直觉和推理能力。
线在圆锥曲线上的存在性应用
几何作图
利用切线和割线的存在性定理，可以方便地进行几何作图，解决一些几何问题。
定理的适用范围
适用于不同类型和形状的圆锥曲线，但需满足特定的几何条件和约 束。
定理的证明方法
通常采用代数几何、微分几何或解析几何的方法进行证明。
面在圆锥曲线上的存在性证明
01
02
03
证明过程
通过数学推导和证明，证 明在给定条件下，圆锥曲 线上确实存在满足特定性 质的平面。
关键步骤
确定合适的参数和方程， 利用代数、微分或解析技 巧进行推导和求解。
代数证明
通过代数方法，如解方程或不等 式，证明圆锥曲线上存在满足条 件的点或物体。
几何证明
利用几何性质和定理，如平行线、 相似三角形等，证明圆锥曲线上 存在满足条件的点或物体。
反证法
通过假设不存在满足条件的点或 物体，然后推导出矛盾，从而证 明存在性。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第11节 圆锥曲线中的证明与存在性问题
解:(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件.
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).
设Q(x0,y0)(x0>1)为双曲线C右支第一象限上一点.
当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,
所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,
所以t=-1,即M(-1,0).
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当 p<0 时,x=± -,则 2 -=4 ,
解得p=-4,故C的方程为x2=8y.
(2)设P为C的准线上一点,过P作C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB
的斜率分别为k1,k2,且直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,直线AB的
斜率为k0.证明:k1·k2为定值,且k1,k0,k2成等差数列.
(2)证明:由(1)可知C的准线方程为y=-2,
不妨设P(m,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意,过点P且与C相切的直线l的斜率一定存在,设为k,
则l:y=k(x-m)-2,且k≠0,
= (-)-,
2
联立
得 x -8kx+8(km+2)=0,
= ,
2
2
则Δ=64k -32(km+2)=0,即 k -mk-1=0,
|| ||
,证明:∠ANC=2∠AMC.
=
|| ||
(2)证明:由(1)可知 M(-8,0),设直线 l 的方程为 x=my-8,其与椭圆
E:+=1 的交点为 B(x1,y1),C(x2,y2),
+
=
,
2