(完整版)圆锥曲线存在性问题
第8章-第11节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
y－1＝k1x， 由 y＝－2，
3 x＝－ ， 3 k1 得 ∴M－k ，－2. 1 y ＝－ 2 ， 1 x＝－ ， 1 k2 得 ∴N－k ，－2. 2 y ＝－ 2 ，
高三一轮总复习 攻考向·三级提能
定点问题
(2016· 福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为 1 (0,1)，(0，－1)，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为－ 4 ，直线AP，BP与 直线y＝－2分别交于点M，N.
(1)求动点P的轨迹方程； (2)求线段MN的最小值； (3)以线段MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐 标；若不经过定点，请说明理由．
2 2 x 2 1 2 x1＋ 2 ＋2－ 2 ＝2＋ 2 x1，
＋
2 6 2 ＝2＋ 2 . 2
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
∴2 2＋
2 2 ＝4＋ 2 (x1＋x2)， 2
高三一轮总复习
∴x1＋x2＝2.
2 2 x1＋2y1＝4， ①当x1≠x2时，由 2 2 x ＋ 2 y 2 2＝4， 2 2 2 x2 － x ＋ 2( y － y 1 2 1 2)＝0，
高三一轮总复习
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分 别为(x1，y1)，(x2，y2)． x2 y2 ＋ ＝1， 联立 4 2 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. y＝kx＋1， 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 4k 2 所以x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝－ 2 . 2k ＋1 2k ＋1
最全总结之圆锥曲线定点问题
圆锥曲线的定点问题类型一 直线过定点问题例1. 双曲线)0(13222>=-a y ax 的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B 、两点，1F AB ∆的面积为12,抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．解析：（Ⅰ）设()()2,00F c c >，则23c a =+令x c =代入C 的方程有：3A y a= ∴1216322122F ABA a S c y a∆+=⨯⨯== ∴1a =，故12pa ==，即2p = ∴抛物线E 的方称为：24y x =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1,0P t t -≠，则2,4t M t ⎛⎫⎪⎝⎭直线PO 的方称为y tx =-，代入抛物线E 的方程有：244,N tt ⎛⎫-⎪⎝⎭ 当24t ≠时，22244444MNt tt k t t t +==--， ∴直线MN 的方程为：22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，即()2414ty x t =-- ∴此时直线MN 过定点()1,0，当24t =时，直线MN 的方称为：1x =，此时仍过点()1,0 即证直线MN 过定点． 跟踪训练1. （泰安市2019届）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程； （2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．解析：（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为，∴点在椭圆上，∴，① 又，∴，∴，②，由①②联立，解得，∴椭圆的标准方程为：，（2）设直线，设，把直线代入椭圆方程，整理可得，，即，∴，，∵，∵都在轴上方．且，∴，∴，即，整理可得，∴，即，整理可得，∴直线为，∴直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点曲线22:1243x y Γ-=的一个焦点， O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于P ，直线OP 交抛物线于点N ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线MN 过定点G ，并求出此定点的坐标．解析：（Ⅰ）由曲线22:1243x y Γ-=，化为标准方程可得2211344x y -=， 所以曲线22:11344x y Γ-=是焦点在x 轴上的双曲线，其中2213,44a b ==，故2221c a b =+=， Γ的焦点坐标分别为()()121,01,0F F -、，因为抛物线的焦点坐标为,0,(0)2p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由题意知12p=，所以2p =，即抛物线的方程为24y x =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线24y x =的准线方程为1x =-，设()1,P m -，显然0m ≠．故2,4m M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而直线OP 的方程为y mx =-,联立直线与抛物线方程得24{ y x y mx ==-，解得244,N m m ⎛⎫-⎪⎝⎭①当2244m m =，即2m =±时，直线MN 的方程为1x =，②当2244m m ≠，即2m ≠±时，直线MN 的方程为22444m m y m x m ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，整理得MN的方程为()2414my x m =--，此时直线恒过定点()1,0G ， ()1,0Q 也在直线MN 的方程为1x =上，故直线MN 的方程恒过定点()1,0G ．3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点P 到其焦点F 的距离为32，以P 为圆心且与抛物线准线l 相切的圆恰好过原点O ．点A 是l 与x 轴的交点， ,M N 两点在抛物线上且直线MN 过A 点，过M 点及()1,1B -的直线交抛物线于Q 点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线QN 过一定点，并求出该点坐标． 解析：（1）依题意得23||||==PF PO ,则△POF 是等腰三角形，所以点P 的横坐标为x=4p,由抛物线的焦半径公式：223242||=⇒=+=+=p p p p x PF 故抛物线的方程为x y 42=（2）证明：如图所示，设AM 的方程为()1y k x =+，代入抛物线的方程，可得2440ky y k -+=．设()11,M x y ， ()22,N x y ， ()33,Q x y ，则124y y =，由1313134MQ y y k x x y y -==-+，直线MB 的方程为()13411y x y y +=-+，∴()1113411y x y y +=-+，可得31341y y y +=-+，∴323441y y y +=-+， ∴()2323440y y y y +++=．① 直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+．可得()232340y y y y y x -++=，②由①②可得1x =， 4y =-，∴直线QN 过定点()1,4-．4．如图，已知()11,0F -， ()21,0F 是椭圆C 的左右焦点， B 为椭圆C 的上顶点，点P 在椭圆C 上，直线1PF 与y 轴的交点为M ， O 为坐标原点，且2PM F M =， 34OM =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于S ， T 两点（异于点B ），证明：直线ST 过定点，并求该定点的坐标．解析：（1）由题意可得MO 为12F PF ∆的中位线，从而可得2MO PF P ，故212PF F F ⊥，且22322b PF OM a ===，然后根据222a b c =+和1c =可得24a =， 23b =，由此可得椭圆的方程13422=+y x ． （2）解法一：设),(),,(2211y x T y x S ，直线BS: 3+=kx y联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1343y 22y x kx 整理得038)34(22=++kx x k 解得83kx =或0x =（舍去）．∴183kx =，以1k -代替上式中的k ，可得22838343k k x k=-=+ 由题意可得，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线''B S ， 则得到的直线''S T 与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，该定点一定是直线''S T 与ST 的交点，故该点必在y 轴上．设该点坐标()0,t ，则有121121t y y y x x x --=--， ∴121221y x x y t x x -=-(1212211kx x x x k x x ⎛+-- ⎝⎭=-， 将12,x x的值代入上式，化简得t = ∴直线ST经过定点0,7⎛- ⎝⎭． 解法二：化齐次式。
(完整版)解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
圆锥曲线中的存在性问题
第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。
要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。
1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。
在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。
在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。
此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。
一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。
应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。
圆锥曲线中的证明与存在性问题
1
1
2
同理，联立直线 BC 与抛物线 W 的方程，并消去 y 得 x ＋ x － x 0－ 02
＝0，且｜ BC ｜＝ 1 +
＝ 1+
1 1
2
+ 20 ，
1 2
−
·｜ x 2－ x 0｜＝
1+
1 2
1
−
·−
− 20
∴｜ AB ｜＋｜ BC ｜＝ 1 +
−4
−
3+2−6
−2
＝
9−6+18 −2 +4 3+2−6
，
−62 +4−8+24
−62 +4−8+24
＝ 2
＝ 2
2
9 +8 +6−12−36
9 +72−182 +6−12−36
2 −32 +2−4+12
−62 +4−8+24
｜，｜ ｜，｜ ｜成等差数列，并求该数列的公差.
(2)由题意得 F (1，0).设 P ( x 3， y 3)，
则( x 3－1， y 3)＋( x 1－1， y 1)＋( x 2－1， y 2)＝(0，0).
由(1)及题设得 x 3＝3－( x 1＋ x 2)＝1，
y 3＝－( y 1＋ y 2)＝－2 m ＜0.
圆锥曲线中的证明与存在性问题
考点一
例1
圆锥曲线中的证明问题
(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩ 联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =时，):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒=2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443k y k x k =+=+01034y k x k∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=-② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nky k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<-因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=-- 22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤（2）当12e =时，可得：2,a c b = ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+ ()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E截得的线段长为点)在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x轴垂直时，则((,0,A B1,1PA PB ∴=-=+00QA y QB y ==+QA PA QBPB∴=⇒=可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥0FA FP ∴⋅= ()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得：2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++)22115k AB k+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k +∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++=()222222420181kk AB CD k λλ++∴+=+==+ 若1AB CDλ+为常数，则204= 5λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为3（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：3c e a ==::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径22b AB a ∴==a b ∴=22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。
第9节 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题(课件PPT)
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解：(1)由题意知 A(1，1)，B(4，－2)，设点 P 的坐标为(xP，yP)， 切线 l1：y－1＝k(x－1)，联立yy－2＝1x＝k(x－1)，由抛物线与直线 l1 相切，解得 k＝12， 即 l1：y＝12x＋12，同理，l2：y＝－14x－1.
xP＝－2， 联立 l1，l2 的方程，可解得yP＝－12， 即点 P 的坐标为－2，－12.
y0)，由 k1＋k2＝2 得y0x－0 1＋－yx00－1＝2，得 x0＝－1. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，
y2)． 则x22＋y2＝1 ，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， y＝kx＋m
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17 则 Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝1－＋42kkm2，x1·x2＝21m＋2－2k22 . 由 k1＋k2＝2，得y1x－1 1＋y2x－2 1＝2， 即(kx2＋m－1)x1x＋1x2(kx1＋m－1)x2＝2，(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)，(2－2k)(2m2－
点，不妨设 C 为椭圆的左顶点，则 C(－ 2，0)，x1＋x2＝－x3＝ 2，x1＝x2＝ 22，
可取 A 22， 23，B 22，－ 23，则 S△ABC＝12×
3×3 2
2＝3
4
6 .
综上，△ABC 的面积为定值，定值为346.
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解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线 的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变 化，始终是一个确定的值．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值， 再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而 得到定值．
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
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圆锥曲线中的存在性问题、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在， 并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 1）点：坐标 x 0, y 02）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法： 若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量的方程（组） ，运用方程思想求解。
、典型例题：于 A, B 两点，当 l 的斜率为 1时，坐标原点 O 到l 的距离为 （1）求 a,b 的值uuur uuur uuur（2） C 上是否存在点 P ，使得当 l 绕F 旋转到某一位置时，有 OP OA OB 成立？若存 在，求出所有的 P 的坐标和 l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e c 3a:b:c 3: 2 :1a322例 1：已知椭圆 C : x 2 y 2 1 a ab0 的离心率为过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交2则a3c,b2c ，依题意可得：c,0，当l 的斜率为1时l:y xc xycd O解得：c13,b椭圆方程为：x22）设P x0, y0 ，x1, y1 ,B x2,y2当l 斜率存在时，设l:kxuuur uuur uuur QOP OA OBx0 x1x2联立直线与椭圆方程：3k2 2 x2 6k2 xx16k2x23k226k 2,3k22,6k23k 224272k 448k2y0 y1y2x2 3 y23k260y1y2 ky2消去6x1 x 2y 可得：2x2 3k 22k6k33k22k21 6 ，整理可得：4k3k 224k23k 2 2因为P 在椭圆上3 3k42k226 3k 222224k23k 23k224k 2 6 3k 2当k 2时，l :2x当k 2 时，l :y3,22,2当斜率不存在时，可知l:x，A1,2 3,B3233则P2,0 不在椭圆上1,综上所述： l : y 2 x 1 ，P 3, 2或l:y 2x 1，P 3, 22 2 2 2 22 例 2：过椭圆 : x 2 y 2 1 a a 2 b 2 b 0 的右焦点 F 2的直线交椭圆于 A,B 两点， F 1为其左 焦点，已知 VAF 1B 的周长为 8， 椭圆的离心率为 32 1) 求椭圆 的方程 2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 P,Q ，且 OP OQ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：(1)由 VAF 1B 的周长可得： 4a 8 a2 c 3c 3 a2 b 2椭圆 2 x 2 x 4 y 2 1 2) 假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内 r1若直线 PQ 斜率存在，设 PQ: kx m ， P x 1, y 1 ,Q x 2,y 2Q PQ 与圆相切 dO m k 21 2k 2OP OQ uuur uuur OP OQ 即 x 1x 2 y 1y 2 0联立方程： y kx m 22x 2 4 y 24 1 4k 2 x 28kmx4m240x 1 x 28km 4k 2 1, x 1x 2 4m 2 4 4k 2 1y 1y 2kx 1 m kx 2 mk 2x 1x 2 km x 1 x 2 x 1x 2 y 1 y 2k 21 x 1x 2km x 1x 2 m 2225m 4k 44k 21若PQ:x 25，则 P 2 5,2 5,Q 2 5,2 55 5 5 5 5uuur uuur 2OP OQ 0 PQ: x 5符合题意52若PQ : x5 ，同理可得也符合条件5综上所述，圆的方程为： 2 24 x 2 y 2 5例 3：22已知椭圆 x2 y2 a 2b2 1 a b 0 经过点 0,，离心率为 1，左，右焦点分别为2F1c,0 和 F 2 c,0（1）求椭圆 C 的方程2）设椭圆 C 与x 轴负半轴交点为 A ，过点 M 4,0 作斜率为 k k 0 的直线 l ，交椭圆C 于B,D 两点（ B 在 M,D 之间），N 为 BD 中点，并设直线 ON 的斜率为 k 1 ① 证明： k k 1 为定值② 是否存在实数 k ，使得 F 1N AD ？如果存在，求直线 l 的方程；如果不存在，请说明 理由c1解：（1）依题意可知： e可得： a:b: c 2: 3:1a24m244k 2 1k21km8km 2 2m 4k 21225m 2 4k 2 4 0 对任意的 将m 2 r 2 k 2 1 代入可得： 225r 2 4 k 2 1 0存在符合条件的圆，其方程为： 当 PQ 斜率不存在时，可m,k 均成立5r 2 k 2 1 4 k 2 1 0 24 r5 22xyPQ 为x25 5x 2椭圆方程为：2x 4c 22 y3c21，代入 0, 3 可得： c 122椭圆方程x y14 32）① 证明： 设B x 1,y 1,D x 2,y 2 ，线段 BD 的中点 N x 0, y 0 设直线 l 的方程为：k yx 4 ，联立方程：y 3x 2 4 y 212化为：3 4k2232k 2x 64k 212 00解得： k 2 x 1 x2 32k 232k3,x 1x 2 4k264k 24k 2123 x0 x 1 x 2 216k 2 4k 23 y 0 x 012k 4k 23k1 y0 x0 4k k 1k ② 假设存在实数 k ，使得 F 1 N yx12k 3 4k 2 16k 2 3 4k 2 y2k x 2 44kAD ， kF 1Nk AD 14k4k2x2F 1N 4k1 4k 2k x2 x2即 4k 2 x 2 22 16k 2 4k 2 1 x28k2x22 2 8k 2因为 D 在椭圆上，所以 x 2 2,2 ，矛盾所以不存在符合条件的直线22例 4 ：设 F 为椭圆 E : x2 y2 1 a bab的右焦点，点3P 1, 在椭圆 E 上，直线2l 0: 3x 4y 10 0与以原点为圆心，以椭圆 E 的长半轴长为半径的圆相切3x 24y 2 32消去 y 可得：124k 2 3 x 28k 2 12k x 4k 2 12k 3 08k 212k 4 4k 2212k 3 4k 23 144 1k k 244k 3 1 k 2144 1k k 24k 2 31）求椭圆 E 的方程2）过点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点，过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于另l ，使得四边形 PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出 l 的方程； 若不存在，说明理由 解：（1）Q l 0 与圆相切2x椭圆方程为：4联立直线 l 与椭圆方程：同理：联立直线 PQ 与椭圆方程：点 Q ，问是否存在直线 d O l102 r 53将 P 1, 代入椭圆方程2x 22 yb 21 可得： b 32）由椭圆方程可得：1,0设直线 l : y k x 1，则 PQ:yy3x 2x14y 2消去 y 可得： 4k 2 3 12x 2 8k 2x 4k 2 12 0AB8k 24 4k 23 4k 2122 144k 21441 k2x 1 x 2k 24k 2 13212 k 2 1 4k 2 3PQ因为四边形 PABQ 的对角线互相平分 3解得： k4若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（ 1）设 P x, y ,F 1 c,0 ,F 2 c,0uuuuuu PF 1c x, y,PF 2c x, yuuu uuur 222cPF 1 2PF 2 x 2y2 2b 2由 x22y21 可得：2 yb 2 b2x 2代入可得：ab 2a 2uuur uuur 2 2PF 1 PF 2 x 2 y 22 c b 2 2 2 1 2 x b c 2c 2 2 22 x b ca auuur uuur 2Q x a, aPF 1 PF 2 b 2maxc 2b 2 3c 2c 2 a 2 c 2 3c 2222c a 224c a四边形 PABQ 为平行四边形AB PQ12 k 24k 2 311k 2144 1k k 24k 2存在直线 l : 3x 4y0时， 四边形 PABQ 的对角线互相平分2 x例 5：椭圆 C :2 a 22 yb 2ab 0 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ，右顶点为 A ， P 为椭圆 C 1uuur uuur 上任意一点，且 PF 1 PF 2 的最大值的取值范围是c 2 ,3c 2，其中 c a 2 b 21）求椭圆C 1的离心率 e 的取值范围2）设双曲线 C 2 以椭圆 C 1 的焦点为顶点，顶点为焦点， B 是双曲线 C 2 在第一象限上任意一点，当 e 取得最小值时， 试问是否存在常数0 ，使得 BAF 1 BF 1A 恒成立？2) 当e12时，可得： a 2c, b3c2x双曲线方程为 2c 22y21， A 2c,0 , F 1 c,0 ，设 3c2 B x 0,y 0 ， x 00, y 0 0当 AB x 轴时， x0 2c, y 0 3ctanBF 1A 33c c 1 BF 1A因为BAF 1所以 BAF 1 2 BF 1A考虑 tan tan2 2， 面证明 BAF 1 BF 1A 2tan1 tan 2由双曲线方程 2 x 2c 2y3c 2 2对任意 yx 0 2cBF 1A BF 1A1，可得：B 点均使得BAF 1BF 1 A 成立,tanBF 1AkBF 1yx 0 cyx 0 c2 y 0 x 0 c2 y 02 x 0 c 2 y 02 x 03c 2 tan2 BF 1 A 2 y 0 x 0 c 2 x 0 BAF 1 BF 1A 结论得证 2时， BAF 1 例 6：如图， 2椭圆 E: x 2 a 2 yx 0 c3x 023c2x2 y2cx 04c22 x 0 c 2c x 0c 2c x 0 2cBF 1A 恒成立 2b y 2 1 a b 0 圆相交于 A,B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，1)求椭圆 E 的方程xtan BAF 1的离心率是 2，过点 P 0,12的动直线 l 与椭直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 22）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得对于任意直线 l ，Q Q B A P P B A恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由22椭圆方程为 2xb 2 b y2 1由直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 及椭圆的对称性可得： 点 2,1 在椭圆上22xy椭圆方程为42Q 在 AB 的中垂线上，即 Q 位于 y 轴上，设 Q 0,y 0当l 与x 轴垂直时，则 A 0, 2 ,B 0, 2A x 1,y 1 ,B x 2, y 2解：（1） e c 2a2a:b:c 2 :1:12b 2 b2 1 b 2a 2 42）当 l 与 x 轴平行时，由对称性可得： PA PBQA QBP PA B 1即 QA QBPA 2 1, PB 21QAy 02, QB y 0 2QA PA QBPBQ P,Q 不重合Q 0,2面判断 Q 0,2 若直线22 1可解得y 02 2 1y 0y 0 2能否对任意直线均成立 l 的 斜 率 存 在 ， 设 l : y kxy 0 1 或 y 0 21，第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何1 2m2 2 00 成立直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F （1）求椭圆 C 的方程（2）动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到直 线 l 的距离之积等于 1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由联立方程可得： x 2 2y 24 y kx 1221 2k2 x 2 4kx 2 0QAQBPA可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分 BQA只需证明 k QAk QBk QAk QB 0A x 1, y 1 ,B x 2, y 2k QAy 1 x 1y 2 2x 2k QA k QBy 1 2x 1y 2 2x 2x 2 y 1 2 x 1y 2 2 x 2y 1 x 1 y 2 2 x 1 x 2x 1x 2x 1x 2因为 A x 1, y 1 ,B x 2, y 2 在直线kx 1 上，y 1y 2kx1 1代入①可得：kx 2 1 k QA1 2 x 1x 22kx 1x 2 x 1 x 2联立方程可得：x 22y 2 kx 1x 1 x 2k QA4k1 2k2k 22 1 2k 22 1 2k 22 , x 1x 2x 1x 2x 1x 2221 2k2 x 222 1 2k 24k 1 2k 2 0 4kx 20k QAQP 平分 BQA由角平分线公式可得：QAQBP P B A2 x例 7 ：椭圆 C :2 a b y2 1 a b 0 的上顶点为 A ，4bP , 是 C 上的一点，以 AP 为33第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何解：由椭圆可知：A 0,b , F c,0uuur uuur uuurQ FA uuur c,b ,FP43bc,3FA FP 04b2024b2c c c c3333Q AP 为直径的圆经过F FA FP代入椭圆方程可得：在椭圆上，316 1b2b2b2 4c32cb232a bcx椭圆方程为22）假设存在x 轴上两定点M1 1,0 , M 22 ,0 ，设直线l: y kx md M1 , d M 212 k2k21所以依题意：d M 1 l 2m k21 2 km 1 k211①因为直线l 与椭圆相切，联立方程：y kx m 2 y x2 k2x y2m22k221 x 4kmx 2m220由直线l 与椭圆相切可知 24km 24 2k 22化简可得：m22k 21，代入①可得：k 1 2 km 1 2k 212k21 1km 1 2 2k2第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何1 2m2 2 0k1 2 1km120 ，依题意可得：无论 k,m 为何值，等式均成立1 2 1 1 2 01 21 112所以存在两定点：M11,0,M 2 1,0例 8：已知椭圆 C 1 :x 24y2 1的左右焦点分别为 F 1, F 2 ，点 P 是C 1上任意一点， O 是坐uuur uuur uuur标原点， OQ PF 1 PF 2 ，设点 Q 的轨迹为 C 21）求点 Q 的轨迹 C 2 的方程uuur uuuur uuuur uuur2）若点T 满足：OT MN 2OM ON ，其中 M , N 是C 2上的点，且直线 OM,ON 的1斜率之积等于 ，是否存在两定点，4标；若不存在，请说明理由y 21uuur uuuu uuuur uuur Q OT MN 2OM ONx,yx1x 2,y 1 y 2 2 x 1, y 1x 2,y 2x 2x 2x1y2y 2 y1设点 T x, y ， 2） M x 1, y 1 , Nx 2, y 2使得 TA TB 为定值？若存在， 求出定点 A,B 的坐1）设点 Q 的坐标为x, y ， 点 P 的坐标为 x 0, y 0 ， 则x 02 4 y 02 1由椭圆方程可得： F 123,0 ,F 2 23,0uuur Q OQ uuu rPF uuu r PFuuur 且 PF 1 x 0,uuur y 0 ,PF 2 32 x 0, y 02x 0 , 2y 02 x 0 2y 0x 0y 0x2 代入到y222x 02 4 y 02 1可得：c 1010y 2 1设直线 OM , ON 的斜率分别为 k OM ,k ON ， 由已知可得： k OM kONy 2 y 1x2 x1x 1x 2 4y 1 y 2 考虑 x 2 4 y 22x 2 x 1 2 242y 2y12 x 14y 122 x 24y 224x 1x 2 16y 1 y 2Q M ,N 是 C 2上的点 2x1 2x 2 4y 124y 22x 2 4 y 24 4 4 20 x 2即T 的轨迹方程为 20 1， 由定义可知， T 到椭圆 x 220 1焦点的距离和为定值 A,B 为椭圆的焦点 15,0 , B 15,0 所以存在定点 A, B 2 x 例 9 ：椭圆 E : 2 a 22yb 2 b 0 的焦点到直线 x 3y 10 0 的距离为 10，离心率为 5 2 5，抛物线 G : y 522 px p 0 的焦点与椭圆 E 的焦点重合， 斜率为 k 的直线 l 过 G 的 焦点与 E 交于 A,B ，与 G 交于 C,D 1）求椭圆 E 及抛物线 G 的方程 2）是否存在常数 ，使得1 ABCD为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（ 1）设 E, G 的公共焦点为 F c,0dFc225b2 a 2c2 12E:x 25a3y 28x2）设直线 l : y k x 2 ， A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3, y 3 ,D x 4,y 4与椭圆联立方程： y k x 222x25 y2 55k 2 1 x 2 20k 2x 20k 25 020k 2x 1 x 22, x 1x 21 5k20k 251 5k 2AB 1 k 2x 12x24x1x21 5k 2直线与抛物线联立方程： kx 8x 2 2 2 k 2x24k 228 x 4k 2 0x 3 x 4 4k 28 k 2Q CD 是焦点弦 CDx3x 4 48 k 2 1k 21 AB 5k 2CD 2 5 k 2 1 k 2 8 k 2 1 4 20k 28 5 k 2120 5 k 2 8 5 k 2 1若 A 1B为常数，则 20 CD54 16 5 5例 10 ：如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，2 x 椭圆 C : 2 a b 21a的离心率为直线 l 与 x 轴交于点 E ，与椭圆 C 交于 A,B 两点，当直线 右焦点时，弦AB 的长为 2 63 1）求椭圆 C 的方程 2）是否存在点 E ，使得 12 EA 2 1 EB2请求出点 E 的坐标，并求出该定值； 若不存在， 请说明理 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C的为定值？若存在， 解：（ 1）依题意可得：c6 ea:b:c 3 :1: 21 EA23y 2当l与x轴垂直且E为右焦点时，AB 为通径AB2b 2 2 6a3a 6,b 222x2y21622）思路：本题若直接用用字母表示A, E, B坐标并表示EA ,EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。