圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线存在性问题探究
因为 ＝ 一１ １， ＝（ （ ，ｙ 宿 ） 一１ ｙ） ， ２，
・
养．本文通过对 圆锥 曲线 中存在性问题 的比较研 究 ，归纳 了这类
问题 常见的探 究类型 ，分析 了这 类 问题 的处理方 法与技 巧 ，以 及相 关数 学思想、数 学方法在此 类问题 中的体现． 关键 词 ：圆锥 曲线；存在 ；探 究
证明如下 ：
此时 以 Ａ Ｂ为直径的圆恒 过点 ７ １ ） １ ，Ｏ ． （ 当直线 ｌ 垂直于 轴 时，则 以 Ａ Ｂ为直径 的圆过点 ７ １ ） １ ，０ ． （
所 以在坐标平面上存在一个定点 Ｔ １ ） （ ，０ 满足要求． 【 评注 】 解法一先根据特殊性求 出定点的坐标 ，再给 予证 明，
砉，
一
不存在 ，请说 明理 由． 解 ：假设 存 在直 线 ｆ 椭 圆 ， 于 Ｐ 交 、Ｑ两点 ，且 ， 恰 为
△ 的垂 心 ，
２
．
则设 Ｊ ，ｙ） （： 期］ 础 育 坛 ７ ２ ２ 第１ 基 教 论 ３ ０
因为 Ｍ（ ，１ ， １ ） Ｏ ） ，０ ，
所以ｋ ｍ＝１ ，
所 以蔚 ． 为定值，且定值为０ ．
即
卜 【 评注 】 例 可分 两步 思考 ：１ 从 特殊情 况入 手 ，求 出定 本 ．
值 ；２ 利 用设 参消参法 ， 接推理 、计算 ，并在 计算的过程 中 ． 直
消去变量 ，从而得到结论．
四、探 究最值的存在性
＝ ０，
所 以 上Ｔ Ｂ，即 以 Ａ Ｂ为 直 径 的 圆 恒 过点 Ｔ １ ） （ ，０ ．
所 以在坐标平面上存在一个定点 Ｔ １ ） （ ，０ 满足要求．
第8章-第11节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
y－1＝k1x， 由 y＝－2，
3 x＝－ ， 3 k1 得 ∴M－k ，－2. 1 y ＝－ 2 ， 1 x＝－ ， 1 k2 得 ∴N－k ，－2. 2 y ＝－ 2 ，
高三一轮总复习 攻考向·三级提能
定点问题
(2016· 福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为 1 (0,1)，(0，－1)，动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为－ 4 ，直线AP，BP与 直线y＝－2分别交于点M，N.
(1)求动点P的轨迹方程； (2)求线段MN的最小值； (3)以线段MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐 标；若不经过定点，请说明理由．
2 2 x 2 1 2 x1＋ 2 ＋2－ 2 ＝2＋ 2 x1，
＋
2 6 2 ＝2＋ 2 . 2
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
∴2 2＋
2 2 ＝4＋ 2 (x1＋x2)， 2
高三一轮总复习
∴x1＋x2＝2.
2 2 x1＋2y1＝4， ①当x1≠x2时，由 2 2 x ＋ 2 y 2 2＝4， 2 2 2 x2 － x ＋ 2( y － y 1 2 1 2)＝0，
高三一轮总复习
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分 别为(x1，y1)，(x2，y2)． x2 y2 ＋ ＝1， 联立 4 2 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. y＝kx＋1， 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 4k 2 所以x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝－ 2 . 2k ＋1 2k ＋1
浅谈几种圆锥曲线问题的解法
浅谈几种圆锥曲线问题的解法纵观近几年的高考试题，圆锥曲线内容在试卷中所占的比例一直稳定在15%左右，以圆锥曲线为载体在知识网络的文汇点设计问题也是近年高考的一大特点，如与不等式、函数、数列等知识的综合对范围问题、最值问题、存在性问题的考查等等，这类问题内涵丰富且极具综合性，集中体现了函数方程，等价转换，数形结合和分类讨论的数学思想，以及配方，换元，构造，待定系数等数学方法，是培养与考查学生数学综合能力的绝佳素材，也是数学中的一个难点。
本文就几种常见问题的研究方法进行探究。
一、存在性问题此类问题的条件常以向量形式出现，或题目中的条件可以向量形式描述。
理解向量条件表达的几何意义。
用好向量的基本运算是解决此类问题的关键。
二、范围问题圆锥曲线中范围问题的求解比较难，原因有三：1.由于这类问题本身所固有的结构特征，使得数量关系常隐含于几何图形之中，导致了解题入手难。
2.由于问题的解决始终伴随着大量的运算与推理，导致了解题深入难。
3.由于初学者未能掌握这类问题的研究方法，导致了解题调控难。
下面我们结合例题来探索范围问题的研究方法。
例3的解法可概括为：先寻求问题中涉及到的基本量及其内在联系，进而化归为基本量的代数问题（如议程、不等式、函数等），最后运用代数知识、方法解决，我们把这种研究方法称为基本量法。
运用基本量法研究范围问题，优点有二：其一，通过基本量的寻求与分析，能对问题的求解目标及解题思路作出清晰的回答，有利于增强学生的解题信心，激发学生的学习兴趣。
其二，可将问题统一化归为基本量的代数问题，使学生在解决问题之前就能对问题的解决方法、步骤作为较为准确的预见，有利于培养学生的主体意识与探索精神。
解决范围问题的解法实质，即先寻求问题中涉及到的基本量，进而化归为基本量的方程——不等式混合组问题，利用议程消去某些变量，再代入不等式中，即可求得指定变量的取值范围。
圆锥曲线中范围问题的特殊性主要表现在两个方面：一是基本量的确定；二是方程——不等式混合组的建立。
圆锥曲线存在性问题的探究(五大题型)(学生版)-高中数学
圆锥曲线存在性问题的探究目录题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值1(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0 ，离心率为e =22．1 求椭圆E 的方程；2 过点1,0 作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP ⋅MQ为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023·山西大同·高二统考期末)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ,0)，使PE ⋅QE 恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.3(2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为2 3.点P 在椭圆C 上，且满足ΔPF 1F 2的周长为6.(I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(-1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得MA ⋅MB 恒为定值？若存在，求出该点M 的坐标；若不存在，请说明理由.1(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆经过点A -1,22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交C 于M ,N 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点P ，使PM ⋅PN为定值？若存在，求出这个定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F 1､F 2为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，E 的离心率为5,M 为E 上一点，且MF 2 -MF 1 =2.(1)求E 的方程；(2)设点M 在坐标轴上，直线l 与E 交于异于M 的A ､B 两点，且点M 在以线段AB 为直径的圆上，过M 作MC ⊥AB ，垂足为C ，是否存在点D ，使得CD 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.3(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，且直线y =x +b 是抛物线C 2:y 2=4x 的一条切线．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L 交椭圆C 1于A ,B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O 坐标原点，A 2,0 ,B 0,1 ,C 0,-1 ,D 2,1 ，OE =λOA ,DF=λDA,0<λ≤1，CE 和BF 交点为P .(1)求点P 的轨迹G ；(2)直线y =x +m (m ≠0)和曲线G 交与M ，N 两点，试判断是否存在定点Q 使k MQ k NQ =14如果存在，求出Q 点坐标，不存在请说明理由.5(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A -2,0 ，B 2,0 ，P x ,y 是异于A ，B 的动点，k AP ，k BP 分别是直线AP ，BP 的斜率，且满足k AP ⋅k BP =-34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)在线段AB 上是否存在定点E ，使得过点E 的直线交P 的轨迹于M ，N 两点，且对直线x =4上任意一点Q ，都有直线QM ，QE ，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点E ，若不存在，请说明理由.6(2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q43,253(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.5(2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1 =0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.6(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由.7(2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长是6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8(2023·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P 0,1 的动直线L 于椭圆相交于A ,B 两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为22．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)在y 上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等7(2023·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)的左右焦点分别为F 1、F 2，A ,B 分别为椭圆C 1的上，下顶点，F 2到直线AF 1的距离为3．(1)求椭圆C 1的方程；(2)直线x =x 0与椭圆C 1交于不同的两点C ,D ，直线AC ,AD 分别交x 轴于P ,Q 两点．问：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．8(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点A-2,0且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得∠AME=∠EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.9(2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F-1,0，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点G3,0且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点B2,0．问：x 轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．9(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>0)经过点-1,32，过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.10(2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点1,2 2，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P3,0的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB=π，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点D2,0的距离等于点M到直线x=1距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l：y=12x+t t≥2与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P,Q满足∠APB=∠AQB=90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立10(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知R是圆M：x+32+y2=8上的动点，点N3,0，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点P-2,0的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.11(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点B 0,b 且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且2F 1F 2 +F 2D =0．(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过B 、D 、F 2三点的圆恰好与直线l :x -3y -6=0相切，求椭圆Γ的方程；(3)设a =2．过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．12(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得x P =4x T (其中x P ，x T 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．12(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点和右焦点分别为A ,F ，动点P 满足|PA |2+12|PF |2=92，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设点Q 在E 上，过Q 作C 的两条切线，分别与y 轴相交于M ,N 两点.是否存在点Q ，使得MN 等于E 的短轴长？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.13(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M 到点F 0,32 的距离比它到直线l ：y =-2的距离小12，记动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若过点F 的直线交E 于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得PA ，PB 分别交E 于另外两点C ，D ，且AB =3CD？若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.14(2023·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)过点M-3,0且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x轴的对称点为B .问：平面内是否存在定点P，使得B 恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.题型五：存在点使线段关系式为定值13(2023·全国·高三专题练习)椭圆E经过两点1,2 2，22,32，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；(3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明．14(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.15(2023·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，AB =3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当直线l 的斜率为k k ≠0 时，在x 轴上是否存在一点P (异于点F )，使x 轴上任意一点到直线PA 与到直线PB 的距离相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．15(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A 2,0 ，B 1,32 .直线x =t (不经过点B )与椭圆E 交于M ,N 两点，Q 1,0 ，直线MQ 与椭圆E交于另一点C ，点P 满足QP ⋅NC=0，且P 在直线NC 上.(1)求E 的方程；(2)证明：直线NC 过定点，且存在另一个定点R ，使PR 为定值.16(2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.17(2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．18(2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点F 1,0 的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径；②点P 到F 1,0 的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线C 的方程；(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q ，R 两点时，1MQ +1MR为定值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.19(2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e=22，且经过点1,e．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．(1)若A a,0，B0,b，求△ABP面积的最大值；(2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+12+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且DE= 143．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．。
圆锥曲线中的存在性问题
第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。
要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。
1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。
在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。
在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。
此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。
一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。
应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。
圆锥曲线中的证明与存在性问题
1
1
2
同理，联立直线 BC 与抛物线 W 的方程，并消去 y 得 x ＋ x － x 0－ 02
＝0，且｜ BC ｜＝ 1 +
＝ 1+
1 1
2
+ 20 ，
1 2
−
·｜ x 2－ x 0｜＝
1+
1 2
1
−
·−
− 20
∴｜ AB ｜＋｜ BC ｜＝ 1 +
−4
−
3+2−6
−2
＝
9−6+18 −2 +4 3+2−6
，
−62 +4−8+24
−62 +4−8+24
＝ 2
＝ 2
2
9 +8 +6−12−36
9 +72−182 +6−12−36
2 −32 +2−4+12
−62 +4−8+24
｜，｜ ｜，｜ ｜成等差数列，并求该数列的公差.
(2)由题意得 F (1，0).设 P ( x 3， y 3)，
则( x 3－1， y 3)＋( x 1－1， y 1)＋( x 2－1， y 2)＝(0，0).
由(1)及题设得 x 3＝3－( x 1＋ x 2)＝1，
y 3＝－( y 1＋ y 2)＝－2 m ＜0.
圆锥曲线中的证明与存在性问题
考点一
例1
圆锥曲线中的证明问题
(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性问题
圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。
一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r，，由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =u u u r，，．所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知k <2k >，故没有符合题意的常数k ． 练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u rg ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， Q 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u rg ，则NA NB ⊥，又M Q 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥Q x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又12||||AB x x =-===．2168k+∴=，解得2k=±．即存在2k=±，使0NA NB=u u u r u u u rg．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x xB x x，，，，把2y kx=+代入22y x=得2220x kx--=．由韦达定理得121212kx x x x+==-，．∴1224N Mx x kx x+===，∴N点的坐标为248k k⎛⎫⎪⎝⎭，．22y x=Q，4y x'∴=，∴抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk⨯=，l AB∴∥．（Ⅱ）假设存在实数k，使0NA NB=u u u r u u u rg．由（Ⅰ）知22221122224848k k k kNA x x NB x x⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r，，，，则22221212224488k k k kNA NB x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u rg222212124441616k k k kx x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k kx x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g()221212121214()4164k k kx x x x x x k x x⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦g22114(1)421624k k k k kk⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g22313164kk⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，21016k--<Q，23304k∴-+=，解得2k=±．即存在2k =±，使0NA NB =u u u r u u u rg ．练习2.直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。
圆锥曲线中的存在性问题
为解决实际问题提供更多思路和方法。
05
圆锥曲线中的体存在性问题
体在圆锥曲线上的存在性定理
1 2
圆锥曲线上的体存在性定理
在给定条件下，圆锥曲线上存在一个或多个满足 特定性质的点或物体。
适用范围
适用于椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线。
3
证明方法
利用数学分析、代数和几何等工具进行证明。
体在圆锥曲线上的存在性证明
线在圆锥曲线上的存在性证明
代数证明
通过代数方法，利用圆锥曲线的 方程和导数，证明切线和割线的 存在性。这种方法需要一定的数 学基础。
几何证明
通过几何方法，利用圆锥曲线的 性质和几何关系，证明切线和割 线的存在性。这种方法需要较强 的几何直觉和推理能力。
线在圆锥曲线上的存在性应用
几何作图
利用切线和割线的存在性定理，可以方便地进行几何作图，解决一些几何问题。
定理的适用范围
适用于不同类型和形状的圆锥曲线，但需满足特定的几何条件和约 束。
定理的证明方法
通常采用代数几何、微分几何或解析几何的方法进行证明。
面在圆锥曲线上的存在性证明
01
02
03
证明过程
通过数学推导和证明，证 明在给定条件下，圆锥曲 线上确实存在满足特定性 质的平面。
关键步骤
确定合适的参数和方程， 利用代数、微分或解析技 巧进行推导和求解。
代数证明
通过代数方法，如解方程或不等 式，证明圆锥曲线上存在满足条 件的点或物体。
几何证明
利用几何性质和定理，如平行线、 相似三角形等，证明圆锥曲线上 存在满足条件的点或物体。
反证法
通过假设不存在满足条件的点或 物体，然后推导出矛盾，从而证 明存在性。
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圆锥曲线中的存在性问题、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0（2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。
、典型例题:于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1a 32 2例1 :已知椭圆C :笃每 1 aa b0的离心率为过右焦点F 的直线I 与C 相交（1 ）求a,b 的值（2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P成立？若存则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时d o 解得:、、3,b 椭圆方程为:X2 2 y2(2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X2,y2 当l斜率存在时，设X o X1 X2 联立直线与椭圆方程:3k2 2 x2 6k2xX 16k2X23k2 26k23k2 2'6k23k2 24 272 k 48ky o y1y2 22x 3y3k2y1 Y2 ky2消去6X-| x2y 可得：2x2 3k22k6k33k22k21 6，整理可得:4k3k2 24k3k2 2因为P在椭圆上26 3k 2 2 224 k 3k 3k224k2 6 3k2.2.2 时，I 3 V2 2，2当斜率不存在时，可知4,B3 2,0不在椭圆上1,3，P 3,—或 l: y /2 x 1，P 3,三2 2 2 22 2例2：过椭圆：笃占 1 aa 2 b2(1)求椭圆 的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆OP OQ ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由c 2 1椭圆4m 2 4 4k 2 1焦点，已知 [ARB 的周长为8, 椭圆的离心率为-2解：(1 )由 jARB 的周长可得:4a 8(2) 假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线PQ 斜率存在，设 PQ: kxI PQ 与圆相切 d o 2k 2联立方程:OP OQ 即x 1x 2yy 0y kx m x 24y 241 4k2 x 2 8kmx4m 2y"k 2x 1x 2 km 为 x 2 k 2 1 为x 2km x 1 X 2m 2综上所述：l : y 2 x 1b 0的右焦点F 2的直线交椭圆于 代B 两点，F i 为其左恒有两个交点P,Q ，且b 2X 1 X 28km5m24k2将m25r22 25m 4k 44k2 1 4 0对任意的1代入可得:4 k2 1 0存在符合条件的圆，其方程为: 当PQ斜率不存在时，可知切线若PQ:xO P O Q若PQ:x m,k均成立5r2 k2PQ为M5，则P¥8km4k214 k252花52.5J5 PQ：x 5'5符合题意5砧，同理可得也符合条件综上所述，圆的方程为:m22 2 例3:已知椭圆二 -^2a2b20经过点0八3，离心率为1，左，右焦点分别为2F1c,0和F2c,0(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M 4,0作斜率为k k 0的直线I，交椭圆C于B,D两点（B在M , D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1①证明：k k1为定值②是否存在实数k，使得F1N AD ?如果存在，求直线I的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：e2可得：a:b:c 2: 3:1l o ：3x 4y 100与以原点为圆心，以椭圆 E 的长半轴长为半径的圆相切椭圆方程为：2x4c 22y 3c 21,代入0,可得：c 122椭圆方程为：x y_ 14 3(2［①证明: 设B X 1，% ,D X 2』2 ，线段BD 的中点N X 0，y °设直线I 的方程为：y k x 4，联立方程:②假设存在实数k ，使得F 1Nk % 12k 3 4k 2 kF 1NX 。
116k 2 d•y 22 13 4k 2k x 2 4x 2 2 x 22y 0 k X 04 12k4k 2 333k — 4k 4AD ，则 k F 1N k AD 14k 3 4所以不存在符合条件的直线I2 2x y 例4 :设F 为椭圆E : —2 21 a b 0的右焦点，点a b1 4k2 4 8k 2 2 x 22 8k 2 2y k x 4 3x 2 4y 212化为:3 4k 2 x 2 32k 2x 64k 2 12 0X 1 X 216k 2x22 4k 3y3k 1k |kX 0 4k由 0解得：k 2丄4且 x ( x 2k F 1N kAD4k k x 2 4 22 1 4kX 2 即 4k 2x 2 16k 2 4k 2 1 X 232 k 2 4k 23 ,%X 2 64k 2 124k 2 33P 1, 在椭圆E 上，直线2因为D 在椭圆上，所以x 2 2,2，矛盾(1)求椭圆E的方程(2)过点F的直线I与椭圆相交于代B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另点Q ,问是否存在直线I，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出I的方程; 若不存在，说明理由解：(1)I I o与圆相切d o I3将P 1, 代入椭圆方程2 x2 2y_b21可得：b .32x椭圆方程为：-4(2)由椭圆方程可得: 1,0 设直线I :y k x 1 ，则PQ: y 联立直线I与椭圆方程:y 3x22消去y可得：4k2 34y 12x2 8k2x 4k212 028k2 4 4k23 4k212 144k2144AB -1 k2x1x212 k2 14k2 3同理:联立直线PQ与椭圆方程:3x24y232消去y可得:124k2 3 x28k2 12k x 4k2 12k 3 08k212k $ 4 4k2 212k 3 4k 3 144 - k k24PQ4k「3 1 k2144 1 k k2 4k2 3因为四边形PABQ 的对角线互相平分 3解得：k -4的最大值的取值范围是C 2,3C 2 ，其中c . a 2 b 2(1)求椭圆C 1的离心率e 的取值范围(2)设双曲线C 2以椭圆C i 的焦点为顶点，顶点为焦点,若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（1 ）设 P x, y , F | C ,0 , F 2 C ,0PF^ C x, y ,P F 2C x, yI IPF - P F 2 x 2 y 2 C 22 2 . 2由王 2 a y b 2 1可得:2:yb 2b 2 ax 2代入可得： 1■PF 12 2x y : 2 C1 2 a22 2 2C 2 2x b C^x b Ca严a, aL T PF 1L TPF 2maxb 2C2b 23C 2C2a 2C 2 22 22C a2 3C 2224C a存在直线l : 3x 4y0时, 四边形PABQ 的对角线互相平分2x例5：椭圆C ：飞 a2y_ b 20的左右焦点分别为 F I ,F 2 ,右顶点为A , P 为椭圆C i一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数0，使得 BAF 1BF 1A 恒成立?四边形 PABQ 为平行四边形AB PQ12 k 24k^ 1k 2144 : k k 24k 2上任意一点，且PR ! PF 2B 是双曲线C 2在第一象限上任意、21(2)当 e 一时，可得：a 2c,b ,3c 2 2x y双曲线方程为 二 2 1， A 2c,0 ,F jc,0 ，设 B X o , y o , x ° 0, y ° 0c 3c当 AB x 轴时，x 02c, y 0 3cBAF 12 BF 1A52由双曲线方程与差 c 3c所以2，下面证明2对任意B 点均使得 BAF 1BF 1A 成立 考虑 tan BAF 1 k ABy 。
X。
2c ,tan BRAk BF 1y °x ctan 2 BF | A 2ta n BF 1A 1 ta n 2BF 1Ay °x ° c2y ° X 0 c2 y ° x °c22x ° c y °1，可得:2 c2 c 2y 0 3x 0 3c2 2 x 0 c y °x c $ 3x 0 3c 2 2x 0 2cx 0 4c 2 2 x 0 c 2c x 0tan2 BF 1A 2y 0 x c Y 0 tan BAF 1 BAF 1 2 BF 1A 结论得证2时, BAF 1 BF 1A 恒成立 例6：如图， 2 椭圆E : % a 2每1 a bb 50的离心率是巨，过点P0,1的动直线I 与椭22 x 0 c 2c x 0 2c x 圆相交于 代B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线I 被椭圆E 截得的线段长为 ^2(1)求椭圆E 的方程tan BF 1A3c 3cBRA -因为BAF 1 -(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点Q ，使得对于任意直线I ，恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由a :b :c ,2:1:12 2椭圆方程为命1 由直线I 被椭圆E 截得的线段长为2 一边及椭圆的对称性可得: 点2,1在椭圆上2 2x y椭圆方程为—4 2Q 在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设Q 0,y 。
当I 与x 轴垂直时，则A 0//2 , B 0,. 2 A X 1,% ,B X 2,y 2|QA| | PAQB |PB |右右12a 24(2 )当 l 与x 轴平行时, 由对称性可得:|PA |PBQA QB1 即 I QA QBPA .2 1, PB QAy o2, QBy ° - 2QA | PA |QB |PB)P,Q 不重合Q 0,2F 面判断Q 0,2 -2迄1可解得 y °2 2 1y o y 0 2能否对任意直线均成立若直线I 的斜率存在，设I : y kxy 。