2019年中考数学突破专题之 阅读理解问题——几何问题代数化

阅读理解问题——几何问题代数化
1.观察下图：
第1题图
我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x＋y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x＋4y，遵循以上规律，解答下列问题：
（1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为;
（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．
①求x和y的值；
②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形. 解：（1）25x＋16y，（n＋1）2x＋n2y；
【解法提示】∵第1个图形中“正方形多项式”为4x＋y，
第2个图形中“正方形多项式”为9x＋4y，
第3个图形中“正方形多项式”为16x＋9y，
∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x＋16y，
第n （n 为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n ＋1）2x ＋n 2y . （2）①依题意,得45
25162
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得 2
3x y =⎧⎨
=-⎩
， ②Q ＝（n ＋1）2x ＋n 2y ＝−n 2＋4n ＋2＝−（n −2）2＋6， 当n ＝2时，Q 最大值为6，
∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．
2.如图，正方形ABCD 内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的
顶点A 、B 、C 、D 把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：
第2题图
（1）填写如表： （2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD 内部有多少个点？ （3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？若能，此时正方形ABCD
内部有多少个点？若不能，请说明理由．
解：（1）如下表：
正方形ABCD 内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成三角形的个数
4
6
____ ____
…
____
（2）设点数为n ， 则2（n ＋1）＝2018， 解得n ＝1008.
答：原正方形被分割成2018
个三角形时正方形ABCD 内部
有1008个点；
（3）设点数为n ， 则2（n ＋1）＝2019， 解得n ＝1008.5.
答：原正方形不能被分割成2019个三角形.
3.【问题提出】如何把n 个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？ 探究一：若n 是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成一个大正方形.
探究二：若n =2,5,10,13等，这些数都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：22112+=;22125+=.
解决方法：以n =5为例.
（1）计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为5；
（2）剪切：如图①，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；
正方形ABCD 内点的个数 1
2
3
4
…
n
分割成三角形的个数
4
6
8
10
… 2（n +1）
第3题图
（3）拼图：以图①中的虚线为边，拼成一个边长为5的大正方形，如图②.
请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形.
【问题拓展】如图③，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．
请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．
第3题图③
解：【问题提出】（１）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为13．（2）剪切如解图①：
第3题解图①
（3）拼图如解图②：
第3题解图②
【问题拓展】（１）计算：拼成的大正方形的面积是a２＋
b２，边长为22
．
a b
（2）剪切如解图③：
第3题解图③
（3）拼图如解图④：
第3题解图④
4.【问题提出】如图①，由n ×n ×n （长×宽×高）个小立方块组成的正
方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？
第4题图
【问题研究】我们先从较为简单的情形入手．
（１）如图②，由２×１×１个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝
32
3
2=⨯条线段，宽和高分别只有一条线段，所以图中共有３×１×１＝３个长方体；
（２）如图③，由２×２×１个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有１＋２＝
32
3
2=⨯条线段，高有１条线段，所以图中共有３×３×１＝９个长方体； （３）如图④，由２×２×２个小立方块组成的长方体中，长宽高分别有１＋２＝
23
32
⨯=条线段，所以图中共有 个长方体；
（４）由２×３×６个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝
23
32
⨯=条线段，宽共有 条线段，高共有 条线段，所以图中共有 个长方体．
【问题解决】由n ×n ×n 个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 条线段，所以图中共有 个长方体. 解：【问题探究】(3)27； (4)6，21，378；
【问题解决】2)1(+n n ， 3
2)1(⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+n n .
5.在图中，每个正方形都由边长为1的小正方形组成，请完成下列各
题．
第5题图
(1)观察图形，按要求填写下列表格； 正方形边长 1 3
5
7
白色小正方形个数
_____
______ ______ ______
(2)在边长为n （其中n ≥１）的正方形中，所有黑色的小正方形的面积和为S １，白色小正方形的面积为S ２，试用
正方形边长 2 4 6 8 白色小正方形
个数
_____
______
_______
______
含ｎ的代数式分别表示S １，S ２；
（１）在（２）中，是否存在偶数n ，使得S １＝8
1S ２？若存在，求出ｎ的值；若不存在，请说明理由．（本题可能要用到的参考公式：（a ＋b ）２＝a ２＋2ab ＋b
２，（a －b ）２＝a ２－２ab ＋b ２）
解：（１）补充如下表： 正方形边长 1 3 5 7 白色小正方形
个数
4
16
36
（2）n 为奇数时，S １＝2n －1；S ２＝（n －1）２； ｎ为偶数时，S １＝2n ；S ２＝n ２－2n ；
（3）存在，理由如下： 由题意得，2n ＝8
1（n ２－2n ）， 解得n ＝18或0（舍去）， ∴存在偶数n ＝18使得S １＝8
1S ２.
正方形边长 2 4 6 8 白色小正方形
个数
8
24
48。