上海进才中学2017学年高一第二学期期中考试数学试题
上海中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ．2．若，则= ．3．函数的最小正周期为．4．在△ABC中，若，则△ABC为三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）5．若，，则tanαtanβ= ．6．已知，则x= （用反正弦表示）7．函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为．8．将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m 的最小值为．9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有个．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= （写出一个即可）二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tan|x| B．y=cos（﹣x） C．D．y=|cot|15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ﹣．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义，直接求出sinθ和cosθ【解答】解：在射线y=2x（x≤0）上任取一点（﹣1，﹣2），∴r==，∴sinθ==，cosθ==，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．2．若，则=sin．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若，则===|sin|=，故答案为：sin．3．函数的最小正周期为 ．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin （ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．4．在△ABC中，若，则△ABC为 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】诱导公式、两角和的正弦公式求得sin （A+B ）=sinC=1，C 为直角，从而得出结论． 【解答】解：△ABC中，∵，即sinAcosB=1﹣sinBcosA ，∴sin （A+B ）=sinC=1，∴C=，故△ABC 为直角三角形， 故答案为：直角．5．若，，则tan αtan β=．【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用两角和与差的余弦函数公式可得cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，联立解得cos αcos β，sin αsin β，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，∴联立，解得：cos αcos β=，sin αsin β=，∴tan αtan β==．故答案为：．6．已知，则x=（用反正弦表示）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案【解答】解：由于arcsin 表示上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．7．函数y=2sin 2x ﹣3sinx+1，的值域为 ．【考点】HW ：三角函数的最值．【分析】令sinx=t ，求出t 的范围，得出关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：令sinx=t ，则y=2t 2﹣3t+1=2（t ﹣）2﹣，∵x ∈[，]，∴t ∈[，1]，∴当t=时，y 取得最小值﹣，当t=或1时，y 取得最大值0．故答案为：．8．将函数y=cos2x ﹣sin2x 的图象向左平移m 个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，可得y=cos（2x+2m+）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，即m=+，则m的最小值为，故答案为：9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ﹣．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换得出y=sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再利用sinφ=﹣得出a的值．【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，sinφ=，cosφ=，∵函数图象关于x=﹣对称，∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．∵cosφ=＞0，∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，∴=﹣，解得a=﹣．故答案为：．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在 2 个点关于y轴对称．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意，在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，根据函数图象即可得出结论．【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，如图所示；则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，0）和（π，0）与（0，0）；g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，﹣）和（π，﹣）与（，0）．故答案为：2．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有11 个．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=s in1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k的个数．【解答】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= sin（x﹣）+（写出一个即可）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意得出f（x）满足的条件，求出A、ω、φ对应的值即可写出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，且满足，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，∴ω=，k∈Z，取ω=；∴Asin（+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=﹣1②；∴①﹣②得A=3∴A（cosφ﹣sinφ）=3∴A（cos cosφ﹣sin sinφ）=∴Acos（φ+）=令A=，则φ=﹣；∴写出满足条件的一个函数为f （x ）=sin （x ﹣）+；故答案为：．二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】GC ：三角函数值的符号． 【分析】根据三角函数值的符号判断即可．【解答】解：∵﹣＜α＜0，∴cos α＞0 tan α＜0 tan α•cot α=1 ∴cot α＜0∴点（cot α，cos α）在第一象限． 故选：D ．14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）A ．y=tan|x|B ．y=cos （﹣x ）C ．D ．y=|cot|【考点】3J ：偶函数；3E ：函数单调性的判断与证明． 【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．【解答】解：y=sin （x ﹣）=﹣sin （﹣x ）=﹣cosx 故选C ．15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2【考点】3L：函数奇偶性的性质；H5：正弦函数的单调性．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=sinx是单调递增的偶函数．∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．【考点】GJ：三角函数恒等式的证明．【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα=sin﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．∴原式得证18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，．利用二倍角公式即可出tanθ的值；（2）根据tanθ的值求出sinθ和cosθ，利用二倍角和和与差的公式化简可求出的值．【解答】解：（1）由tan2θ=，．可得： tan2θ﹣tanθ﹣=0，∵．∴tanθ=．（2）由（1）可知tanθ=，即，sin2θ+cos2θ=1，可得：sinθ=，cosθ=．那么===2．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先化简f（x）的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论．【解答】解：y=﹣（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴函数的值域：；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函数的递增区间：，k∈Z；令2x﹣=，解得x=+，∴函数的对称轴：x=+，k∈Z；令2x﹣=kπ得x=+，∴函数的对称中心：（+，0），k∈Z；作图如下：（1）列表：作出图象如下：20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简g（x）+g（x+2），判断与g（x+1）的关系即可；（2）由f（x）+f（x+2）=f（x+1）可得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），两式相减即可得出f （x+3）=﹣f（x），从而有f（x+6）=f（x），得出f（x）周期为6；（3）以f（x）=cos（）为例即可得出结论．【解答】解：（1）证明：g（x）+g（x+2）=sin（）+sin（+）=sin（）﹣sin（）+cos（）=sin（）+cos（）=sin（+）=sin（）=g（x+1），∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），∴g（x）∈A．（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）﹣f（x）=f（x+2），∴f（x+3）=﹣f（x），∴f（x﹣3+3）=﹣f（x﹣3），即f（x）=﹣f（x﹣3），∴f（x+3）=f（x﹣3），即f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数．（3）A中的元素不一定是奇函数，令，则f（x）+f（x+2）=cos（）+cos（+）=cos（）﹣cos（）﹣sin（）=cos（）﹣sin（）=cos（+）=f（x+1）．∴f（x）=cos（x）∈A，而f（x）=cos（x）是偶函数，故A中的元素不一定是奇函数．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x ∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，∴f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx．（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，∵sinx≠0，∴a=﹣，令h（x）=﹣=2sinx﹣，h′（x）=2cosx+=，令h′（x）=0得x=或，∴h（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，当a＜﹣1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＞1时，h（x）=a在（0，2π）有2解；则a=1时，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，∴存在a=1，n=1345时，F（x）有2017个零点．2017年6月6日。
上海市高一数学下学期期中试卷(含解析)
上海市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第 象限．2．= ．3．若函数f （x ）=asinx+3cosx 的最大值为5，则常数a= ．4．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=8，a 4+a 6=0，则S 8= ．5．在△ABC 中，，，则= ．6．函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单位长度得到．7．方程3sinx=1+cos2x 的解集为 ．8．已知θ是第四象限角，且，则= ．9．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{1，3}，则k 的最大值为 ．10．在锐角△ABC 中，若sinA=3sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 ． 二.选择题11．已知，，，则β=（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．13．“sin α＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（，）上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5三.简答题15．在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+ac ．（1）求∠B 的大小； （2）求cosA+cosC 的最大值．16．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n （n ∈N *），且﹣=，S 6=63．（1）求{a n }的通项公式；（2）若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b }的前2n 项和．17．已知函数；（1）求f （x ）的定义域与最小正周期；（2）求f （x ）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第二象限．【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】判断角的范围，即可得到结果．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2． = ﹣．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式、诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解： =cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a= ±4 ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得最大值．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8= 8 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．在△ABC中，，，则= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可求sinC的值，结合C的范围可求C，利用三角形内角和定理可求B，由正弦定理及比例的性质即可计算得解．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得： =，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．方程3sinx=1+cos2x的解集为．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinx=，由此求得x的取值范围．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，∴x∈，故答案为：．8．已知θ是第四象限角，且，则= ．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（﹣θ）及cos（﹣θ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴﹣+2kπ＜θ＜2kπ，则﹣+2kπ＜θ+＜+2kπ，k∈Z，又sin（θ+）=﹣，∴cos（θ+）==．∴cos （﹣θ）=sin （θ+）=﹣，sin （﹣θ）=cos （θ+）=．则tan （θ﹣）=﹣tan （﹣θ）=﹣=．故答案为：．9．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{1，3}，则k 的最大值为 4 ． 【考点】8H ：数列递推式．【分析】根据a 1∈{1，3}，a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），即可得出结论． 【解答】解：∵对任意n ∈N *，S n ∈{1，3}，∴a 1=S 1∈{1，3}， ∴a 1=1或a 1=3，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，∴a n 可能的值只有0，2，﹣2，三种情况，故数列{a n }最多有1，0，2，﹣2，或3，0，2，﹣2四个数字组成， 故答案为4．10．在锐角△ABC 中，若sinA=3sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 12 ． 【考点】GR ：两角和与差的正切函数．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC 可推出sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC ，进而得到tanB+tanC=3tanBtanC ，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin （π﹣A ）=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC ，sinA=3sinBsinC ， 可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC ，①由三角形ABC 为锐角三角形，则cosB ＞0，cosC ＞0， 在①式两侧同时除以cosBcosC 可得tanB+tanC=3tanBtanC ，又tanA=﹣tan （π﹣A ）=﹣tan （B+C ）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC ，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．已知，，，则β=（）A． B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α﹣β），cosα，进而由sinβ=﹣sin，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先，根据图形，得到振幅A=2，然后，根据周期公式，得到ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（，2）代入，解得φ，最后，得到f（x）．【解答】解：据图，A=2，，∴T=π，∵T=，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），将点（，2）代入上式，得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；故选A．13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；（2）由（1）得：C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n 项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出b n，使用分项求和法和平方差公式计算．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴b n+1﹣b n=1．∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据tanx有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f（x），得出f（x）的周期；（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k ∈Z．∩=，[+kπ， +kπ]∩=，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】（1）两边取正切列方程解出x ，从而可求出arccos 的值；（2）两边取正切得出tana 关于x 的函数，利用不等式得出tana 的范围，从而得出a 的范围； （3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan （2﹣x ）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时， =arccos （﹣）=π﹣arccos =；当x=2时，arccos =arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x ≠4时，tana=，∵4﹣x+≥2或4﹣x+≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana ＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana 在上有两解α，β，即tana•x 2+（1﹣2tana ）x+2tana ﹣4=0在有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana ）2﹣8tana （tana ﹣2）=﹣4tan 2a+12tana+1＞0，解得﹣＜tana ＜且tana ≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜2，方程在上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana＜﹣，又，解得tana≤﹣，综上，﹣＜tana≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．。
上海进才中学高一下学期数学期中试卷及答案
进才中学高一期中数学试卷2022.04一. 填空题1.若扇形的弧长和半径都是3，则扇形的面积为2.点(,)P a （0a <）是角α终边上一点，那么sin α=3.函数sin cos y x x =的最大值为4.已知向量,a b 方向相反，且||4a = ，||5b = ，则a 在b方向上的数量投影为5.函数lg(2cos y x =-的定义域为6.在直角坐标系xOy 中，x 轴的正半轴上一点M 依逆时针方向作匀速圆周运动，若点M 一分钟转过角α(0απ<<)，2分钟到达第三象限，7分钟回到原来位置，则α=7.方程cos2cos 0x x -=在区间[0,]π上的解集为8.已知()tan sin 23f x a x b x =+-，且(2)1f =-，则(2)f -=9.直角△ABC 中，∠A 2π=，AB =1，AC =2，点O 是△ABC 所在平面上任意一点，则向量()()OA OC OB OC -+-的模为10.已知定义在R 上的偶函数()y f x =的最小正周期为2π，当0x π≤≤时，()2f x x π=-，()f x m =在区间(,3)2ππ上恰有三个解1x 、2x 、3x ，且满足2213x x x =⋅，其中123x x x <<， 则2x =二.选择题（11-16为单项选择，17-20至少一个正确选项）11.已知△ABC 所在平面上有一点P 满足3PC PA =-，则下列说法正确的是（）A.点P 在AC 的延长线上B.点P 在△ABC 的内部C.点P 在直线AB 上D.点P 在线段AC 上12.已知1cos 6x =-，(,)2x ππ∈，则x =（）A.3πB. 23πC. 1arccos6D.1arccos6π-13.方程8cos log x x =的实数解的个数是（ ）A.4B.3C.2D.114.化简：sin(2)tan()cot()cos()tan(3)παπααππαπα-+----的结果为（）A.1B.1- C.cos α- D.cot α15.在△ABC 中，若()0AB CB CA ⋅+=，则△ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形16.已知()sin f x x x =，若(sin )(sin )f f αβ<，则一定有（）A.cos2cos 2αβ>B.cos2cos 2αβ<C.sin sin αβ>D.sin sin αβ<17.关于函数()cos(3)4f x x π=+的图像变换，下列说法正确的是（）A.将()f x 的图像向右平移4π个单位，得到函数cos3y x =的图像 B.将()f x 的图像向右平移12π个单位，得到函数cos3y x =的图像C.将()f x 图像上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到cos()4y x π=+图像D.将()f x 图像上的点横坐标变为原来的13倍，纵坐标不变，得到cos()4y x π=+图像18.关于函数()sin f x x =的性质，下列说法正确的是（）A.函数()f x 在2[,]63ππ上的值域是1[2B.函数()f x 的图像关于直线32x π=对称C.函数()f x 在第一象限是严格单调递增函数D.函数()f x 的图像既关于(0,0)对称，也关于(,0)π对称19.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列结论正确的是（）A.若a =，b =A 可以是3πB.若6A π=，1a =，c =b 只能是1C.若△ABC 是锐角三角形，2a =，3b =，则边长c 的取值范围是D.若222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则角A 的取值范围是(0,]3π20.设函数()sin 2cos2f x a x b x =+（,a b ∈R ），给出的下列结论中正确的是（）A.当0a =，1b =时，()f x 为偶函数B.当1a =，0b =时，()f x 在区间(0,)2π上是单调函数C.当a =1b =-时，()f x 在区间(,)ππ-上恰有4个零点D. 当a =，1b =时，设()f x 在区间[,]4t t π+(t ∈R )上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，则()()M t m t -的最大值为三.解答题21.某公园有三个警卫室A 、B 、C ，互相之间均有直道相连，AB =2千米，AC =BC =4千米，保安甲沿CB 从警卫室C 出发前往警卫室B ，同时保安乙沿BA 从警卫室B 出发前往警卫室A ，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.（1）保安甲从C 出发1.5小时后达点D ，若AD x AB y AC =+，求实数x 、y 的值；（2）若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？ (精确到0.01小时)22.已知函数()cos()f x x ω=(0ω>)的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()()()4g x f x x π=--的单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若(0,2A π∈，1()2f A =-， 2a =，求b c +的取值范围.23.已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意的01x D ∈，都恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ⋅⋅⋅∈，使得0()()i g x f x =(其中1,2,,i n =⋅⋅⋅，*n ∈N )，则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）判断下面两组函数中，()g x 是否为()f x 的“n 重覆盖函数”，并说明理由；①()cos g x x =(04x π<<)，()f x x =(11x -<<)，“4重覆盖函数”；②()||g x x =(22x -≤≤)，()1sin f x x =+(x ∈R )，“2重覆盖函数”；（2）若1|sin |()x g x x π-=，(0,)x ∈+∞为1()f x x=，(,)x s t ∈（0s t <<）的“9重覆盖函数”，求t s -的最大值.参考答案一. 填空题1.922.3.124.4-5.(2,2)66k k ππππ-++，k ∈Ζ6.47π7.2{0,}3π8.5-9.10.43π二.选择题11.D 12.D13.B14.A 15.C 16.A17.BC 18.BD19.CD20.ACD三.解答题21.（1）34x =，14y =；（20.41≈小时22.（1）2ω=，511[,]1212k k ππππ++，k ∈Ζ；（2）3A π=，(2,4]b c +∈23.（1）①是；②不是；（2）1。
上海数学高一下期中习题(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（ ）A ．3B ．13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A 2B ．17C ．2D ．84．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+5．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．46．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25πD ．100π7．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．322D ．22 8．(0分)[ID ：12352]已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a =)A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1 9．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形10．(0分)[ID ：12341]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π11．(0分)[ID ：12386]已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．2512．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行13．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π14．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥15．(0分)[ID ：12385]一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．√33B ．√17C ．√41D ．√42二、填空题16．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．17．(0分)[ID ：12525]已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.18．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.19．(0分)[ID ：12514]过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.20．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．21．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为_____．22．(0分)[ID ：12503]在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______23．(0分)[ID ：12459]已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．24．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题26．(0分)[ID ：12604]已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.27．(0分)[ID ：12575]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．28．(0分)[ID ：12567]如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 、F 分别是BC 、1AC 、1BB 的中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ； （2）求证：//EF 平面111A B C .29．(0分)[ID ：12557]如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ； （2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．30．(0分)[ID ：12547]已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．B4．D5．C6．C7．B8．D9．A10．A11．D12．D13．A14．D15．C二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查18．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键19．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D120．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半22．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用23．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握24．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA AD PA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C 【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥， 由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.4．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1， 故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 223416,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 画出截面图形如图 显然A 正三角形C 正方形： D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选A ．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =，∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积11．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为 10， 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．12．D解析：D 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.13．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体， 下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.14．D解析：D 【解析】 【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.15．C解析：C 【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面ABCD 边长为4，侧面PAD ⊥平面ABCD ，点P 在底面的射影为E ，所以PE ⊥AD,DE =1,AE =4,PE =4,所以PA =√PE 2+AE 2=5,PB =√PE 2+BE 2=√41,PC =√PE 2+CE 2=√33,PD =√PE 2+DE 2=√17,底面边长为4，所以最长的棱长为√41，故选C.考点：简单几何体的三视图．二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直 解析：③④ 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查 解析：342【解析】 【分析】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得答案. 【详解】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，22PD =，12OH DO ==，122CO ，解得342R =. 故答案为：342.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=.故答案为：27310x y -+=. 【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.19．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1 解析：4【解析】 【分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数． 【详解】解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=，AC 4是满足条件的直线．故答案为4． 【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．20．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结 113-+【解析】 【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-，所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部， 设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为131||(1),1312,2AF a a a a --+=∴-==. 故答案为：1132-+. 【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π【解析】 【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可. 【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803， 所以()46332k k k+=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.22．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】 【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解. 【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==，55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.23．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析：()2224x y -+=【解析】 【分析】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案.【详解】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，222236x y +=，两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=. 故2204y x y x +=-，整理得到：()2224x y -+=. 故答案为：()2224x y -+=.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.24．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围．【详解】解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -，又()1,1A -，()2,2B ，如图∵()11201PA K --==---，123022PB K --==-， ∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或斜率不存在，∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或0m =， 即203m -≤<或102m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题． 25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（） 【解析】【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得128AB x =-=，圆心到直线AB222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。
2017年下学期期中测试高一数学卷含答案
2017年下学期期中测试高一数学问卷（336－348）班次： 学号： 姓名： (时间：120分钟 总分：150分)（本卷共22个题，其中选择题12个，填空题4个，解答题6个） 一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）A.B.C.D.2.已知奇函数()f x ，且当0x >时，()21f x x x=+ ，则()1f -等于 （ ）A. 2-B.0C.1D.23.设函数()21121x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3f f = （ ）A ． 15B ．3 C. 23 D ．1394. 已知 ，，，则,,a b c 三者的大小关系是（ ）A.B.C.D.5. 若函数()2211y x a x =+-+在区间(],2-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A . 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．3y x = B ．y ＝|x |＋1 C ．21y x =-+ D ．2xy -=7.若()221110x x f x x x x ++⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭等于 （ ） A ． 1 B ．14 C. 34 D ．328．函数()231x f x x +=-，当[)2,x ∈+∞时，函数的值域为（ ）A ．(],7-∞B ．()(],22,7-∞UC ．(]2,7D ．[)2,+∞ 9.函数1y x x=-的图象只可能是 （ ）10．已知,1()(4)1,12x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（1,8） C. [)2,8 D ．[)8,4 11.已知定义域为R的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2(0,1),x x f x g x a a a a -+=-+>≠若()2,g a =则()2f 等于 （ ） A.2 B.154 C. 174D. 2a 12. 已知函数()1f x +是偶函数，当(),1x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，则满足1(31)()2f x f +<的实数x 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞-B ．11(,)26--C ．1(,)6-+∞D ．11(,)66-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共计20分。
上海进才实验中学数学高一下期中测试题(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC == ）A ．32πB ．24πCD ．6π2．(0分)[ID ：12405]三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π3．(0分)[ID ：12401]已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3+ 4．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β7．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ）A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 8．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．6 9．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．D10．(0分)[ID ：12340]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3011．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC ．2aD ．22a 13．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行 14．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 15．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12490]已知圆锥的底面半径为10，高为30，在它的所有内接圆柱中，侧面积的最大值是_____.17．(0分)[ID ：12473]在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________18．(0分)[ID ：12525]已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.19．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．20．(0分)[ID ：12513]如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）21．(0分)[ID ：12481]直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．22．(0分)[ID ：12449]若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.23．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.24．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.25．(0分)[ID ：12502]直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______. 三、解答题26．(0分)[ID ：12595]如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC =，BC AC ⊥，3cos 4SCB ∠=-，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．27．(0分)[ID ：12587]如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.28．(0分)[ID ：12558]在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点.（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 29．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．30．(0分)[ID ：12532]如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．D4．B5．C6．D7．A8．B9．A10．C11．D12．D13．D14．D15．B二、填空题16．；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r高为h得到将侧面积表示为底面半径的函数用配方法求二次函数的最大值【详解】设内接圆柱的底面半径为r高为h侧面积为S则时侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥内17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平18．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关20．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC可推知BD⊥AC数量积为零②由折叠后AB＝AC＝BC三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC21．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P（0-1）计算PAPB的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P（0-1）如图所示计算且或则或即实数a的取值范围22．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为23．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【24．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则25．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.3．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大1+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB 的距离为2.∴△PAB 面积的最大值是112||(1)2222AB +=⨯= 故选D ．【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.4．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故22220000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围． 5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，BC ∴=PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2PC R ===R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.7．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.8．B解析：B【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，22121216162S AC BD d d =⋅=--，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =. ()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==. 222222121211222161622S AC BD r d r d d d =⋅=⨯--=--2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.9．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.10．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为V =12×3×4×5−13×12×3×4×3=24，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．11．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 3 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121, 3.01303PA PB k k ---==-==-- ∵点(1,−2)和(33,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ3tanθ≠0.解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 12．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.13．D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.14．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.15．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题16．；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r 高为h 得到将侧面积表示为底面半径的函数用配方法求二次函数的最大值【详解】设内接圆柱的底面半径为r 高为h 侧面积为S 则时侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥内解析：150π；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，得到303h r =-，将侧面积表示为底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值.【详解】设内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，侧面积为S ,则303033010h r h r -=∴=-22660S rh r r πππ∴==-+226(10)6(5)150r r r πππ=--=--+5r ∴=时，侧面积max 150S π=故答案为：150π【点睛】本题考查了圆锥内接圆柱的问题，考查了学生空间想象，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平 解析：①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．18．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查解析：2【解析】【分析】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得答案. 【详解】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，PD =，12OH DO ==，122CO ，解得342R =. 故答案为：342.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
上海市高一数学第二学期期中考试试卷含答案
上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、函数)23sin(2x y -=π的最小正周期为 （ ）A ．π6B ．6C ．πD ．π-2、已知向量：a=(2，3)，b =(4，y)，若⊥，则y= （ ） A ．一38 B ．6 C.38D ．一6 3、函数)32sin()(π+=x x f 图象的对称轴方程可以为 （ ）A.125π=x B.3π=x C.6π=x D. 12π=x4、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( )A.14B.21C.28D.355，()-⊥a b a ，则a 、b 的夹角是（ ）6、已知()αβαα,13cos ,53cos -=+=、β都是锐角，则βcos = （ ）A.6563-B.6533-C.6533D. 65637、已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则=++87109a a aaA.1B. 1C. 3-D.3+8、要得到函数y x =sin 2的图象，只要把函数)4π2sin(-=x y 的图象 （ ）A..向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π个单位D.向右平移π8个单位9、在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量,，满足a a 20151+=，且A 、B 、C 三点共线且该直线不过O 点，则2015s = ( )A ．2015B ．2016C ．22015 D.2201610、o 是平面内的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点.动点P 满足)(ACAB ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的 ( ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心11、在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( ) A.S 1a 1 B.S 8a 8 C.S 9a 9 D.S 15a 1512、已知函数()cos f x x =，，若方程()f x m =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数m 的值可能是（A二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13、已知钝角α的终边经过点P （θ2sin ，θ4sin ），且21cos =θ，则α的值为_______；14、已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+ 共线，则15、若函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a = ;16、已知8个非零实数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，向量112(,)OA a a = ，234(,)OA a a = ，356(,)OA a a =，478(,)OA a a =，给出下列命题：①若a 1，a 2，…，a 8为等差数列，则存在*,(1,8,,,)i j i j i j i j ≤≤≠∈N ，使1OA ＋2OA ＋3OA ＋4OA 与向量(,)i j a a =n 共线；②若a 1，a 2，…，a 8为公差不为0的等差数列，向量(,)i j a a =n *(1,8,,,)i j i j i j ≤≤≠∈N ，(1,1)=q ，{|}M y y ==⋅n q ，则集合M 的元素有12个；③若a 1，a 2，…，a 8为等比数列，则对任意*,(1,4,,)i j i j i j ≤≤∈N ，都有i OA ∥j OA；④若a 1，a 2，…，a 8为等比数列，则存在*,(1,4,,)i j i j i j ≤≤∈N ，使i OA ·j OA＜0；⑤若m ＝i OA ·j OA*(1,4,,,)i j i j i j ≤≤≠∈N ，则m 的值中至少有一个不小于0．其中所有真命题的序号是________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤)17、（本题满分10分）（1）化简()f α；（2，且α是第二象限角，求18、（本题满分12分）已知向量a=),sin ,(cos θθb=)sin ,cos (θθ-，]2,0[πθ∈．（1）若a ⊥b ,求θ的值； （2）求a ·b +a － b的取值范围；19、（本题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1120n n n n a a a a --+-= （1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21nn a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .20、（本题满分12分）已知函数5)cos 3(sin sin 4)(--=x x x x f（1）求函数)(x f 的最小正周期以及最大值和最小值； （2）求函数)(x f 的增区间。
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2sin x 1 (0 x 2) 的定义域为 5．若 tan 2 ，则 tan 。 3 cos sin 6．若 ( , ) ，化简： 2 1 tan 2 1 cot 2 sin(7 ) 5cos(2 ) 7.已知 tan 2 ，则 3 3sin( ) sin( ) 2
3
) 在区间 [ , ] 范围内的值域 2 4 4
3
3
写出 f ( 2 x ) 图像的所有对称中心
20． （本题满分 10 分）已知扇形 OAB 的半径为 3，圆心角 AOB 60 ，过弧 AB 上的动点 P 作平行于 BO 的直线 交 AO 于点 Q ，设 AOP 。 B （1）求 POQ 的面积 S 关于 的函数解析式 S f ( ) ； （2） 为何值时， S f ( ) 有最大值？并求出该最大值。
（直接写答案, 别忘记把计算器设置成“角度”呦！ ） （2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程． ）
cos 2 cos88 cos 5 cos85 _______ ， ______ 。 sin 47 sin133 sin 50 sin130
8.在 ABC 中, tan A tan B 1 ,则这个三角形的形状是 9．在 ABC 中,已知 a
2
4
。 。
。 ___个。 。
6 , b 2 , A 60 o ，则这样的三角形的有____
10．在 (0 , 2 ) 内，使 cos x sin x tan x 的成立的 x 的取值范围是
上海市进才中学期中考试试卷
一、填空题（每题 3 分，满分 36 分，请将正确答案直接填写在相应空格上） o 1．若 2013 ，则与 具有相同终边的最小正角为 。
2. 已知扇形的圆心角为
2 ，半径为 5 ，则扇形的面积为 3
。 。
。
3．已知角 的终边经过点 P 4 ,3 ，则 cos 4. 函数 y
11．凸函数的性质定理为：如果函数 f ( x) 在区间 D 上是凸函数，则对 D 内的任意 f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n ) x x2 L xn x1 , x 2 , , x n ，有 f( 1 ) .函数 f ( x) sin x 在 n n 区间 (0, ) 上是凸函数，则在 ABC 中， sin A sin B sin C 的最大值为 。 12．方程 x cos x 0 的解可视为函数 y cos x 的图像与函数 y x 的图像的交点的横 坐标，方程 x 10 x sin
2 3
1
（B） b a 的最大值为
（C） a 不可能等于 2k
，k Z 6
4 3
（D） b 不可能等于 2k
，k Z 6
三、解答题（共 5 小题，满分 48 分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）
17． （本题满分 6 分）三角比内容丰富，公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。 请你完成以下问题： （1）计算：
18. （本题满分 10 分）定义： （1）求 cos 2 的值；
a b x y
ay bx 。已知
cos( ) sin sin( ) cos
1 。 3
（2）求 tan(
) 的值。 4 2
19.（本题满分 10 分）请研究与函数 f ( x ) tan x 相关的下列问题，在表中填写结论. 问 求 f (2 x ) 的定义域 求函数 f (2 x ) 的周期 写出 f (2 x ) 的单调区间（指明是增还是减） 写出 f ( x 题 结 论（不需要过程） 分数
P
O
Q
A
2 2 2
x 1 0 的实数解的个 分，满分 16 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后 括号内） 2 13． “ ”是“ tan 3 ”成立的 ( )
3 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件。 14．函数 y cos x 的单调递减区间是 ( ) （A） [ 2k , 2k 1 ] k Z （B） [ 2k 1, 2k ] k Z （C） [ k , k 1 ] k Z （D） [ k 1, k ] k Z 15．下列函数中，周期为 的偶函数是 ( )