高考圆锥曲线最值问题常见类型及解法探究
高考圆锥曲线最值问题常见类型及解法探究作者：章玉
来源：《现代商贸工业》2019年第28期
摘要：圆锥曲线是解析几何的核心内容，圆锥曲线中的最值问题一直是数学高考的热点，也是学生学习中的一个难点。
这类问题具有综合性强、方法多、技巧强、计算量大等特
点，作为考察学生逻辑推理、数学运算以及综合运用数学知识分析和解决问题的能力的重要题
型，圆锥曲线与三角、函数、几何、不等式、方程、平面向量等都有密切的联系，学生在解题时，存在许多思维障碍或运算问题。
结合近几年高考，就此类问题的常见类型及其解法进行梳理总结，希望对学生的解题有所帮助。
关键词：高中数学;圆锥曲线;最值问题
中图分类号：G4 文献标识码：Adoi：10.19311/ki.1672-3198.2019.28.087
参考文献
[1]丁晨晖.谈谈高中数学圆锥曲线中的最值問题[J].课程教育研究，2015，（32）：244-245.
[2]黄寒凝，张海峰.一类圆锥曲线最值问题的探究与突破策略[J].福建基础教育研究，2019，（02）：41-44.
[3]张自鹤.圆锥曲线中最值问题的求解策略[J].高中数学教与学，2016，（03）：18-21.。
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法演示文稿
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
分析：
本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的 点的坐标，然后根据两点间的距离公式借 助于二次函数求出此最大值，并求出点的 坐标。
例3
求点 P(0，3 )到椭圆
2
x2 y2 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
解：
设点
Q(x,y)为椭圆
x2 4
y2
1
上的任意一点，
则 PQ 2 （x 0）2 (y 3)2
2
又因为x2 = 4- 4y2
所以
PQ
2
4 4y 2
y2
3y
9 4
3y 2
3y
25 4
3(y 1 )2 7 2
（－1≤y≤1）
所以 PQ 的最大值为 7 此时， y 1，x 3
2
即此时Q的坐标为：（ 3， 1）、（ 3， 1）
2
2
思考题：
求：点P(0,m),使其到椭圆x2 y 2 1上的 4
最大距离是 7。
变式训练：
已知双曲线C：x2 y2 1 ，P为C
4
上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小 值为________.
类
例1： 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点
型
A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P 在抛物线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面
略解： 圆心到直线L的距离d1=
16 32 22
16 13 13
r 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-
16 13 2 13
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？
2021新高考——圆锥曲线大题(最值范围问题)解析版
圆锥曲线综合问题第一讲 最值、范围问题1．圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；①求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种常见解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；①代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．【例1】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4．(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求△OAD 与△OAC 的面积之差的绝对值的最大值．(O 为坐标原点)解析：(1)由题意得2a ＝4，即a ＝2,2c ＝a ，即c ＝1，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝3．故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1． (2)设△OAD 的面积为S 1，△OAC 的面积为S 2，直线l 的方程为x ＝ky －1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1，整理得(3k 2＋4)y 2－6ky －9＝0， 由根与系数的关系可知y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，∴|S 1－S 2|＝12×2×||y 1|－|y 2||＝|y 1＋y 2|＝6|k |3k 2＋4． 当k ＝0时，|S 1－S 2|＝0，当k ≠0时，|S 1－S 2|＝63|k |＋4|k |≤62 3|k |·4|k |＝32，当且仅当3|k |＝4|k |，即k ＝±233时等号成立．∴|S 1－S 2|的最大值为32．【变式训练】 1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值．解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，①12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，① 联立①①①解得a 2－c 2＝3．又c a ＝12，①c 2＝1，a 2＝4， b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1． (2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)>0，所以m 2>4．y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 则①MNF 1的面积S ①MNF 1＝|S ①NTF 1－S ①MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝32431444324222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m m ＝18m 2－44＋3m 2 ＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334． 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号． 故①MNF 1面积的最大值为334．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C 的左、右顶点)，过右焦点F 2作①F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ |＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为43．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：x ＝my ＋4(m ①R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于点D ，求当①ADB 的面积最大时，直线l 的方程．解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×12ab ＝43，得ab ＝23． 延长F 2Q 交直线F 1P 于点R ，因为F 2Q 为①F 1PF 2的外角平分线的垂线，所以|PF 2|＝|PR |，Q 为F 2R 的中点，所以|OQ |＝|F 1R |2＝|F 1P |＋|PR |2＝|F 1P |＋|PF 2|2＝a ， 所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋4，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 所以Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)＝144(m 2－4)>0，即m 2>4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 直线A ′B 的斜率k ＝y 2－(－y 1)x 2－x 1＝y 2＋y 1x 2－x 1， 所以直线A ′B 的方程为y ＋y 1＝y 1＋y 2x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，得x D ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝(my 1＋4)y 2＋y 1(my 2＋4)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4， 故x D ＝1，所以点D 到直线l 的距离d ＝31＋m 2， 所以S ①ADB ＝12|AB |·d ＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝18·m 2－43m 2＋4． 令t ＝m 2－4(t >0)，则S ①ADB ＝18·t 3t 2＋16＝183t ＋16t≤1823×16＝334， 当且仅当3t ＝16t ，即t 2＝163＝m 2－4，即m 2＝283>4，m ＝±2213时，①ADB 的面积最大， 所以直线l 的方程为3x ＋221y －12＝0或3x －221y －12＝0．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积的最大值． 解 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2． 又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)， 所以4a 2＋1b 2＝1．所以a 2＝8，b 2＝2． 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1． (2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0． 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4．又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2．则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）． 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5． 所以S ①P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2． 当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，①P AB 的面积取得最大值为2．【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．解：(1)①双曲线的离心率为233， ①椭圆的离心率e ＝c a ＝32． 又①直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，①右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，①椭圆方程为x 24＋y 2＝1． (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2．又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0．由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12． 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，得0＜m 2＜2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ，则S ①OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－(m 2－1)2＋1． 故由m 的取值范围可得①OMN 面积的取值范围为(0,1)．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎪⎭⎫ ⎝⎛213，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．①求|OQ ||OP |的值； ②求△ABQ 面积的最大值．解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1．又a 2－b 2a ＝32， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1． ①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ(λ＞0)，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+20204y x ＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2 ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，(*)则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2．所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2． 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以①OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2 222241414k m k m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-． 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2．(**)由(*)和(**)可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故0＜S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23．由①知，①ABQ 的面积为3S ，所以①ABQ 面积的最大值为63．【例3】已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切．(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，①动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x ．(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，①|CB |＝42（1－m ），点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m 2， ①S ①ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )， 令1－m ＝t ，t ①(1，2)，则m ＝1－t 2，①S ①ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3，令f (t )＝8t －2t 3，①f ′(t )＝8－6t 2，令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去)． 易知y ＝f (t )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32,1上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,32上单调递减． ①y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239． ①①ABC 面积的最大值为3239．【变式训练】1．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛4923，，抛物线上的点P (x ，y )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2321x ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析 (1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－14x ＋12＝x －12． 因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程可得⎩⎨⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1)． 因为|P A |＝1＋k 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3．令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3＝－k 4－2k 3＋2k ＋1，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1上单调递增，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21上单调递减． 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716．2．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点12，0的动直线交抛物线于不同两点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求①APQ 的面积的最小值．解：(1)设直线PQ 方程为x ＝ty ＋12，代入y 2＝4x ，得y 2－4ty －2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－2，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋1＝4t 2＋1，所以M 2t 2＋12，2t ． 设M (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t 2＋12，y ＝2t消去t ，得中点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1． (2)设F A →＝λFM →(λ<0)，A (x 0，y 0)，又F (1,0)，M 2t 2＋12，2t ， 则(x 0－1，y 0)＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t 2,2122，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2λt 2－12λ＋1，y 0＝2λt .由点A 在抛物线y 2＝4x 上，得4λ2t 2＝8λt 2－2λ＋4，化简得(λ2－2λ)t 2＝－12λ＋1． 又λ<0，所以t 2＝－12λ． 因为点A 到直线PQ 的距离d ＝|4λt 2－λ＋2－4λt 2－1|21＋t 2＝|λ－1|21＋t 2， |PQ |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2(1＋t 2)(4t 2＋2)．所以①APQ 的面积S ＝12·|PQ |·d ＝222t 2＋1|λ－1|＝22 (λ－1)3λ．设f (λ)＝(λ－1)3λ，λ<0，则f ′(λ)＝(λ－1)2(2λ＋1)λ2， 由f ′(λ)>0，得λ>－12； 由f ′(λ)<0，得λ<－12， 所以f (λ)在－∞，－12上是减函数，在－12，0上是增函数，因此，当λ＝－12时，f (λ)取到最小值． 所以①APQ 的面积的最小值是364．2．解决圆锥曲线中范围问题的方法圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解．一般有五种思考方法：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；(5)利用函数的值域，确定参数的取值范围．【例3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，①b ＝1，a ＝2， ①椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1． (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2．若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2， ①(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，①(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1482k km ＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，① 由①①得0≤m 2<65，120<k 2≤54． ①原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，①d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2）， 又120<k 2≤54，①0≤d 2<87，①原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡71420，． 【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)由题意，得c ＝1， 所以a 2＝b 2＋1．因为点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上， 所以1a 2＋94b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3． 则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋2得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0． 因为Δ＝48(4k 2－1)>0，所以k 2>14， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3． 因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0．所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，所以(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0， 即－12k 2＋164k 2＋3>0， 所以k 2<43． 综上可知14<k 2<43， 解得－233<k <－12或12<k <233． 所以直线l 的斜率k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,2121,332 ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2332，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆的面积的取值范围．解：(1)由题意知，半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1． (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 的斜率不存在时，可得M ，N 分是是短轴的两端点，得到t ＝±63． 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2， ①联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1，整理得(3＋4k 4)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0， 由Δ>0得64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8，由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，得23<t 2<6． 综上23≤t 2<6． 因为以F 1P 为直径的圆的面积S ＝π． ·2＋t 24，所以S 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ2,32．3．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一交点坐标是(2，－2)．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解析] (1)抛物线C 2的准线方程是y ＝－2，所以－p 2＝－2，即p ＝4，所以抛物线C 2的方程为x 2＝8y ． 椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别是(0，－2)，(0,2)，所以c ＝2． 2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，解得a ＝22，则b ＝2，所以椭圆C 1的方程为y 28＋x 24＝1． (2)设点P (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，抛物线方程可化为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x ， 所以AP 的方程为y －y 1＝14x 1(x －x 1)， 将P (t ，－2)代入，得－2－y 1＝14x 1t －2y 1，即y 1＝14tx 1＋2． 同理，BP 的方程为y 2＝14tx 2＋2，所以直线AB 的方程为y ＝14tx ＋2． 由⎩⎨⎧ y ＝14tx ＋2，y 28＋x 24＝1消去y ，整理得(t 2＋32)x 2＋16tx －64＝0，则Δ＝256t 2＋256(t 2＋32)＞0，且x 3＋x 4＝－16t t 2＋32，x 3x 4＝－64t 2＋32所以OE →·OF →＝x 3x 4＋y 3y 4＝(1＋t 216)x 3x 4＋t 2(x 3＋x 4)＋4＝－8t 2＋64t 2＋32＝320t 2＋32－8． 因为0＜320t 2＋32≤10，所以OE →·OF →的取值范围是(－8,2]．4．已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．[解](1)联立方程x 23＋y 22＝1和y ＝kx ＋m ， 得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0，所以m 2<2＋3k 2，所以2＋3k 2>3，即k 2>13，解得k >33或k <－33． 所以实数k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-33,∪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，33． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－62＋3k 2． 设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，所以k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2，即(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2(m ≠0)， 化简得2＋3k 2＝6k 2，即k 2＝23． 因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-223635m ， 点O 到直线l 的距离h ＝|m |1＋k 2＝35|m |， 所以S △OAB ＝12|AB |·h ＝66·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2223623m m ≤66×2622362322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ，当m ＝±2时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB 的面积的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛260，．【课后巩固】1．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设M (x ，y )，①QP →＝PM →，①P 为QM 的中点，又有PQ ①y 轴，①P ⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ,2， ①点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，①22⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ①R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ①|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48>0，①y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4．① ①|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①①代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ①S ①AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立， ①①AOB 面积的最大值为1．2．已知椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于－1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .(1)证明：直线BD 的斜率为定值；(2)求△ABD 面积的最大值．【解】 (1)证明：设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A (－x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1， 由⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2， 因为k AB ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，所以k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12，故直线BD 的斜率为定值12. (2)连接OB ，因为A ，D 关于原点对称，所以S △ABD ＝2S △OBD ，由(1)可知BD 的斜率k ＝12，设BD 的方程为y ＝12x ＋t ， 因为D 在第三象限，所以－2<t <1且t ≠0，O 到BD 的距离d ＝|t |1＋14＝2|t |5， 由⎩⎨⎧y ＝12x ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得3x 2＋4tx ＋4t 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4t 3，x 1x 2＝4(t 2－2)3， 所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2×12×|BD |×d ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·2|t |5＝|t|·(x1＋x2)2－4x1x2＝|t|·96－32t23＝423·t2(3－t2)≤2 2.所以当且仅当t＝－62时，S△ABD取得最大值2 2.3．如图，已知抛物线C 1：x 2＝4y 与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于点A ，B ，且抛物线C 1在点A 处的切线l 1与椭圆C 2在点A 处的切线l 2互相垂直．(1)求椭圆C 2的离心率；(2)设l 1与C 2交于点P ，l 2与C 1交于点Q ，求△APQ 面积的最小值．解：(1)设点A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则抛物线C 1在点A 处的切线方程为l 1：x 0x ＝2(y 0＋y )，椭圆C 2在点A 处的切线方程为l 2：x 0x a 2＋y 0y b2＝1． 由题意可知，l 1⊥l 2，则有x 02·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0202y a x b ＝－1， 且x 20＝4y 0，所以a 2＝2b 2，从而椭圆C 2的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22． (2)由椭圆C 2的离心率为22，可设椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1， 设A (2t ，t 2)，l 1：y ＝tx －t 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx －t 2，x 2＋2y 2＝2b 2，得(1＋2t 2)x 2－4t 3x ＋2t 4－2b 2＝0， 所以|AP |＝1＋t 2·|x P －x A |＝t 2＋1t tt 22122++， 设l 2：y ＝－1tx ＋t 2＋2，同理可得|AQ |＝1＋1t 2·|x Q －x A |＝1＋1t 2·t t t 242++， 所以S △APQ ＝12|AP ||AQ |＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·4t ＋4t 31＋2t 2＝8(t 2＋1)3(1＋2t 2)t． 令f (t )＝(t 2＋1)3(1＋2t 2)t ，t ＞0，则f ′(t )＝(t 2＋1)2(2t 2－1)(3t 2＋1)(1＋2t 2)2t 2．令f ′(t )＝0，得t ＝22，所以函数f (t )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220，上单调递减， 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，22上单调递增．所以f (t )≥f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22＝2782， 所以S ①APQ ≥2722． 故①APQ 面积的最小值为2722． 4．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8． (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．解析：(1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0． 设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x ．(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20．令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0． 又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立．设A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21y ，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,21y ，则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34． ∴|F A |·|FB |＝ y 23＋94· y 24＋94＝ (y 3y 4)2＋94(y 23＋y 24)＋8116＝ 1681433244943302020+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x ＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|．∵x 0≥0，∴|F A |·|FB |∈[3，＋∞)．5．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1)证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹方程为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围。
圆锥曲线的最值定值范围经典题型
圆锥曲线最值/范围/定值/定点问题一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 ① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).① 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点例2、如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．一、圆锥曲线的最值问题答案：例1解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.故填9. 例2.解 设椭圆的切线方程为y ＝x ＋b ， 代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝±3.当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝62，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62； 当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 例3 解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2. 二、圆锥曲线的范围问题答案：例1.解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a3.根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a ，即c a ≤53，即e ≤53.又e ＞1， 故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.例2.解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①，知x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③由A (2，0)，B (0,1)，得AB→＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22.由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k .三、圆锥曲线的定值、定点问题答案：例1.证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝±2. 当x ＝2时，代入双曲线方程，得y ＝±2， 即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°， 同理，当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则|b |1＋k2＝2，即b 2＝2(1＋k 2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0， 由直线l 与双曲线交于A ，B 两点． 故2－k 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋2)2－k 2，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－2(1＋k 2)2－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°.综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点，则∠AOB 的大小为定值90°. 例2.证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4， 所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝(y 1－y 2)2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3－y 4)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3＋y 4)2－4y 3y 4＝(－16k )2(8＋9k 2)2＋4×64k 28＋9k 2(－16k )2(8＋9k 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型33 圆锥曲线中的最值(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解 题型:之圆锥曲线中的最值【解题题型一】：定点与椭圆上动点的距离的最值问题。
『解题策略』：定点与椭圆上动点的距离的最值：写出定点与椭圆上动点的距离表示，利用点在椭圆上可消去x 或y ，然后转化为关于y 或x 的二次函数，利用椭圆的有界性确定最值；或设椭圆的参数方程，利用三角函数的有界性去限定。
※椭圆上的点到两焦点距离最大、最小值的点为长轴两端点：min :;max :a c a c -+。
1.(高考题)设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( )A.25B.246+C.27+D.26 【解析】：法一：转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）2,46129)6(222+--=-+y y y x ,转化为二次函数，11-≥≥y ，当32-=y 时，取到最大值25，选D 。
法二：参数法，设⎩⎨⎧==θθsin cos 10y x ，代入转化为关于θsin （或θcos ）的二次函数。
2.(高考题)设椭圆方程为:1422=+y x ，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点,A B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时。
求:（1）动点P 的轨迹方程； （2）求PN 的最值。
【解析】：（1）法一：Step1：设直线方程：当k 存在时，设l 的方程为1y kx =+；Step2：直线与曲线联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得032)4(22=-++kx x k ；Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x ；Step4：代入关系式：1()2OP OA OB =+=1212(,)22x x y y ++224(,)44k k k -=++，设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x ，消去参数k 得0422=-+y y x ；当k 不存在时，得P(0,0)，满足0422=-+y y x ，即P 点的轨迹为：0422=-+y y x 。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)
圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。
【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法
圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法在圆锥曲线解题中，我们常常会遇到各种分式型函数，并需要求出函数的最值。
本文将介绍几种常见的分式型函数最值求解方法，帮助读者更好地解决相关问题。
一、分式函数求极值的常见方法在解析几何中，我们常常遇到形如f(x) = P(x) / Q(x) 的分式函数，其中P(x)和Q(x)分别是x的多项式函数。
要求解该分式函数的最值，可以使用以下几种方法：1. 利用导数法求解导数法是最常用的方法之一。
通过求解函数的导数，再通过导数的性质来确定函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导数f'(x)；（2）求解f'(x)=0的解，即为函数f(x)的驻点；（3）将驻点和函数的定义域的端点进行比较，找出函数的最值。
2. 利用等价变形法求解有时，我们可以通过等价变形将分式函数转化为新的形式，从而更容易求解最值。
常见的等价变形方法有：（1）分子分母同乘以相同的因式，从而将分式函数简化成更简单的形式；（2）将分式函数展开为多项式，然后通过求解多项式的最值来求解分式函数的最值；（3）将分式函数分解成若干个部分，然后通过分别求解每个部分的最值，再综合得出总的最值。
二、若干种分式型函数的最值求法1. 高斯型函数高斯型函数是一种形如f(x) = e^(-ax^2 + bx + c)的分式函数。
其中a, b, c为常数。
对于这种类型的函数，我们可以通过以下步骤来求解最值：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）求解f'(x) = 0的解，即为函数的驻点；（3）将驻点与函数定义域的端点进行比较，找出函数的最值。
2. 有理分式型函数有理分式型函数是指分子和分母都是多项式函数的函数。
对于这种类型的函数，我们可以使用以下方法来求解最值：（1）对函数进行等价变形，将分子分母简化为最简形式；（2）找出函数的定义域以及分母为零的点，剔除无定义的点；（3）求解导数f'(x)=0的解，即为函数的驻点；（4）将驻点与函数定义域的端点进行比较，找出函数的最值。
2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第23讲怎样解圆锥曲线中的最值问题含解析
第23讲 怎样解圆锥曲线中的最值问题一、知识与方法与圆锥曲线有关的最值问题主要有以下几种类型.(1)圆锥曲线上的动点到某些定点或定直线的距离的最值问题.用几何特征转化为某一变量的函数关系通过求函数最值来解决.(2)圆锥曲线中某三角形或四边形面积的最值问题,往往转化为某一个(或两个)变量的函数关系,再通过求函数最值或运用基本不等式求最值来分析求解(3)与圆锥曲线有关的最值问题还可以用几何法求解,即利用圆锥曲线的定义转化为几何问题处理,或利用数形结合思想,挓掘表达式的几何特征进行求解.若与焦点弦有关,则可使用圆锥曲线的统一定义结合焦半径求解,或建极坐标系用极坐标方程解之更显简捷明快.上述问题中,第(1)(2)类运用的解题方法是代数法,即将圆锥曲线中的最值问题转化为函数最值问题,然后根据函数的特征选用参数法.配方法,判别式法,函数单调性法,三角换元法及基本不等式法等方法解之.二、典型例题【例1】(1)已知点(0,1)P ,椭圆2(14x y m m -+=>)上两点,A B 满足2AP PB =,则当m =________时,点B 横坐标的绝对值最大;(2)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________(3)函数2()1f x x x =-+________【分析】第(1)问,可以利用向量共线,实现点的坐标之间的转化,结合点在椭圆上,建立方程,应用二次函数的最值,求得相应的结论,也可以以軤率为参数或利用直线AB 的参数方程,运用基本不等式求解.第(2)问,数形结合,利用两平行直线的距离公式,使距离d 大于c 恒成立.则c d .第(3)问,通过构造图形,使函数的最值问题转化为解析几何中的最值问题. 【解析】(1)【解法一】设()()1122,,,A x y B x y ,由2AP PB =,得()12122,121,x x y y -=⎧⎨-=-⎩即12122,32x x y y =-=-.点,A B 在椭圆上()22222222432,4,4x y m x y m ⎧+-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩得213.44y m =+()222222159132(5)444244x m y m m m ∴=--=-+-=--+∴当5m =时,点B 横坐标的绝对值最大,最大值为2.【解法二】由条件知直线AB 的斜率存在,设()()1122,,,A x y B x y ,直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠.联立2214y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440.k x kx m +++-=由韦达定理得122841kx x k +=-+,①由2AP PB =知122x x =-.代入①式解得222288||88214141244||||k k x x k k k k =∴===+++. 此时214k =,又21222442841m x x x k -==-=-+,解得5m =. 【解法三】设直线AB 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数,α为直线AB 的倾斜角,将其代入椭圆方程化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=.设点,A B 对应的参数分别为12,t t ,则122t t =-,由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++,解得228sin 13sin t αα=+. ()222222222222264sin cos cos 4sin cos 1613sin 13sin 13sin x t αααααααα∴===⨯⋅+++ 22222cos 4sin 13sin 13sin 162αααα⎛⎫+ ⎪++⨯⎪⎪ ⎪⎝⎭4=. 此时22cos 4sin αα=,即222241cos ,sin .555t αα===,代入12122,t t t t =-=24413sin mα-+,解得 5.m =(2)设点(,)(1),P x y x 直线10x y -+=与等轴双曲线的渐近线0x y -=平行,∴点P 到直线10x y -+=的距离d恒大于直线10x y -+=与渐近线=0x y -之间的距离2=∴要使距离d 大于c 恒成立,即使22c ,故c. (3)所给函数变形得2() f x ==+22x x -- 2y x =上一点()2,P x x 到直线10x y --=和到点(3,5)A -的距离之和.如图268-所示,过点A 作直线10x y --=的垂线:20AH x y +-=交拋物线于1(2,4)P -或2(1,1)P .∴当,,A P H 三点共线时,||||||AP PH AH +=最小,进而()f x 取得最小值.|||()AHf x -==9=【例2】(1)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的拋物线22(0)y px p =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且||2||PM MF =,则直线OM 斜率的最大值为( )A.B.23D.1(2)椭圆2212516x y+=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是( ) A.11 C. D.9【分析】第(1)问,可以利用抛物线的参数方程结合基本不等式求最值,如果由条件||2||PM MF =联想到三角形重心,则可以得到巧妙的解法.第(2)问,由平面几何知识,椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离最大＝椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径,也可转化为求三角函数的最值,或者考虑222(6)x y R +-=与225x+2116y =相交的情况,用判别式法解决,下面只介绍三角法,其他解法读者可以一试. 【解析】(1)【解法一】1, 3FM FP ∴=解得22332,3pt p x pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22221131221212233OM ptt k ptp t t t ∴====+++当且仅当221t =时等号成立.则直线OM 斜率的最大值为2,故选C . 【解法二】由||2||PM MF =可以联想到三角形的重心.故特取(,)C P O .则点M 即为OPC 的重心.设点()00,.P x y 由重心公式可得点00,33p x y M +⎛⎫⎪⎝⎭, 则OMk 002000012.222y y y p y x p pp y p===+++当且仅当0y =时等号成立,故直线OM .故选C .(2)设圆22(6)1x y +-=的圆心为,(5cos ,4sin )O P θθ'是椭圆上的点. 则PO '==1259110⎛==--+= ⎝当且仅当sin 1θ=-时取等号,故所求距离最大值为11.【例3】已知圆C 经过点(2,0),(0,2)A B -,且圆心在直线y x =上,且直线:1l y kx =+与圆C 相交于,P Q 两点. (1)求圆C 的方程;(2)过点(0,1)作直线1l 与l 垂直,且直线1l 与圆C 交于,M N 两点,求四边形PMQN 面积的最大值.【分析】第(2)问,要求四边形PMQN 的面积,关键在于求出解析式,而求解析式的关键是选择合适的参数作自变量,选择直线l 的斜率k 是容易想到的,只要㧓住图形特征,得到函数()S f k =并不难.而如何求()S f k =的最值是个难点.通常需要进行一系列的变形オ能求出最值.如果结合平面几何知识和圆的有关定理可得简捷解法. 【解析】(1)设圆心(,)C a a ,半径为,r 圆经过点(2,0),(0,2),||||A B AC BC r -∴==,解得0,2,a r ==∴圆C 的方程是224x y +=.(2)【解法一】设四边形PMQN 的面积为S ,当直线l 的斜率0k =时,则1l 的斜率不存在,此时142S =⨯=当直线l 的斜率0k ≠时,设11:1l y x k=-+. 则221,4y kx x y =+⎧⎨+=⎩代入消元得()221230k x kx ++-=. ()22122122441(3)02131k k k x x k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪-⎪∴+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩12||PQ x =-==同理得到||MN ==211||||221PQ MN k =⨯=+12===== 222211172224,2122742k k S k k +++⋅=∴+=⨯=当且仅当1k =±时,等号成立,S ∴的最大值为7.【解法二】设圆心O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ,四边形PMQN的面积为S .1,l l 都经过点(0,1),且1l l ⊥,根据勾股定理,有2211;d d +=又根据垂径定理和勾股定理得到||2|2PQMN ==而1||||2S PQ MN =⨯,即1222S =⨯==2127⎛+== ⎝ 当且仅当1d d =时,等号成立. S ∴的最大值为7.三．易错警示【例】设双曲线的中心在坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为2,若点(0,5)P 到双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线方程. 【错解】52e =,则22225,24a b e a b a +==∴=. 又知准线平行于x 轴,则双曲线的方程为222214y x b b -=,设点(0,5)P 到双曲线上的点(,)Q x y 的距离为d ,则()222222215(5)4(5)(4)44d x y y b y y =+-=-+-=-25b +-∴当4y =时,2d 取得最小值25b -,由题设,得22254,1,4b b a -=∴==.因此,所求的双曲线方程为2214y x -=. 【评析及正解】上述解法是错误的,原因在2d 是y 的函数,因此,应该关注它的定义域,而上述解法没有考虑y 的取值范围. 正确的解法如下: 【解析】由双曲线的性质,有||2y b ,设2225()(4)54d f y y b ==-+-,需要考虑()f y 的图像的对称轴与y 的取值范围,即||2y b 的关系.(1)当42y b =,即02b <时,由于函数()f y 在[2,4)b 上单调递减,在[4,)+∞上单调递增,∴当4y =时,2d 取得最小值25b -.由题设,得22254,1,4b b a -=∴==.因此,所求的双曲线方程为2214y x -=. (2)当42y b =<即2b >时,函数()f y 在[2,)b +∞上单调递增.∴当2y b =时,2d 取得最小值2(2)(25)4f b b =-=,解得72b =或32b =(舍去).2249,494b a ∴==因此,所求的双曲线方程为22414949y x -=.综上所述,所求的双曲线方程为2214y x -=和22414949y x -=. 四、难题攻略【例】如图2-70所示,已知抛物线2:E x y =与圆222:(4)(0)M x y r r +-=>相交于,,,A B C D 这4点. (1)求r 的取值范围;(2)当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线,AC BD 的交点T 的坐标.【分析】先求出四边形ABCD 面积的函数解析式,再运用导数求该函数的最大值, 【解析】(1)将2y x =代入222(4)x y r +-=并化简得227160y y r -+-=.①拋物线E 与圆M 有 4个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根12,.y y 由此可得()2212212(7)416070160r y y y y r ⎧∆=--->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩解得215164r <<且0r >, r ∴的取值范围是4.⎫⎪⎪⎝⎭(2)不妨设E 与M 的4个交点的坐标是)()(11,,Ay B y C ,))22,y Dy则直线,AC BD的方程是11,y y x y y -=-=(x +解得点T的坐标是(.设t =由t =(1)知702t <<.由于四边形ABCD 是等腰梯形,因而其面积(1212S y y =⨯⋅-,则(()221212124.S y y y y y y ⎡⎤=++⋅+-⎣⎦①将12y y t +==代入①式,并令2()f t S =得()2327()(72)4948289834302f t t t t t t t ⎛⎫=+-=--++<< ⎪⎝⎭则2()2456982(27)(67)f t t t t t '=--+=-⨯+-.令()0f t '=,解得77,62t t ==-(舍去),当706t <<时,()0f t '>;当7762t <<时,()0f t '<.故当且仅当76t =时,()f t 有最大值,即四边形的面积最大,此时点T 的坐标为70,6⎛⎫⎪⎝⎭.五、强化训练1.平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,左,右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以 3为半径的圆与以2F 为圆心,以1为半径的圆相交且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆2222:1,44x y E P a b+=为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .①求||||OQ OP 的值;②求ABQ 面积的最大值.【解析】(1)由题意知24a =，则2a =，又222c a c b a =-=，可得1b =． ∴椭圆C 的方程为22 1.4x y += (2)由(1)知椭圆E 的方程为221164x y +=． ①设()00||,,||OQ P x y OP λ=，由题意知()00,Q x y λλ--． 220014x y +=，又()()2200 1.164x y λλ--+=即222001,244x y λλ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭，即||2||OQ OP =②设()()1122,,,A x y B x y ，将y kx m =+代人椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-=，由0∆>，可得22416m k <+，①则有2121212228416,.1414km m x x x x x x k k -+=-=∴-=++直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,).mOAB ∴的面积121||2S m x x =-=== 设2214m t k =+，将y kx m =+代人椭圆C 的方程， 可得()222148440k x kmx m +++-=，由0∆，可得2214m k +．②由①②可知01t<．因此S ===在(0,1]上递增，故23S ． 当且仅当1t =，即2214m k=+时取得最大值||2||OQ OP =， 由此可知，ABQ 的面积为3,S ABQ ∴面积的最大值为2.已知两点(0,1),(0,1)M N -,平面上动点(,)P x y 满足||||0NM MP MN NP ⋅+⋅= (1)求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程;(2)设(0,),(0,)(0)Q m R m m -≠是y 轴上两点,过Q 作直线与曲线C 交于,A B 两点,试证:直线,RA RB 与y 轴所成的锐角相等.(3)在(2)的条件中,若0m <,直线AB 的斜率为1,求RAB 面积的最大值.【解析】(1)||||0,(0,2)(,1)0NM MP MN NP x y +⋅=∴-⋅+=．化简整理得24x y =，即动点(,)P x y 的轨迹C 为拋物线，其方程为24x y =．（2）证明：过点Q 作直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，l ∴的斜率存在．设直线:l y kx m =+与24x y =联立，得2,4,y kx m x y =+⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx m --=则此方程有两个不相等的实数根．216160k m ∴∆=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x m +==-，要证明直线,RA RB 与y 轴所成锐角相等，只要证明0RA RB k k +=．(221222121212121121212144,,44444RA RBx x m mx x y m y m x x m m y y k k x x x x x x x ++++==∴+=+=+=+++=+)()()12212121044m x x m x x x x x m +⎛⎫+=++= ⎪-⎝⎭∴命题成立．(3)若直线AB 的斜率1k =，则直线方程为0x ym -+=． 由(2)知消去y 得2440x x m --=．由(1)式0∆>，得1m >-．10m ∴-<<，且12124,4.x x x x m+==-$||AB ==记点R 到直线AB 的距离为1,|||||2RABd d m SAB d m ==⋅== 设322(),()32f m m mf m m m '=+=+，令()0f m '>，知()f m 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭上递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴当23m =-时，()f m 有最大值，故RAB S ．1112。
高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)
圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。
【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
圆锥曲线的热点问题—最值、范围、证明问题
23，
当且仅当4t ＝3t，即 t2＝34时等号成立，此时 k2＝73，所以△OAB 面积的最大值为
3 2.
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思维升华
求最值常用的方法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现图形 的几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决；②代数法，若题目的条 件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数 的最值.
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类型二 范围问题
例2 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x
上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； 证明 设 P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2. 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y2＋2 x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以 y1＋y2＝2y0，即y1＋2 y2＝y0，因此 PM 垂直于 y 轴.
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(2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围. 解 由(1)可知yy11＋ y2＝y2＝ 8x02－y0，y20， 所以 PM＝18(y21＋y22)－x0＝43y20－3x0，|y1－y2|＝2 2（y02－4x0）. 因此，△PAB 的面积 S△PAB＝21PM·|y1－y2|＝342(y20－4x0)32. 因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)， 所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
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思维升华
求参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)法，根据题意结合图 形列出所讨论的参数满足的不等式(组)，通过不等式(组)得出参数的取值范围； ②函数值域法，用某变量的函数表示所讨论的参数，通过讨论函数的值域求 得参数的取值范围.