有理数乘除和乘方计算讲义
第5 讲有理数乘除和乘方计算
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1 b
(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2
(3)9
-=，3
(3)27
-=-．
2．运算律：
（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于
负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成10n
a?的形式（其中110
a
≤<，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5
210
?．
【考点一】、有理数与无理数的相关概念
【例1】．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，
等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．
No. 5
Date
Time
Name
【变式1】(1)3
2
1
-的倒数是 ；3
2
1
-的相反数是 ；3
2
1
-的绝对值是 ；
-（-8）的相反数是 ；2
1
-
的相反数的倒数是_____. 【变式2】．如果(x -2)2+|y -3|＝0，那么(2x -y )2005的值为( )． A ．1 B ．-1 C ．22006 D ．32005 【变式3】．在下列两数之间填上适当的不等号：
20052006________2006
2007
． 【考点二】、有理数的运算
4．（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4| （2）()1526061215??
????---
+?- ? ????
?????
（3）()()5410.751252??
??-?-÷-+- ???????
（4）2
3111
13121121324424
34(0.2)??????÷-++-?-
? ? ?-??????
【考点4 绝对值与偶次乘方的非负性】
【例4】如果ABC ?的三边长a 、b 、c 满足关系式2
(260)|18||30|0a b b c +-+-+-=，则ABC ?的周长是 ．
【变式4-3】||5x -+有最 值是 ，此时x 是 ；21
2(1)3
x --有最 值是 ，此时x 是 ．
【考点5 新定义运算】
【例5】定义新运算“
⊕”如下，当a b 时，a b ab a =+⊕，当a b <时，a b ab a =-⊕；则
32
()()43
--⊕的值为 ． 【变式5-1】如果对于有理数a ，b 定义运算※如下：a ※(0)ab
b a b a b
=
+≠+，则(2)-※[(1)-※1
()]2
-= ．
【考点6 有理数的混合运算】
【例6】计算．（1）221
3()(8)(2)9-?-+-÷- （2）235
()(12)346
--?-
【变式6-1】计算：（1）5723()(48)
6
824+-?-
（2）3231
(5)()32(2)(1)54-?-+÷-?-
)
5
1
()11(532)11()52()11(-?-+?-+-?-
【变式7-1】上海世博会第一天(5月1日）的进园人数为20.3万人，以后的6天里每天的进园数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，（单位：万人）
日期2日3日4日5日6日7日
人数变化 1.2
+8.4
- 1.4
+ 6.3
- 2.7
+ 3.9
+
①5月2日的进园人数是多少？
②5月1日5
-月7日这7天内的进园人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少？
③求出这7天进园的总人数．
【变式7-3】武汉市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单
位：克）
6-2-0 1 3 4
袋数 1 4 3 4 5 3 （1）若标准质量为450克，则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？
（2）若该种食品的合格标准为4505g
±，求该食品的抽样检测的合格率．
1、
2、
3、
年月日
【变式1-3】点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，1AC =，OA OB =． 若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为( )
A ．(1)a -+
B ．(1)a --
C ．1a +
D ．1a -
【变式2-3】若规定[]a 表示不超过a 的最大整数，例如[4.3]4=，若[1]m π=+，[ 2.1]n =-，则在此规定下9
[]4
m n +的值为( ) A ．0 B ．1-
C ．2-
D ．3-
【变式4-1】（2018秋?太湖县期末）已知|4|a +和2
(3)b -互为相反数，那么3a b +等于
【变式5-2】对于m ，()n n m 我们定义运算(1)(2)(3)((1))m n A n n n n n m =---?--，
37765210A =??=，请你计算2
4A = ．
【变式6-2】计算：（1）32
8(3)(2)24(2)--?--÷-； （2）351
32(1)()138--?-?-
【变式6-3】计算：（1）322121[2(1)]3()(1)233?-+-÷-÷- （2）322921
3()42()433
-÷?-+-?-
【考点7 有理数混合运算的实际应用】
【例7】下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
【变式7-2】甲、乙两商场上半年经营情况如下(“+”表示盈利，“-”表示亏本，以百万为单位）
（1）三月份乙商场比甲商场多亏损多少元？
（2）六月份甲商场比乙商场多盈利多少元？
（3）甲、乙两商场上半年平均每月分别盈利或亏损多少元？