学而思四年级第11讲.最值问题(基础-提高-尖子班)
最值问题(4年级培优)教师版
（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。
（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。
（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。
（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。
a 、b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，求）－（）（b a b a ÷+的最大值。
（四年级培优底稿） 分析：要使ba b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。
可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。
解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值1999910099100=-+。
（题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。
考察了极端情形的方法）难度系数：Aa 、b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。
（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。
可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。
即199=a ,197=b 。
解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A“12345678910111213……484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿）解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。
学而思四年级第11讲.最值问题(基础-提高-尖子班)
349876第十一讲 最值问题（一）例1（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 答案：247.要使两个五位数的差最小，这两个五位数首位上的数应该尽力接近，且较大数的后四位应尽可能小，较小数的后四位应尽可能大。
较大的五位数的后四位最小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数是50123，较小的数是49876，差为5012247−=.例2 （2008年数学解题能力展示）【分析】 答案：50.一共20张牌，点数之和是固定的：2110(123...10)×++++=.由于每轮的点数差做为两人的得分，那么两人的总分之和就是10轮的点数差之和，即10轮中较大数之和-10轮中较小数之和（令它们分别是A 和B，则总分之和=A-B）又因为A+B=110所以A-B 的最大值即110-2B 的最大值，转换成求出B 的最小值即可。
令B 最小，既最小的十张牌之和：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5.所以B 最小为30 ，总分之和最大=110-2B=50例3 (第十三届华杯赛)【分析】 极端分析法—答案：2005.通过找规律解决问题，要得到最小值，即让每次划去最多，应该从大往小擦数，最终得到2。
要得到最大值，即让每次划去最少，应该从小往大擦数，最终得到2007，从而最大与最小的差为220052007−=.例4 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 极端分析法—答案：155.最倒霉原则：“保证”=“最倒霉”+1. 最倒霉的情况是：取出了两种颜色的全部和其他颜色各9个依然不满足条件，即个，从而1550296154×+×=41155+=1×+556一定能保证满足条件.例5 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 极端分析法—答案：92.总表面积固定，当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此，让蓝色木块优先占据特殊位置.分析发现，染色后8个角上的正方体3个面有颜色，扣去两角后的每条棱上的3个正方体有2个面。
学而思四年级春季班最值问题进阶知识总结
本讲题目类型较多，但无外乎极端思想，还有“和一定差小积大”
某次考试一共有15题，计分标准是：做对第1题得1分，做对第2题得2分，……，做对第15题得15分；但若做错第1题要倒扣1分，做错第2题要倒扣2分，……，做错第15题要倒扣15分。
小明做了所有的题，共得90分，那么小明至多做错多少道题，至少做错多少道题？
【详解】
极端考虑：如果最对所有的题目，共得121415120++++=（分）
现在只得了90分，丢了30分。
我们要知道，做错一道题，除了得不到这题的分，还要被倒扣，损失是两倍，所以小明做错的题目占了30215÷=（分），则小明 最多做错5道题：1~5题，1234515++++=（分）
最少做错1道题：第15题，占15分。
小陈决定靠着家旁边的一道围墙，修一个猪圈，他有一道长48米的铁丝网，想围成一个长方形猪圈，问这猪圈最大面积是几？
【详解】
用和一定差小积大可以轻易解决这道题目。
如果长方形猪圈的长为a 米，宽为b 米，那么我们可以知道248a b +=（有一条长靠墙不需要围铁丝网），那么根据和一定差小积大，可知当248224a b ==÷=时，乘积22424576a b ⨯=⨯=最大，那么面积最大为：5762288a b ⨯=÷=平方米。
练习2 练习1
最值问题进阶。
101中学坑班2012年春季四年级第十一讲最大与最小及答案
101中学坑班2012年春季四年级第十一讲最大与最小及答案一、知识要点在实际生活与生产实践中，人们总是想用最少的财力、物力、人力以及时间等在可能的范围内取得最佳效益。
况且，在许多现实问题中有时很难确定或者就不需要具体的每个数值，有时只关心最大、最小等极值。
这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。
这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。
经常只能根据具体问题，综合运用所学知识进行求解。
二、典型例题例1 某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。
在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？例2 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数。
例3 六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？例4 如图，一个边长为10厘米的正方形ABCD ，在两边AB 和AD 上分别有点E 和点F ，AE=5厘米，AF=6厘米，请你在BC 或CD 边上选一点，并与原有的两点连成一个三角形，使三角形的面积尽可能地大，求这个三角形面积的最大值。
BCDA FEG例5 某甲于上午9时15分由码头划船出游，最迟于中午12点返回原码头。
已知河水的流速为1.4千米/小时，划船时，船在静水中速度可达3千米/小时，如果甲每划30分钟就要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，求甲最多能划离码头多远。
例6有一种电子游戏，从第一关开始打，打通一关进入下一关，共有很多关，每关最多可得800分，另外每获得1000分就可获得一次奖励（即在得到1000分、2000分、3000分……以后各得一次奖励），每一次奖励最多为500分，打到第四关，最多可得多少分？要得到12000分，至少要打到第几关？例7 某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛。
高思导引-四年级第十一讲-几何图形剪拼教师版
第11讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.（1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9. 如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇1. 请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法.5. 将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图.9. 图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法.。
学而思高中数学4-最值问题之代数式的最值
典例分析【例1】若，则的最小值是_________．【例2】设、，则，则的最小值是_________．【例3】若、，且，则的最大值是．【例4】已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．B．C．D．【例5】当时，函数有最值，其值是．【例6】正数、满足，则的最小值是．【例7】若、且，则的最大值是_____________．【例8】设，，则的最大值为．【例9】已知，，，则的最小值为【例10】设，那么的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5 【例11】设，则的最大值是最小值是．【例12】已知，则的最小值是．【例13】已知其中，且，求的最大值．【例14】求的最小值．【例15】设，，为正实数，满足，则的最小值是．【例16】已知、，且，当，时，有最大值为．【例17】若、，且，则的最大值是，此时，．【例18】求函数的最小值．【例19】将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是．【例20】设实数，满足，，则的最大值是．【例21】求函数的最小值．【例22】求函数的最小值．【例23】已知，求的最小值．【例24】求函数的最小值．【例25】函数的最小值为（）A．1 B．2 C．D．【例26】⑴求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．⑵求的最大值．【例27】⑴求函数（且）的最小值．⑵求函数的取值范围．【例28】⑴求函数的最大值．⑵求的最小值．⑶求函数的最值．【例29】⑴已知，求函数的最小值．⑵求函数的取值范围．⑶求函数的最大值．【例30】⑴已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．【例31】分别求和的最小值．【例32】求函数的最小值．【例33】函数的最大值为（）A．B．C．D．【例34】设函数，则（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数【例35】设，其中，满足，则的最小值为．【例36】设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．【例37】已知：，求的最小值．【例38】已知：，求的最小值．【例39】已知、、且，求的最大值．【例40】求的最小值．【例41】若，且，求的最小值．【例42】已知，，求证：．【例43】已知给定正数，和未知数，，且，，满足，，的最小值为，求，的值．【例44】若，且，分别求和的最小值．【例45】若是与的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案11最值问题(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题最值问题（一）在日常生活中，我们常常考虑“最”字，如走路尽可能使所行的路程最短，用时最少或车费最省；做一件工作，尽可能使效率最高，工时最短；学习则尽可能使所用的时间最短而收获最大……，一句话，都是考虑一个“最”字的问题，即最值问题。
最值问题涉及的知识面较为广泛，但在国内外的历届数学竞赛中，一般都带有某种限制条件，因而解决问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情况入手我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。
因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
（2）枚举比较根据题目的要求，把可能得出的答案一一枚举出来，使题目的条件范围逐步缩小，进而筛选比较出答案。
（3）分析推理根据两个事物在某些属性上相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
（4）构造在寻求解题途径时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
（5）应用求最大值和最小值的结论和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
两点之间线段最短。
例1一把钥匙只能打开一个房间的门，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙能开哪个房间的门，如要打开所有房间的门，最多要开几次？分析与解：考虑极端情况，开第一个房间的门最多需20次。
开第二个房间的门最多需19次，……，开最后一个房间的门需1次，共需20＋19＋18＋…＋1＝210（次）。
例2小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多少个人？分析与解：将最后一排座位编号，由题意可知，没有连续3个的空位，而最后一排最少坐了的人数也就是已经坐下的每一个人两旁尽可能都是空位，即极端情形：2，5，8，11，14，17，19这几个编号的座位上坐着人，其余座位空着，故最少坐7人。
小学四年级奥数教程第十一讲标准版资料
第一页，共10页。
在日常生活中，我们还经常遇到这样的 问题，如：向阳小学买桌子和凳子共花1600 元，买桌子比买凳子多花600元，买桌子和 凳子各花多少钱？这类应用题是已知大小两 个数的和与它们的差，求这两个数。我们把 这类应用题叫做和差问题。解答时，通常 (tōngcháng)可以选择大数或小数作为标准 数。如果选择小数作为标准，那么大数要减 去相差的数，变成与小数同样多，然后除以 2，就得小数；如果选择大数作为标准，那 么小数要加上相差的数，变成与大数同样多， 然后除以2，就得大数。
②第二桶：18-6=12（千克）
第五页，共10页。
例4：甲、乙两生产组共收小麦9600千克(qiānkè)，如果
甲组给乙组800千克(qiānkè)，则两组收小麦重量相等，
问两组各收小麦多少千克(qiānkè)？
？千克
分析：根据题意，两
组的和是9600千克， 分③析武： 汉想长一江想大，桥不：管22是00把-5甲30箱=1的67苹0果（放米入）乙箱，还是把乙箱8的00苹千果克放入甲箱，两箱(liǎnɡ xiānɡ)苹果的总重量是不会变的。 甲组： 两组的差没有直接给 解法(jiě fǎ)三：以南京长江大桥为标准。
如果选择大数作为标准，那么小数要加上相差的数，变成与大数同样多，然后除以2，就得大数。
2例页①解解25？男法法0：0生 ((解①-jjii一5ěě吹3部ff0ǎǎ法乙的=))(一三1y：6ī(组：：7b0ùj以以（)：i书上南米ě有册京）（上书长f、页江ǎ9中)6数大、一0为桥下0标为：-3准标册8。准，0。0上×册比2中）册的8÷页00数千2少=克2（0页，96下0册0比-上1册6多0400）页，已÷知这2部书乙 两 等一组 。组共有收 那增156小 实加0页，麦 际8上0的 上0、千中重 这、克下量 两三，册相 组各则多少
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349876第十一讲 最值问题（一）
例1（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）
【分析】 答案：247.要使两个五位数的差最小，这两个五位数首位上的数应该尽力接近，且
较大数的后四位应尽可能小，较小数的后四位应尽可能大。
较大的五位数的后四位最
小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数
是50123，较小的数是49876，差为5012247−=.
例2 （2008年数学解题能力展示）
【分析】 答案：50.一共20张牌，点数之和是固定的：2110(123...10)×++++=.由于每轮的点
数差做为两人的得分，那么两人的总分之和就是10轮的点数差之和，即10轮中较大
数之和-10轮中较小数之和（令它们分别是A 和B，则总分之和=A-B）又因为A+B=110
所以A-B 的最大值即110-2B 的最大值，转换成求出B 的最小值即可。
令B 最小，既最
小的十张牌之和：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5.所以B 最小为30 ，总分之和最大
=110-2B=50
例3 (第十三届华杯赛)
【分析】 极端分析法—答案：2005.通过找规律解决问题，要得到最小值，即让每次划去最多，
应该从大往小擦数，最终得到2。
要得到最大值，即让每次划去最少，应该从小往大
擦数，最终得到2007，从而最大与最小的差为220052007−=.
例4 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）
【分析】 极端分析法—答案：155.最倒霉原则：
“保证”=“最倒霉”+1. 最倒霉的情况是：取出了两种颜色的全部和其他颜色各9个依然不满足条件，
即个，从而1550296154×+×=41155+=1×+556一定能保证满足条件.
例5 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）
【分析】 极端分析法—答案：92.总表面积固定，当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此，
让蓝色木块优先占据特殊位置.分析发现，染色后8个角上的正方体3个面有颜色，
扣去两角后的每条棱上的3个正方体有2个面。
其余表面上的正方体染色后只有1
个面。
优先让蓝色小正方体占据8个角，余下17个蓝色正方体再占据棱上位置。
则
蓝色最大面积为837258×=，则白色最少面积为5892××−123...13=.
例6
【分析】 极端分析法—答案：13.由于苹果数固定，则当每个人得到的苹果尽量少时，人数最多.
若有13个小朋友，则至少需要9199++++=<个苹果，余下8个苹果。
人数有
13个，余下的8个苹果不会影响到人数。
例7
【分析】 不等式的估算法——设取出1个后第二堆苹果数为x 个，列表如下：
从第一次取完到第二次取完，取了33x 4−个，那么第二堆取2次后剩下
()334342x x −−=−()3422x 个。
因为取第二次后，第二堆是第三堆的2倍。
所以第三堆取第二
次后是17x x =−(34−x 16)x −−÷173x x −+()2171216x −+=−(31)(1)(2x x ++++个。
又因为第二次每堆取的数码相同，那么第三堆取第一次
后就该是()个苹果。
第一次每堆各取一个，第三堆最初就为
个苹果。
可见，原来三堆苹果数之和为：
； )217x =−614x =−x 越大，614x −也越大.但由于第三堆苹果最后
剩下17x x 最大为16，此时6146161482x −个，−=×−=4.
学案1 有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔人发一块糖；从右到左第一人发一个苹果，以后每隔人发一个苹果，结果有11个小朋友糖和苹果都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？
2
【分析】 极端分析法—答案：173.每隔2人发一块糖，即每3人发一块糖；每隔4人发一苹果，
即每5人发一苹果。
由于[]3,515=，因此从第一个同时拿到糖和苹果的小朋友算起，
每15人有一人同时拿到糖和苹果，则这11个人及其间隔共有10151151×+=人.从左
往右每三人发一块糖，其左边最多还可以添上3412×=人，从右往左每5人发一个苹
果，其右边最多还可以添上5210×=人，添上部分不会影响到同时拿到糖和苹果的人
数。
那么最多人数为110173=.
5112++12345678910111299100092999997
尖子班【学案4】竞赛班【例2】
将前10个自然数（不包括零）依次无间隔地写成一个19位数：
……98，从中划去10个数字，那么剩下的位数最
大是多少？最小是多少？
02
【分析】 答案：最大值8596061……9899100，最小值1000……99100.
001234061629250109要得到最大的数，左边应尽量多地保留.因为1～59中有9+×=69584个数
字，其中有个9，
（分别是9,19,29,39,49,59）要想左边保留个，必须划掉1～59中的10个数码，不合题意。
所以左边只能保留个9，即保
留1～49中的5个，划掉1～中其余的696103−=94992405+×−=84−=个数字.接着把50
以后的数写出来：5051525354555657585960……需要在后面再划掉100个数码，要尽量保留较大的数：16
9997859606199100（已经连着划去了15个，发现7比后头的5大，所以保留7，划去后头的5，共划去了16个）
最大数是99 (98)
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留.在～中有
个数码，其中有个（分别是10，20，30，40，50），划掉其余
的个数码，然后在后面再划掉15个数码，
尽量保留较小的数（见下图）：025*******+×=90585−=5
最小数是1000 (99100)
00123406162。