2021 等比数列的性质及应用
【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第35讲 等比数列(解析版)
为( )
A．－2＋ 2 2
B.－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两根，所以 a3·a15＝a29＝2，
1 (q4)3 1 (q4)2
1 23 1 22
7. 3
1 q
（2）：(基本量法) 设数列 an 的首项是 a1 ，公比为 q ，则由 a3 a2 4 ， a4 16 ，得
a1q a1q
2 3
a1q 16
4
解得
aq122 ， S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 2 4 8 14 .
项 a1＞0，公比 0<q<1 或首项 a1＜0，公比 q＞1，则数列为递减数列；若公比 q＝1，则数列为常数列；公比
q＜0，则数列为摆动数列．
1
an
(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、an 、{a2n}、bn 、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．
1 / 14
变式 2、 (1)[2018·如东中学]在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝
____； (2)[2016·常熟中学]等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若SS150＝3312，则公比 q＝___．
【答案】（1） 51（2）－1 2
解得
q＝1，代入①得 2
a1＝2，
届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析
第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。
等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。
2021届高考二轮复习讲义数列第02讲 等比数列及其前n项和(无答案)
第02讲 等比数列及其前n 项和知识精讲一. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1(0,0)n n na q q a a +=≠≠ 根据q 判断数列的单调性： 当11a >{}1n q a >⇔是递增数列； {}01n q a <<⇔是递减数列；{}=1n q a ⇔是常数列二. 等比数列的通项公式推导等比数列的通项公式：3121221n n n n a a aa q q q q a a a a ---====，，，，， 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即()1*1n n a a q n N -=∈. 这种方法就叫做累乘法．三. 等比中项如果三个数 a G b ，，组成等比数列⇔2G ab =，G 叫做a 与b 的等比中项. 两个符号相同的非零实数，有两个等比中项，一正一负.若数列是等比数列⇔任意相邻三项之间都存在如下关系：211(2)n n n a a a n -+=≥四. 等比数列的性质设{}n a 为等比数列，公比为q ，则：1． 若在等比数列中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅；特殊地，若2m p q =+，则2mp q a a a =⋅； 推广到三项，即m ，n ，t ，p ，q ，*s N ∈且m n t p q s ++=++m n t p q s a a a a a a ⇒=； 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等，则各项之积相等．2． n m n m a a q -=*(,)m n N ∈；3． 在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，……为等比数列，公比为m q ．4． 若{}{} n n a b ，均为等比数列，且公比分别为()1212 0q q q q ⋅≠，，则数列{} n pa ，{}mn a ，{}n n a b ⋅，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，且公比分别为111122 mq q q q q q ⋅，，，.五. 等比数列的前n 项和公式()()111(1)11n n na q S a q q q⎧=⎪=⎨-≠⎪-⎩．用错位相减法推导等比数列前n 项和公式：211111n n S a a q a q a q -=++++，等式两边同乘q 得：211111n n n qS a q a q a q a q -=++++，将这两式相减得：()11111(1)n n n q S a a q a q --=-=-， 从而得到等比数列的前n 项和公式()1(1)11n n a q S q q-=≠-；当1q =时，1n S na =.六. 等比数列{}n a 前n 项和公式与指数函数. 区别和联系区别联系n S定义域为*N 图象是一系列的孤立点 （1）解析式都是指数型； （2）n S 图象是指数型函数()f x 图象上一系列的点．()f x定义域为R图象是一条指数型曲线2. 观察()0nn S Aq B AB =+≠和111(1)111n n a q a aS q q q q--==+--- 得11a A B q-=-=-3. 有指数型函数的性质可得：当10 10q a <<<，时，0A >，n S 递减有最大值， 当10 10q a <<>，时，0A <，n S 递增有最小值； 当110q a ><，时，0A <，n S 递减有最大值， 当110q a >>，时，0A >，n S 递增有最小值．七. 等比数列的前n 项和的性质等比数列{}n a 的前n 项和可以构成一个等比数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -成等比数列.公比为k q （k 为偶数时，1q ≠-）如下图所示：323212312213kkk k k kS k k k k kS S S S S a a a a a a a a ++--++++++++++三点剖析一、等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列{}n a ，若1(0)n na q q a +=≠，则数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项：对于数列{}n a ，若221n n n a a a ++⋅=，则数列{}n a 是等比数列；（3）等比数列与对数的结合等比数列{}n a 中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅，相应的，lg lg lg lg n m u v a a a a +=+，{}lg n a 是等差数列，公差为lg q .（4）前n 项和法：()0n n S Aq A Aq =-≠⇔{}n a 等比数列．等比数列的概念例题1、 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________例题2、 已知x ，22x +，33x +是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（ ）A.－27B.12C.272D.272-例题3、 已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A.－4 B.－6C.－8D.－10例题4、 己知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切*n N ∈，都有1n n na b a +=，则数列{}n b 的通项公式为_________．例题5、 在正项等比数列{}n a 中，已知412a =，563a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为（ ） A.1256B.1512C.11024D.12048随练1、 在数列{}n a 中，12n n a a +=，若54a =，则456a a a = ． 随练2、 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++=（ ）A.12+B.12C.322+D.322-随练3、 在等差数列{}n a 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ） A.3m n p r b b b b ++=B.3m n p r b b b b ++= C.3m n p r b b b b = D.3m n p r b b b b =随练4、 公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1ak ，2ak ，3ak …构成等比数列{}n ak ，且11k =，22k =，36k =，则5k =________．随练5、 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，360n S =，求n 的值．等比数列的性质例题1、 已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a =，则567a a a =________．例题2、 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 8a 10＋a 7a 11＝2e 6，则lna 1＋lna 2＋…＋lna 17＝________．例题3、 已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7（a 1＋2a 3）＋a 3a 9＝________．例题4、 定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的函数f x （），如果对于任意给定的等比数列{}{}n n a f a ，（）仍 是等比数列，则称f x （）为“保比等比数列”．现有定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的如下函数： ①2f x x =（）； ②2x f x =（）； ③f x x =（）④ln f x x =（）． 则其中是“保比等比数列”的f x （）的序号为 ．随练1、 在等比数列{}n a 中，已知24a =，616a =，则4a =________．随练2、 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________随练3、 已知数列{}n a 是递增等比数列，152417,16a a a a +==，则公比q =（ ） A.－4 B.4C.－2D.2随练4、 等比数列{}n a 中，42a =，75a =，则数列{lg }n a 的前10项和等于（ ） A.2 B.lg50C.10D.5等比数列的前n 项和例题1、 已知数列{a n }满足a 1＝1，*12()n n a a n N +=∈，则S 10＝________．例题2、 已知等比数列{}n a 各项均为正数，满足313a a +=，356a a +=，则324354657l a a a a a a a a a a ++++=（ ）A.62B.2C.61D.612例题3、 数列112，124，138，…的前n 项和为n S =（ ）A.21n n-B.12n n -C.(1)1122n n n +-+D.(1)122n n n +-例题4、 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________．例题5、 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2，S 4，S 3成等差数列． （1）求数列{a n }的公比q ；（2）若a 1－a 3＝3，问218是数列{a n }的前多少项和．随练1、 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2＝________．随练2、 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． （1）求a n 及S n ；（2）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2－（a 4＋1）q ＋S 4＝0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．随练3、 已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的通项公式为2()2n n n a k b n-=，求k 的值及此时数列{}n b 的前n 项和n T .等比数列的判定例题1、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n a +=131n a ++，265a S =，则=____．例题2、 设n n S T ，，分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，647227n n S a =﹣，()2819n n n n a b +=-+，则当n =____时，n T 最小．例题3、 已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列．{}na 25=6,=18a a {}nb n n T 1n n T b +={}na{}nb例题4、 已知数列{}n a 中，首项15a =，()121n n a a n N *+=+∈． （1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ．例题5、 设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．1（）若{}n a 是等差数列，试证明：1()2n n n a a S +=； 2（）若110a q =≠，，且对所有的正整数n ，有11nn q S q -=-，判断{}n a 是否为等比数列．例题6、 设数列{}n a 满足1421n n n a a a +-=+*()n N ∈ （Ⅰ）若13a =，21nn n a b a -=-*()n N ∈求证数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式n b ； （Ⅱ）若1n n a a +>对*n N ∀∈恒成立，求1a 的取值范围。
高中数学4-3-1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用新人教A版选择性必修第二册
琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八
度有 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最 初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为 f2，第八个音的频率为 f8，则 ff82等于( A )
A． 2
B．3 2
C．4 2
D．6 2
[分析] 建立等比数列模型⇒运用等比数列的性质求解．
一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
( C) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
[解析] (1)一年后的价格为：8 100×1－13＝5 400； 两年后的价格为：5 400×1－13＝3 600； 三年后的价格为：3 600×1－13＝2 400.
对点训练❸ 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分 别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 (D)
A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且 公比相同
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项
的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·____a_n_－_1____＝ ak·_____a_n－__k＋_1______＝a2n＋1(n 为正奇数)．
2
3．等比数列的运算的性质
2021届新高考数学总复习：等比数列的通项及其性质(附答案解析)
10．在等比数列{an}中，若a5＝2a4，a2＝2，则a6＝（ ）
A．64B．16C．8D．32
11．若等比数列{an}满足：a1＝1，a1+a2+a3＝7，则a4＝（ ）
A．8B．﹣27C．8或﹣27D．﹣8或﹣27
12．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（ ）
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a1a3a5＝ •a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．
又a2a4＝ •a3q＝a32＝22＝4．
故选：B．
4．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a3与a7的等比中项为（ ）
A．4B．6C．±6D．±4
【解答】解：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，
A． B．2C．±2D．
7．等比数列{an}中，an∈R+，a5•a6＝32，则log2a1+log2a2+…+log2a10的值为（ ）
A．10B．20C．25D．160
8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（ ）
A．2B．54C．162D．243
9．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（ ）
A．16B．32C．64D．256
16．在正项等比数列{an}中，若a3a7＝4，则 ＝（ ）
A．16B．8C．4D．2
17．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（ ）
A．128或﹣128B．128C．64或﹣64D．64
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列要点讲解
数 列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n 项.理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。
（3）加强了数列与极限的综合考查题3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如243546225a a a a a a ++=，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有223355225a a a a ++=，即235()25a a +=. 4.对客观题，应留意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确 、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法5.在数列的学习中加强力气训练 数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。
第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质 【新人教版】高中数学选修性必修第2册
反思 感悟
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1＝q(n∈N*，q 为常数且不为零) 或aan－n1＝q(n≥2，且 n∈N*，q 为常数且不为零)，则数列{an}是 等比数列. (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0， q≠0)，则数列{an}是等比数列.
021等于
019
A.－3
B.－1
√C.1
√D.9
解析 由 3a1，12a3,2a2 成等差数列可得 a3＝3a1＋2a2，
即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1.
∴a2 a2
020－a2 018－a2
021＝a2 019 a2
00128011－－qq＝aa22
又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
等比数列.
(数4)列若，{a且n}是公等比比分数别列是，q公，比1q，为q2q，. 则数列{λan}(λ≠0)，a1n，{a2n}都是等比
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 p
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
第四章 4.3.1 等比数列的概念
专题32 等比数列(解析版)
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
【小问2详解】由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ．
3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
2023高考一轮复习讲与练
专题32等比数列
练高考 明方向
1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （）
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，与题意矛盾，
基本方法：
等比数列的三种常用判定方法：
定义法：若 ＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a ＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .