初中数学方程最值问题培优专题训练
2024年中考数学总复习考点培优训练第七章专项6与线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题
专项6 与线段有关的最值问题
1. (2023通辽)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB 于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为
(A )
A.
2 π 6
2.
B.
2 π 3
C. 2
2 π 6
D. 2
2 π 3
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
(2)如图②，M，N是正方体相邻两个面上的点． ①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图②的展开图， 这个图形是___丙_____；
甲
乙
丙
第7题图②
专项6 与线段有关的最值问题
②在解所题选关正键确点展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到
B观D察，设BC问的：距求离PM分＋别P是N4的和最3，小P值是；AB上一动点，求PM＋PN的最小值．
与AC所成角的大小．
解：(1)如解图①，连接BC′.
由题意易知，A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′＝60°. ∵AC∥A′C′，
第7题图①
∴∠BA′C′是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角的大小为60°；
第7题解图①
专项6 与线段有关的最值问题
AB＝2，BD是AC边上的高，点E是BC边的中点，F是BD上一点，则AF
＋EF的最小值为_____7_____．
第1题图
第2题图
专项6 与线段有关的最值问题
3. (2023雅安)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上 一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 ____3__2____． 4. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，M，N分别是边AB， AD上的动点，连接CM，CN，MN，∠CMN＋∠CNM＝124°，当 △CMN的周长最小时，则∠BCD的度数为__1_1_8_°__．
【中考冲刺】初三数学培优专题 10 最优化(含答案)(难)
最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ；（2）当0<a ，abx 2-=时，a b ac y 442-=最大值 ；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b ac a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）A. (0，21-) B. (0，0) C. (0，611) D. (0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10. 已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．（全国初中数学竞赛试题）4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）A. 0B. 4C. 8D. 10（天津市竞赛试题）5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）A. 5B.423 C. 427 D. 435（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==. 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b ，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．（四川省竞赛试题）11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．（全国初中数学竞赛试题）专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a . ∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x . 当x =43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22. 故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值. 此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB . 故原式取最小值时，x =38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a . 因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2003，即20032)1(≤+k k k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数. 当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28. 下表说明c 没有比6更小的正整数解. 显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故A 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >∵|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b ，从而a +c >2+1，则212>>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b >2≥2=，即b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3． 提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1 4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|ABC (2125,24k k k -++-），ABC S =，而k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0. 75（万元），3－x =2. 25(万元）．即甲商品投入0. 75万元，乙商品投入2. 25万元，获得利润1. 05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a －3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1． 故 当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。
初中数学函数最值问题培优专题训练
初中数学函数最值问题培优专题训练1. 引言函数最值问题是初中数学中的一个重要课题，它涉及到如何确定一个函数在特定区间内的最大值和最小值。
正确解决函数最值问题对于提高学生的数学分析和问题解决能力具有重要意义。
本文将提供一些初中数学函数最值问题的培优专题训练，帮助学生加深对这一知识点的理解和掌握。
2. 常见类型的函数最值问题在函数最值问题中，常见的类型包括线性函数最值问题、二次函数最值问题和分段函数最值问题。
我们将分别介绍这些类型的问题和解题方法。
2.1 线性函数最值问题线性函数最值问题是最简单的一类问题。
线性函数的图像为一条直线，最大值和最小值通常出现在函数的两个端点上。
解决线性函数最值问题，只需要找到函数的两个端点，并比较它们的函数值即可。
例如，对于线性函数$y=2x+1$，最大值和最小值分别出现在$x$的最小值和最大值上。
我们将$x$的最小值和最大值代入函数，可以得到最大值和最小值的函数值。
2.2 二次函数最值问题二次函数最值问题是一类稍复杂的问题。
二次函数的图像通常为抛物线，最大值或最小值出现在抛物线的顶点上。
解决二次函数最值问题，需要找到函数的顶点，并判断该顶点对应的函数值是最大值还是最小值。
例如，对于二次函数$y=x^2+2x+1$，顶点坐标为$(-1, 0)$。
我们可以通过求导数等方法得到这一结果。
根据抛物线的形状，我们可以判断该顶点对应的函数值为最小值，因为$y$值随着$x$的增大而增大。
2.3 分段函数最值问题分段函数最值问题是一类较为复杂的问题。
分段函数由多个部分组成，每个部分可能具有不同的表达式。
解决分段函数最值问题，需要分别考虑每个部分的最值，并比较它们的函数值。
例如，对于分段函数$y=\begin{cases}x^2, &\text{if } x<0\\2x,&\text{if } x\geq0\end{cases}$，我们可以分别求出$x<0$和$x\geq0$两个部分的最值，并比较它们的函数值。
初中数学函数最值问题培优专题训练
初中数学函数最值问题培优专题训练
1. 引言
本文档旨在提供初中数学函数最值问题的培优专题训练。
通过系统的训练，学生将能够掌握函数的最大值和最小值求解的方法，提升数学解题能力。
2. 训练内容
训练将包括以下几个方面的内容：
2.1 最大值和最小值的概念
- 最大值和最小值的定义
- 最值的求解方法
2.2 函数图象与最值问题
- 函数图象与最值的关系
- 如何通过函数图象判断最值的存在性和位置
2.3 函数最值问题的解法
- 函数求导法
- 函数列表法
- 函数图象法
3. 训练形式
为了增加学生的参与度和培养合作精神，本次训练将采用小组合作的形式进行。
每个小组根据指导老师的分配，自行选取训练题目，并通过讨论和合作解决问题。
每个小组至少完成两道函数最值问题的训练。
4. 训练目标
通过此次培优专题训练，学生将能够达到以下目标：
- 掌握最值的概念和求解方法
- 能够运用函数图象判断最值的存在性和位置
- 熟练掌握函数求导法、函数列表法和函数图象法解决函数最值问题的技巧
- 培养合作意识和团队精神
5. 训练效果评估
为了评估训练效果，每个小组需要提交一份训练报告，包括训练过程中遇到的问题及解决方法，以及训练结果与讨论。
此外，还可以通过小组成绩和学生个人评价的方式进行综合评估。
6. 结束语
本次初中数学函数最值问题培优专题训练旨在提升学生的数学解题能力，并培养合作意识和团队精神。
希望通过系统的训练，学生能够掌握函数最值问题的解法，为更高级的数学研究奠定坚实的基础。
谢谢大家！。
中考数学总复习培优专题精选经典题
专项训练一一元二次方程一、选择题1. （2016•新疆中考）一元二次方程/-6x-5=0配方后可变形为（）A.。
・-3）2=14B. （X-3）2=4C. （x+3）2=14 . （x+3）2=42. （2016.攀枝花中考）若x=-2是关于x的一元二次方程/十,”一“2=0的一个根，则”的值为（）A. -1 或4B. —1 或—4C. 1 或—4D. 1 或43.（2016•凉山州中考）已知不、应是一元二次方程3如=6-2A•的两根，则勺一修小+小的值是（）4.（2016.随州中考）随州市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次, 2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是（）A. 20（l+2v）=28.8B. 28.8（1+x）2=20C. 20（14-X）2=28.8D. 20+20（ 1+X）+20（I+X）2=28.85. （2016・潍坊中考）关于x的一元二次方程/一机r+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a等于（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°6.已知三角形两边的长是3和4,第三边长是方程小一1入+35=0的根，则该三角形的周长是（）A. 14B. 12C. 12或14D.以上都不对7.（2016•深圳中考）给出一种运算:对于函数y=x«，规定旷=收，例如:若函数y=x4,则有，=4二已知函数y=x\则方程y'=12的解是（）A. xi=4, %2=-4B. xj=2, A-2=-2C. xi=X2=0D. xl = 2小，"=-2小8.★关于x的一元二次方程9+2,如+2〃=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程尸+ 2小，+2/〃=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根：②（加一1户+ （〃一1）2,2：③- 一2后1,其中正确结论的个数是（）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题9.（2016・荷泽中考）已知小是关于x的方程必-2x-3=0的一个根，则2加2—4/〃=.10.方程（2x+l）（x-l）=8（9—x）— 1 的根为.11.（2016・聊城中考）如果关于x的一元二次方程^有两个不相等的实数根，那么左的取值范围是.12.（2016.黄石中考）关于x的一元二次方程炉+2»—2团+1=0的两实数根之积为负，则实数,〃的取值范围是.13.关于x的反比例函数），=山的图象如图所示，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对•X称.△用B中，P8〃），轴，AB〃x轴，P8与AB相交于点5,若△用8的面积大于12,则关于x的方程5-1）/-x+；=0的根的情况是_______________ .14.一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后，用水加满：第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒出的液体是 __________ L.三、解答题15.解方程：（1）（2016 ・安徽中考）小一2x=4：（2）（2016.山西中考）2。
初二数学最值问题专项训练
初二数学最值问题专项训练1. 认识最值问题最值问题，顾名思义，就是要找出在某个条件下，某个量的最大值或最小值。
就好比你去超市买零食，想要在预算内买到最多的薯片，这可真是个“艰难”的选择呀！我们经常会遇到这样的情况，生活中大大小小的决策其实都离不开这门“数学艺术”。
在课堂上，老师讲得头头是道，仿佛让我们看到了数学的美，但等到自己做题时，那感觉就像是在和“怪兽”搏斗一样！所以，今天咱们就一起来“聊聊”最值问题，别担心，我们会轻松幽默地来一趟数学之旅。
2. 最值问题的基本思路2.1 确定问题首先，解决最值问题，最重要的是要“明确目标”。
就像打游戏一样，你得知道终极boss在哪里，才能制定出“攻略”。
同样，在数学题里，我们要搞清楚想要求哪个数，是最大值还是最小值。
比如，题目问“在这个范围内，x的最大值是多少？”那你就得心里打个小鼓，准备好迎接挑战。
2.2 列出条件接下来，咱们得把所有条件“摊开来”，就像一场麻将游戏，你得知道每一张牌是什么。
题目里的条件往往是帮助我们找到最优解的“钥匙”。
这里面可能有不等式、方程，甚至还有一些特别的限制条件，得好好捋一捋，确保不会漏掉任何一个小细节。
3. 应用实际3.1 生活中的最值问题让我们稍微“跑题”一下，想想生活中的例子。
比如，周末你和小伙伴们计划去看电影，大家都有各自的预算。
如何在预算内选到最划算的电影票呢？这其实就是个最值问题。
你得考虑票价、时段、甚至是优惠活动，最终选择出既能满足大家又能“荷包不瘪”的电影。
这种情况常常让人感到无比纠结，但只要有方法，照样能轻松解决！3.2 课堂上的应用回到课堂上，最值问题往往会出现在函数的应用题里。
比如，我们需要找到一个抛物线的顶点，这就是寻找最大值或最小值的过程。
抛物线就像是一个快乐的笑脸，而顶点则是那最高兴的部分，想要“笑出声”来，就得算准那个位置。
通过求导或者配方，能帮我们找到顶点的位置，那种瞬间的“恍然大悟”，简直比吃到糖还要甜！4. 练习与总结4.1 多做练习最后，最值问题的关键还是要多做练习。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．52．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A ．12B ．20C ．48D ．804．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是BC 上任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若22AC =，则EF 的长的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接 PD ，PE ，则PD+PE 长度的最小值为（ ）A ．82B ．410C ．854D ．41346．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．8．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE PF的值最小时，CP的值为______．9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以P A、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．11．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为___．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．13．如图，正方形ABCD 的边长是8，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且1AE CF ==，若点P 是对角线AC 上一个动点，则EP PF +的最小值是______．14．如图，在正方形ABCD 中，22AB =AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．18．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE +PF 的值最小时，CP 的值为________．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．21．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AC 与BD 相交于点O ，M 是AO 的中点，P ，Q 为对角线BD 上的两点，若PQ =2，则PM +CQ 的最小值为 ___．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是________．答案与解析【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．25D ．5 【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N′，N′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【解答】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =2222345CM BC +=+=故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．2．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（ ）A ．125B ．135C ．22D ．252-【答案】D【分析】取AB 的中点N ，连接MN ，根据三角形中位线的性质可求出MN 的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM 的最小值．【解答】解：因为4PA AB ==，M 为PB 的中点，取AB 的中点N ，连接MN ，CN ，易得25CN =，所以122MN PA ==. 在点P 的运动过程中，MN 的值不变，因为CM MN CN +≥，当C ，M ，N 三点在同一条直线上时，CM 最小，此时252CM CN MN =-=-．故选：D【点评】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A．12B．20C．48D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．⊥4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE BD⊥于点E，PF AC 于点F，若22AC=，则EF的长的最小值为（）A．2 B．1 C2D．22【答案】B【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，BC，∴OP=12∵AC=22，则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A．82B．410C．854-D．4134-【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO 交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，2222=+=+==（勾股定理），OF FG OG812208413∴4134EF=-，∴PD+PE的长度最小值为4134-，故选D．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm ．【答案】17【分析】作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则BF CG BF QF +=+，当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，依据勾股定理即可得到Rt BNQ ∆中，224117BQ =+=，即可得出BF CG +的最小值为17．【解答】解：如图所示，作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则FQ PG CG ==，4FG QP ==，BF CG BF QF ∴+=+，∴当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，由题可得2(53)4BN =-=，541NQ =-=，Rt BNQ∴△中，224117BQ=+=，BF CG∴+的最小值为17，故答案为：17．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．【答案】45°8 5【分析】（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短，即可解答．【解答】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH＝35CD，∵42 CD AB==∴CH ＝CD ﹣DH ＝25 CD ＝825， ∴GH 最小值＝CH •sin 45°＝8228525⨯= ． 故答案为：85． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短，证得三角形全等和得到点G 的运动轨迹是射线CG ，是解题的关键．8．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE PF +的值最小时，CP 的值为______．【答案】32【分析】延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．【解答】解：延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小.正方形ABCD 边长为2，2AB BC ∴==，222AC AB ==.E ，F 为AB ，AC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==. B 为EQ 中点， BP ∴为EFQ △的中位线，1122BP EF ∴==.2BC =，13222CP BC BP ∴=-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．9．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以P A 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．【答案】3【分析】作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，利用正方形的性质得△AO 1P 和△PO 2B都是等腰直角三角形，则AM ＝PM ，PN ＝BN ，所以MN ＝12AB ＝3，再证明四边形O 1MNO 2为矩形得到O 1Q ＝MN ＝3，然后根据垂线段最短得到O 1O 2的最小值．【解答】解：作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，∵四边形APDC 和四边形PBEF 都为正方形，111222,90,,90O A O P AO P O P O B PO B ∴=∠=︒=∠=︒ ,∴△AO 1P 和△PO 2B 都是等腰直角三角形，∵O 1M ⊥AP ，O 2N ⊥PB ，∴AM ＝PM ，PN ＝BN ，∴MN ＝PM +PN ＝12AB ＝3，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，1190Q MN QNM QQN∴∠=∠=∠=︒,∴四边形O1MNO2为矩形，∴O1Q＝MN＝3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．【答案】45【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．11．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为___．【答案】10【分析】首先作出点D 关于BC 的对称点D ，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PD '最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：1PG =，3GD '=，最后由勾股定理即可求得PD '的长，从而可求得MD MP +的最小值．【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接PD '，由轴对称的性质可知：2MD D M CD CD ''===，，∴PM DM PM MD PD +=+=''，过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，由题意得AE DF =，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAE ADF ∠=∠=︒，∴BAE ADF △≌△，∴ABE DAF ∠=∠，∴90BAP DAF ∠+∠=︒，∴90BAP ABP ∠+∠=︒，∴90APB ∠=︒，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时， 此时，PD '最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴112PG AD ==，112GC DC ==． ∴3GD '=．在Rt PGD '△中，由勾股定理得：22221310PD PG GD ''=+=+=．故答案为：10．【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P 的位置是解题的关键．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．【答案】45 【分析】首先利用正方形的性质可以证明ADF ∆和()CDE SAS ∆，然后利用全等三角形的性质得到BF CE +的最小值就是BF AF +的最小值，最后利用轴对称即可求解．【解答】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 中，AE CF =，AD CD ∴=，DE DF =，在ADF ∆和CDE ∆中，AD CD ADC ADC DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴∆和()CDE SAS ∆，CE AF ∴=，BF CE BF AF ∴+=+，BF CE ∴+的最小值就是BF AF +的最小值，如图，作A 关于CD 的对称点H ，连接BH 交CD 于F ，则F 即可满足BF AF +最小，4AB =，AH=，4∴==，8AD DH2245∴+=+==+=．BF CE BF AF BH AB AHBF CE∴+的最小值是45．故答案：45．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且1==，若点P是对角AE CF线AC上一个动点，则EP PF+的最小值是______．【答案】10【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F 即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点E、E′关于AC对称，∴PE=PE′，∴PE +PF的最小值是E′F的长，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=2222'+=+=10．68E G GF故答案为：10．【点评】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．BM=，14．如图，在正方形ABCD中，22AB=，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且3-的最大值为_____________．P为对角线BD上一点，则PM PN【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【解答】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，∴当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，在正方形ABCD 中，AB =4，∴AC =42，∵N 是AO 的中点，点N 和E 关于BD 成轴对称，∴点E 是OC 中点，∴CE =14AC =2， ∵BC =4，BM =3，∴CM =1=14BC ， ∵∠BCQ =45°，∴△MCQ 为等腰直角三角形，∴CQ =2CM =22， ∴EQ =22， ∴CM =EM =1，即PM -PN 的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．【答案】213【分析】过点P 作EF AD ∥，由:1:3PAB PCD S S =△△可得13PE PF =，得PE =1，PF =3，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，可得出四边形PFCN 是矩形，得CN =PF =3，延长CB 到K ，使NK =CN =3，连接DK ，根据两点之间线段最短故可知PC PD +的最小值为DK 的长，根据勾股定理可求解【解答】解：如图，过点P 作EF AD ∥，交AB 于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB AD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，4AB BC CD AD ====，∴EF AB EF CD ⊥⊥，∵12PAB S AB PE =⋅△，12PCD S CD PF =⋅△， ∴112132PABPCD AB PE S S CD PF ⋅==⋅△△， ∴13PE PF = ∵EF AD ∥∴4EF AD ==，∴3PF =，1PE =，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，则PN BC ⊥，∴∠90PNC NCF CFP ︒=∠=∠=∴四边形CFPN 是矩形，∴四边形AEFD 是矩形，∴=3CN PF =，∵∠90DAE AEF EPD ADF ︒=∠=∠=∠=，延长CB 到K ，使NK =CN =3，则有：6CK CN KN =+=连接DK ，当D P K ，，在一条直线上时，DP PK DK +=，当D P K ，，不在一条直线上时，DP PK DK +>，故当D P K ，，共线时，222246213DP PK DK DC CK +==+=+=又N 是CK 的中点，PN CK ⊥，∴PN 是CK 的垂直平分线，∴CP =PK ，所以PC PD +的最小值为213， 故答案为：213．【点评】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．【答案】22【分析】连接CG ．证明(SAS)ADE CDG ≌△△，推出45DCG DAE ∠=∠=︒，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小．【解答】解：连接CG ．四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，==3DA DC AB ∴=，DE DG =，90ADC EDG ∠=∠=︒，45DAC ∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，(SAS)ADE CDG ∴≌△△，45DCG DAE ∴∠=∠=︒，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小，223DH CD ==，321CH CD DH ∴=-=-=，此时sin GH DCG CH∠= ∴ 22sin 45122GH CH =⋅︒=⨯=，即GH 的最小值为22． 故答案为：22．【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，垂线段最短，解决本题的关键(SAS)ADE CDG ≌△△得到45DCG DAE ∠=∠=︒，证明出点G 的运动轨迹是射线CG ．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．【答案】92【分析】把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，根据旋转的性质得∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，易得四边形HEPQ 为矩形，则PQ ＝EH ＝2，∠HEP ＝90°，接着计算出CP ，从而得到CQ 的长，然后利用垂线段最短得到CG 的最小值．【解答】解：∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝EG ，把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，∴∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝12CE＝722＝52，∴CQ＝CP＋PQ＝52＋2＝92．∴CG的最小值为92．故答案为92．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．【答案】3 2【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．【解答】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E ，F 为AB ，AC 的中点，BC =2，∴//EF BC ，112EF BC ==， ∵B 为EQ 中点，//BP EF ，∴BP 为EFQ △的中位线，∴1122BP EF ==， ∴13222CP BC BP =-=-=． 故答案为：32． 【点评】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．【答案】45【分析】如图所示，根据题意构造出△AED 和△GFE 全等，分析出点F 的轨迹，然后根据D 、F 、C 三点共线时求出最小值即可．【解答】解：连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，∵将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，∴EF ⊥DE ，且EF ＝DE ，∵90ADE AED ∠+∠=︒，90GEF AED +=︒∠∠，∴∠EDA ＝∠FEG ，∴在△AED 和△GFE 中，A EGF ADE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GFE （AAS ），∴FG ＝AE ，AD GE =，又∵AD AB =，∴GE AB =，∴AE BG =，∴FG BG =，又∵FG BG ⊥，∴BGF 是等腰直角三角形，∴45GBF ，∴BF 是∠CBC ′的角平分线，即F 点在∠CBC ′的角平分线上运动，过点C 作BF 的对称点C '，则4,BC BC '==∴C 点在AB 的延长线上，CBC '△是等腰直角三角形，∴当D 、F 、C 三点共线时，DF +CF ＝DC '最小，∴在DAC '△中，AD ＝4，8AC AB BC AB BC ''=+=+=，∴22224845DC AD AC ''=+=+=，∴DF +CF 的最小值为45，故答案为：45． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．【答案】23【分析】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HI ，P 点在HI 上运动，当PB HI ⊥时，PB 有最小值，证明PHB △≌CHB 即可求得BP 的最小值．【解答】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HIP 为DF 中点当F 点与C 点重合时，P 点与H 点重合，当F 点与E 点重合时，P 点与I 点重合，∴P 点在HI 上运动当PB HI ⊥时，PB 有最小值四边形ABCD 是矩形,AB ＝4，AD ＝2390A ABC BCD ∴∠=∠=∠=︒4,23CD AB BC AD ====H为DC∴1HC=2E为AB∴=AE BE=DE EC∴DEC是等边三角形∴∠=ECD60HI EC//DHI∴∠=60=HC BC2,∴=HB∴∠=HBC∴∠=BHCPB与CHB中≌CHB（【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明PHB△≌CHB是解题的关键．21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=2，则PM+CQ的最小值为___．【答案】25【分析】如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM 是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∴AC=BD=42，∴OD=OB=OA=OC=22，∵AM=OM，AT=DT，OD=2，∴MT=12∴MT=PQ=2，∵MT∥PQ，∴四边形PQTM是平行四边形，∴PM=TQ，∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，∵∠CMT=90°，MT=2，CM=32，∴CT=2225+=，MT CM故答案为：25．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．【答案】22【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵点D′与点D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP'＝P'D′，∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，∴P'D′＝22，即DQ＋PQ的最小值为22．故答案为：22.【点评】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．。
初中数学代数最值问题培优专题训练
初中数学代数最值问题培优专题训练本文旨在提供一套初中数学代数最值问题的培优专题训练，帮助学生进一步掌握和应用代数最值相关的知识。
1. 最大值与最小值基本概念回顾首先，我们来回顾一下最大值与最小值的基本概念。
在数学中，最大值指的是一组数中最大的数，而最小值则是一组数中最小的数。
在代数中，我们经常需要求解最大值和最小值的问题，这些问题可以通过分析方程、不等式或函数的性质来解决。
2. 一元一次方程最值问题训练接下来，我们将以一元一次方程为例，进行一些最值问题的训练。
问题1：已知方程 $2x + 3 = 7$，求解 $x$ 的最大值和最小值。
解答1：通过解方程，我们可以得到 $x = 2$。
因此，最大值和最小值都为 $2$。
问题2：已知方程 $3x - 4 = 5 - x$，求解 $x$ 的最大值和最小值。
解答2：将方程化简得到$4x = 9$，进而得到$x = \frac{9}{4}$。
因此，最大值和最小值都为 $\frac{9}{4}$。
3. 一元二次方程最值问题训练然后，我们将以一元二次方程为例，进行一些最值问题的训练。
问题3：已知方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$，求解 $x$ 的最大值和最小值。
解答3：通过解方程，我们可以得到 $x = 1$ 或 $x = 2$。
因此，最大值为 $2$，最小值为 $1$。
问题4：已知方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，求解 $x$ 的最大值和最小值。
解答4：通过解方程，我们可以得到 $x = 1$ 或 $x = 3$。
因此，最大值为 $3$，最小值为 $1$。
4. 总结与延伸通过以上的训练，我们可以看到一元一次方程和一元二次方程的最值问题可以通过解方程的方法得到最大值和最小值。
在实际应用中，代数最值问题也会涉及到更复杂的方程或函数，需要更深入的思考和分析。
希望本套培优专题训练能够帮助同学们进一步巩固和应用代数最值问题的知识，提升解决实际问题的能力。
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初中数学方程最值问题培优专题训练
引言
初中数学方程最值问题是一类常见的数学问题，它要求在给定的条件下确定方程的最大值或最小值。
解决这类问题不仅需要掌握基本的方程求解方法，还需要灵活应用数学知识和技巧。
本文将介绍一些初中数学方程最值问题的培优专题训练，帮助学生提高解决这类问题的能力。
问题一：确定方程的最大值
题目描述
已知函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为常数，且 $a>0$。
求函数 $y$ 的最大值及对应的 $x$ 值。
解题思路
根据函数的性质，当二次函数的系数 $a>0$ 时，函数的图像开口向上，最大值出现在顶点处。
因此，我们需要先求得函数的顶点坐标 $(x_0,y_0)$，其中 $x_0=-\frac{b}{2a}$，$y_0=-\frac{b^2-
4ac}{4a}$。
最大值即为 $y_0$。
解答步骤
1. 根据题目给出的系数$a,b,c$，计算出顶点坐标$(x_0,y_0)$。
2. 最大值为 $y_0$，对应的 $x$ 值为 $x_0$。
问题二：确定方程的最小值
题目描述
已知函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为常数，且 $a>0$。
求
函数 $y$ 的最小值及对应的 $x$ 值。
解题思路
与问题一类似，但当二次函数的系数 $a>0$ 时，函数的图像开
口向上，最小值也出现在顶点处。
因此，我们仍然需要先求得函数
的顶点坐标 $(x_0,y_0)$，其中 $x_0=-\frac{b}{2a}$，$y_0=-
\frac{b^2-4ac}{4a}$。
最小值即为 $y_0$。
解答步骤
1. 根据题目给出的系数$a,b,c$，计算出顶点坐标$(x_0,y_0)$。
2. 最小值为 $y_0$，对应的 $x$ 值为 $x_0$。
结论
通过以上培优专题训练，学生可以更好地解决初中数学方程最值问题。
掌握了寻找顶点的方法，可以迅速确定方程的最大值或最小值，提高解题效率。
同时，培养了学生的逻辑思维和数学推理能力，为进一步学习高阶数学打下坚实的基础。