中考 数学专练12(几何证明大题)(30题)(老师版)

2022中考考点必杀500题专练12（几何证明大题）（30道）三角形1．（2022·上海徐汇·二模）如图，四边形ABCE 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF ∠CE 于点F ，点D 为BF 上一点，且∠BAD ＝∠CAE ．(1)求证：AD ＝AE ；(2)设BF 交AC 于点G ，若22BC BD BG =⋅，判断四边形ADFE 的形状，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)四边形ADFE 是正方形，证明见解析．【解析】(1) 证明：∠BAC ＝90°，BF ∠CE ，90CAE ∴∠=︒，90BFC ∠=︒，AGB CGF ∠=∠，ABG FCG ∴∠=∠，在ABG 和ACE 中，BAD CAE AB ACABG FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD ∴∠()ASA ACE △，AD AE ∴=；(2)四边形ADFE 是正方形．证明：在ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，22222BC AB BC AB ∴=+=，22BC BD BG =⋅，2AB BD BG ∴=⋅，即AB BG BD AB=， ABD ABG ∠=∠，ABD GBA ∴∽△△，∠BAC ＝90°，90ADB ∴∠=︒，90ADF ∴∠=︒，90∠=∠=︒E ADB ，90BFC ∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，由（1）知AD AE =，∴四边形ADFE 是正方形．【点睛】本题为几何证明综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握相关知识点，并能根据题中条件与所证结准确寻找到思路是解决问题的关键． 2．（2022·湖北宜昌·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，B AFE ∠=∠，EA 是∠BEF 的角平分线，求证：(1)ABE AFE ∆≅∆；(2)FAD CDE ∠=∠．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∠EA 是∠BEF 的角平分线，BEA FEA ∴∠=∠ ，在ABE ∆和AFE ∆中，BEA FEA B AFE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABE AFE ∴∆≅∆(AAS )(2)∠平行四边形ABCD ，∠AD BC ∥ ，AB CD = ，AB CD ∥ ，ADF DEC ∴∠=∠ ，180B C ∠+∠=︒ ，由（1）得：ABE AFE ∆≅∆，AB AF ∴= ，AB AF CD ∴== ，又B AFE ∠=∠，180B C ∠+∠=︒，180AFE DFA ∠+∠=︒ ，C DFA ∴∠=∠ ，在ADF ∆和DEC ∆中，DFA C ADF DEC AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADF DEC ∴≌，FAD CDE ∴∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定与性质，等角的补角相等，角平分线定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·四川广元·一模）如图，在ABC 中，45,75ABC ACB ∠=︒∠=︒，D 是BC 上一点，且60ADC ∠=︒，CF AD ⊥于点F ，AE BC ⊥于点E ，AE 交CF 于点G ．(1)求证：AFG CFD ≌△△；(2)若1,FD AF ==EG 的长．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)证明：∠60ADC ∠=︒，∠120ADB ∠=︒，∠∠ACB =75°，∠45DAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒．∠CF AD ⊥，∠90AFG CFD ∠=∠=︒．∠9045ACF DAC ∠=︒-∠=︒，∠FCD =90°-∠ADC =30°．∠ACF DAC ∠=∠．∠AF CF =．∠AE BC ⊥，∠ADC =60°，∠∠F AG =90°-∠ADC =30°．∠∠F AG =∠FCD ．∠(ASA)AFG CFD △≌△．(2)解：∠AFG CFD ≌△△，1,FD AF ==∠1FG FD ==，CF AF =∠1CG CF FG =-=．∠∠FCD =30°，AE ∠BC ，∠12EG CG == 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角的和差关系，直角三角形两个锐角互余，同角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，30°所对的直角边是斜边的一半，综合应用这些知识点是解题关键．4．（2022·上海嘉定·二模）如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接AC ．(1)求证：AD ＝CF ；(2)若AB ∠AF ，且AB ＝8，BC ＝5，求sin∠ACE 的值．【答案】(1)见解析； (2)35【解析】(1)解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AD BC ∥，∠∠D =∠DCF ，∠DAF =∠F ，∠E 是CD 的中点，∠DE =CE ，∠∠ADE ∠∠FCE （AAS ），∠AD =CF ；(2)∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB CD ∥，CD =AB =8，AD =BC =5，∠AB ∠AF ，∠CD ∠AF ，在Rt ∠ADE 中，DE =4，AD =5，∠AE =3，在Rt ∠ACE 中，CE =4，AE =3，∠AC =5，∠sin∠ACE =35AE AC =． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．5．（2022·江苏盐城·一模）在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分∠BAD ．(1)推理证明：如图1，若120DAB ∠=︒，且90D ∠=︒，求证：AD AB AC +=；(2)问题探究：如图2，若120DAB ∠=︒，试探究AD 、AB 、AC 之间的数量关系；(3)迁移应用：如图3，若90DAB ∠=︒，AD =2，AB =4，求线段AC 的长度．【答案】(1)见解析(2)AD AB AC +=(3)AC =【解析】(1)证明：∠AC 平分BAD ∠， ∠12DAC BAC DAB ∠=∠=∠， 又∠120DAB ∠=，∠60DAC BAC ∠=∠=，又∠180B D ∠+∠=，90D ∠=，∠90B D ∠=∠=，∠30ACD ACB ∠=∠=︒， ∠12AD AC =，12AB AC =， ∠AD AB AC +=．(2)解：AD AB AC +=；过点C 作CE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AE ⊥的延长线于点F ，∠AC 平分BAD ∠，∠CE CF =，90DEC CFB ∠=∠=，∠180D ABC ∠+∠=，而180ABC FBC ∠+∠=，∠D FBC ∠=∠，在BFC △与DEC 中D FBC DEC BFC CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AAS BFC DEC ≌，∠DF BF =，∠AD AB AE DE AF BF AE AF +=++-=+，由（1）知AE AF AC +=，∠AD AB AC +=．(3)过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点C 作CN AD ⊥的延长线于点N ，由（2）知：CDN CBM ∆∆≌，∠DN BM =，∠AD AB AN DN AM BM AN AM +=-++=+，而90DAB ∠=︒，AC 平分BAD ∠，∠45NAC MAC ACN ∠=∠=∠=︒，∠AN AM NC AC ===，∠AD AB AN AM +=+=，又2AD =，4AB =，∠AC =【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2022·山东泰安·一模）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．(1)如图1，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：AE CF =；(2)如图2，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AC AN +=．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【解析】(1)AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，BDE ADF ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中，B DAF DB BDBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BDE ADF ASA ∴∆∆≌，BE AF ∴=，AE CF ∴=；(2)过点M 作ME BC ∥交AB 的延长线于P ，90AMP ∴∠=︒，则AP =，45P ∠=︒，MP MA ∴=，90AMP ∠=︒，90BMN ∠=︒，BMP AMN ∴∠=∠，在BME ∆和AMN ∆中，P MAN MP MABMP AMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ΔΔBMP AMN ASA ∴≌，BP AN ∴=，AB AN AB BP AP ∴+=+==，AB AN ∴+=，AC AN ∴+=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠BDE ∠∠ADF 是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键．7．（2022·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室一模）已知AOB 和MON＜OM ＜OA ），∠AOB ＝∠MON ＝90°．(1)如图1，连接AM ，BN ，求证：AM ＝BN ；(2)将MON 绕点O 顺时针旋转．如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：AM 2+BM 2＝2OM 2；【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)（1）证明：∠∠AOB ＝∠MON ＝90°，∠∠AOB +∠AON ＝∠MON +∠AON ，即∠AOM ＝∠BON ，∠∠AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，∠OA ＝OB ，OM ＝ON ，在△AOM 和△BON 中，AO BO AOM BON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AOM ∠∠BON （SAS ），∠AM ＝BN ；(2)证明：连接BN ，∠∠AOB ＝∠MON ＝90°，∠∠AOB ﹣∠BOM ＝∠MON ﹣∠BOM ，即∠AOM ＝∠BON ，∠∠AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，∠OA ＝OB ，OM ＝ON ，在△AOM 和△BON 中，AO BO AOM BON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AOM ∠∠BON （SAS ），∠∠MAO ＝∠NBO ＝45°，AM ＝BN ，∠∠MBN ＝∠ABO +∠OBN =45°+45°=90°，∠BM 2+BN 2＝MN 2，∠∠MON 都是等腰直角三角形，∠MN 2＝ON 2+OM 2=2ON 2，∠AM 2+BM 2＝2OM 2．【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是解题关键．8．（2022·湖南·株洲县教学研究室一模）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE DF =，连接EF ，交对角线于点G ．求证：(1)BAE DAF ∠=∠(2)AC EF ⊥【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)∠四边形ABCD 是菱形，∠B D ∠=∠，AB AD =．在ABE △和ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABE ADF SAS △≌△∠BAE DAF ∠=∠；(2)∠菱形ABCD∠∠BAC =∠DAC∠BAE DAF ∠=∠∠∠BAC －∠BAE =∠DAC －∠DAF ，即∠EAC =∠F AC∠ABE ADF ≌∠AE =AF在AEG △和AFG 中，AE AF EAC FAC AG AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AEG AFG SAS ≅∠∠=∠AGE AGF∠180AGE AGF ∠+∠=︒∠90AGE AGF ∠=∠=︒∠AC ∠EF ．【点睛】本题考查了全等三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．9．（2022·广东·塘厦初中一模）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高．(1)求证：AD 垂直平分EF ；(2)若10AB AC +=，3DE =，求ABC 的面积ABC S．【答案】(1)见解析(2)15ABC S =△【解析】(1)证明：∠AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高，,90EAD FAD AED AFD ， 在ADE 和ADF 中，90EAD FAD AED AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ADE ADF ∴△≌△，AE AF ∴= ，∠AD 是ABC 的角平分线，,AO EF EO OF ，即AD 垂直平分EF ；(2)∠AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高，3DE DF ∴== ， 1122ABC ABD ADC SS S AB DE AC DF ∴=+=+， 113()3101522ABC S AB AC ∴=⨯⨯+=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了角平分线性质，等腰三角形三线合一，全等三角形的判定与性质，割补法求面积，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．10．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学一模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ∠BC 于点D ，BE ∠AC 于点E ，AD 、BE 相交于点H ，AE =BE ．(1)求证：△AEH ∠△BEC ．(2)若AH =4，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =2【解析】(1)证明：∠AD ∠BC ，∠∠DAC +∠C =90°，∠BE ∠AC ，∠∠EBC +∠C =90°，∠∠DAC =∠EBC ，在△AEH 与△BEC 中，90DAC EBC AE BE AEH BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∠∠AEH ∠∠BEC （ASA ）；(2)解：∠∠AEH ∠∠BEC ，∠AH =BC =4，∠AB =AC ，AD ∠BC ，∠BC =2BD ，∠AH =2BD =4，∠BD =2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．四边形11．（2022·上海市青浦区教育局二模）如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于E ，BD 平分ABC ∠，点G 在底边BC 上，连结DG 交对角线AC 于F ，DGB DAB ∠=∠．(1)求证：四边形ABGD 是菱形；(2)连结EG ，求证：BG EG BC EF ⋅=⋅．【答案】(1)见详解(2)见详解【解析】(1)证明：∠//AD BC ，∠180BAD ABC ∠+∠=︒，DBC ADB ∠=∠，∠DGB DAB ∠=∠，∠180DGB ABC ∠+∠=︒，∠//AB GD ，∠四边形ABGD 是平行四边形，∠BD 平分ABC ∠，∠ABD DBC ∠=∠，∠ABD ADB ∠=∠，∠AB AD =，∠四边形ABGD 是菱形；(2)证明：由（1）可知,,//AD BG ADE GDE AB GD =∠=∠，∠DE =DE ，∠ADE GDE △≌△，∠AE GE =，∠//AD BC ，//AB GD ，∠,ADE CBE ABE FDE ∽∽， ∠,AD DE DE EF BC BE BE AE==， ∠AD EF BC AE =，即AD AE BC EF ⋅=⋅， ∠BG EG BC EF ⋅=⋅．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12．（2022·广西南宁·一模）如图，在ABCD 中，连接对角线BD ，过点,A C 分别作AE BD CF BD ⊥⊥，，垂足为,E F ．(1)求证：AE CF =；(2)如图2，延长AE 至点G ，使得AE GE =，连接CG ，求证：四边形EGCF 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∠ABCD ，∠AB =CD ，AB ∥CD ，∠∠ABE =∠CDF ，∠AE ∠BD ，CF ∠BD ，∠∠AEB =∠CFD =90°，在△ABE 和△CDF 中，AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△ABE ∠△CDF (AAS)，∠AE =CF ；(2)证明：由（1）知AE =CF ，又∠AE =GE ，∠GE =CF ，∠AE ∠BD ，CF ∠BD ，∠GE ∥CF ，∠CFB =90°，∠四边形EGCF 是平行四边形，∠边形EGCF 是矩形．【点睛】本题词考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定是解题的关键．13．（2022·山东聊城·一模）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BOC ∠∠CEB ．(1)求证：四边形OBEC 是矩形；(2)若∠ABC =120°，AB =6，求矩形OBEC 的周长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】(1)证明：∠∠BOC ∠∠CEB ，∠OB =EC ，OC =EB ，∠四边形OBEC 是平行四边形，∠四边形ABCD 是菱形，∠AC ∠BD ，∠∠BOC =90°，∠平行四边形OBEC 是矩形；(2)解：∠四边形ABCD 是菱形，6AB =，120ABC ∠=︒，∠AC BD ⊥，6BC AB ==， 1602DBC ABC ∠=∠=︒， ∠90BOC ∠=°，∠30OCB ∠=︒， ∠132OB BC ==，∠OC =∠矩形OBEC 的周长()236==．【点睛】本题考查全等三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．14．（2022·江苏扬州·一模）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF //BC 交BE 的延长线于点F ．(1)求证：AEF DEB ≌；(2)若3,4AC AB ==，求四边形ADCF 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)四边形ADCF 的面积为6【解析】(1)证明：//AF BC ，AFE DBE ∴∠=∠， E 是AD 的中点，AE DE ∴=，在AEF ∆和DEB ∆中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔ()AEF DEB AAS ∴≅；(2)证明：由（1）知，AFE DBE ∆≅∆，AF DB ∴=， AD 为BC 边上的中线，DB DC ∴=，AF CD ∴=，//AF BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，∴12AD DC BC ==， ∴平行四边形ADCF 是菱形； D 是BC 的中点，11234622ADCF ADC ABC S S S AB AC ∆∆∴===⋅=⨯⨯=菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明AEF DEB ∆≅∆是解题的关键．15．（2022·福建三明·二模）已知：如图，在ABCD 中，E 为BC 的中点，DF ∠AE 于点F ，CG ∠DF 于点G ．求证：(1)∠DAE = ∠BCG ；(2)G 为DF 的中点．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)证明：∠四边形ABCD 为平行四边形，∠AD BC ∥，∠DAE AEB ∠=∠，∠DF AE ⊥，DF CG ⊥，∠90DFE DGC ∠=∠=︒，∠AE CG ∥，∠AEB BCG ∠=∠，∠DAE BCG ∠=∠．(2)证明：延长CG 交AD 于点M ，∠四边形ABCD 为平行四边形，∠,AD BC AD BC =∥．∠DF AE ⊥，DF CG ⊥，∠90DFE DGC ∠=∠=︒．∠AE CM ∥．∠四边形AECM 为平行四边形．∠AM CE =．∠E 为BC 的中点， ∠12CE BC =． ∠12AM AD =． ∠AE CM ∥． ∠12FG AM DF AD ==． ∠12FG DF =，即G 为DF 的中点． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、平行线的判定与性质、中位线的判定及性质以及平行线分线段成比例．16．（2021·四川德阳·二模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∠BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于M 、N ．(1)判断四边形BNDM 的形状，并证明你的结论；(2)若BD＝24，MN＝10，求四边形BNDM的周长．【答案】(1)菱形，见解析；(2)52【解析】(1)四边形BNDM是菱形，证明如下：∠MN∠BD，OB=OD，∠MB=MD，∠AD∠BC，∠∠MDO=∠NBO，∠∠BOD=∠NOB，∠∠MDO∠∠NBO，∠MD=NB，∠MD∠NB，∠四边形BNDM是平行四边形，∠MB=MD，∠四边形BNDM是菱形.(2)∠四边形BNDM是菱形，∠152OM MN==，1122OB BD==，MB=MD=ND=NB，∠在Rt∠BOM中，由勾股定理得：13MB=，∠四边形BNDM的周长为：4×13=52.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明两个三角形全等是解题的关键．17．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在对角线AC上，且AE CF=．(1)求证：ADE CBF ≌△△；(2)求证：四边形DEBF 是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD BC =，//AD BC ，∠EAD FCB ∠=∠，在ADE 和CBF 中，AD CB EAD FCB AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ADE CBF SAS ≌；(2)证明：由（1）得ADE CBF ≌，∠DE BF =，AED CFD ∠=∠，∠180DEC AED ∠=︒-∠，180AFB CFB ∠=︒-∠，∠DEC AFB ∠=∠，∠//DE BF ，∠四边形DEBF 是平行四边形，∠四边形ABCD 是菱形，∠,AB AD BAE DAE =∠=∠，又∠AE AE =，∠()ABE ADE SAS ≌，∠BE DE，∠四边形DEBF是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定等，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．18．（2022·四川绵阳·一模）如图，在四边形ABCD中，AB∠CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∠CD，AB＝AF，CD＝DF．(1)求证：CF∠FB；(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；(3)若EF＝2，∠DFE＝120°，求∠ADE的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∠CD＝DF，∠∠DCF＝∠DFC，∠EF∠CD，∠∠DCF＝∠EFC，∠∠DFC＝∠EFC，∠∠DFE＝2∠EFC，∠AB＝AF，∠∠ABF＝∠AFB，∠AB∠EF，∠∠EFB＝∠ABF，∠∠EFB＝∠AFB，∠∠AFE＝2∠BFE，∠∠AFE＋∠DFE＝180°，∠2∠BFE＋2∠EFC＝180°，∠∠BFE＋∠EFC＝90°，∠∠BFC＝90°，∠CF∠BF；(2)证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH∠BC于H，连接CO并延长交BA的延长线于G，∠∠OHC＝90°＝∠ABC，∠OH∠AB，∠AB∠CD，∠OH∠AB∠CD，∠CD∠AB∠∠G＝∠DCO，∠∠AOG＝∠DOC，OA＝OD，∠∠AOG∠∠DOC（AAS），∠AG＝CD，OC＝OG，∠OH BG∥，∠12 OH CO COBG CG CO OG===+∠OH＝12BG＝12（AB＋AG）＝12（AF＋DF）＝12AD，∠OH∠BC，∠以AD为直径的圆与BC相切；(3)解：如图2，由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，∠∠DFE＝120°，∠∠CFE＝60°，在Rt∠CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，∠CF＝2EF＝4，∠CE＝∠AB∠EF∠CD，∠ABC＝90°，∠∠ECD＝∠CEF＝90°，过点D作DM∠EF，交EF的延长线于M，∠∠M＝90°，∠∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，∠四边形CEMD是矩形，∠DM＝CE＝过点A作AN∠EF于N，∠四边形ABEN是矩形，∠AN＝BE，由（1）知，∠CFB＝90°，∠∠CFE＝60°，∠∠BFE＝30°，在Rt∠BEF中，EF＝2，∠BE＝EF•tan30°＝，∠AN∠S△ADE＝S△AEF＋S△DEF＝12EF•AN＋12EF•DM＝12EF（AN＋DM）＝12×2×．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．19．（2022·宁夏·银川市第十中学二模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．(1)求证：∠ABE∠∠CDF；(2)当AC∠EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)四边形AECF 是菱形，理由见解析【解析】(1)证明：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∠BC ，在Rt ∠ABE 和Rt ∠CDF 中，AE CF AB CD =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠ABE ∠Rt ∠CDF （HL ）；(2)解：当AC ∠EF 时，四边形AECF 是菱形，理由如下：∠∠ABE ∠∠CDF ，∠BE ＝DF ，∠BC ＝AD ，∠CE ＝AF ，∠CE ∠AF ，∠四边形AECF 是平行四边形，又∠AC ∠EF ，∠四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定；掌握特殊平行四边形的性质是解题关键．20．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点D 作DE BD ⊥交BC 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ACED 是平行四边形；(2)若4BD =，3AC =，求sin CDE ∠的值．【答案】(1)见解析(2)45【解析】(1)证明：∠四边形ABCD 是菱形∠AD BC ∥，90BOC ∠=°．∠DE BD ⊥∠90BDE ∠=︒∠BDE BOC ∠=∠∠AC DE ∥∠四边形ACED 是平行四边形．(2)解：∠四边形ACED 是平行四边形∠AD CE =∠AD BC =∠BC CE =∠90BDE ∠=︒∠DC CE =∠CDE E ∠=∠∠4BD =，3AC =，90BDE ∠=︒∠5BE = ∠4sin 5BD E BE ∠== ∠4sin 5CDE ∠=【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、平行线的判定、直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，学会用转化的思想思考问题．圆21．（2022·浙江绍兴·一模）如图，AC 为O 的直径，点B 是AC 上方半圆上的一点，作BD 平分ABC ∠交O于点D ，过点D 作DE //AC 交BC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2,3AB BE ==，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD 【解析】(1)连结OD ，∠AC 使∠O 的直径， ∠∠ABC =90°． ∠BD 平分∠ABC ， ∠∠ABD =∠DBE =45°， ∠∠AOD =2∠ABD =90°． ∠AC ∠DE ，∠∠ODE =∠AOD =90°， 即OD ∠DE ， ∠DE 为∠O 的切线．(2)∠AC ∠DE ，∠∠E =∠BCA =∠ADB ．∠∠ABD=∠DBE=45°，∠∠ABD△DBE，∠AB BD BD BE=．∠AB=2，BE=3，∠BD【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定等，掌握性质定理是解题的关键,连接圆心和圆上的点，再证明垂直是圆的切线的判定的常用方法．22．（2022·陕西·一模）如图，AB是∠O的直径，AC是∠O的切线，且CA=BA．连接BC，OC．过点A作AD∠OC于点D，延长AD交BC于点E，交∠O于点F，连接BF．(1)求证：∠F AB=∠ACD；(2)若BF=4，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)DE的长为83．【解析】(1)证明：∠AB是∠O的直径，AC是∠O的切线，AD∠OC，∠∠OAC=∠ADO=∠AFB=90°，∠∠OAD+∠AOD=90°，∠ACO+∠AOD=90°，∠∠OAD=∠ACO，即∠F AB=∠ACD；(2)解：在∠ABF和∠CAD中90AFB CDA BAF ACD AB CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABF ∠∠CAD （AAS ），∠BF =AD ，AF =CD ，∠BF =4，∠AD =BF =4，∠AD ∠OC 于点D ，∠AF =2AD =8=CD ，DF =4，在Rt ∠ABF 中，AB=在Rt △ABC 中，BC∠∠ADC =∠EDC =∠EFB =90°，∠DEC =∠FEB ，∠∠DEC ∠∠FEB ， ∠84DE CD EF BF ===2， ∠DE +EF =DF =4，∠DE 的长为83． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了三角形全等判定和性质、三角形相似判定和性质的应用．23．（2022·陕西西安·三模）如图，AB 是∠O 的直径，点C 为∠O 上一点，∠ABC 的外角平分线BD 交∠O 于点D ，DE 与∠O 相切，交CB 的延长线于点E ，连接AD ．(1)求证：AC ∠DE ；(2)若BD ＝BE ＝2，求CB 的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】(1)证明：连接ODDE与∠O相切∴⊥OD DEOB OD=∴∠∠=OBD ODBBD平分ABE∠∴∠∠OBD DBE=∴∠∠ODB DBE=∴OD∴⊥CE DEAB是∠O的直径∴⊥AC CE∴AC(2)⊥于点F 解：如图：过点O作OF BC∴，四边形ODEF是矩形BC BF=2∴=EF OD==90ADB DEB ∠∠︒，=ABD DBE ∠∠ADB DEB ∴△∽△=AB DB DB EB∴=10AB ∴==5EF OD ∴==52=3BF EF BE ∴--=2=6BC BF ∴【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，平行线的判定，圆周角定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，作出辅助线是解决本题的关键．24．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）如图，已知AC 是O 的直径，点P 是O 外一点，PC 与O 交于点B ，12PAB AOB ∠=∠．(1)求证：P A 是O 的切线；(2)若1tan 3OPC ∠=，求PB OP的值． 【答案】(1)见解析(2)PB OP =或PB OP = 【解析】(1)解：∠OA =OB ，∠∠OAB =∠OBA ，∠∠AOB +∠OAB +∠OBA =180°， ∠1902OAB AOB ∠+∠=︒， ∠12PAB AOB ∠=∠， ∠∠OAB +∠P AB =90°，即∠OAP =90°，∠AP 是圆O 的切线；(2)解：如图所示，过点O 作OH ∠BC 于H ，∠CH =BH ，∠OHB =∠OHC =90°， ∠1tan tan 3OH OPC OPH PH ∠=∠==， ∠PH =3OH ，设OH =x ，BH =CH =y ，OC =OA =OB =r ，则PC =3x +y ，由（1）得∠CAP =∠CHO =90°，又∠∠C =∠C ，∠∠CHO ∠∠CAP ， ∠OC CH CP AC=， ∠32r y x y r =+， ∠2223r xy y =+，在直角∠OCH 中，222OH CH OC +=，∠222x y r +=，∠222223x y y xy +=+，∠()()20x y x y --=，∠x y =或12x y =，当x y =时，2PB PH BH x =-=，OP =，∠PB OP =；当12x y =时，PB PH BH x =-=，OP =，∠PB OP =；综上所述，PB OP =或PB OP =．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，垂径定理，勾股定理相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．25．（2022·山东济南·二模）如图，BE 是∠O 的直径，点A 和点D 是∠O 上的两点，过点A 作∠O 的切线交BE 延长线于点C ．(1)若29ADE ∠=︒，求∠C 的度数；(2)若AC 1CE =，求∠O 半径的长．【答案】(1)32°(2)1【解析】(1)连接OA ，∠ADE =29°，则∠AOE=2∠ADE=58°，∠AC是圆的切线，∠∠OAC=90°，∠∠C=90°-∠AOE=90°-58°=32°．(2)连接AE，OA，∠AC是圆的切线，∠∠OAC=90°，∠∠EAC=90°-∠OAE，∠BE是圆的直径，∠∠BAE=90°，∠∠BAO=90°-∠OAE，∠∠EAC=∠BAO，∠OA=OB，∠∠OBA=∠BAO，∠∠OBA=∠EAC，∠△CAE∠△CBA，∠CA CE CB CA，∠21(1)BE=⨯+，解得BE=2，故圆的半径为1．【点睛】本题考查了圆的切线，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的性质，灵活运用三角形相似是解题的关键．26．（2022·山东聊城·一模）如图，AB为∠O的直径，直线l与∠O相切于点C，AD∠l，垂足为D，AD交∠O 于点E，连接CE．(1)求证：∠CAD＝∠CAB；(2)若EC＝4，sin∠CAD13＝，求∠O的半径．【答案】(1)见解析(2)6【解析】(1)证明：连接OC，连接BC，如图，∠CD为∠O的切线，∠OC∠CD，∠AD∠CD，∠ OC AD ∥，∠∠CAD ＝∠ACO ．又∠OC ＝OA ，∠∠ACO ＝∠OAC ，∠∠CAD ＝∠OAC ，即∠CAD ＝∠BAC ；(2)∠AB 为∠O 的直径，∠∠ACB ＝90°，∠∠B +∠CAB ＝90°，∠∠CAD +∠B ＝90°，∠∠CED ＝∠B ，∠CED +∠ECD ＝90°，∠∠DCE ＝∠CAD ，∠sin∠CAD ＝sin∠DCE =13DE CE =， ∠DE 43=，∠CD =∠AC＝sin D DC CA =∠， ∠∠BAC ＝∠CAD ，∠sin∠CAD ＝sin∠BAC =13BC AB =， ∠设AB ＝3x ，BC ＝x ，∠AC ＝∠x ＝4，∠AB ＝3x ＝12，∠∠O 的半径为6．方法二：∠∠CAD ＝∠BAC ，∠EC ＝CB ＝4，∠AB 是直径，∠∠ACB ＝90°，∠sin∠CAB 13=，∠AB ＝12，∠半径为6【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 27．（2022·河南商丘·二模）如图，以AB 为直径的O 中，AC 为弦，点P 为O 上一点，过点A 的切线交CP 延长线于点D ，PC 交AB 于点Q ，连接AP ，PAB PQA ∠=∠(1)求证：PA PD =；(2)若3PA =，5AC =，求OA 的长．【答案】(1)见解析(2)OA =【解析】(1)∠AD 为O 的切线，AB 为O 的直径∠AB AD ⊥，∠90DAP PAB ∠+∠=，90PQA D ∠+∠=︒∠PAB PQA ∠=∠，∠DAP D ∠=∠，∠AP PD =．(2)连接BP∠AB 为O 的直径，∠90APB ∠=，∠90PAB B ∠+∠=,∠90DAP PAB ∠+∠=，∠DAP B ∠=∠∠DAP D ∠=∠，B C ∠=∠，∠B C D ∠=∠=∠，∠5AD AC ==．∠3AP =，AP DP PQ ==，∠6DQ =，∠AQ ==∠B D ∠=∠，90APB QAD ∠=∠=，∠APB QAD ∆~∆， ∠AB APQD QA =，即6AB =．∠AB =，∠12OA AB ==【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，证明APB QAD ∆~∆是解答本题的关键． 28．（2022·山东·济宁学院附属中学二模）如图，AB 是∠O 的直径，C 是弧AB 的中点，∠O 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E 是OB 的中点，CE 的延长线交切线BD 于点F ，AF 交∠O 于点H ，连接BH ．(1)求证：AC =CD(2)若OB =2，求BH 的长【答案】(1)证明见解析【解析】(1)证明：如图，连接OC ，由圆的性质得：2AB OA =， AB 是O 的直径，C 是弧AB 的中点，90AOC ∴∠=︒， BD 是O 的切线，90ABD ∴∠=︒，ABD AOC ∴∠=∠，OC BD ∴，AOCABD ∴， 12AC OA AD AB ∴==， AC CD ∴=．(2)解：如图，连接OC ，2OB =，24,2AB OB OC OB ∴====， E 是OB 的中点，BE OE ∴=，在BEF 和OEC △中，90BEF OEC BE OEEBF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()BEF OEC ASA ∴≅，2BF OC ∴==，AF ∴= AB 是O 的直径，90AHB BHF ∴∠=∠=︒，在BFH △和AFB △中，90BFH AFB BHF ABF ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， BFHAFB ∴， BH BFAB AF ∴=，即4BH =，解得BH =【点睛】本题考查了圆心角定理、圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各定理和性质是解题关键．29．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，AB 是∠O 的直径，点D 在∠O 上，且DM 是∠O 的切线，过点B 作DM 的平行线交∠O 于点C ，交AD 于点E ，连接AC 并延长与DM 相交于点F ．(1)求证：CD ＝BD ；(2)若CD ＝6，AD ＝8，求cos∠ABC 的值【答案】(1)见解析； (2)2425【解析】(1)证明：连接OD ，交BC 于点N ，∠ DM 是∠O 的切线∠OD ∠DM∠∠ODM＝90°∠过点B作DM的平行线交∠O于点C，∠∠ONC＝∠ODM＝90°∠OD∠BC∠CD BD=∠CD＝BD(2)解：∠AB是∠O的直径，∠∠ACB＝∠ADB＝90°，∠AD＝8BD＝CD＝6，∠AB10=，∠∠DCE＝∠BAE，∠CED＝∠AEB，∠∠CDE∠∠ABE，∠CE DE CDAE BE AB==＝63105=，设DE＝3x则BE＝5x，∠BD4x=，即4x＝6，解得x＝32，∠BE＝152，DE＝92，∠AD＝8，∠AE＝8﹣92＝72，∠35 CEAE=，∠CE＝21 10，∠BC＝BE+CE＝152+2110＝485，∠cos∠ABC＝482451025 BCAB==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解决本题的关键．30．（2022·湖北·荆州市教育科学研究院一模）如图，∠O是∠ABC的外接圆，AD是∠O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．(1)求证：CF是∠O的切线；(2)若cos B＝35，AD＝2，求AC和FD的长．【答案】(1)见解析(2)18 7【解析】(1)连接OCAD是∠O的直径90ACD∴∠=︒90 ADC CAD∴∠+∠=︒OC OD=ODC OCD ∴∠=∠∠DCF＝∠CAD90 DCF OCD∴∠+∠=︒即OC CF⊥∴CF是∠O的切线(2)3,cos 5B ADC B ∠=∠= 3cos 5ADC ∴∠= 90ACD ∠=︒，AD ＝23cos 52CD CD ADC AD ∴∠=== 65CD ∴=由勾股定理得85AC = 34CD AC ∴= F F ∠=∠，∠DCF ＝∠CADFCD FAC ∴∆∆34CD FC FD AC FA FC∴=== 2FC FA FD ∴=⋅设3FD x =，则4,32FC x AF x ==+2(4)3(32)x x x ∴=+ 解得67x =或0（舍去） 1837FD x ∴==【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．。