北师大版初中数学课件 公式法2
); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一元二次方x程 axb2+bxb+2 c=40a(ca.≠b02)的 4求ac根公0 式. : 2a你能用配方法解源自程 2x2-9x+8=0 吗?
解: x2 9 x 4
2
x2 9 x 4.
x2
9
2 x
9
2
x
2
9
2 4
17
.
4 16
0. 9 4
1.化1:把二次项系数化为
21.;移项:把常数项移到方程的右边
2;
4.
3.配方:方程两边都加上一次 项系数绝对值一半的平方;
3.x1
4.x1 5.x1
2; x2
x2 32
6
.
3
5 .
2
2; x2
3
2
2.
6.x1 2; x2
7.x1 x2
3
12 2
.
.
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值， 特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
,
即：x1=9, x2= -2.
x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3x 解：化简为一般式：x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程的 右边;
x2 b x b 2 b 2 c . 3.配方:方程两边都加上一 a 2a 2a a 次项系数绝对值一半的平方 ;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
4.变形:方程左分解因式 ,右边合并同类;
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x=
a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式, 且a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这 个三角形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
4). 4x2+4x+10 =1-8x ； 5). x2－6x＋1＝0 ； 6). 2x2－x＝6 ； 7). 4x2- 3x - 1=x - 2；
参考答案：
1.x1 2; x2 4.
2.x1 2 6; x2 2 6.
b b2 4ac x
2a
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
当b2 4ac 0时,
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
x b
b2 4ac .
2a
2a
6.求解:解一元一次方程 ;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解
2a
.
ax2+bx+c=0(a≠0)
两边都除以a
移项
配方
如果 b2-4ac≥0
4.变形:方程左分解
因式,右边合并同类;
x 9 17 .
5.开方:根据平方根
44
意义,方程两边开平方
x 9 17 . 44
;6.求解:解一元一次方程;
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
7.定解:写出原方程的解.
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0. aa
3、代入求根公式 : x b b2 4ac 2a
4、写出方程的解： x1、x2
b b2 4ac x
2a
例 1 解方程：x2-7x-18=0 解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7 121 21
7
11 2
解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) = -1;
参考答案:
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3 ; x2
4. 3
3.x1
1; x2
3. 2
4.3y2 1 2 3y.
4.y1 y2
3. 3
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数
一元二次方x程 axb2+bxb+2 c=40a(ca.≠b02)的 4求ac根公0 式. : 2a你能用配方法解源自程 2x2-9x+8=0 吗?
解: x2 9 x 4
2
x2 9 x 4.
x2
9
2 x
9
2
x
2
9
2 4
17
.
4 16
0. 9 4
1.化1:把二次项系数化为
21.;移项:把常数项移到方程的右边
2;
4.
3.配方:方程两边都加上一次 项系数绝对值一半的平方;
3.x1
4.x1 5.x1
2; x2
x2 32
6
.
3
5 .
2
2; x2
3
2
2.
6.x1 2; x2
7.x1 x2
3
12 2
.
.
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值， 特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
,
即：x1=9, x2= -2.
x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3x 解：化简为一般式：x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程的 右边;
x2 b x b 2 b 2 c . 3.配方:方程两边都加上一 a 2a 2a a 次项系数绝对值一半的平方 ;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
4.变形:方程左分解因式 ,右边合并同类;
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x=
a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式, 且a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这 个三角形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
4). 4x2+4x+10 =1-8x ； 5). x2－6x＋1＝0 ； 6). 2x2－x＝6 ； 7). 4x2- 3x - 1=x - 2；
参考答案：
1.x1 2; x2 4.
2.x1 2 6; x2 2 6.
b b2 4ac x
2a
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
当b2 4ac 0时,
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
x b
b2 4ac .
2a
2a
6.求解:解一元一次方程 ;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解
2a
.
ax2+bx+c=0(a≠0)
两边都除以a
移项
配方
如果 b2-4ac≥0
4.变形:方程左分解
因式,右边合并同类;
x 9 17 .
5.开方:根据平方根
44
意义,方程两边开平方
x 9 17 . 44
;6.求解:解一元一次方程;
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
7.定解:写出原方程的解.
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0. aa
3、代入求根公式 : x b b2 4ac 2a
4、写出方程的解： x1、x2
b b2 4ac x
2a
例 1 解方程：x2-7x-18=0 解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7 121 21
7
11 2
解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) = -1;
参考答案:
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3 ; x2
4. 3
3.x1
1; x2
3. 2
4.3y2 1 2 3y.
4.y1 y2
3. 3
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数
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【数学课件】完全平方公式(北师大课标)
• 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分 是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是 正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍， 符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式 因式分解的思路一样，把完全平方公 式: (a+b)²=a2+2ab+b² (a–b²)=a² –2ab+b² 反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减 去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－ 2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式 就 也 是完全平方公式.运用这两个式子， 可以把形式是完全平方式的多项式分解因 式,这种方法叫做运用公式法.
2．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该 圆锥的侧面积与全面积之比值为（ A ）(05临祈)
3．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧 面积与底面积之比为（ ）(05上海) C A ． 3 ： 2 B ． 3： 1 C ． 2： 1 D ． 5： 3
感谢各位领导，老师的到 来，也谢谢同学们的支持 与配合。这次是我第一次 利用多媒体上课，如有不 足的地方，希望大家能给
1.问：什么叫把一个多项式因式分解? 我们已经学习了哪些因式分解的法? 答：把一个多项式化成几个整式乘 积形式，叫做把这个多项式因式分 解.我们学过的因式分解的方法有提 取公因式法及运用平方差公式法.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式 因式分解的思路一样，把完全平方公 式: (a+b)²=a2+2ab+b² (a–b²)=a² –2ab+b² 反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减 去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－ 2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式 就 也 是完全平方公式.运用这两个式子， 可以把形式是完全平方式的多项式分解因 式,这种方法叫做运用公式法.
2．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该 圆锥的侧面积与全面积之比值为（ A ）(05临祈)
3．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧 面积与底面积之比为（ ）(05上海) C A ． 3 ： 2 B ． 3： 1 C ． 2： 1 D ． 5： 3
感谢各位领导，老师的到 来，也谢谢同学们的支持 与配合。这次是我第一次 利用多媒体上课，如有不 足的地方，希望大家能给
1.问：什么叫把一个多项式因式分解? 我们已经学习了哪些因式分解的法? 答：把一个多项式化成几个整式乘 积形式，叫做把这个多项式因式分 解.我们学过的因式分解的方法有提 取公因式法及运用平方差公式法.
北师大版2.3公式法解一元二次方程PPT课件 第二课时
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
3
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解: a 5, b 4, c 12
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
6
二，思考题：m取什 么值时，方程
2 2 x +(2m+1)x+m -4=0
有两个相等的实数解
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 7
三，想一想：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 10
五，根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸 ,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x 2 x 6.8 102.
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
3
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解: a 5, b 4, c 12
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
6
二，思考题：m取什 么值时，方程
2 2 x +(2m+1)x+m -4=0
有两个相等的实数解
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 7
三，想一想：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
2014年8月18日星期 一6时56分36秒 10
五，根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸 ,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x 2 x 6.8 102.
2014年8月18日星期 一6时56分36秒
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
程ax2＋bx＋ Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
北师大版八年级数学下册第四章《4.3 公式法(2)》课件
（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系； （3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.
课本第54页习题2．5第1、2、3题
谢谢合作!
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
我们，还在路上……
(× ) ( ×) ( ×) (√ )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
1 （1）x2 –x+ 4
（2）9a 2b 2–3ab+1 （3）1 m 2+3mn+9n 2 （4）x 6 –10x5+25 4
解：第(1)(3)两小题是完全平方式。
(1)原式=(x – 1 ) 2 2
将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy+3ay 2
（2）–x2 –4y 2+4xy
解：原式=3a(x 2+2xy+y 2) =3a(x+y) 2
解：原式= –(x 2–4xy +4y 2) =–(x–2y) 2
注意：提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法
1、判断正误： （1）x2 +y 2=(x+y) 2 （2）x 2–y 2= (x–y)2 （3）x2 –2xy–y =2 (x–y) 2 （4）–x 2–2xy–y 2 =–(x+y)2
下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解． （1）x 2–4y 2 （2）x 2+4xy–4y 2 （3）4m2–6mn+9n 2 （4）m 2+6mn+9n 2
答：第（4）题是完全平方式，其余都不是。 口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央； 完全平方公式 a2 –2ab+b2=（a–b）2 a 2+2ab+b2 =（a+b）2
课本第54页习题2．5第1、2、3题
谢谢合作!
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
我们，还在路上……
(× ) ( ×) ( ×) (√ )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
1 （1）x2 –x+ 4
（2）9a 2b 2–3ab+1 （3）1 m 2+3mn+9n 2 （4）x 6 –10x5+25 4
解：第(1)(3)两小题是完全平方式。
(1)原式=(x – 1 ) 2 2
将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy+3ay 2
（2）–x2 –4y 2+4xy
解：原式=3a(x 2+2xy+y 2) =3a(x+y) 2
解：原式= –(x 2–4xy +4y 2) =–(x–2y) 2
注意：提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法
1、判断正误： （1）x2 +y 2=(x+y) 2 （2）x 2–y 2= (x–y)2 （3）x2 –2xy–y =2 (x–y) 2 （4）–x 2–2xy–y 2 =–(x+y)2
下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解． （1）x 2–4y 2 （2）x 2+4xy–4y 2 （3）4m2–6mn+9n 2 （4）m 2+6mn+9n 2
答：第（4）题是完全平方式，其余都不是。 口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央； 完全平方公式 a2 –2ab+b2=（a–b）2 a 2+2ab+b2 =（a+b）2
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)
解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完
成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答： 人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下： 这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
新北师大版数学九年级上册课件：用公式法求解一元二次方程(第2课时)
3.如图175，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩 形场地．
图175
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2? (2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？
【解析】 围成的矩形场地只有三面篱笆，设长为x， 1 则宽为 (80－x)，然后根据面积公式列方程即可． 2
① 图172
②
同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意 见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
解：不符合． 设小路宽度均为x m，根据题意，得 1 (16－2x)(12－2x)＝ ×16×12， 2 解这个方程，得x1＝2，x2＝12. 但x2＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2. ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m.
(2)如答图，作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J.
例题答图
∵AB∥CD，∠1＝60° ， ∴∠ADI＝60° ， ∵BC∥AD， ∴四边形ADCB为平行四边形． ∴BC＝AD. 由(1)得x＝2， ∴BC＝HE＝2＝AD， 在Rt△ADI中，AI＝ 3.
∵∠HEJ＝60° ，∴HJ＝ 3. ∴小颖的设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋( 3 )2＝2 299 m2.
1．在一块正方形钢板上截去3 cm宽的矩形钢条，剩下的面积是54 cm2，则原 来这块钢板的面积是 81 cm2.
随堂练 习
【解析】 设正方形钢板边长为x cm，依题意得 x(x－3)＝54，解这个方 程，并舍去负值得x＝9，故原来这块钢板面积为92＝81 cm2.
2．在宽为15 m，长为25 m的矩形地面上铺540 m2的草坪，并留出如图1所示 的宽度相同的通道，设通道宽为x m，列方程得 (25－x)(15－x)＝540 .
《用公式法求解一元二次方程》课件 2022年北师大版九上数学PPT
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化方程为一般
b2 4ac 92 428 17 0. 形式;
图 20.3.1
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四 边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直， 我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
解: 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——标准正确!
解以下方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
心动 不如行动 公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4.
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2 x
9
2
9
2
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化方程为一般
b2 4ac 92 428 17 0. 形式;
图 20.3.1
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四 边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直， 我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
解: 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——标准正确!
解以下方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
心动 不如行动 公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4.
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2 x
9
2
9
2
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.