电大离散数学形考作业答案

离散数学作业4

离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业．

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word 文档

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是

{f,c} ．

3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则

G 的结点 度数之和 等于边数的两倍．

4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且所有结点的度数全为偶

数 ．

5．设G=是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G 中存在一条汉密尔顿路．

6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 W ≤∣S

∣ ．

7．设完全图K n 有n 个结点(n ?2)，m 条边，当n 为奇数 时，K n 中存在欧拉回路．

8．结点数v 与边数e 满足 e=?v －1 关系的无向连通图就是树．

9．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去

4 条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路．

答：不正确，图G 是无向图，当且仅当G 是连通，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定图G 是

否是连通的。

2．如下图所示的图G 存在一条欧拉回路．

答：错误。? 因为图G 为中包含度数为奇数的结点

3．如下图所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图．

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： G

答：错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶数，这里结点bd 各有

三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。

4．设G 是一个有7个结点16条边的连通图，则G 为平面图．

答：错误。若G 是连通平面图，那么若v?≥3,就有e ≤3v －6，?而16>3×7－6，所以不满足定理条

件，叙述错误。

5．设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面．

答：正确。因为连通平面图满足欧拉公式。即：v-e+r=2。由此题条件知6-11+7=2成立。

三、计算题

1．设G =，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试

(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；

(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．

答：（1）

（2）

（3）?deg(v1) =1 deg(v2) =2、deg(v3) =4、deg(v4) =3、deg(v5) =2?

（4）

2．图G =，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；

（3）求出G 权最小的生成树及其权值．

解：（1）

（2）

（3）

G 权最小的生成树的权值：1+1+2+3=7

3．已知带权图G 如右图所示．

(1) 求图G 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．

答：（1）

（2）该生成树的权值为1+2+3+5+7=18

4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权． 答：最优二叉树如下：

解：从2, 3, 5, 7, 17, 31中选2，3为最低层结点，并从权数中删去再添上它们的和数， 即5，5，7，11，31;再从5，5，7，11，31选5，5为倒数第二层结点，并从上述数列中删去，再添上它们的和数，即17，17，31;…..

最优二叉树的权为：2×5+3×5+4×5+7×3+17×2+31×1

=10+15+20+21+34+31=131

四、证明题

1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．

证明：设a 为G 中任意一个奇数度顶点，由G 定义，a 仍为G 顶点，为区分起见，记为a ’,?则deg(a)+deg(a ’)=n-1,?而n 为奇数，则a ’必为奇数度顶点。由a 的任意性，容易得知结论成立。

2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k

条边才能使其成为欧拉图．