新北师大版九年级上册第二章一元二次方程复习课
2
用配方法解一元二次方程： 2x2-9x+8=0
9 解 : x x 4 0. 2 9 x 2 x 4. 2 2 2 9 9 9 2 x x 4. 2 2 4 4 9 17 x . 4 16 9 17 x . 4 4 9 17 x . 4 4 9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
x
1、当m
(m－1)
x
=－1 m 2 1
时，关于x的方程
+5+mx=0是一元二
次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0， 当m 当m
≠± 1 =-1
时，是一元二次方程； 时，是一元一次方程.
一、一元二次方程的概念 引例：判断下列方程是不是一元二次方程
1 （1）4x- x² + 2
解 : 把x=3代入方程中得
2
3 3m 12 0 3m 21 m 7 2 当m 7时, 方程为 : x 7 x 12 0
( x 3)( x 4) 0 x 3 0或x 4 0 x1 3, x2 4 答 : m值为 7, 另一根为4.
做一做 1、x2＋12x =－9 2、x2+10x+20=0 3、2x2-8x+1=0 4、x2+2x-1=0
三 公式法
一般地,对于一元二次方程
当b2 4ac 0时, 它的根是:
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
ax2+bx+c=0(a≠0)
4、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2如： (x+1)(x-2)=0
三、 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0 a 0 根的判式是:
b 4 ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0 a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4 ac 0 两个不相等实根 b 2 4 ac 0 两个相等实根 b 2 4 ac 0 无实根(无解)
1、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2、n是方程x mx n 0一个根（n 0），则
2
nm
-1
2 3、x2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（x m） n的
形式，则 m=_______,n=_________
例题讲解
1、x2-4=0
解: ∴ x1=2 x2=4 , x2=-2 2、（3x -2）² -49=0 解：（3x-2）² =49 3x -2=±7 x=
5 ∴ x1=3， x2= 3
做一做 1、 x2-0.81=0
2、 9x2=4 3、（x-4）2-25=0
4、（2x-3）2-5=0
二 配方法
注意：一元二次方程的 三个要素
（2）3x² - y -1=0 不是 1 不是 （3）ax² +ｂx+c=0 不一定 （4）x + x =0 1、已知关于x的方程（m² -1）x² +（m-1）x-2m+1=0，当
3 =0
是
m ≠±1 时是一元二次方程，当m= 次方程，当m= ½ 时，x=0。
-1
时是一元一
一元二次方程的概念：
1.（07兰州）下列方程中是一元二次方程的是 （ C ） A 、2 x ＋1 ＝0 B 、y 2＋x ＝1 C 、x 2＋1 ＝0 D、 1 x 2 1
一元二次方程三要素: 1.一个未知数. 2.含未知项的最高次数是2次. 3.方程两边都是整式. m2 2 3x 7 0 2.（08青岛）关于x的方程(m 2) x 是一元二次方程，求m的值。 m=-2 注意: 二次项的系数不等于0.
b2 4ac 9 4 2 8 17 0.
b b 4ac x 2a 9 17 2 2 9 17 . 4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公 式计算;
2
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类; 5.开方:两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
步骤归纳
① 同除二次项系数化为1； ②把常数项移到右边； ③两边同时加上一次项系数一半的平方； ④配成直接开平方式; ⑤解方程。
4、x(x-6)=6
四 因式分解法
1 提公因式法
2 平方差公式与完全平方公式
形如
( x a)( x a) 0 x a 0或x a 0
x a 0
2 2
运用平方差公式得：
x1 a
2
x2 a
形如 x 2ax a 0 的式子运用完全平方公式得：
2
( x a)2 0
或
x1 x2 a
x1 x2 a
例题讲解
1、3x(x+2)=5(x+2) 2、x（x+2）+1=0
解 移项 得 3x(x+2)-5(x+2)=0 提公因式得 （3x-5）(x+2)=0 （3x-5）=0或(x+2)=0
解：原方程变形为： x2+2x+1=0 （x+1）2=0 x1=x2=-1
5.定解:写出原方程的根.
9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
步骤归纳
① 先化为成一般形式； ②确定a、b、c,求出b2-4ac的值； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
- b± b 2 - 4ac x = 2a
注：当b2-4ac＜0时,方程没有实数根。
做一做 1、x2-3x-4=0 2、2x2+x-1=0 3、x2-2x=3
0 0 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
2 x 3x 4 0 2 （2） 16 y 9 24 y （3） 5x 2 1 7 x 0
（1）
2
解：（1）
=
所以，原方程有两个不相等的实根。
b 4 ac 3 4 2 4 41 0
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二次方程则 m ≠－ 2 。
一元二次方程（关于x）一般形式
3x² -1=0 3x（x-2）=2（x-2）
二次项 系数
一次项 系数
常数项
二、解一元二次方程的方法有几种?
1、直接开平方法 形如（x-k）²=h的方程可以 用直接开平方法求解；
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一元二次方程。 2.b2-4ac≥0.
例题讲解
例1 用公式法解方程
2
2
2x2-9x+8=0
解: a 2, b 9, c 8. 1.变形:化已知方程为一般形式;
只要把一个一元二次方程变形为 （x-k）²=h的形式（其中h，k都是常 数），如果k≥ 0,在通过直接开平方 法求出方程的解，这种解一元二次方 程的方法叫做配方法。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2பைடு நூலகம்2
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△， 然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情 况，得出结论。
1. 解方程: (x+1)(x+2)=6
中考直击
2. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 ，求a2+b2 的值。
已知:3是方程x2 mx 12 0的一根, 求另一根及m的值.
所以
5 x 1= 3
x2=-2
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个一次因式的积； ②分别令每个因式为0，求出的解即为原方程的解。
做一做 1、3x2=x 2、x2-3x=0 3、x-2=x(x-2)
4、(2x-2)2-x2=0
练习
一、选用适当方法解下列一元二次方程
• • • • • • • • 1、 (2x+1)2=64 ( 直接开平方 法） 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 分解因式 法） 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 分解因式 法） 4、 x２-４x-10=０ ( 配方 法） 5、 ３x２-４x-５=０ ( 公式 法） 6、 x２＋６x-1=0 ( 配方 法） 7、 x２ -x-３=０ ( 公式 法） 8、 y2 y-1=0 ( 公式 法）
2
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
二、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
（1）3x2-5x=0 （2）3x² -1=0
（3）x（2x +3）=5（2x +3）
（4）3(x-2)2=9
（5）x² - 3 x +2=0
（6）(3x-3)2=4(x-2)2
用配方法解一元二次方程： 2x2-9x+8=0
9 解 : x x 4 0. 2 9 x 2 x 4. 2 2 2 9 9 9 2 x x 4. 2 2 4 4 9 17 x . 4 16 9 17 x . 4 4 9 17 x . 4 4 9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
x
1、当m
(m－1)
x
=－1 m 2 1
时，关于x的方程
+5+mx=0是一元二
次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0， 当m 当m
≠± 1 =-1
时，是一元二次方程； 时，是一元一次方程.
一、一元二次方程的概念 引例：判断下列方程是不是一元二次方程
1 （1）4x- x² + 2
解 : 把x=3代入方程中得
2
3 3m 12 0 3m 21 m 7 2 当m 7时, 方程为 : x 7 x 12 0
( x 3)( x 4) 0 x 3 0或x 4 0 x1 3, x2 4 答 : m值为 7, 另一根为4.
做一做 1、x2＋12x =－9 2、x2+10x+20=0 3、2x2-8x+1=0 4、x2+2x-1=0
三 公式法
一般地,对于一元二次方程
当b2 4ac 0时, 它的根是:
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
ax2+bx+c=0(a≠0)
4、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2如： (x+1)(x-2)=0
三、 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0 a 0 根的判式是:
b 4 ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0 a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4 ac 0 两个不相等实根 b 2 4 ac 0 两个相等实根 b 2 4 ac 0 无实根(无解)
1、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2、n是方程x mx n 0一个根（n 0），则
2
nm
-1
2 3、x2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（x m） n的
形式，则 m=_______,n=_________
例题讲解
1、x2-4=0
解: ∴ x1=2 x2=4 , x2=-2 2、（3x -2）² -49=0 解：（3x-2）² =49 3x -2=±7 x=
5 ∴ x1=3， x2= 3
做一做 1、 x2-0.81=0
2、 9x2=4 3、（x-4）2-25=0
4、（2x-3）2-5=0
二 配方法
注意：一元二次方程的 三个要素
（2）3x² - y -1=0 不是 1 不是 （3）ax² +ｂx+c=0 不一定 （4）x + x =0 1、已知关于x的方程（m² -1）x² +（m-1）x-2m+1=0，当
3 =0
是
m ≠±1 时是一元二次方程，当m= 次方程，当m= ½ 时，x=0。
-1
时是一元一
一元二次方程的概念：
1.（07兰州）下列方程中是一元二次方程的是 （ C ） A 、2 x ＋1 ＝0 B 、y 2＋x ＝1 C 、x 2＋1 ＝0 D、 1 x 2 1
一元二次方程三要素: 1.一个未知数. 2.含未知项的最高次数是2次. 3.方程两边都是整式. m2 2 3x 7 0 2.（08青岛）关于x的方程(m 2) x 是一元二次方程，求m的值。 m=-2 注意: 二次项的系数不等于0.
b2 4ac 9 4 2 8 17 0.
b b 4ac x 2a 9 17 2 2 9 17 . 4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公 式计算;
2
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类; 5.开方:两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
步骤归纳
① 同除二次项系数化为1； ②把常数项移到右边； ③两边同时加上一次项系数一半的平方； ④配成直接开平方式; ⑤解方程。
4、x(x-6)=6
四 因式分解法
1 提公因式法
2 平方差公式与完全平方公式
形如
( x a)( x a) 0 x a 0或x a 0
x a 0
2 2
运用平方差公式得：
x1 a
2
x2 a
形如 x 2ax a 0 的式子运用完全平方公式得：
2
( x a)2 0
或
x1 x2 a
x1 x2 a
例题讲解
1、3x(x+2)=5(x+2) 2、x（x+2）+1=0
解 移项 得 3x(x+2)-5(x+2)=0 提公因式得 （3x-5）(x+2)=0 （3x-5）=0或(x+2)=0
解：原方程变形为： x2+2x+1=0 （x+1）2=0 x1=x2=-1
5.定解:写出原方程的根.
9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
步骤归纳
① 先化为成一般形式； ②确定a、b、c,求出b2-4ac的值； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
- b± b 2 - 4ac x = 2a
注：当b2-4ac＜0时,方程没有实数根。
做一做 1、x2-3x-4=0 2、2x2+x-1=0 3、x2-2x=3
0 0 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
2 x 3x 4 0 2 （2） 16 y 9 24 y （3） 5x 2 1 7 x 0
（1）
2
解：（1）
=
所以，原方程有两个不相等的实根。
b 4 ac 3 4 2 4 41 0
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二次方程则 m ≠－ 2 。
一元二次方程（关于x）一般形式
3x² -1=0 3x（x-2）=2（x-2）
二次项 系数
一次项 系数
常数项
二、解一元二次方程的方法有几种?
1、直接开平方法 形如（x-k）²=h的方程可以 用直接开平方法求解；
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一元二次方程。 2.b2-4ac≥0.
例题讲解
例1 用公式法解方程
2
2
2x2-9x+8=0
解: a 2, b 9, c 8. 1.变形:化已知方程为一般形式;
只要把一个一元二次方程变形为 （x-k）²=h的形式（其中h，k都是常 数），如果k≥ 0,在通过直接开平方 法求出方程的解，这种解一元二次方 程的方法叫做配方法。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2பைடு நூலகம்2
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△， 然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情 况，得出结论。
1. 解方程: (x+1)(x+2)=6
中考直击
2. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 ，求a2+b2 的值。
已知:3是方程x2 mx 12 0的一根, 求另一根及m的值.
所以
5 x 1= 3
x2=-2
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个一次因式的积； ②分别令每个因式为0，求出的解即为原方程的解。
做一做 1、3x2=x 2、x2-3x=0 3、x-2=x(x-2)
4、(2x-2)2-x2=0
练习
一、选用适当方法解下列一元二次方程
• • • • • • • • 1、 (2x+1)2=64 ( 直接开平方 法） 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 分解因式 法） 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 分解因式 法） 4、 x２-４x-10=０ ( 配方 法） 5、 ３x２-４x-５=０ ( 公式 法） 6、 x２＋６x-1=0 ( 配方 法） 7、 x２ -x-３=０ ( 公式 法） 8、 y2 y-1=0 ( 公式 法）
2
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
二、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
（1）3x2-5x=0 （2）3x² -1=0
（3）x（2x +3）=5（2x +3）
（4）3(x-2)2=9
（5）x² - 3 x +2=0
（6）(3x-3)2=4(x-2)2
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北师大版九年级上册数学《应用一元二次方程》一元二次方程说课教学复习课件
例题精讲
知识点 1 列一元二次方程解增长(或下降)率问题 例1 (教材 P55T4) 某公司今年 10 月的营业额为 2 500 万 元，按计划第四季度的总营业额要达到 9 100 万元，求该公 司 11，12 两个月营业额的月均增长率．
【思路点拨】用“增长后的量＝增长前的量×(1＋平均增 长率)n”表示出 11 月与 12 月的营业额，根据第四季度的总营 业额要达到 9 100 万元，列方程求解．
度继续航行，在途中是否会遇到台风？ 不不会会 (填“会”或“不会”)．
5. 如图，在△ ABC 中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC ＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1 cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2 cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P，Q 两 点同时出发，经过几秒后△ PBQ 的面积等于 4 cm2？
根据题意得，(x－30)[600－10(x－40)]＝10 000， 整理得，x2－130x＋4 000＝0， 解得 x1＝50，x2＝80(舍去)．
600－10(x－40)＝600－100＝500. 因此，这种台灯的售价应定为 50 元，这时应购进台灯 500 个．
【归纳总结】列一元二次方程解决利润问题，应根据利 润，售价，成本之间的关系，找准等量关系，正确列出一元 二次方程，注意问题中的限制条件，舍去与条件不符合的解．
解：如图，过点 Q 作 QE⊥PB 于点 E，则∠QEB＝90°. ∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB.∴S△ PQB＝12PB·QE. 设经过 t s 后△ PBQ 的面积等于 4 cm2，则 PB＝(6－t)cm， QB＝2t cm，QE＝t cm.
根据题意，得12(6－t)·t＝4，即 t2－6t＋8＝0.∴t1＝2，t2 ＝4.
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程复习课件
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
公式法：a 1，b -4，c -1.
【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次 方程，所以1不符合，应引起注意.
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值 为 -1 .
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ）
A. (x-1)2=6
B.(x+2)2=9
b2 - 4ac=-42 -4 1 -1 =20 0.
方程有两个不相等的实数根
x b
b2 4ac -4
20 2
5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
配方法：移项，得x2 4x 1. 配方,得x2 4x 22 1 22.
三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：
2020年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程复习课件 (新版)北师大版
• 7、 x２ -x-３=０ ( 公法式）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2 bx c 0a 0
根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
判别式的情况 根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 0
6. 作答注意单位。
两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设较小的数为x,根据题意,得
xx 4 45.
整理得x2 4x 45 0. 解得x1 5, x2 9.
x 4 5 4 9,或x 4 9 4 5.
答 : 这两个数为5,9或 9,5.
一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手, 有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多 少?
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
解一元二次方程的方法有几种?
1．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平
方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，
根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，
x＝
；当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
x1 28 818 56; x2 28 818 0均不合题意 ,舍去.
答 : 不能剪,正方形的面积和不可能 等于200 cm2.
小结
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数 学模型.
用列方程的法去解释或解答一些生活中的现象 或问题是一种重要的数学方程方法——即方 程的思想.
恐惧自己受苦的人，已经因为自己的恐惧在受苦。
(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋
北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元复习课件
第二章 一元二次方程单元复习
一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率 （病毒传染）问题，面积问题，营销问题，勾股定理问 题等．
互赠、握手问题 1.毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一
张照片，一共送出90张照片，设会上有x人，根据题 意，可列方程为__x_（__x_－__1_）__＝__9_0_. 2.举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共赛了15场， 参加比赛的队伍有___6__支．
解：设横、竖彩条的宽度分别为2x cm，3x cm，
则（20－6x）（30－4x）＝20×30×
1－
1 3
，
解得x1＝
5 6
，x2＝10.
当x1＝
5 6
，横彩条宽度为
5 ×2＝
6
5（cm），
3
竖彩条宽度为 5 ×3＝ 5（cm）.
6
2
当x2＝10，10×2＝20， 不符合题意，舍去．
15.（2023·深圳光明区校级月考）2023年杭州亚运会吉 祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35 元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价 格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的 销售量为400件．
上底多4，则可列方程为__12_（__x＋__x_＋_4_）__（__x＋ __1_）_＝ __6__.
7.一个长方形的面积为8 m2，长比宽多2 m，设长方形的 宽为x m，根据题意，可列方程为 ___x_（__x_＋__2_）__＝__8__.
8.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形，设长方 形一边为x m，根据题意，可列方程为_x_（__4_－__x_）__＝__4．
（1）求y与x之间的函数关系式． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率 （病毒传染）问题，面积问题，营销问题，勾股定理问 题等．
互赠、握手问题 1.毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一
张照片，一共送出90张照片，设会上有x人，根据题 意，可列方程为__x_（__x_－__1_）__＝__9_0_. 2.举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共赛了15场， 参加比赛的队伍有___6__支．
解：设横、竖彩条的宽度分别为2x cm，3x cm，
则（20－6x）（30－4x）＝20×30×
1－
1 3
，
解得x1＝
5 6
，x2＝10.
当x1＝
5 6
，横彩条宽度为
5 ×2＝
6
5（cm），
3
竖彩条宽度为 5 ×3＝ 5（cm）.
6
2
当x2＝10，10×2＝20， 不符合题意，舍去．
15.（2023·深圳光明区校级月考）2023年杭州亚运会吉 祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35 元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价 格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的 销售量为400件．
上底多4，则可列方程为__12_（__x＋__x_＋_4_）__（__x＋ __1_）_＝ __6__.
7.一个长方形的面积为8 m2，长比宽多2 m，设长方形的 宽为x m，根据题意，可列方程为 ___x_（__x_＋__2_）__＝__8__.
8.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形，设长方 形一边为x m，根据题意，可列方程为_x_（__4_－__x_）__＝__4．
（1）求y与x之间的函数关系式． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
【最新】九年级数学北师大版上册课件：第二章一元二次方程 复习 (共33张PPT)
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方
程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为
、
和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
① ax2 bx c 0
（ ×）
② x3 1
（× ）
x
③ (2x 3)(；2x 3) 4x2 2x 3 （ × ）
程
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式 一元二次方程的应用 的积，右边是0的方程
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找 出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表 示未知量。
2.若a是方程
的一个根，则代数
式
的值是＿＿＿＿
3. 解方程：
( x2 1)2 5( x2 1) 4 0
一元二次方程的定义
把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a 0）
一
直接开平方法：
元
二
次 方ห้องสมุดไป่ตู้
一元二次方程的解法 型
适应于形如（x-k）² =h（h>0）
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式 求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
4．分解因式法 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两 个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就 是原方程的解．
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方
程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为
、
和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
① ax2 bx c 0
（ ×）
② x3 1
（× ）
x
③ (2x 3)(；2x 3) 4x2 2x 3 （ × ）
程
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式 一元二次方程的应用 的积，右边是0的方程
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找 出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表 示未知量。
2.若a是方程
的一个根，则代数
式
的值是＿＿＿＿
3. 解方程：
( x2 1)2 5( x2 1) 4 0
一元二次方程的定义
把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a 0）
一
直接开平方法：
元
二
次 方ห้องสมุดไป่ตู้
一元二次方程的解法 型
适应于形如（x-k）² =h（h>0）
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式 求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
4．分解因式法 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两 个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就 是原方程的解．
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
第二章 一元二次方程 2.1认识一元二次方程-(1） 晋公庙中学数学组学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，2．通过分析方程的特点,抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力 3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
学习重点：一元二次方程的概念学习难点：如何把实际问题转化为数学方程 学习过程：一、导入新课：什么是一元一次方程?什么是二元一次方程?？ 二、自学指导：1、自主学习：自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1)情境问题：列方程解应用题:一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m 。
苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。
你能将方程化成ax 2+bx+c=0的形式吗？ 阅读课本P48，回答问题： 1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？2、合作交流：1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示,它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？列 方程并化成一般形式。
2）求五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x ，列 方程并化成一般形式.3）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。
如果设梯子底端滑动x m ，列 方程并化成一般形式。
2。
知识梳理：1)一元二次方程的概念：强调三个特征:①它是______方程；②它只含______未知数;③方程中未知数的最高次数是__________.一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2）几种不同的表示形式：①ax 2+bx+c=0 (a ≠0，b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0） ③____________ （a ≠0，b=0,c ≠0） ④___________ (a ≠0，b=0，c=0） 三、当堂训练81、判断下列方程是不是一元二次方程，并说明理由。
北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》复习教案
北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》复习教案
一、教学内容
北师大：
1.一元二次方程的定义与一般形式；
2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；
3.一元二次方程根的判别式及其应用；
4.一元二次方程的根与系数的关系；
5.实际问题中的一元二次方程及其应用。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体的高度，通过一元二次方程来计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数关系的问题？”（如面积和边长关系等）这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾一元二次方程的奥秘。
此外，小组讨论环节中，学生们能够积极参与，相互交流，分享自己的观点。但在讨论过程中，我也观察到有些学生过于依赖他人，缺乏独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我将在今后的教学中，多设置一些开放性问题，引导学生自主探究，提高他们的问题解决能力。
在实践活动方面，学生们对实验操作表现出浓厚兴趣，能够积极参与。但在操作过程中，部分学生还显得有些手忙脚乱，对实验原理的理解不够深入。针对这一问题，我将在后续的教学中，加强对实验原理的讲解，让学生们在操作前能够充分理解实验的目的和步骤。
（二）新课讲授（用时10分钟）
一、教学内容
北师大：
1.一元二次方程的定义与一般形式；
2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；
3.一元二次方程根的判别式及其应用；
4.一元二次方程的根与系数的关系；
5.实际问题中的一元二次方程及其应用。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体的高度，通过一元二次方程来计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数关系的问题？”（如面积和边长关系等）这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾一元二次方程的奥秘。
此外，小组讨论环节中，学生们能够积极参与，相互交流，分享自己的观点。但在讨论过程中，我也观察到有些学生过于依赖他人，缺乏独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我将在今后的教学中，多设置一些开放性问题，引导学生自主探究，提高他们的问题解决能力。
在实践活动方面，学生们对实验操作表现出浓厚兴趣，能够积极参与。但在操作过程中，部分学生还显得有些手忙脚乱，对实验原理的理解不够深入。针对这一问题，我将在后续的教学中，加强对实验原理的讲解，让学生们在操作前能够充分理解实验的目的和步骤。
（二）新课讲授（用时10分钟）
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程复习课_图文
定理与逆定理
两不相等实根 两相等实根 无实根
( 公式
法）
( 配方
法）
• 7、 x２ -x-３=０
( 公式
法）
• 8、 y2- y-1=0
( 公式
法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
二、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
（1）3x2-5x=0
（2）3x²-1=0
（3）x（2x +3）=5（2x +3） （4）3(x-2)2=9
例题讲解
1、x2-4=0
解 : x2=4 ∴ x1=2 , x2=-2
2、（3x -2）²-49=0 解：（3x-2）²=49
3x -2=±7 x= ∴ x1=3， x2= -
做一做
1、 x2-0.81=0 2、 9x2=4 3、（x-4）2-25=0 4、（2x-3）2-5=0
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
注：当b2-4ac＜0时,方程没有实数根。
做一做
1、x2-3x-4=0 2、2x2+x-1=0 3、x2-2x=3 4、x(x-6)=6
四 因式分解法
1 提公因式法 2 平方差公式与完全平方公式
形如
运用平方差公式得：
形如
的式子运用完全平方公式得： 或
例题讲解
1、3x(x+2)=5(x+2)
解 移项 得 3x(x+2)-5(x+2)=0 提公因式得 （3x-5）(x+2)=0 （3x-5）=0或(x+2)=0
（5）x²- 3 x +2=0
（6）(3x-3)2=4(x-2)2
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程根与系数的关系复习讲义
2()2ba c a+2210⨯-=为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使20x = ⇒0 (0)a ≠定的两个根为0①-②得：2212)2x x x -221)4x x x -①②222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝ 3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5 xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程解法复习及根的判别式应用的讲义
共 页 第8 页
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用 一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________． 二、选择题
共 页 第2 页
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、 当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、 当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用 一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________． 二、选择题
共 页 第2 页
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、 当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、 当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0