浅谈二次型的分类问题
二次型的判定方法
二次型的判定方法1. 二次型的判定方法之首先判断二次型是否为标准形式。
标准形式的二次型是指仅含有平方项和常数项的形式。
如果二次型含有一次项，需要通过将含有一次项的部分移项并进行合并，将二次型化简为标准形式。
2. 二次型的判定方法之判断二次型的秩。
二次型的秩是指二次型的矩阵形式的秩。
通过将二次型写成矩阵的形式，然后对矩阵进行行变换或列变换，将矩阵化简为行阶梯形或列阶梯形，最后计算矩阵的秩。
如果秩等于变量的个数，则二次型是正定型；如果秩等于0，则二次型是负定型；如果秩小于变量的个数且不等于0，则二次型是半定型。
3. 二次型的判定方法之判断二次型的非零项的符号。
对于标准形式的二次型，通过观察非零项的符号来判定二次型的正负性质。
如果二次型所有的非零项的系数同号且为正，则二次型是正定型；如果非零项的系数同号且为负，则二次型是负定型；如果非零项的系数有正有负，则二次型是不定型。
4. 二次型的判定方法之判断二次型的正负特征值。
将二次型的系数矩阵作为一个线性变换的矩阵，求出其特征值，然后观察特征值的正负性质。
如果特征值全为正，则二次型是正定型；如果特征值全为负，则二次型是负定型；如果特征值有正有负，则二次型是不定型。
5. 二次型的判定方法之判断二次型的正负惯性指数。
通过矩阵的特征值来判定二次型的正负惯性指数。
将二次型的系数矩阵作为一个线性变换的矩阵，求出其特征值，统计特征值中正数的个数、负数的个数以及零的个数。
正数的个数称为正惯性指数，负数的个数称为负惯性指数，零的个数称为零惯性指数。
根据正负零指数的数量关系，判断二次型的正负情况。
6. 二次型的判定方法之判断二次型的Gram矩阵的正定性。
对于二次型的Gram矩阵（系数矩阵的转置乘以系数矩阵），判断其是否为正定矩阵。
如果Gram矩阵正定，则二次型是正定型；如果Gram矩阵负定，则二次型是负定型；如果Gram矩阵不定，则二次型是不定型。
7. 二次型的判定方法之用最小二乘法判断二次型的正定性。
二次型的几何分类及其应用
二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。
其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。
最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。
事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。
学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
二次型_精品文档
二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
2023数一线代大题二次型
2023数一线代大题二次型二次型是高中数学中的一个重要概念，也是线性代数中的重要内容。
在2023年的数一线代大题中，二次型也将成为一道重要的考点。
了解并掌握二次型的性质、特征和相关计算方法对于解答这道大题是至关重要的。
1. 二次型的定义与性质二次型是多元二次方程的总和，表达形式为：$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \ldots + 2a_{ij}x_ix_j + \ldots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$其中，$a_{ij}$ 是实数系数，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是变量。
二次型的计算可以通过矩阵的形式进行简化，可以用矩阵的方式表示为：$\mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x}$其中，$\mathbf{x}$ 是列向量，$\mathbf{A}$ 是一个$n \times n$ 的矩阵。
二次型的性质有一些重要的特点，其中包括：对称性：$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_2, x_1, \ldots, x_n)$，即二次型的各项次序可交换。
非负性：对于任意非零的向量$\mathbf{x}$，有$\mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x} > 0$ 或$\mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x} < 0$。
秩的性质：秩为 $r$ 的对称矩阵可以表示为 $r$ 个平方项相加的形式。
2. 二次型的标准形式与规范形式将二次型化为标准形式是研究二次型性质和进行计算的基础。
标准形式的表达式为：$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \ldots + \lambda_ky_k^2$其中，$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 为二次型的特征值，$y_1, y_2, \ldots, y_k$ 为相应的特征向量。
浅谈二次型地分类问题
2015届本科毕业论文(设计) 题目：淺谈二次型的分类问题所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生：阿玛尼·阿不力木指导教师：艾合买提老师答辩日期：2015年5月7日师大学教务处目录前言 31认识二次型 41.1 二次型的来历 41.2 二次型的定义和矩阵表示 41.3 线性变换 62二次型的分类72.1 二次型的标准型72.2 实二次型和复二次型112.3 正定二次型和不定二次型132.4 二次曲面的分类183 二次型分类的意义和应用203.1 二次型分类的意义20结束语 (22)参考文献 (22)致 ...........................................................................................................摘要：这篇文章主要研究二次型的分类问题。
首先认识二次型的来历，概念与矩阵的关系，性质；其次了解二次型的各个分类实二次型复二次型正定二次型，二次型的标准型等等然后讨论二次型分类的方法意义和数学中的应用中间加了有关的典型例题。
关键词：二次型；复二次型；实二次型；正定；半定；不半定；不正定二次型；惯性定理；，二次曲面Abstract：This paper mainly studies the classification of the quadratic problem. Firstly know the origin of quadratic form, concept and matrix, the relationship between properties; Second to understand the real quadratic form of each classification of quadratic complex quadratic positive definite quadratic form, the standard quadratic etc. Then discuss quadratic classification among the significance and the application of mathematical method with relevant examples.Keywords：Quadratic form; Complex quadratic form; Quadric form; Positive definite. Semidefinite; Not half; Not positive definite quadraticform; The inertia theorem; The quadric surface1.认识二次型1.1二次型的来历二次型（quadratic form)是线性代数中最为重要的容之一。
实二次型的分类 正定二次型
称为A的k阶顺序主子式.
定理4.5 实二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件是A 的所有顺次主子式全大于零. 例4.1 判别实二次型
f ( x1 , x2 , x3 )=x1 + 3x2 + 3x3 - 2 x1 x2
教学时间：2学时.
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结束§4 实二次型的分类 定二次型4.1实二次型的分类
定义4.1 对于实二次型f(x)=xTAx,
ⅰ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x)>0，则称f为 正定二次型； ⅱ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x) ＜0，则称f 为负定二次型； ⅲ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ≥0，则称f为半 正定二次型； ⅳ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ＜0，则称f为半 负定二次型； ⅴ）如果存在实向量x1及x2，使f(x1) ＞0，f(x2)＜0，则 称f为不定二次型.
机动目录上页下页返回结束实二次型的分类正定二次型实二次型的分类正定二次型41实二次型的分类定义41对于实二次型fxxax如果对任何的非零实向量x都有fx0则称f为正定二次型
线性代数
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§4 实二次型的分类 正定二次型
教学目的：通过本节的教学使学生理解二次型正定性 概念,掌握二次型正定性的判别方法. 教学要求：理解二次型正定性概念,掌握二次型正定 性的判定定理，会判定二次型的正定性. 教学重点：二次型正定性概念和二次型正定性的判定 定理. 教学难点：二次型正定性的证明.
第六章 考研： 二次型
你能否用B的特征值全大于 来证明矩阵 你能否用 的特征值全大于0来证明矩阵 的特征值全大于 B是正定矩阵？提示：定义法。 是正定矩阵？提示：定义法。 是正定矩阵
7.(00.9分)设有 元实二次型 分 设有 设有n元实二次型
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ( x1 + a1 x2 ) 2 + ( x2 + a2 x3 ) 2 + L + ( xn −1 + an −1 xn ) 2 + ( xn + an x1 ) 2
因为对于
y1 = x1 + x2 y2 = x2 − x3 y = x + x 3 1 3
1 1 0 1
(2)
由行列式
0 1 −1 = 0 1 0
从而(2)不是可逆坐标变换，那么 不是标准 从而 不是可逆坐标变换，那么(1)不是标准 不是可逆坐标变换 形。
数学一还这样考 (1)(02,1,3分)已知实二次型 分 已知实二次型
(1)求a,b的值。 求 的值 的值。 (2)利用正交变换将二次型 化为标准形，并写 利用正交变换将二次型f化为标准形 利用正交变换将二次型 化为标准形， 出所用的正交变换和对应的正交矩阵。 出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
评注： 评注：
∏ 若不熟悉 ∑ a = ∑ λ ， λ
ii i
i
= A 这两个关系式， 这两个关系式，
评注： 评注： 本题的证法很多。例如， 本题的证法很多。例如，利用秩的定义 和性质可证必要性。 和性质可证必要性。 阶正定矩阵， 由BTAB是n阶正定矩阵，知 是 阶正定矩阵 n=r(BTAB)≤r(B)≤min(m,n)≤n 所以r(B)=n。(请说出上述每一步成立的理由 。 请说出上述每一步成立的理由 请说出上述每一步成立的理由) 所以
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2015届本科毕业论文(设计)题目：淺谈二次型的分类问题所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：阿玛尼·阿不力木指导教师：艾合买提老师答辩日期：2015年5月7日新疆师范大学教务处目录前言 31认识二次型 41.1 二次型的来历 41.2 二次型的定义和矩阵表示 41.3 线性变换 62二次型的分类72.1 二次型的标准型72.2 实二次型和复二次型112.3 正定二次型和不定二次型132.4 二次曲面的分类183 二次型分类的意义和应用203.1 二次型分类的意义20结束语 (22)参考文献 (22)致谢.....................................................................................................摘要：这篇文章主要研究二次型的分类问题。
首先认识二次型的来历，概念与矩阵的关系，性质；其次了解二次型的各个分类实二次型复二次型正定二次型，二次型的标准型等等然后讨论二次型分类的方法意义和数学中的应用中间加了有关的典型例题。
关键词：二次型；复二次型；实二次型；正定；半定；不半定；不正定二次型；惯性定理；，二次曲面Abstract：This paper mainly studies the classification of the quadratic problem. Firstly know the origin of quadratic form, concept and matrix, the relationship between properties; Second to understand the real quadratic form of each classification of quadratic complex quadratic positive definite quadratic form, the standard quadratic etc. Then discuss quadratic classification among the significance and the application of mathematical method with relevant examples.Keywords：Quadratic form; Complex quadratic form; Quadric form; Positive definite. Semidefinite; Not half; Not positive definite quadratic form; The inertia theorem; The quadric surface1.认识二次型1.1二次型的来历二次型（quadratic form)是线性代数中最为重要的内容之一。
二次型的研究是从18世纪开始的，它起源于几何学中的二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程进行变换，把有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。
柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。
在化简成标准型时，为什么会得到同样数目的正项和负项，这个最初是一个未知的。
西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定理，但没有证明。
这个定律后来被雅克比重新发现和证明。
高斯在1801年《算术研究》中引进了二次型的正定、负定，半正定以及半负定等一些概念。
二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。
欧拉在以前的著作当中间接地提过特征方程这个概念，拉格朗日在著作中最先准确地提出这个概念。
而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。
二次型的应用涉及到物理学、几何学、概率论等学科甚至在这些科学中广泛的应用。
在二次型的研究从浅到深的发展过程当中与代数论，数的几何等都有密切的关系。
此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。
1.2 二次型的定义和矩阵表示二次型本质上是一个关于n 个变量的函数。
二次型在表达式中没有一次项和常数项就有平方项和交叉项的特殊的二次齐次函数。
定义1 设F 是一个数域，F 上n 元二次齐次多项式()n n n n n nn n x x a x x a x x a x a x a x a x x x q 1,13113211222222211121222,,--+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅ （1）叫作F 上一个n 元二次型。
F 上n 元多项式总可以看成F 上n 个变量的函数。
二次型（1）定义了一个函数F F q n →:.n 元二次型也称为n 个变量的二次型。
在（1）中令),1(n j i a a ji ij ≤≤=。
因为i j j i x x x x =，所以（1）式可以写成一下形式：.,),,(1121ji ij ni nj j i ij n a a x x a x x x q ==⋅⋅⋅∑∑== （2）设n 阶对称矩阵A =111211222212n n nnnn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a aa a a a a a 212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X T AX其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
如果给定一个二次型，那么可以为其系数矩阵确定一个非零的对称矩阵作；相反，假如给定一个非零的对称矩阵，则对称矩阵为系数矩阵确定一个二次型。
二次型的秩指的就是矩阵A 的秩.例如：232231322121218464),...,(x x x x x x x x x x x x f n -++-+=是二次型，把它写成矩阵形式，把216x x 这一项改写成了122133x x x x +两项， 21x x ，12x x 项作同样处理，即232313322212312121212423434),...,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f n --+-++++=这样就可以用矩阵表示：),,(321x x x f =[]321,,x x x 434312421⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 或简单的就用对称矩阵434312421⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1.3线性变换设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c i j (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c cc c c 212222111211则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：X =CY其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。
1) 当|C |≠0时，线性变换X =CY 称为非退化的线性变换。
2) 当C 是正交矩阵时，称X =CY 为正交线性变换，简称正交变换。
3) 线性变换的乘法。
设X =C 1Y 是由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 的非退化的线性变换，而Y =C 2Z 是由y 1，y 2，…，y n 到z 1，z 2，…，z n 的非退化的线性变换，则由x 1，x 2，…，x n 到z 1，z 2，…，z n 的非退化的线性变换为：X =(C 1C 2)Z二次型f (x 1，x 2，…，x n )=X T AX 经过非退化的线性变换X =CY 化为f (x 1，x 2，…，x n )=Y T BY (其中B =C T AC ) 仍是一个二次型。
2. 二次型的分类二次型分类的方法主要是有三种，合同时一种分类方法，正定是另一种分类方法还有一种是几何分类法。
2.1二次型的标准型实数域R (或复数域C )上的任意给定的一个二次型，通常都可经过系数在实数域R (或复数域C )中的非退化线性变换化成平方和形式：d 1y 12+d 2y 22+…+d n y n 2其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。
上述形式的二次型称为二次型的标准形。
标准形中只有系数不是零与系数中正的平方的个数都是唯一确定的，然而二次型的标准形并不是唯一确定的。
化标准形的方法 1) 配方法。
2) 初等变换法，其要点可简单表示为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A 其中A 为二次形的矩阵，D 为对角矩阵，其对角元素依次为d 1，d 2，…，d n 。
在初等变换过程中，作完一次列变换，接着作一次相应的行变换，那么矩阵A 的对称性质是不变的。
当A 化为对角矩阵D 的同时，即可得到由变量x 1，x 2，…，初等变换x n 到y 1，y 2，…，y n 的非退化线性变换系数矩阵C 。
于是当作线性变换X =CY 时，则可使二次型f =X T AX 化为标准形2.1.2利用正交变换化实二次型为标准形设A 是n 阶实对称矩阵，按照以下几个步骤来进行：① 特征值的求解：解特征方程|λE -A |=0，求出A 的全部特征值。
② 特征向量的求解：解齐次线性方程组(λE -A )X =0，求出基础解系，得到r 重特征值的r 个线性无关的特征向量。
③ 正交化：利用施密特正交化方法，使得属于r 重特征值的r 个线性无关向量组正交化，并使其单位化。
④ 单位化 ：将求得的n 个单位化正交特征向量组作为矩阵Q 的列向量，就可以得到正交矩阵Q 。
⑤ 作正交矩阵：Q -1AQ 为对角矩阵，对角元素为A 的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q 中的排列顺序是相同。
对于二次型Ax x f T =，令Qy x =，将二次型Ax x f T =化成如下形式平方和：λ1y 12+λ2y 22+…+λn y n 2其中λ1，λ2，…，λn 为二次型的矩阵的全部特征值。