第三章 静定结构受力分析-三铰拱
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第3章静定结构受力分析三铰拱
将以上两式代入上方程得 :
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
结构力学5三铰拱课件
拱架搭设
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
结构力学 三铰拱
4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
yJ 3m
M
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
FP1=15kN K FHA A yk 4m
l/2
C f=4m
MC 0
FVA
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 ND右 QD右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
三、三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯 矩为零的轴线就线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 M M FH y
超静定拱
拉杆拱 静定拱
拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾
A
起拱线 跨度 l
f l
f
高跨比
l 通常 f l 在1-1/10之间变化，f 的值对内力有 很大影响。
工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
二、三铰拱的计算
A 12.5kN K左 Fº ＝12.5kN QK左 A 12.5kN
第3章 三铰拱
（二） 对称三铰拱的数解法
1. 计算支座反力
图示三铰拱中，共有 四个反力： VA、HA、VB、HB。 根据整体的平衡 条件可建立三个 平衡方程： ∑MA=0 ∑MB=0 ∑X=0 再取中间铰一侧隔离 体， ∑ MC=0， 由这四个方程可 解出四个反力。
由∑MB= 0，得： VAl－P1b1－ P2b2－…= 0 VA= (P1b1 ＋ P2b2 ＋ …)/ l V0A 由∑MA= 0，得： VB= (P1a1＋ P2a2＋…)/ l V0B 把两个竖向反力VA 、VB与相应简支梁支座反力V0A 、 V0B 相比，可知竖向荷载作用下，对称三铰拱的竖向反力与 其相应简支梁的反力完全相同。
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
∑t = 0 ，得： ND = VA sinφD - P1 sinφD -P2 sinφD +H cosφD = (V0A－P1－P2) sinφD +H cosφD
由∑X= 0，得： HA= HB = H 中间铰左侧隔离体 ∑MC=0 得：
∑ MC =
VAl1－P1(l1 － a1) － P2(l1 － a2) － P3(l1 － a3)－ H f = 0 得： H=[VAl1－P1(l1 － a1)－ P2(l1 － a2)－ P3(l1 － a3)] / f 因 VA = V0A ，得：H= M0C / f M0C为相应简支梁截面C的弯矩。
最后根据本例的已知条件，进行具体计算。
VA=VB= V0A = q l / 2= 4× 16 / 2 = 32kN H = (q l 2 / 8) / f = (4× 162 / 8) / 4 = 32kN
静定梁、静定平面刚架和三铰拱的计算
举例： 3、举例：
解: 研究整体： 研究整体 ：
ql (↑) 2
∑M ∑M
B
=0
VA =
研究 AC 段：
C
=0
ql 2 HA = (→) 8f
任一截面的弯矩（参阅左下隔离体图） 任一截面的弯矩 （参阅左下隔离体图）:
M ( x) = ql ql 2 qx 2 ⋅x− ⋅y− 2 8f 2
令上式等于零，可得合理拱轴 ： 令上式等于零， 可得合理拱轴：
例题2 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q 试确定铰E 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 的位置， 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
解：
1 研究 AE 杆： V E = q (l − x ) 2 1 1 研究 EF 杆： M B = M C = q (l − x ) x + qx 2 2 2 ∵MB + MC = ql 2 (叠加弯矩值） 8
解: (一)求支座反力 一 求支座反力 研究整体： 研究整体：
∑X =0 ∑M = 0 ∑M = 0
A B
HA = HB VB = 80kn(↑) V A = 80kn(↑)
取半刚架研究： 取半刚架研究：
∑M
C
=0
H B = 20kn(←) H A = 20kn(→)
校核: 校核 ∑ Y = 80 + 80 − 20 × 8 = 0 (二)绘内力图 二 绘内力图 (三)内力图校核 略) 内力图校核(略 三 内力图校核
拟简支梁法” 3、用“拟简支梁法”绘弯矩图
结论： 结论： 弯矩图时， 用叠加法绘 弯矩图时，先绘出控制截面 的弯矩竖标，其间若无外荷载作用， 的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可用直线 相连；若有外荷载作用，则以上述直线为基线， 相连；若有外荷载作用，则以上述直线为基线， 再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。 再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA
第三章 静定结构的受力分析
斜直线
FS=0处
有突变
突变值为P
如变号
无变化
M图
斜直线
抛物线
有尖角
↓
↑
有极值
尖角指向同P
有极值
有突变
M=0
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）8
Structural mechanics
静定结构的受力分析
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。
2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点，如集中力
15
Structural mechanics
基本部分：
静定结构的受力分析
不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几何不变性的部 分。 如：AB、CD部分。
（a）
基本部分
（b） A
B
层叠图：
基本部分
C
附属部分：
必须依靠基本部分 才能维持其几何不变 D 性的部分。如BC部分 。
为了表示梁各部分之间的支撑关系，把基本部分画在下层， 而把附属部分画在上层， （b）图所示，称为层叠图。
3
Structural mechanics
静定结构的受力分析
§3—1 梁的内力计算的回顾
单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的基构件之一，其受 力分析是各种结构受力分析的基础。这里做简略的回顾和必
要的补充。
1. 单跨静定梁的反力
常见的单跨静定梁有：
简支梁
外伸梁
悬臂梁
↷
→↑
↙ ↑
→↙ ↑↑
→↑ ↙
反力只有三个，由静力学平衡方程求出。 4
16
Structural mechanics
（2）受力分析方面:
静定结构的受力分析
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
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B A B 0 A
C
B
a1
b1 a2 b 2 FY
0 B
FH
0 c
1 f
[Y A
l 2
P1 (
l 2
a 1 )]
FY
B
0 A
M
[ FY 0
A
l 2
P1 (
l 2
a1 )]
FY =F
A
YB0
FY =FY
A
0 A
FX =FX =FH
B
FH= MC0 / f
§3-3
三铰拱
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零； ②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱 ③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； ④水平推力与拱高成反比。
y P 1
A
2、内力计算
K
C
P2
B
FQ
P1
FX
B
M
K
K
x
y f l/2 x l/2 l
FN
P1
0 K
K
FX
A
FX
FY
M
A
A
FY
§3-3
三铰拱
三铰刚架与三铰拱的区别:
三铰刚架
三铰拱
在求支座反力方面无区别，区别在于一个是 由直杆组成，一个由曲杆组成。
§3-3
2、拱的分类
三铰拱
静定拱
三铰拱 拉杆 拉杆拱 两铰拱
超静定拱
无铰拱
§3-3
3、拱的有关名称
三铰拱
顶铰 矢高
拱肋
拱趾铰
拱肋
拱趾铰
4、拱的应用
跨度 f/L——高跨比
适用于抗压强度大于抗拉强度的材料。
0 K
F N FQ
sin FH cos
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
M
0 Fy B 1 12 (100 3 20 6 9) 115 kN
A
FY
P2
B
FY 0
A
FQ 0
0 K
K
P1 A a1 FY
0 A
K
M
K
K
M
0 K
FH y
C b1
B FQ FQ cos FH sin
F N FQ
K 0 K
sin FH cos
a2
b2 FY
0 B
§3-3
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷 载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有 关。
§3-3 2、合理拱轴线的求法
三铰拱
（1）图解法：与压力线重合的拱轴线即为合理拱轴线。 （2 ）数解法：
a ) 当荷载与铰的位置确定时，可求出支座反力；
b) 建立弯矩方程，以拱轴竖标y为变量； c) 令弯矩处处为零，就得到轴线y的方程，即 合理拱轴线。
§3-3
三铰拱
例1：求均布荷载作用下的合理拱轴线
K
FQR
K
注意：集中荷载作用两侧， 5 0.832 82.5 0.555 41.76kN 剪力、轴力有突变。
FN R 5 0.555 82.5 0.832 71.42kN
K
§3-3
三、合理拱轴线及求法 1、合理拱轴线的概念
三铰拱
一般情况下，拱在荷载作用下，其截面上将产生三 个内力。若能使所有截面上的 弯矩为零（可以证明此 时剪力也为零），此时截面上只有轴力作用，正应力沿 截面均匀分布，材料得到充分利用，从理论上讲这样的 拱最经济，故称在特定荷载作用下，使拱处于无弯矩状 态的拱轴线称力合理拱轴线。
sin 0.555
cos 0.832
M K 105 3 82.5 3 67.5kN.m
FQL 105 0.832 82.5 0.555 41.75kN
K
FN L 105 0.555 82.5 0.832 126.92kN
3 4
x (直线)
1 2P (0.5Px Pa ) 1 4 ( x 2a ) (直线)
DC段 : M ( x) 1.5Px P( x a ) FH y 0 y
结论：集中荷载作用下，合理拱轴线方程为折线。
§3-3
注意：
三铰拱
（1）以上结论与拱轴（线）位置无关； （2）合理拱轴线是与特定荷载相对应的，对于一 种特定的拱轴线方程，在某种荷载作用下，弯矩处处 为零；在另一种荷载作用下，弯矩可以不为零。因此 合理拱轴线是以主要荷载来考虑的。
8f
结论：均布荷载作用下，合理拱轴线方程为抛物线。
§3-3
三铰拱
例2：求集中荷载作用下的合理拱轴线
（）求反力：Fy A Fy B 1.5 P FH 1
(2)求合理拱轴线
1 a
(1.5 P 2a P a ) 2 P
AD段 : M ( x) 1.5Px FH y 0 y
yK
(12 3) 3 3m
tan
4f L
2
( L 2 x)
4 4 12 12
(12 2 3)
2 3
sin 0.555
cos 0.832
Fy B 115kN Fy A 105kN FH 82.5kN
yK 3m
(3)求内力：
§3-3
三铰拱
二、平拱的计算（两拱趾在同一水平线上）
1、支座反力
比较同跨简支梁，三铰刚架，三铰拱的支座反力
P1
A
FX
A
FY
l/2
A
等代梁 P1
A
三铰拱的竖向反 P2 C 力与其等代梁的 FX 反力相等;水平反 f FH B 力与拱轴线形状 Mc0 无关.荷载与跨度 FY l/2 FY l 一定时，水平推 FY P2 力与矢高成反比.
§3-3
三铰拱
§3-3
一、拱式结构的特点及应用 1、拱的定义
三铰拱
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载
作用下会产生水平支座反力的结构。
§3-3
曲梁与拱的区别:
在竖向荷载作 用下不产生水 平反源自。三铰拱在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
曲梁 二个刚片，三个联系
拱 三个刚片，三个铰
水平推力存在是拱式结构区别于梁式结构的 重要标志，拱式结构通常又称为推力结构。
由于推力的存在，拱的 弯矩比相应简支梁的弯 矩要小。
M
K
M
0 K
FH y
FQ FQ
K
0 K
cos FH sin
F N FQ
K
0 K
sin FH cos
三铰拱在竖向荷载 作用下轴向受压。
M
K
K
M
0 K
0 K
FH y
FQ FQ
K
cos FH sin
（ ）求反力： 1
A
F
y
0 Fy A 100 20 6 115 105kN
1 4 (105 6 100 3) 82.5 kN
M C 0 FH
§3-3
（2）求系数 拱轴方程为抛物线：y
4 4 12 12
三铰拱
4f L
2
(l x) x
（）求反力：Fy A FV B 1
FH 2 1 8f 2 (2)列弯矩方程 M ( x) Fy A x qx FH y 2
1 FH ( Fy A x 1 qx )
2
qL
qL
2
(3)令M ( x) 0 y
2
1 1 2 4f ( qLx qx ) 2 ( L x) x 2 qL 2 2 L
C
B
a1
b1 a2 b 2 FY
0 B
FH
0 c
1 f
[Y A
l 2
P1 (
l 2
a 1 )]
FY
B
0 A
M
[ FY 0
A
l 2
P1 (
l 2
a1 )]
FY =F
A
YB0
FY =FY
A
0 A
FX =FX =FH
B
FH= MC0 / f
§3-3
三铰拱
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零； ②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱 ③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； ④水平推力与拱高成反比。
y P 1
A
2、内力计算
K
C
P2
B
FQ
P1
FX
B
M
K
K
x
y f l/2 x l/2 l
FN
P1
0 K
K
FX
A
FX
FY
M
A
A
FY
§3-3
三铰拱
三铰刚架与三铰拱的区别:
三铰刚架
三铰拱
在求支座反力方面无区别，区别在于一个是 由直杆组成，一个由曲杆组成。
§3-3
2、拱的分类
三铰拱
静定拱
三铰拱 拉杆 拉杆拱 两铰拱
超静定拱
无铰拱
§3-3
3、拱的有关名称
三铰拱
顶铰 矢高
拱肋
拱趾铰
拱肋
拱趾铰
4、拱的应用
跨度 f/L——高跨比
适用于抗压强度大于抗拉强度的材料。
0 K
F N FQ
sin FH cos
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
M
0 Fy B 1 12 (100 3 20 6 9) 115 kN
A
FY
P2
B
FY 0
A
FQ 0
0 K
K
P1 A a1 FY
0 A
K
M
K
K
M
0 K
FH y
C b1
B FQ FQ cos FH sin
F N FQ
K 0 K
sin FH cos
a2
b2 FY
0 B
§3-3
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷 载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有 关。
§3-3 2、合理拱轴线的求法
三铰拱
（1）图解法：与压力线重合的拱轴线即为合理拱轴线。 （2 ）数解法：
a ) 当荷载与铰的位置确定时，可求出支座反力；
b) 建立弯矩方程，以拱轴竖标y为变量； c) 令弯矩处处为零，就得到轴线y的方程，即 合理拱轴线。
§3-3
三铰拱
例1：求均布荷载作用下的合理拱轴线
K
FQR
K
注意：集中荷载作用两侧， 5 0.832 82.5 0.555 41.76kN 剪力、轴力有突变。
FN R 5 0.555 82.5 0.832 71.42kN
K
§3-3
三、合理拱轴线及求法 1、合理拱轴线的概念
三铰拱
一般情况下，拱在荷载作用下，其截面上将产生三 个内力。若能使所有截面上的 弯矩为零（可以证明此 时剪力也为零），此时截面上只有轴力作用，正应力沿 截面均匀分布，材料得到充分利用，从理论上讲这样的 拱最经济，故称在特定荷载作用下，使拱处于无弯矩状 态的拱轴线称力合理拱轴线。
sin 0.555
cos 0.832
M K 105 3 82.5 3 67.5kN.m
FQL 105 0.832 82.5 0.555 41.75kN
K
FN L 105 0.555 82.5 0.832 126.92kN
3 4
x (直线)
1 2P (0.5Px Pa ) 1 4 ( x 2a ) (直线)
DC段 : M ( x) 1.5Px P( x a ) FH y 0 y
结论：集中荷载作用下，合理拱轴线方程为折线。
§3-3
注意：
三铰拱
（1）以上结论与拱轴（线）位置无关； （2）合理拱轴线是与特定荷载相对应的，对于一 种特定的拱轴线方程，在某种荷载作用下，弯矩处处 为零；在另一种荷载作用下，弯矩可以不为零。因此 合理拱轴线是以主要荷载来考虑的。
8f
结论：均布荷载作用下，合理拱轴线方程为抛物线。
§3-3
三铰拱
例2：求集中荷载作用下的合理拱轴线
（）求反力：Fy A Fy B 1.5 P FH 1
(2)求合理拱轴线
1 a
(1.5 P 2a P a ) 2 P
AD段 : M ( x) 1.5Px FH y 0 y
yK
(12 3) 3 3m
tan
4f L
2
( L 2 x)
4 4 12 12
(12 2 3)
2 3
sin 0.555
cos 0.832
Fy B 115kN Fy A 105kN FH 82.5kN
yK 3m
(3)求内力：
§3-3
三铰拱
二、平拱的计算（两拱趾在同一水平线上）
1、支座反力
比较同跨简支梁，三铰刚架，三铰拱的支座反力
P1
A
FX
A
FY
l/2
A
等代梁 P1
A
三铰拱的竖向反 P2 C 力与其等代梁的 FX 反力相等;水平反 f FH B 力与拱轴线形状 Mc0 无关.荷载与跨度 FY l/2 FY l 一定时，水平推 FY P2 力与矢高成反比.
§3-3
三铰拱
§3-3
一、拱式结构的特点及应用 1、拱的定义
三铰拱
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载
作用下会产生水平支座反力的结构。
§3-3
曲梁与拱的区别:
在竖向荷载作 用下不产生水 平反源自。三铰拱在竖向荷载作用下 会产生水平推力。
曲梁 二个刚片，三个联系
拱 三个刚片，三个铰
水平推力存在是拱式结构区别于梁式结构的 重要标志，拱式结构通常又称为推力结构。
由于推力的存在，拱的 弯矩比相应简支梁的弯 矩要小。
M
K
M
0 K
FH y
FQ FQ
K
0 K
cos FH sin
F N FQ
K
0 K
sin FH cos
三铰拱在竖向荷载 作用下轴向受压。
M
K
K
M
0 K
0 K
FH y
FQ FQ
K
cos FH sin
（ ）求反力： 1
A
F
y
0 Fy A 100 20 6 115 105kN
1 4 (105 6 100 3) 82.5 kN
M C 0 FH
§3-3
（2）求系数 拱轴方程为抛物线：y
4 4 12 12
三铰拱
4f L
2
(l x) x
（）求反力：Fy A FV B 1
FH 2 1 8f 2 (2)列弯矩方程 M ( x) Fy A x qx FH y 2
1 FH ( Fy A x 1 qx )
2
qL
qL
2
(3)令M ( x) 0 y
2
1 1 2 4f ( qLx qx ) 2 ( L x) x 2 qL 2 2 L