结构力学 静定结构的受力分析
结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
3静定结构的受力分析-梁结构力学
1 结构力学多媒体课件◆几何特性：无多余约束的几何不变体系◆静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力和内力◆常见静定结构：梁、刚架、三铰拱、桁架和组合结构。
◆静定结构受力分析的内容：反力和内力的计算，内力图的绘制和受力性能分析。
◆静定结构受力分析的基本方法：选取脱离体，建立平衡方程。
◆注意静力分析（拆）与构造分析（搭）的联系◆学习中应注意的问题：多思考,勤动手。
本章是后面学习的基础，十分重要,要熟练掌握！容易产生的错误认识：“静定结构内力分析无非就是选取隔离体，建立平衡方程，以前早就学过了，没有新东西”一、反力的计算4kN1kN/mDCBA2m2m 4mCB A20kN/m 4m4m2m6mDCB A（1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个平衡方程，就可求得反力。
（2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开， 取隔离体补充方程。
1、内力分量及正负规定轴力F N ：截面上应力沿杆轴法线方向的合力。
以拉力为正，压力为负。
剪力F Q ：截面上应力沿杆轴切线方向的合力。
以绕隔离体顺时针转为正,反之为负。
弯矩M ：截面应力对截面中性轴的力矩。
不规定正负，但弯矩图画在受拉侧。
在水平杆中， 当弯矩使杆件下部纤维受拉时为正。
A 端B 端杆端内力 F Q ABF N ABM AB正 F N BA F Q BAM BA 正2、内力的计算方法K截面法：截开、代替、平衡。
内力的直接算式(截面内力代数和法)=截面一边所有外力沿截面法线方向投影的代数和。
轴力FN外力背离截面投影取正，反之取负。
剪力F=截面一边所有外力沿截面切线方向投影代数和。
Q外力绕截面形心顺时针转动，投影取正，反之取负。
弯矩M =截面一边所有外力对截面形心的外力矩之和。
外力矩和弯矩使杆同侧受拉时取正，反之取负。
2、内力的计算方法【例】如图所示简支梁，计算截面C 、D 1、D 2的内力。
2m 4m 2mA2kN/mCBD 1 D 210kN0.2m10kN3.75kN0.25kN3、绘制内力图的规定内力图是表示结构上各截面的内力各杆件轴线分布规律的图形， 作图规定：弯矩图一律绘在受拉纤维一侧，图上不注明正负号；剪力图和轴力图可绘在杆轴线的任一侧(对水平杆件通常把正号的剪力和轴力绘于上方)，但必须注明正负号，且正负不能绘在同一侧。
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
结构力学3静定结构的受力分析-刚架
1 结构力学多媒体课件1、刚架由梁和柱组成的结构，其结点全部或部分是刚结点。
2、刚架的形式2）简支刚架1）悬臂刚架2、刚架的形式3)三铰刚架4)主从刚架3、刚架的特点1）杆数少，净空大，便于使用3、刚架的特点2）刚结点的特点①变形：刚结点处的各杆端不能发生相对移动和相对转动，因而受力变形后，各杆杆端转动了同一角度，即各杆之间的夹角保持不变。
②受力：刚结点可承受和传递弯矩保持角度不变3、刚架的特点3）横梁和竖柱连成整体，使整体刚度增大，弯矩的峰值减少二、刚架中各杆的杆端内力1、支座反力的计算⑴求反力时要先根据支座的性质正确定出反力未知量个数，不能多、不能少。
⑵假定反力方向，由平衡方程确定其数值。
⑶应尽量利用一个平衡方程求一个未知力。
⑷求出反力后要有没有用过的平衡方程校核。
l /2l /2l /2l /2CBAPF AY =0.5PF BY =0.5PF AX=0.75P F BX =0.25P2m 2m 4mCBA4m2kN/mGFEDF AX =1KNF CX =1KNF CY =3KNF BY =7KN2、杆端内力的计算⑴方法：截面法⑵内力符号结点处有不同的杆端截面。
各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。
——AB杆A端的轴力。
FN AB——AB杆A端的剪力。
FQ AB——AB杆A端的弯矩。
MAB2、杆端内力的计算⑶内力的正负规定轴力FN：以拉力为正，压力为负。
剪力FQ：以绕隔离体顺时针转为正,反之为负。
弯矩M：不规定正负，但弯矩图画在受拉侧。
F N FNF Q F QM AB M BAF NF NF QF Q MBAM AB 竖杆剪力图和轴力图可画在任一侧，但必须标出正负；弯矩图画在受拉一侧，可不标正负。
2、杆端内力的计算 ⑷正确选取脱离体⑸注意结点平衡∑F X =0 ∑F Y =0 ∑M D ＝0一般先求出支座反力及铰结点处的内约束力，然后将刚架拆成杆件，逐杆绘制其内力图，将各杆的内力图合在一起就是刚架的内力图。
结构力学T-第3章 静定结构的受力分析(II)
理想约束的解释
理想约束是指其约束力在可能位移上所作的功恒等于零的那种约束。如光滑铰、 刚性链杆。
图中的约束为铰C，体系可能的位 移为绕铰C转动，约束力为X、Y两 个方向的分力，但体系转动时，在 C处并无X、Y方向的位移，故约束 力所做的功为零，铰C为理想约束。
图中的约束为铰A、滑动支座B，体系可能的 位移为点C绕铰A转动、点B水平移动，约束 力为A铰X、Y两个方向的分力、支座B竖向反 力，但体系位移时，在A处并无X、Y方向的 位移，在B处并无竖向位移，故约束力所做 的功为零，铰A、支座B为理想约束。
合理拱线通式：
三铰拱
三铰拱的合理轴线
上式两侧对x两次求导得：
因：
推导合理拱线 通式的y值以支 座连线为0起点
所以有： 拱计算简图 （ 此处y值以拱顶C铰为0起点） 求解思路： 在本题中，因为荷载与拱线形状有 关，故拱线的变化会引起荷载的变 体，不能事先确定对应简支梁的弯 矩值。故合理拱线不直接利用 y=M0/FH来求解，而是利用dM/dx=q 的微分关系，通过建立y与荷载q的 关系来求解合理拱线。 因本题与推导全理拱线通式的y值反号，换号后得： 由x=0,y=0得： 把q=qc+γy代入上式得： 由x=0,dy/dx=0得： 悬链线 最终合理拱线方程为：
拱微段隔离体
例3-13 均匀水压力下的合理拱线-由微元的微分关系导出
微元力矩平衡方程为：
三铰拱
三铰拱的合理轴线
即： 所有内力的平衡微分方程写在一起为：
拱计算简图
当R->∞时， 变为直杆公式
对水压力，qs=0，qr=q（常数），上式变为：
水压力下微元所 有内力平衡微分 方程通式的推导
拱微段隔离体
例3-13 均匀水压力下的合理拱线-由微元的微分关系导出
结构力学(龙驭球)第三章 静定结构受力分析 (4)
解：①求反力 ②求链杆的内力
MC 0
q=1kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
f2=0.7m f1=0.5m f =1.2m
6 6 1 6 3 1.2NDE 0
F
C
NDE 15kN
A 15
③截面的剪力和轴力: Q=Ycosα－15sinα N= －Ysinα －15cosα
例:作图示结构内力图
XA 0 A
P
Pl / 6
G
B
XG
G
YG
D
B
M YA 2P / 3a
C
D
Pl / 6
a
N FE F
P/3
EF a/2 a/2
YaB P / 3
NFE P / 2, XG P / 2,YG P / 3 N FD N FB NFD P / 2,
P/6 +
15.17kN 0.75
④作出
1.24 1.74 +
3.5 15.4
62k.5N
D
－ 1.25
NDE
14.92
－
内力图
0.75 M图(kN.m)
+
－ 1.75
Q图(kN)
15.13
－
14.97
15.17 N图(kN)
+ 3.5 -3.5
6kN
3m
D
15
3m
3m
6kN
E 3m
其中Y为截面以左所有竖向力的合力。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q=1kN/m
Sinα=0.084，cosα=0.996
α
F
C 15
QFC (2.5+3.53)×0.99615×0.084
第三章静定结构受力分析
内力的概念和表示在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力F N 、剪力F Q 和弯矩MM A轴力----截面上应力沿杆轴切线方向的合力。
轴力以拉力为正。
剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力。
剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正。
内力的概念和表示弯矩----截面上应力对截面形心的力矩。
在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为正。
作图时，轴力图和剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。
内力的计算方法梁的内力的计算方法主要采用截面法。
截面法可用“截开、代替、平衡”六个字来描述：1.截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体；隔离体与其周围的约束要全部截断。
2.代替----用截面内力代替该截面的应力之和；用相应的约束力代替截断约束。
3.平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。
内力的计算方法利用截面法可得出以下结论：1.轴力等于截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和；2.剪力等于截面一边所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；3.弯矩等于截面一边所有外力对截面形心力矩的代数和。
以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。
分段叠加法画弯矩图1.叠加原理：几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作用效果的总和。
= +=+2.分段叠加原理：上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。
例例：下图为一简支梁，AB段的弯矩可以用叠加法进行计算。
（1）（2）（3）（4）静定多跨连续梁的实例现实生活中，一些梁是由几根短梁用榫接相连而成，在力学中可以将榫接简化成铰约束,这样由几个单跨梁组成几何不变体系，称作为静定多跨连续梁。
下图为简化的静定多跨连续梁。
静定多跨梁的受力特点结构特点：图中AB依靠自身就能保持其几何不变性的部分称为基本部分，如图中AB；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中CD。
受力特点：作用在基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。
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2020年3月19日
7
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑷荷载与内力之间的增量关系 M
FN
FQ
Fx 0
N Fx
Fy
M0 o Fx dx y
M+ΔM
x
FN+ΔFN
FQ +ΔFQ
简支梁(simply supported beam)
⑵截面法
悬臂梁(cantilever beam)
(a)求支座反力
∑X=0
xA=F2cosα
外伸梁(overhanging beam)
∑MB=0 ∑MA=0
yA=[F1(L-a)+F2bsinα]/L yB=[F1a+F2(L-b)sinα]/L xA
⑵由于本章研究的结构均属静定结构，故受力分析时只 考虑静力平衡条件即可。
⑶静定结构不仅在建筑结构中广泛应用，而且为超静 定结构的计算奠定基础。
⑷结构的受力性能的分析与结构的几何组成分析是相反 相成的即“拆”与“搭”的过程。
2020年3月19日
2
§3-1单跨静定梁的内力计算
一、单跨静定梁的内力计算 ⑴单跨静定梁的分类
q
m B
C
D
FP
q
m
A
CC
DD
B
MC
MC MD
MD
FP A
q CC
DD
mB
MC
MC MD
MD
2020年3月19日
12
§3-1单跨静定梁的内力计算
FP
q
A
C
m B
D
A
C
D
B
基线
MC
基线
基线
MD
在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意
直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用 下的M 图的问题。
(b)截面法求x截面内力
F1 a
Ax
L
yA
F2
B
b yB
轴力：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力在杆件轴线方向投影代数和。 剪力：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力在垂直杆件轴线方向投影代数和。 弯矩：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力对截面形心力矩的代数和。
2020年3月19日
3
§3-1单跨静定梁的内力计算
第三章 静定结构的受力分析
§3-1单跨静定梁的内力计算 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-3 静定平面刚架受力分析 §3-4 静定平面桁架受力分析 §3-5 组合结构受力分析 §3-6 三铰拱受力分析 §3-7 静定结构总论
2020年3月19日
1
§3-1单跨静定梁的内力计算
说明：
⑴本章结合几种典型的静定结构，讨论静定结构的受力 分析问题。其中包括：约束反力和内力的计算，内力图 的绘制，受力性能的分析等。
B
MA
MB
MA
MB
+q
A
B= A
B
MA
MB
②区段叠加法作弯矩图
分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。
叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷 载单独作用所产生的效果的总和。
2020年3月19日
11
§3-1单跨静定梁的内力计算
现在讨论区段叠加法的做法，见下图。
A FP
2020年3月19日
14
§3-1单跨静定梁的内力计算
例3-1-1 作图示单跨梁的M、FQ图。
8kN
4kN/m
16kN.m
2020年3月19日
4
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑶荷载与内力之间的微分关系（M、Q、N、与qx、qy的关系）
o
dx y
M＋dM
x FN+dFN
FQ dFQ
Fy 0
FQ dFQ qydx FQ 0
dFQ dx
qy
MO 0
dx
dx
M - (M dM ) FQ 2 (FQ dFQ ) 2 0
2020年3月19日
13
§3-1单跨静定梁的内力计算
步骤：
1）以集中力、集中力偶作用点，分布荷载的起点和终点或 刚结点，以及梁的左、右端支座截面作为控制分段点，将 梁划分为若干区段，分别判断各段M图形状。
2）求控制分段点弯矩按比例画在受拉侧，若区段上无 外荷载，则分段点弯矩以直线相连，若有横向荷载， 则先连虚线作为基线，再叠加横向力在相应简支梁的 弯矩图。
(c)内力符号的规定及内力图的绘制规定
M
M FQ
FQ FN
FN
M
M FQ
FQ FN
FN
在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图 和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。
横梁：正的N、Q图画上标正号，反之画下标负号。
竖杆：正的N、Q图画外标正号，反之画内标负号。（自行规定）
Fy 0
MB 0
FQ Fy
M M 0
故：集中力或集中力偶作 用点处内力发生突变。
2020年3月19日
8
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑸荷载与内力之间的积分关系（M、Q、N、与qx、qy的关系）
B
FNB FNA A qxdx
B
FQB FQA A q y dx
B
M B
MA
Qdx
dM dx FQ
d 2M dx2 qy
2020年3月19日
5
§3-1单跨静定梁的内力计算
Fx 0 qxdx dFN 0
dFN dx
qx
结论：
dFQ dx
qy
dM dx
FQ
d 2M dx2
qy
dN dx
qx
1）剪力图上任意一点切线的斜率数值上等于该点横向分布荷载集度的负值。
2）弯距图上任意一点切线的斜率数值上等于该点处剪力的大小。
P
q
l /2 l /2
m
l /2 l /2
ma/L
a
b
L
mb/L
1）集中力作用点左右截面的剪力产生突变，突变梯度等于P，且弯
矩图出现尖点，发生折变。
2）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，突变梯度等于m，
且左右截面剪力不变。
2020年3月19日
10
§3-1单跨静定梁的内力计算
直接叠加法作M图
A
q
A
MA
FNA
A
FQA
qy
MB
qx
B
FNB
FQB
⑴ B端轴力等于A端轴力减去该段荷载 q x 图的面积。
⑵ B端剪力等于A端剪力减去该段荷载 q y 图的面积。
⑶ B端弯矩等于A端弯矩加上该段剪力图的面积。
2020年3月19日
9
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑹区段叠加法作弯矩图
①区段法作M、Q图；直接叠加法作弯矩图
3）弯距图上任意一点处的曲率数值上等于该点的横向分布荷载的集度，但正 负号相反。
4）轴力图上任意一点切线的斜率数值上等于该点轴向分布荷载集度 qx 的负
值。
2020年3月19日
6
§3-1单跨静定梁的内力计算
进一步讨论：
（a）qx=0的区段：轴力图为一水平直线。 qy=0的区段：剪力图为一水平直线， 弯矩图为一斜直线。