注册岩土工程师 超静定结构受力分析及特性
第三讲超静定结构受力分析及特性
【内容提要】
超静定次数确定，力法、位移法基本体系，力法方程及其意义，等截面直杆刚度方程，位移法基本未知量确定，位移法基本方程及其意义，等截面直杆的转动刚度，力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，对称性利用，半结构法，超静定结构位移计算，超静定结构特性。
【重点、难点】
力法及力法方程，位移法及基本方程；力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，超静定结构位移计算。
一、超静定次数
把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。
1．撤去一个活动铰支座(即一根支杆)，或切断一根链杆各相当于解除一个约束。
2．撤去一个固定铰支座(即两根支杆)，或拆开一个单铰结点，各相当于解除两个约束。
3．撤去一个固定支座，或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。
4．将固定支座改为固定铰支座，或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。
5．边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。
6．一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束，是三次超静定的。
k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。
二、力法
(一)基本结构
力法是解算超静定结构最古老的方法之一。
力法计算超静定结构是把超静定结构化为静定结构来计算，所以力法基本未知量的个数就是结构多余约束数。
以超静定结构在外因作用下多余约束(又称多余联系)上相应的多余力作为基本未知量，计算时将结构上的多余约束去掉，代之以多余力的作用，将这样所得的静定结构作为求解基本未知量的基本结构(或称为基本体系)。
(二)解题思路
根据基本结构在原有外力及多余力的共同作用下，在去掉多余约束处沿多余力方向的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程，解方程即可求得各多余力。
将多余力视为基本结构的荷载，则可作基本结构内力图，也就是原结构的内力图。
原结构的位移计算亦可在基本结构上进行，这样更为方便。
【例题1】求图6-3-1(a)所示结构内力图。
(5)绘出弯矩图。
类似地，可以解出一些常用的简单结构，列于表6-3-1，可为位移法使用。
【例题3】求图6-3-4所示超静定桁架各杆轴力。
各杆EA相等。
图6-3-7
三、位移法
建立解算基本未知量的位移法方程有两种途径：一种是用位移法的基本结构(或称为基本体系)代替原结构求解来建立位移法方程：另一种是直接在原结构上利用转角位移方程写出各杆的杆端弯矩和剪力，然后应用平衡条件来建立位移法方程。
(一)基本结构法
1．位移法的基本结构与基本未知量。
【例题8】求如图6-3-9(a)所示刚架内力。
解：刚架在荷载作用下将发生图示变形。
因在梁及刚架计算中引入了受弯直杆的假定：即认为受弯直杆在变形前后两端的距离保持不变，故该刚架的结点B与结点C的水平位移相等，均为Z2这样，基本未知量为刚结点B的角位移Z1及结点的独立线位移Z2。
求解时取图6-3-9(b)所示的基本结构，它是在刚结点B处加上附加刚臂以控制其转动，同时在结点C处加上水平的附加链杆以控制结点的独立线位移。
这样，基本结构中的AB 杆成为两端固定梁，而BC杆成为B端固定C端铰支梁。
也就是说，基本结构是在原结构上通过添加附加约束(即附加刚臂、附加链杆)使各杆成为单跨超静定梁。
2．建立位移法方程
选取基本结构后，使它承受原有的荷载，并使附加刚臂转动实际的转角Z1 及使附加链杆移动实际的线位移Z2如图6-3-9(b)中所示。
此时，基本结构的变形情况和受力情况便与原结构相同，并且，基本结构附加刚臂上的反力矩R1和附加链杆上的反力R2均应等于零。
即
图6-3-16
【解】 1)结构二次超静定。
2)力矩的分配与传递每次只能在一个结点上进行，因此传递到对另一结点力矩是不平衡的，必须采用反复迭代方式消除不平衡力矩。
计算过程列于图6-3-16：
首先计算分配系数和结点B、C各梁段的固端弯矩，选择由B结点开始第一次分配与传递。
其次C结点开始分配与传递，完成第一次计算。
考察B、C结点两边弯矩差别仍较大，可如上进行第二次分配与传递
最后，将固端弯矩与各次分配、传递弯矩叠加，得最终弯矩图
五、对称性的利用
【例题12】试利用结构的对称性用位移法计算图6-3-17所示刚架，并绘出最后弯矩图。
超静定结构解法力法.pptx
P
EI
EI
l
P
解:
X1
l
X1=1
Pl
P
1 0
11 X1 1P 0 11 l 3 / 3EI
1P Pl 3 / 2EI
X1 3P / 2()
M M1 X1 M P
l
M1
Pl
MP
第8页/共21页
3 Pl M 2
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
第9页/共21页
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
X1
X2
X3
X1
X2
X3
去掉一个链杆或切断 一个链杆相当于去掉 一个约束
X1 X2
X3
第12页/共21页
X2 X1
X3
X3
X2 X1
X3 X1
X1 X2 X3
X2
去掉一个固定端支 座或切断一根弯曲 杆相当于去掉三个 约束.
将刚结点变成铰结 点或将固定端支座 变成固定铰支座相 当于去掉一个约束.
几何可变体系不能 X3 作为基本体系
M
1 0
1 11 1P 0
11 X1 11
力法 方程
11 X1 1P 0
1 11 l 3 / 3EI
1P ql 4 / 8EI
X1 3ql / 8() M M1 X1 M P
结构力学,注册岩土 107页PPT文档
2. 对称桁架承受反对称荷载 对称杆的内力大小相等、受力性质相反 只有反对称内力 对称内力为零
P/2
P/2
P/2
P/2静定组合结构源自P/2 PP/2 M G = ?
2. 建立位移法基本方程 ——基本方程是平衡方程
前提条件 1. 先满足变形协调条件 2. 杆端力与杆端位移的关系已知 3. 按旋转方向定正负
载常数——荷载引起的固端弯矩
q
P
－ql2/12
EI l
ql2/12
－Pl/8
EI
l/2
l/2
q
－ql2/8
EI
l
P
－3Pl/16
l/2
l/2
q
－ql2/3
温度影响
＋tºC 必要约束
无自内力
＋tºC ＋tºC
＋tºC
多余约束 有自内力
3. 整体性好、刚度大、防御能力强、内力均匀
超静定结构内力求解
基本原则： 1. 平衡条件 2. 几何条件 3. 物理条件
变形协调条件
求解方法： 基本方法——力法
位移法 派生方法——弯矩分配法
力法
以多余未知力为基本未知量 基本思路
注册结构工程师执业资格考试
结构力学
基本内容复习
超静定结构的受力分析及特性
大纲要求
超静定次数 力法基本体系 力法方程及其意义 等截面直杆刚度方程 位移法基本未知量 基本体系 基本方程及其意义 等截面直杆的转动刚度 力矩分配系数与传递系数 单结点的力矩分配 对称性利用 半结构法 超静定结构位移 超静定结构特性
Δ +MF
注册岩土工程师 结构工程师备考资料名师名校讲义-【岩土结构基础-结构力学】-第6讲-超静定结构(下)
M
F BA
FQBA 0
AM
q
FP
MAB
A
A
FQAB
B EI
B1
B
l
七、位移法基本原理及典型方程
1.位移法的基本未知量
如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对线位移 均已知则全部杆件内力即可确定。
位移法中基本未知量应是各结构的角位移和线位移之和。
1)结点角位移的确定
未知的独立结点角位移对应体系中的刚结点。 ❶若有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角 一并计入；
一附加支座链杆，得其基本结构。相应的基本体系的变形和受力
情况与原结构完全相同。
Z1
Z1
C
EA=∞ D
C
EI
EI
D
C
D
Z1 F1=0
20kN/m 6m
20kN/m
A
B
A
B
A
B
位移法方程 k11Z1 F1P 0
C
D
F1P
C
D Z1=1 k11
(90)
A 90
C
B
D
F1P
FQFCA=45 kN FQFDB=0
5.直接列平衡方程法
根据位移法的基本原理，可不通过基本结构，借助杆件 的转角位移方程，用结点位移与杆端位移之间的协调关系， 根据先“拆散”、后“组装”结构的思路，直接由原结构的结 点和截面平衡条件来建立位移法方程，即直接平衡法。
六、等截面直杆的转角位移方程
AM
q
MAB
A
= /l
A
FQAB
l
FP
B EI
B1
B
MBA
B
注册岩土工程师考试大纲(基础部分与专业部分)
?11.4 特殊性土 软土 湿陷性土 膨胀土 红粘土 盐渍土 冻土 填土;风化岩和残积土
?11.5 沉降计算 土中应力的计算 沉降计算 弹性力学公式 分层总和法 一维固结理论
?11.6 土压力 静止土压力、主动土压力和被动土压力 Rankine土压力理论 Coulum土压力理论
典型有机物的分子式、性质及用途：甲烷 乙烷 苯 甲苯 乙醇 酚 乙醛 乙酸 乙酯 乙胺 苯胺 聚? 氯乙烯 聚乙烯 聚丙烯酸酯类 工程塑料（ABS） 橡胶 尼龙
四、理论力学
?4.1 静力学 平衡 刚体 力 约束 静力学公理 受力分析 力对点之距 力对轴之距 力偶理论 力系的简化 主矢 主矩?力系的平衡 物体系统（含平面静定桁架）的平衡 滑动摩擦 摩擦角 自锁 考虑滑动摩擦时物体系统的平衡重心
?11.2 土的压缩性 压缩试验 压缩曲线 固结系数 压缩模量 压缩系数 载荷试验 变形模量 高压固结试验 先期固结压力 压缩指数 回弹指数 超固结比 正常压密土 超压密土 欠压密土
?11.3 土的抗剪强度 土中一点的应力状态 土的极限平衡条件 内摩擦角 粘聚力 直剪试验及其适用条件 三轴试验 总应力法 有效应力法 应力路径
?8.3 正弦交流电路：正弦量三要素 有效值 复阻抗 单相和三相电路计算 功率及功率因数 串联与并联谐振 安全用电?常识
?8.4 RC和RL电路暂态过程：三要素分析法
注册岩土工程师 结构工程师备考资料名师名校讲义-【岩土结构基础-结构力学】-第5讲-超静定结构(上)
0B
求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：
FP
2 FP
0 0a
FN FN1 X1 FNP
1 2
FP
FP CaD
FNP图
1 2 FP
2 2 FP
2 2 FP
1 2
FP
1 2 FP
FN图
A X1=1 B
1
2 2
1
1a
1 Ca D
FN1 图
三、力法对称性的应用 1）选取对称的基本结构，以对称或反对称的多余未知力作
一、超静定结构及其超静定次数 六、等截面直杆的转角位移方程
二、力法的基本原理及典型方程 七、位移法基本原理及典型方程
三、力法对称性的应用
八、位移法计算支座移动和温度 改变时的超静定结构
四、力法计算支座移动和温度改 变时的超静定结构
九、力矩分配法
五、超静定结构的位移计算
十、超静定结构的一般特性
3
一、超静定结构及其超静定次数
一级注册结构工程师基础考试大纲
十五、结构力学（15题） 15.4 超静定结构受力分析及特性
超静定次数；力法基本体系；力法方程及其意义；等截面直杆刚度方 程；位移法基本未知量；基本体系基本方程及其意义；等截面直杆的转动刚 度；力矩分配系数与传递系数；单结点的力矩分配；对称性利用；超静定结 构位移；超静定结构特性
①取原结构的一半； ②在对称轴经过的截面处添加一个固定支座。
对称结构承受反对称荷载
3）半结构法 （1）奇数跨对称结构承受反对称荷载的半结构取法
FP
H
FP
C
V =0
l
l
FP
H
FP
C
V =0
X1 X1
超静定结构的特性
超静定结构的特性
超静定结构有下面几点主要特性
(一)同时满足超静定结构的平衡条件、变形协调条件和物理条件(力与变形的对应关系)的超静定结构内力的解是唯一真实的解。
力法和位移法的解题方法虽然不同，但在这两个基本方法中，却都综合应用了结构的平衡条件、几何条件和物理条件。
(二)超静定结构在荷载作用下的内力与各杆EI、EA的相对比值有关，而与各杆EI、EA的绝对值无关。
因此，在设计超静定结构之前，必须预先假定各杆的截面尺寸、选定材料的类别。
待内力求出后，再复核截面尺寸，若截面尺寸不合理，还要重复计算。
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另外，也可以通过改变各杆刚度比值的办法来达到调整结构内力分布的目的。
(三)超静定结构在/考试大/非荷载因素(温度变化、杆件制造误差、支座位移等)作用下会产生内力(这种内力状态有时称为自内力状态)，且这种内力与各杆EI、EA的绝对值有关(成正比)。
因此，为了提高结构对温度变化、支座位移等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸并不是有效的措施，为了减小自内力的不利影响，可以采用设置温度缝、沉降缝等构造措施。
(四)超静定结构由于存在多余约束，故它与相应的静定结构比较而言，超静定结构的内力分布较为均匀，刚度和稳定性都有所提高。
注册岩土工程师 结构工程师备考资料名师名校讲义-【岩土结构基础-结构力学】-第6讲-超静定结构(下)2
解题步骤可概括如下: ① 确定位移法基本未知量。 ②利用转角位移方程写出各杆端弯矩表达式。 ③对每个角位移建立节点的力矩平衡方程:每个线位移建立截面 投影平衡方程: ④ 联立位移法方程，求出节点位移。 ⑤ 节点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩并绘弯矩图。 ⑥ 根据弯矩图由杆件平衡求剪力图，再根据剪力图由节点投影 平衡求轴力图。
Z2
ql 2
0
(b)
式（a）（b）为直接平衡法建立的位移法方程，与典型方
程法建立的位移法方程相同。本质上相同。
(4)联立求解方程（a）和（b），求基本未知量：
Z1
6 138i
ql 2
Z2
7 138i
ql 3
(5)计算杆端内力
将Z1和Z2代回各杆的杆端弯矩表达式，可得
M AB
63 ql 2 184
A
-ql2/8
载常q 数
i, l
5ql/8
A
-3FPl/16
FP i, l
形常数
i, l
B
A
θ=1
B
-3i/l
★-3ql/8 3i A B
-3i/l
i, l B
Δ=1
-3i/l
3i/l2
11FP/16
-5FP/16
3i/l2
0
A
-ql2/3
ql
A
-FPl/2 FP
一端固定一端定向滑动的单跨超静定梁
【例】用直接平衡法计算图示刚架，并作弯矩图。已知EI=常量
【解】(1) 确定基本未知量，并绘出示意图
Z1 B
Z2 C
B
M BC
M BA
A
D
q B FQBA
C FQCD
6.1超静定结构的概念和超静定次数(远程教学)
q
A
FAx
B
C
D
FAy
FB
FC
FD
2次超静定梁
6.1 超静定结构概念和超静定次数
拉杆
6.1 超静定结构概念和超静定次数
二、超静定结构的类型
（一）超静定梁
（二）超静定桁架
内部超静定 （三）超静定拱
外部超静定
6.1 超静定结构概念和超静定次数
二、超静定结构的类型
（四）超静定刚架
（五）超静定组合结构
6.1 超静定结构概念和超静定次数
三、超静定结构内力计算方法
（一）基本方法 1.力 法：以结构中的多余力作为基本未知量，根 据位移条件先求出多余未知力，然后再 确定原结构全部内力的方法。
2.位移法：把结构中的某些结点位移作为基本未知 量，根据平衡条件先求出结点位移，然 后再确定原结构全部内力的方法。
第六章 用力法计算超静定结构
建筑工程系
6.1 超静定结构概念和超静定次数
一、超静定结构的特性 1.几何组成：有多余约束的几何不变体系。
P
2.受力分析： 只靠静力平衡条件无法全部求出反力与内力。 3. 受力情况与材料的物理性质、截面的形状有关。
4. 支座移动、温度改变、制造误差等会使其产生 内力。
6.1 超静定结构概念和超静定次数
（二）派生方法 1.渐近法 2.力矩分配法
（三）有限元法
6.1 超静定结构概念和超静定次数
四、超静定次数确定
1. 概念 （1）从几何构造看
超静定次数=多余约束个数 =把原超结构变成静定结构所需撤除的约束个数
（2）从静力分析角度看
超静定次数=多余未知力个数=未知力数-平衡方程个数
6.1 超静定结构概念和超静定次数
超静定结构的受力分析及特性超静定结构的特征及超静定
第四节超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的几何特征是除了保证结构的几何不变性所必须的约束外，还存在多余约束。
超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。
结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。
通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。
即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。
去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。
再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。
（a）（b）图4－1二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力X i (i=1、2、…、n)，X i 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。
去除多余约束后的结构称为力法基本结构。
力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。
有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。
超静定结构的特性
（a）
（b）
例如图（a）所示的三跨连续梁，在中跨受到 荷载作用时，由于梁的连续性，两边跨也产生内力， 因而内力分布较均匀、变形较小；而对于图（b） 所示的静定梁，当中跨受荷载作用时，由于没有多 余约束，两边跨不产生内力，因而中跨的内力和变 形都比连续梁大。
（a）
（b）
（4）超静定结构具有较强的抵抗突然破坏的 能力。由于具有多余约束，在多余约束被破坏时， 超静定结构仍为几何不变体系，因而还具有一定的 承载能力。而静定结构的任一约束遭到破坏后，立 即变成几何可变体系，完全丧失承载能力。因此， 在设计防护结构时，应选择超静定结构。
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建筑力学
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（2）任何因素都会引起超静定结构的内力。 由于多余约束的存在，结构的变形受到多余约束 的限制。所以，只要有变形因素（如荷载作用、 温度变化、支座移动、制造误差等），通常都会 使超静定结构产生内力。而在静定结构中，除荷 载以外，其它任何因素都不会引起内力。
（3）超静定结构的内力分布均匀。由于存在 多余约束，有多余约束力的影响，在局部荷载作用 下，内力分布范围大，峰值小，且变形小，刚度大。
建筑力学
超静定结构的特性
超静定结构的特性
超静定结构是工程中广泛应用的结构，与静 定结构相比较，超静定结构存在多余约束，因而 超静定结构具有以下一些重要特性：
（1）超静定结构的反力和内力用静力平衡 条件无法全部确定。由于存在多余约束，相应地 就有多余约束力。因此，超静定结构的反力和内 力用静力平衡条件不能唯一确定，必须同时考虑 变形条件后才能完全确定。