人教版高中数学【选修2-3】[知识点整理及重点题型梳理] 分类加法计数原理和分步乘法计数原理(提高)

人教版高中数学选修2-3

知识点梳理

重点题型（

常考知识点

）巩固练习

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

【学习目标】

1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．

2．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．

3．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)

1．分类加法计数原理：

完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m种不同方法,在第2类办法中有m种不同的方法,……,

12

在第n类办法中有m种不同方法,那么完成这件事共有N=m+m++m种不同的方法.

n12n

2．加法原理的特点是：

①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；

②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；

③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．

要点诠释：

使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。

3．图示分类加法计数原理：

由A到B算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。

从图中可以看出，完成由A到B这件事，共有方法m+n种。

要点诠释：

用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。

要点二、分步乘法计数原理

1.分步乘法计数原理

“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．

2．乘法原理的特点：

①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；

②完成每一步有若干种方法；

③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．

要点诠释：

使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。

3.图示分步乘法计数原理：

由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。

要点诠释：

从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。用分步乘法计数原理解题，按着这个模式施行就可以了，可简单地理解为：A→B，有m种方法；B→C，有n种方法；A→C，有mn种方法。

要点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：

1．分类计数原理和分步计数原理的区别：

两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.

完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；

若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．

2.应用两个原理的分别要注意：

若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；

若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．

要点四、分类计数原理和分步计数原理的应用

1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：

（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？

（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型

①分类或分步。

②先分类，再在每一类里再分步。

③先分步，再在每一步里再分类，等等。

（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？

2.利用两个基本原理解决具体问题时的注意事项： （1）应用分类计数原理，应注意：

①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；

②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束； ③两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)； ④完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).

（2）应用分步计数原理，应注意：

①任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；

②各步计数相互独立；

③只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同.

3.利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧：

利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步。类与步的关系式辩证的。有些问题需要

先分类，再在每一类里再分步；有些问题需要先分步，再在每一步里再分类，等等。到底采用何种顺序分

类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。下面用用流程图直观描述。

（1）类中有步情形

从 A 到 B 算作一件事的完成。完成这件事有两类办法，在第 1 类办法中有 3 步，在第 2 类办法中有 2

步，每步的方法数见箭线下面的 m i ，i=1，2，3，4，5。

完成 A →B 这件事，共有方法数为 m 1m 2m 3+m 4m 5。

（2）步中有类情形

从 A 到 D 算作完成一件事，简单地记为 A →D 。完成 A →D 这件事，需要经历三步，即 A →B ，B →C ，C

→D 。其中 B →C 这步又分为三类，这就是步中有类。箭线下面的 m i （i=1，2，3，4，5）表示相应步的方 法数。

完成 A →D 这件事，共有方法数为 m 1(m 2+m 3+m 4)m 5。 要点诠释：

① 对“类”与“步”的理解，要再上一个层次，可进一步地理解为： 类”用“+”号连结，“步”用

“×”号连结，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可。

②使用计数原理解题，大部分离不开分类。分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准

分类。

【典型例题】

类型一、分类加法计数原理

例1.（2015秋鞍山校级期末）已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6,7,}，C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（）

A.24个

B.36个

C.26个

D.27个

【答案】C

【思路点拨】从三个集合中取出两个集合，有3种情况，利用分步计数原理分别计算每种情况下各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合的个数，再相加。

【解析】

从三个集合中取出两个集合，有3种取法，分别是集合A、B；集合A、C，集合B、C。

当取出集合A、B时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有4?3=12个；当取出集合A、C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有4?2=8个；当取出集合B、C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有3?2=6个；

所以，一共可以组成12+8+6=26个集合。

【总结升华】

应用分类计数原理，应注意：

①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；

②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；举一反三：

【变式1】用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数?(各位上的数字允许重复)

【答案】分三类情况：

①一位整数，有3个；

②二位整数，有3?3=32个；

③三位整数，有3?3?3=33个；

故共有3+32+33=39个。

【变式2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

【答案】

根据题意，将十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．

由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）．

【变式3】从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？【答案】

根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个.

类型二、分步乘法计数原理

例2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）A．12种B．7种C．24种D．49种

【思路点拨】首先弄明白完成一次进出门需分两步走，先进再出。

【解析】

错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.∴选B

错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.

正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种.∴应选D．

【总结升华】

解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数．

举一反三：

【变式1】从甲地到乙地，一天中有火车2班，从乙地到丙地，一天中有汽车3班，那么从甲地经乙地到丙地共有种不同的走法。

【答案】6；

完成这件事，分两个步骤：

第一步是乘火车，有2种不同方法；

第二步是乘汽车，有3种不同方法。

则完成这件事，由分步计数原理，共有N=2×3=6种不同方法。

【变式2】（2014金山区一模）由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A.60个

B.48个

C.36个

D.24个

【答案】偶数即个位数字只能是2或4，其他位置任意排放共有4?3?2?1?2=48个，故选B。

【变式3】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）．A．300种B．240种C．144种D．96种

【答案】四个游览城市中只有巴黎有限制要求，甲、乙不去，因而可以先安排去巴黎的人，再依次安排

去其他城市的人，整个事件的安排可以分为四步，每一步安排一个城市，因而按分步乘法计数原理计算．去巴黎的人为除甲、乙两个人外的其余四人，只能有一人去，所以有4种选择．

再安排一人去剩下的三个城市中的一个，比如伦敦，剩余有五人，因而有5种选择．

再从剩下的四人中选一人去剩下的两个城市中的一个，所以有4种选择．

最后一个城市只能从剩余的三人中选一人，所以有3种选择．所以4×5×4×3=240（种）．

【变式4】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()．A．6种B．12种C．24种D．30种

【答案】C

类型三、两个原理的对比应用

例3.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

【思路点拨】

欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法：从第一个口袋内取，或从第二个口袋内取，

都能完成这件事，所以第（1）题可用分类加法计数原理来解．欲完成从两个口袋内各取一个小球，需分

两个步骤：第一步，在第一个口袋内任取1个小球；第二步，在第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完成了这件事就完成了，因此第（2）题用分步乘法计数原理．

【解析】

（1）从两个口袋内i任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从4个小球中任取

1个，有4种方激

根据分类加法计数原理，不同的取法有N=5+4=9（种）．

（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步，从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步，从第二个口袋内取1个小球，有4种方法．

根据分步乘法计数原理，不同的取法有N=5×4=20（种）．

【总结升华】

在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有，l类办法还是需分成n个步骤．应用分类加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事．应用分步乘法计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤．

举一反三：

【变式】现有一分硬币3枚，两角纸币6张，十元纸币4张，则它们共可以组成多少种非零的币值?

【答案】

方法一：利用分类计数原理.

以使用钱币的种类去分类，共可以分为：

(1)第一类：只使用一种钱币.

若只使用一分硬币，可以取出1枚，2枚或3枚硬币，共可组成3种非零币值.同理，若只用两角纸币，共可以组成6种非零币值.只用十元纸币，共可以组成4种非零币值.

因此，只使用一种钱币，可以组成非零币值数为3+6+4=13种.

(2)第二类：使用两种钱币.

若用一分硬币和两角纸币，共可组成币值3×6=18种；若用一分硬币和十元纸币，共可组成币值3×4=12种；若用两角纸币和十元纸币，共可组成币值6×4=24种.

因此，使用两种钱币可以组成非零币值数为18+12+24=54种.

(3)第三类：使用三种钱币.

使用三种钱币组成的非零币值数为3×6×4=72种.

根据分类计数原理，共可组成非零币值总数为13+54+72=139种.

方法二：利用分步计数原理.

第一步，取一分硬币，可以不取，取l枚，2枚或3枚硬币，共有4种取法；

第二步取两角纸币，共有7种取法；

第三步取十元纸币，共有5种取法.

根据分步计数原理，总共的币值数为4×7×5=140种.

除去其中一种零币值，非零币值的方法数为139种.

类型四、两个原理的综合应用

例4.用数字0，1，2，3，4组成数字允许重复的三位数，其中有几个偶数？

【思路点拨】

组成的偶数可以有3类情况：个位数字为0、2、4，而在每一类情况中又需分二个步骤才能完成。【解析】

（1）第一类：当个位数字为0时，分两个步骤：

第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有4种不同方法；

第二步确定十位上的数字，从5个数字中任选一个，有5种不同方法；

共有4?5=20种不同方法。

（2）第二类：当个位数字为2时，分两个步骤：

第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有4种不同方法；

第二步确定十位上的数字，从5个数字中任选一个，有5种不同方法；

共有4?5=20种不同方法。

（3）第三类：当个位数字为4时，分两个步骤：

第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有4种不同方法；

第二步确定十位上的数字，从5个数字中任选一个，有5种不同方法；

共有4?5=20种不同方法。

故不同的偶数的个数是：4×5+4×5+4×5=60（种）。

【总结升华】

当完成事件中既有分类也有分步时，一般先分类，然后再在每一类中分步。

举一反三：

【分类加法计数原理或分步乘法计数原理389221例题3练习】

【变式1】用0，1,2，3,4，5这六个数字，

（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？

（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？

（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？

（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？

【答案】

（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.

（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个

（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个

（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之

一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6

＋1＝175

【变式2】一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．

（1）从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？

（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？

【答案】

（1）各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数原理，共有5×4=20（种）．

（2）若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能……第九封信还有4种可能．共有49种不同的投法．

【分类加法计数原理或分步乘法计数原理389221例题4】

【变式3】用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种

颜色.若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的

涂色方法?

1 32

4

A

B

D

C

【答案】如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．

（1）当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；

（2）当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格

【解析】设该队胜 z 场，平 y 场，负 z 场，且 x 、y 、z 是非负整数，则 ?? x + y + z = 15 ① 由 0≤y ≤15，0≤z ≤15，可知 ?

． 0 ≤ x - 9 ≤ 7.5

也有 4 种不同的涂法，由分步计数原理可知．有 5×4×4＝80 种不同的涂法．

由分类加法计数原理可得，共有 180＋80＝260 种不同的涂法． 类型五、 枚举法

例 5.

某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．球队打完 15

场，积 33 分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情形有（

）．

A ．3 种

B ．4 种

C ．5 种

D ．6 种

【思路点拨】 可题意列方程组，讨论方程组的解，求得非负整数解的组数即为问题的解，考虑到所给解

答的范围较小（≤6），故可用枚举法，分类讨论．

?3x + y = 33 ② ．

因为不考虑胜、平、负的顺序，所以问题转化为求此方程组的不同非负整数解的组数．

解法一：由②式，得 y=3(11－x)， 代入①式，整理，得 x=2(x －9)．

?0 ≤ 11 - x ≤ 5

?

所以这个不等式组的解为 9≤x ≤11．

因为 x 是非负整数，

即 x 最多只能取 9，10，11 三个值，对应的 y 值也只能取 6，3，0 三个值，对应的 z 值也只能取 0，2，

4 三个值，从而由①②组成的方程组有且只有三组不同的非负整数解．故选 A ．

解法二：由②式，得

x = 11 - y

3

．

因为 x 是非负整数，所以 y 必须是 3 的倍数． 将上式代入①，得

z = 4 - 2

y ．

3

因为 z ≥0，y ≥0 且都是整数，所以可知 y 的值只能取 0，3，6 三种情况，对应着：只能取 4，2，0，

z 只能取 11，10，9，即方程组①②有且仅有 3 组解．

解法三：由积分 33 知最多可能胜 11 场，依所胜场次由多到少得到各种情形如下表：

胜场次

11

10

9

平场次

3

6 负场次

4

2

0 积分

33

33

33

只有如上 3 种情况．故选 A ．

【总结升华】

本题的解法中不论是解方程组、分类讨论，还是枚举法，都体现了“分类”解决问题的意识，对事件

的结果，按不同的“组织形式”都可以获得结果．用分类计数原理解决问题的方法是多种多样的，但要严

格按分类的某个标准来执行求解的过程，才能求得方法的种数． 举一反三：

?6 = 30 ?6 = 36 【变式】 在大小不等的两个正方体玩具的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，向上的面标着的两

个数字之积不小于 20 的情形有几种？

【答案】第一个正方体向上的面标有的数字必须大于等于 4，如果是 3，则 3 与第二个正方体向上的面标 有的数字最大者 6 的积 3×6=18＜20．

?4 = 20 ?4 = 24

?5 = 20 ? ? 4 ? ? ； 5 ? ?5 = 25 ； 6 ? ?5 = 30 ．

?6 = 24

? ?

符合题意的情形有 2+3+3=8（种）．