材料力学——轴向拉伸与压缩
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(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩
24
根据Saint-Venant原理：
25
7. 应力集中（Stress Concentration）：
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限，此位置开裂，所 以脆性材料构件对应力集中很敏感。
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L，受轴线方向均布力 q 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。 q
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
在静载荷情况下，不需考虑应力集中的影响；但 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料 的影响。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
m ax
②设计截面尺寸：
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
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材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
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四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩
c'
杆受压时同样分析，可得同样结果。 由式可知： 1. FN s ，A s； 2. s 与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。
说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际 情况。
上海交通大学
注意： 1. 公式仅适用于轴向拉压情况； 2. 公式不适用于外力作用区域附近部分。
在外力作用区域附近，s 并不均布，而是由外力的作用情况而定。
k
F
将 pa 沿斜截面的垂直方向和平行 F 方向分解：
k
pa
pa
s0 s a pa cosa (1 + cos 2a ) 2 s0 t a pa sin a s 0 cosa sin a sin 2a 2
F
a k sa
a
可知：sa 、ta的大小和方向随 a 的改变而改变。
ta
pa
上海交通大学
得 FN4 = F4 = 10 kN (拉)
A F1 FN
1
B F2
2
C
3
D F4
FN1 = 5 kN 5 kN + B
1
F3 FN2 = –15 kN
2
FN3 = 10 kN 10 kN + C D x
3
A
三、 轴力图 –15 kN
在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。 可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。 横轴 x：杆横截面位置；纵轴 FN：杆横截面上的轴力。 正值轴力 (拉)绘在横轴 上方，负值轴力 (压)绘在横轴下方。
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横 向尺寸的变化(减小或增大)。
轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。
材料力学 -轴向拉伸和压缩
材料力学 - 轴向拉伸和压缩材料力学是研究材料性质和行为的学科，包括弹性、塑性、疲劳、断裂等方面。
在材料力学中，轴向拉伸和压缩是重要的力学测试方法。
轴向拉伸测试轴向拉伸测试是材料测试中最常用的测试方法之一。
该测试方法涉及将试验样品拉伸至破裂点，并测量在拉伸过程中的应力和应变。
在这种测试中，试验样品的截面积比长度更重要，因为应力是由试样的横截面积决定的。
实验过程首先，通过切割样品制备试样。
样品应该是长条状，尺寸应该足够大，能够容纳拉伸机的夹具和测量设备。
然后将样品置于拉伸机上，将试样夹具固定在机器的上部，并将另一个夹具固定在机器的下部。
然后将机器调整到适当的测试条件，比如设置测试速度、卸载条件等。
开始拉伸后，由于拉伸过程会导致不均匀应变，需要使用应变计进行应变测量。
最后，测试结果应该包括应力 - 应变曲线和破坏点。
结果解释轴向拉伸测试的结果由两种性质构成：杨氏模量和屈服强度。
杨氏模量衡量材料的弹性变形特性，而屈服强度则衡量材料开始塑性变形的能力。
在拉伸试验中，将出现线性区域，在该区域，样品的杨氏模量可由应力-应变曲线的斜率计算。
当样品的应变超过线性区域后，就会进入塑性区域，此时材料会表现出不可逆的形变特性。
轴向压缩测试轴向压缩测试是一种用于测量材料在压缩负载下的应变和应力的测试方法。
在这种测试中，材料试件放置在压力夹具之间，并受到垂直于试件轴向的载荷。
压缩测试与轴向拉伸测试非常相似，但它们的结果不同。
由于材料的差异，它们所能承受的压缩力和拉伸力也会存在一定的不同。
实验过程样品制备和夹具的选择与轴向拉伸测试类似，但是在拉伸试验机与压缩机之间存在差异。
进行轴向压缩测试时，需要将夹具安装在垂直于轴向的方向上，并将试件放置在夹具内。
与轴向拉伸测试相同，需要记录测试过程中的应变和应力变化。
结果解释与轴向拉伸测试一样，轴向压缩测试的结果也由杨氏模量和屈服强度构成。
杨氏模量是指在材料的弹性变形区域中，材料的应力与应变的比例系数。
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
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b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n