FDTD原理及例子
时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真
时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。
这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。
需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F z t z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆=对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:oyxzEyHzExEzHxEyEyEzEx HyEzEx图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。
fdtd有限时域差分在光刻中的应用 -回复
fdtd有限时域差分在光刻中的应用-回复FDTD（Finite-difference time-domain）有限时域差分方法是一种应用于电磁场求解的数值模拟方法。
其在光刻领域中的应用主要用于设计和优化光刻光源、光刻机相场、光掩模和光刻介质等关键元件。
本文将详细介绍FDTD方法在光刻中的应用，并逐步解释其工作原理和算法。
第一部分：FDTD方法的基本原理FDTD方法是一种时域全波求解方法，其基本思想是将Maxwell方程组在时域内进行离散化，利用差分格式进行数值求解。
对于三维情况，它在空间上将求解区域划分为网格，时间上将求解区域划分为时步。
通过在网格上离散Maxwell方程组，可以得到电场和磁场的时序演化。
FDTD方法具有广泛的适用性和数值稳定性，能够模拟复杂光学器件的电磁传输和相场分布。
第二部分：光刻中的应用场景1. 光刻光源设计和优化光刻光源的设计和优化是提高光刻分辨率和工艺品质的关键因素。
通过在FDTD模拟中引入设计参数，如波长、光束形状等，可以评估不同方案的光源性能，并提供光刻工艺改进的建议。
2. 光刻机相场分析光刻机在光刻过程中的相场分布对于芯片的精度和质量至关重要。
利用FDTD方法，可以模拟光刻过程中光源的照射、掩模的光透过、投影镜头的衍射等过程，分析在不同光刻条件下的相场分布，从而指导光刻机的调整和优化。
3. 光掩模设计光刻过程中的掩模设计也是提高分辨率和衍射限制的重要方向。
通过在FDTD模拟中建模掩模的二维结构和材料参数，可以得到在光照条件下的透射率和相位分布，进而评估掩模对光照模式的影响和光刻效果。
4. 光刻介质设计光刻介质作为光刻过程中的能量接收和传输介质，对于光刻分辨率和工艺过程中的能量损失起着重要作用。
利用FDTD方法，可以模拟光照条件下光刻介质的电磁传输和光损耗情况，评估不同材料参数对光刻效果的影响，并指导光刻介质的优化设计。
第三部分：FDTD方法的算法步骤1. 网格划分将求解区域离散化为规则的网格，网格的大小和密度与所求解问题的复杂程度和准确度要求相关。
FDTD软件介绍及案例分析一
比较模拟性能的理想化设备相对的装置,就能制造的——在 这儿,把表面粗糙度测量通过原子力显微镜的测量——可以帮 助找出在设计和生产过程的设备性能改善的好处。
11
CMOS图像传感器像素设计
12
CMOS图像传感器像素设计
14
CMOS图像传感器像素设计
• 第三步:优化角度回应的CMOS图像传感器和测量主要射线 角度:增加光学效率、降低光谱光相声
测量光谱光相声,向下的功率流在邻近的sub-pixels可以 计算,结合矢量。光谱光相声一般产生最小光学效率最大化, 但在陡峭的角度入射高浓度的相声观察到,在某种程度上,不 可避免的。更复杂的装置设计,由其他的像素元素(如互连) 也改变时,可以提供一种方法,可以减少整体相声水平。
fdtd光学仿真原理
fdtd光学仿真原理
FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种基于有限差分时间域方法的光学仿真原理。
它是一种数值计算方法，用于模拟电磁波在空间和时间上的传播和相互作用。
FDTD方法基于Maxwell方程组，通过将空间和时间离散化为网格，将电场和磁场分量在网格点上进行计算。
在每个时间步长中，根据电场和磁场的更新公式，计算它们在下一个时间步长的值。
通过迭代计算，可以模拟电磁波的传播和相互作用过程。
FDTD方法的优点包括简单易懂、适用于各种复杂的光学结构和材料、能够考虑非线性和吸收等效应。
它广泛应用于光学器件设计、光纤通信、光子晶体等领域的仿真和优化。
在进行FDTD光学仿真时，需要确定网格的大小和分辨率、时间步长的选取、边界条件的设定等。
此外，还需要考虑材料的折射率、吸收系数等参数的设定，以及光源的位置和波长等。
总之，FDTD光学仿真原理是基于有限差分时间域方法的数值计算方法，用于模拟电磁波在空间和时间上的传播和相互作用。
它是一种强大的工具，可以帮助研究人员和工程师设计和优化各种光学器件和系统。
1。
FDTD案例分析续篇
11
纳米粒子散射
12
实例二 ：纳米线栅偏振器
1、纳米线网格偏振镜紧凑光子偏振控制元素——与解决方 案设计和优化FDTD • 高对比度极化控制装置的组成sub-wavelength金属光栅纳米线偏振器件——正在取代网格批量光学元素。纳米线 网格偏振器件提供改进消光比对比,最小的吸收来解决高 亮度照明,紧凑的形式因素促进大规模生产和集成在小型 光学组件。然而,纳米线偏振器件是富有挑战性的网格组 件来设计,特别是如果制造缺陷都考虑进去。在这个应用 程序中,我们将展示FDTD解决方案可以用来最大化对比度 的纳米线偏振镜网格任意角度,同时保持高传播。
33
SPR纳米光刻
• 第三步：分析了表面等离子体共振光刻近场数据 详细的研究结果和数值的解决方案,所有复杂的光学波的 交互的接口的许多材料,包括硅基片上的反射,准确地对待。 一个阴谋的近场强度在截面通过银丝面膜层(y=0到60海里) 和光刻胶层(y = -50到0 nm)显示在对数。表面等离子体模 式是清楚地看到在银胶面罩/接口。周期性结构允许入射光 束夫妇counter-propagating表面等离子体波,这引起了亚波 长的变化在光阻层强度的设计思想。
18
纳米线栅偏振器
19
纳米线栅偏振器
• 第四步：模拟得到的响应非正态纳米线网格发病率照明。 铝光栅wiregrid偏振镜有TE传播的大约85%的normallyincident平面波。现在,与一个源呈四十五度角,传播下降到 大约83%。这些结果生成模拟一个时期的wiregrid偏振镜,然 后使用复杂的脚本的环境,在解决方案将FDTD响应从单个光 栅牙的反应,multi-tooth组成部的铝光栅。
36
FDTD原理及例子
u
n i 1
2uin
u
n i 1
2u
n i
u
n1 i
t2 c 2O x2 O t2
得： e jt
ct 2
e jk~x
2 e jk~x
2 e jt
x
最后得色散关 系
k~
1 x
cos
1
基础知识
麦克斯韦方程微分形式：
FDTD方式将时间进 行差分，并且磁场与 电场交替迭代更新
对于有耗媒质：
H D J t
E B t
•B 0
•D
时谐场形式：
H
D t
Je, Je
E
B E t Jm , Jm sH
Da Ca , Db Cb
，并注意到E与H在时间上差半个步长，
可以直接从磁场FDTD公式得到电场的FDTD公式。如：
Ex i, j, k, n 1 CaEx i, j, kEx i, j, k, n CbEx i, j, k
H y i, j, k 1, n 1 H y i, j, k, n 1
DbHy i,
j,
k
Ex i,
j,
k
x
1, n
z
Ex i,
j, k, n
H z i, j, k, n 1 DaHz i, j, kH z i, j, k, n
Ex i, j 1, k, n Ex i, j, k, n
数值稳定性问题
二维的Yee算法数值Courant稳定性条件
FDTD时域有限差分法
对时间离散:
(2)
FDTD基本原理(续)
9
为了满足(1)式空间精度的要求，并满足(2)式，Yee 把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置:
Yee把E 和H 在时间长相差半个步长计算(为了满足精度的要求)。
FDTD基本原理(续)
10
根据这一原则可以写出六个差分方程:
每个网格点上的各场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻 的值，即该点周围的邻近点上另一场量在早半个时间步长时的值。 因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通 过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。
C：为光速，自由空间中： c
数值色散
14
• 产生原因
–FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改 变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须 考虑
• 适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到 理想情况
–3-D方形网格：取波沿对角线传播 (数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。 –2-D方形网格:也是沿对角线传播， （也是数值稳定的极限状态） –1-D网格 (数值稳定的极限状态)
参考文献
21
• 电磁波时域有限差分方法（第二版），葛德彪， 闫玉波，西安电子科技大学出版社 • 工程电磁场数值计算，倪光正
22
练习要求：
FDTD原理及例子ppt课件
H D J t
E B t
•B 0
•D
时谐场形式：
H
D t
Je, Je
E
B E t Jm , Jm sH
• B m
• D e
H j( j )E
E jH
E(x, y, z, t) E0 (x, y, z,t)e jt H (x, y, z, t) H0 (x, y, z,t)e jt
)
z r (k)
只要给定了所有空间点上电/磁场的初值，就可以一步一步地求出任 意时刻所有空间点上的电/磁场值。
一维Maxwell方程的Yee算法
Ex Hy
Ex
n2 n 3/2
Hy Ex
n 1 n 1/ 2
n0
0
1
2
3k
H~
n1/ 2 y
(k
1) 2
H~
n1/ 2 y
(k
1) 2
ct zr (k
FDTD数值分析法
目录
1.麦克斯韦方程的基础知识 2.一维和三维Maxwell方程的Yee算法 3.数值稳定性分析 4.吸收边界条件 5.波源的设置 6.编程思路
麦克斯韦方程微分形式：
BPM 方式
基础知识
H D J t
E B t
•B 0
•D
基础知识
麦克斯韦方程微分形式：
FDTD方式将时间进 行差分，并且磁场与 电场交替迭代更新
DbHy i,
j,
k
Ex i,
j,
k
x
1, n
z
Ex i,
j, k, n
H z i, j, k, n 1 DaHz i, j, kH z i, j, k, n
FDTD原理及例子
n
1
y
2 t CaEw 2 t Ew所在空间位置
2t
CbEw 2 t Ew所在空间位置
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三维Maxwell方程的Yee算法
媒质参数赋值 在所有空间点给电磁场分量赋初值
求所有空间离散点上n+1时间步的磁场 求所有空间离散点上n+1时间步的电场
n=n+1
No
n>nmax
Yes 结束
Hz*
0
H z t
*Hz
E x y
E y x
分分别别表表示示自自由由空空间间中中的的电电导导率率和和磁磁阻阻率率
Berenger为了引入规定损耗和阻抗匹配的新自由度，将 HHzz分
裂为两个分量H zx 和 H zy，即 H z H zx H zy 同时引入了新的电导
率
x , y
和磁损耗
* x
FDTD方式将时间进 行差分，并且磁场与 电场交替迭代更新
对于有耗媒质：
H D J t
E B t
•B 0
•D
时谐场形式：
H
D t
Je, Je
E
B E t Jm , Jm sH
• B m
• D e
H j( j )E
E jH
E(x, y, z, t) E0 (x, y, z,t)e jt H (x, y, z, t) H0 (x, y, z,t)e jt
2 2 2
E y n
E E y i, j1,k1
y i, j 1,k
2
2
O
z 2
可以看到有个2阶
z i, j 1 ,k 1
z
22
Ez n
fdtd mode expansion用法
FD-TD（finite-difference time-domain）模拟是计算电磁波在三维空间内传播的一种常用方法。
FD-TD模拟通常用于分析天线、微波器件和光学器件等电磁波问题。
其中，FD-TD mode expansion方法是用于分析波导中的模式问题的一种有效技术。
本文将介绍FD-TD mode expansion的基本原理、使用方法和在实际工程中的应用。
1. FD-TD mode expansion的基本原理FD-TD mode expansion方法基于模式理论，通过将波导中的场分解为不同模式下的分布来进行分析。
将电磁场分解为一系列基本模式的叠加，可以简化计算复杂度，提高分析精度。
FD-TD mode expansion方法可以有效地解决波导中模式耦合、传输特性等问题，是一种重要的仿真工具。
2. FD-TD mode expansion的使用方法（1）建立波导模型。
需要建立一个准确描述波导几何形状和介质特性的模型，包括波导的截面形状、尺寸、材料参数等。
（2）选择分析频率范围。
根据实际问题的需求，选择适当的频率范围进行分析，以得到所关心的波导模式。
（3）进行模式展开。
利用电磁场的模式分解理论，将波导中的场展开为一系列基本模式的叠加。
（4）求解模式系数。
通过数值计算方法，求解每个模式的系数，得到电磁场在各个模式下的分布。
（5）分析结果。
根据求解得到的模式系数，分析波导中各个模式下的场分布、传输特性等。
3. FD-TD mode expansion在实际工程中的应用FD-TD mode expansion方法在微波器件、光学器件等领域有着广泛的应用。
在微波集成电路设计中，可以利用FD-TD mode expansion 方法分析微带线、波导等结构中的模式耦合、传输特性等问题，指导器件的优化设计。
在光学器件领域，FD-TD mode expansion方法可以用于分析光波导、光纤等结构中的光场分布、波导耦合等问题，为光学器件的设计提供重要参考。
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H
z
i,
j
1,
k,
n
z
1
H
z
i,
j,
k, n
1
y
2 t CaEw 2 t Ew所在空间位置
2t
CbEw 2 t Ew所在空间位置
三维Maxwell方程的Yee算法
媒质参数赋值 在所有空间点给电磁场分量赋初值
1 2
)
H
n 1 / y
2
(k
1 2
)
1
E
n x
(k
1)
E xn
(k)
t
0r
(k
1 2
)
z
一维Maxwell方程的Yee算法
采用归一化磁场
H~ 0 H 0
使得电场与归一化磁场有相同的数量级，于是可以得到FDTD
迭代公式为
H~
n 1 / y
2
(k
1) 2
1 x
cos
1
1
x ct
2
cost
1
我们想要k与没加元胞之前的k一样，但是差分近似后k变
的不一样
差分近似所带来的数值色散
将平面波带入差分方程所出现的稳定性、色 散、以及各向异性，这些特性并非由介质的 物理特性所引起，而是数值计算中的差分近 似所致，在FDTD数值计算中，稳定性、色 散、各向异性将影响计算精度。
y i, j 1,k 1
y
22
H x i, j, k, n 1 DaHx i, j, kH x i, j, k, n
最后得：
E y i, j, k 1, n E y i, j, k, n
DbHx i,
j,
k
Ez
i,
j
1,
吸收边界条件
理论上说，求解空间是无限大的，但是由于计算的数据容量 问题，需要在有限空间的周围做特殊处理，使得向边界面行进 的波在边界处保持“外向行进”，无明显的反射现象，并且不 会使内部空间的场产生畸变。
1）Mur吸收边界条件 2）Berenger完美匹配层（PML） 3）各向异性匹配层吸收边界条件
三维Maxwell方程的Yee算法
Maxwell旋度方程为
E
H
H
t
H x t
1 Ey
z
Ez y
H x
H y t
1 Ez
x
Ex z
H
y
H z t
1
E x y
E y x
2
u
n i 1
2u
n i
uin1
2uin uin1
t2 c 2O x2 O t2
得： e jt
ct 2 e jk~x 2 e jk~x
2 e jt
x
最后得色散关 系
~ k
Berenger为了引入规定损耗和阻抗匹配的新自由度，将 HHzz分
裂为两个分量H zx 和 H zy，即 H z H zx H zy 同时引入了新的电导
率
x , y
和磁损耗
* x
,
* y
，并规定TE情形的四个场分量（而不
是通常的3个）由下列方程耦合在一起：
Berenger完美匹配层（PML）
FDTD数值分析法
目录
1.麦克斯韦方程的基础知识 2.一维和三维Maxwell方程的Yee算法 3.数值稳定性分析 4.吸收边界条件 5.波源的设置 6.编程思路
麦克斯韦方程微分形式：
BPM 方式
基础知识
H D J t
E B t
B 0
D
DbHz
i,
j, k
Ey
i
1,
y
j, k, n
x
Ey
i,
j,
k,
n
2 t DaHw 2 t Hw所在空间位置
2t
DbHw 2 t Hw所在空间位置
三维Maxwell方程的Yee算法
利用对偶原理： H E，E H， , ,
差分近似所带来的数值色散
一维标量波动方程为例 2u c 2 2u
t 2
x 2
设在离散空间点xi ,tn ,离散行波解为
u
n i
u
xi , tn
e j ntk~ix
将上式代入差分方程
u in 1
ct x
3k
H~
n1/ 2 y
(k
1) 2
H~
n 1 / y
2
(k
1) 2
ct zr (k
1 2
)
E
n x
(k
1)
E
n x
(k
)
E
n x
1
(k
)
E
n x
(k)
ct
z r (k )
H~
n 1 y
/
2
(k
1) 2
H~
n 1 y
/
2
(k
1 2
)
三维Maxwell方程的Yee算法
z
k, n
Ez
i,
j, k,
n
y
三维Maxwell方程的Yee算法
同理，可以得到其他2个磁场分量的FDTD方程
H y i, j, k, n 1 DaHy i, j, kH y i, j, k, n
Ez i 1, j, k, n Ez i, j, k, n
2） Yee网格在三维空间这样安排E和H分量，使得每一个 E或H分量由四个H或E循环的分量所环绕。
3） Yee算法以蛙跳算法在时间上安排E和H分量。在某一 时刻，使用前一时刻的E数据计算所有H分量。然后，再 使用刚计算的H数据计算所有的E分量。如此循环，直至 完成时间步进过程。
数值稳定性问题
（1）FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进， 误差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增 加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值 不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。 （2）FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小 于一定值以避免数值不稳定性。 （3）数值稳定性分析方法是建立在Courant等人几十年 前提出的经典方法基础上。这种方法首先把有限差分算 法分解为相互分离的时间和空间本征值问题。
求所有空间离散点上n+1时间步的磁场 求所有空间离散点上n+1时间步的电场
n=n+1
No
n>nmax
Yes 结束
三维Maxwell方程的Yee算法
介绍了求解矢量Maxwell方程的FDTD Yee算法，归纳起 来，Yee算法的主要特点有：
1）Yee算法采用耦合的Maxwell旋度方程，同时在时间和 空间求解电场和磁场，而不是采用波动方程只求解电场或 磁场。
D e
H j( j )E
E jH
E(x, y, z, t) E0 (x, y, z,t)e jt H (x, y, z, t) H0 (x, y, z,t)e jt
一维Maxwell方程的Yee算法
一维Maxwell方程，介质参数和场量均与x，y无关(无损，电导率和 磁导率为0)
用计算机语言表示的FDTD公式
Hy[k] Hy[k] ca[k]* Ex[k 1] Ex[k] Ex[k] Ex[k] cb[k]* Hy[k] Hy[k 1]
式中，时间变量已隐含在迭代公式中，以及
Hy[k ]
H~
y
(k
1 ); Ex[k] 2
E x [k ];
DbHy
i,
j,
k
Ex
i,
j,
k
x
1, n
z
Ex
i,
j,
k,
n
H z i, j, k, n 1 DaHz i, j, kH z i, j, k, n
Ex i, j 1, k, n Ex i, j, k, n
Da Ca , Db Cb
，并注意到E与H在时间上差半个步长，
可以直接从磁场FDTD公式得到电场的FDTD公式。如：
Ex i, j, k, n 1 CaEx i, j, kEx i, j, k, n CbEx i, j, k
H y i, j, k 1, n 1 H y i, j, k, n 1
H z
H
E
E
t
E x t
1
H z y
H y z
Ex
E y t
1
H x z
H z x
E
y
E z t
1
H y
x