勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

例5.（1）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．

（2）在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC的周长．

分析：（1）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．

（2）本题应分两种情况进行讨论：

①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；

②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．

解：（1）∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴AD⊥BC，

在Rt△ACD中，CD=15，

（2）分两种情况：

①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=5，

∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

②当△ABC为钝角三角形时，

在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=4，∴BC=9-5=4．

∴△ABC的周长为：15+13+4=32

∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32

例6：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，

BC，求证：AF⊥EF．

E为BC上一点，且EC=1

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思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF

是直角三角形，由勾股定理的逆定

性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以

了．

基础练习：

若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

（提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c 的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，∵a2+b2=c2，•∴△ABC是Rt△）

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220B A 径3cm 的圆柱，在圆柱下底的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，需要沿圆柱侧面爬行的最短路程是____________。

14.如图，是一个三级台阶，它的每

一级的长、宽、高分别为

20dm 、

3dm 、2dm ，•A 和B 是这个

台阶两个相对的端点，A

点有一只蚂蚁，想到B 点

去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 .

15.如右图所示，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则AE 的长为 。

三、解答题(11题20分,12、13、14每小题10分，共50分)

16.判断由下列各组线段a 、b 、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.

（1）a ＝6.5，b ＝7.5，c ＝4； （2）a ＝11，b ＝60，c ＝61；

（3）a ＝38，b ＝2，c ＝310； （4）a ＝433，