齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考数学(文)试题(解析版)
齐鲁名校教科研协作体山东湖北部分重点中学2018年高二(高三新起点)联考数学(理)试题
第1课时氮气和氮的氧化物素养要求1.能从分子结构的角度认识氮气的化学稳定性，熟知氮气与镁、氧气、氢气的化学反应及其条件，了解氮的固定和自然界中氮的循环。
2．能从物质类别和氮元素的化合价认识氮氧化物的性质与转化，熟知工业制硝酸的反应原理，促进“证据推理与模型认知”化学核心素养的发展。
一、氮气与氮的固定1．自然界中氮的循环(1)自然界：①豆科植物根部的____________把氮气转化成________，从而实现自然固氮。
②在________条件下，空气中氮气与氧气化合为氮的氧化物，并随降雨进入水体和土壤中。
③微生物分解动植物中的蛋白质生成________________________，回到水体和土壤中。
(2)人类活动：①将空气中氮气合成________，再进一步转化为其他含氮化合物，进入水体和土壤中。
②________________________________________所产生的氮氧化物通过大气进入陆地和海洋。
2．氮气的物理性质3.氮气的化学性质(1)N2与Mg反应：_____________________________(2)N2与O2反应：___________________________________(3)N2与H2的反应：__________________________________4．氮的固定(1)概念：将大气中________态的氮转化为氮的化合物的过程。
(2)分类：【学而思】1.医生为什么可以利用液氮给手术刀降温？已知：氮气的熔点－210 ℃，沸点－196 ℃，密度：1.25 g·L－1。
2．在国民经济和日常生活中，氮气有广泛的用途。
我们将它充灌在电灯泡里，可防止钨丝的氧化，延长灯泡的使用寿命。
还可用它来代替惰性气体作焊接金属时的保护气。
氮气为什么可以作保护气？拓展空气的组成与氮循环空气是一种混合物，大概的组成情况(体积分数)如下：氮气：78%；氧气：21%；稀有气体：0.94%；二氧化碳：0.03%；其他：0.03%。
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．686．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．49．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣212．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=2a n a n+1，且n∈N*，则a8=．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于．15．设实数x，y满足，则的取值范围是．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（2分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣i•iz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】解：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y=，可知：x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假，充要条件的应用，是基本知识的考查．3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【分析】当B=∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，∴当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，成立；当B≠∅时，，解得2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故A不正确．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故它的图象的对称中心为（﹣，0 ），k∈Z，故B正确．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故它增区间[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，故C不正确．该函数的最小正周期为=π，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68【分析】首先运用a n=求出通项a n，判断正负情况，再运用S10﹣2S2即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，故a n=，据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10∴|a1|+|a2|+…+|a10|=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）=S10﹣2S2=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）=67．故选：C．【点评】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n=1的情况，是一道基础题．6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．【解答】解：∵b=acosC+c．∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinC，可得：sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinC，可得：sinCcosA=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．【分析】由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．4【分析】由“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k+a4=0可求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，∴9+36d=4+6d，其中d为等差数列的公差，∴d=﹣，又∵a k+a4=0，∴1+（k﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题．9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e x﹣2m=﹣3有解，即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣2m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则切线斜率k=e x﹣2m，满足（e x﹣2m）=﹣1，即e x﹣2m=﹣3有解，即2m=e x+3有解，∵e x+3＞3，∴m＞，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．【解答】解：由题意得x，y的约束条件．画出不等式组表示的可行域如图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10．x﹣y＜λ+恒成立，即：λ+≥10，即：．解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c＞0且（a+b）（a+c）=4﹣2，则2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥=2=2，当且仅当a+b=a+c=﹣1时取等号．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．【分析】根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可【解答】解：∵x∈（0，+∞），∴x1f（x1）＜x2f（x2）．即函数g （x ）=xf （x ）=e x ﹣ax 2在x ∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x ）=e x ﹣2ax ≥0恒成立． ∴2a ≤，令，则，x ∈（0，1）时m'（x ）＜0，m （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时m'（x ）＞0，m （x ）单调递增， ∴2a ≤m （x ）min =m （1）=e ， ∴．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，且n ∈N*，则a 8=．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，则：（常数），数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．则：，所以：，当n=1时，首项a 1=1， 故：．所以：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于﹣3．【分析】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．【解答】解：∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12∴•=﹣3=||||cosθ∴||cosθ=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．15．设实数x，y满足，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．【解答】解：由实数x，y满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为[k OB，k OA]，A（1，1），B（，）即∈[，1]，∈[1，7]，﹣ [﹣1，]．所以则的最小值为﹣；m最大值为：；所以的取值范围是：[﹣，]故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求m的范围．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【解答】解：（1）∵f（x）=•=2sin（+x）•sin（+x）﹣cos2x=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos[2（+x）]﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴最小正周期T=π，由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，所以f（x）的对称轴为：x=+，k∈Z，（2）因为f（x）﹣m=2可化为m=2sin（2x﹣）﹣1在x∈[，]上有解，等价于求函数y=2sin（2x﹣）﹣1的值域，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴y∈[0，1]故实数m的取值范围是[0，1]【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质列出关于公差d的方程，利用方程求得d，然后写出通项公式；（2）根据单调数列的定义推知a n=2n﹣1，然后利用已知条件求得b n的通项公式，再由错位相减法求得答案．【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，∴（1+7d）2=（1+4d）（1+12d）解得d=0或d=2，∴a n=1或a n=2n﹣1；（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n=2n﹣1，（i）当n=1时，T1=b1===．（ii）当n＞1时，b n==，∴T n=+++…+……①∴T n=+++…++……②①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣，∴T n=﹣．综上所述，T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题综上所述，20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．令n=1时，，n=2时，， n=3时，，由于2a 2=a 1+a 3， 所以，解得k=﹣1． 由于=（2n ﹣1）（n +1），且n +1≠0， 则a n =2n ﹣1；（2）由于===，所以S n =+…+=+n==．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．21．（2分）已知函数f （x ）=ax +lnx （a ∈R ） （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程； （2）求f （x ）的单调区间和极值；（3）设g （x ）=x 2﹣2x +2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f （x ）在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；（2）求导函数，在区间（0，﹣）上，f'（x ）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x ）＜0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；（3）由已知转化为f （x ）max ＜g （x ）max ，可求g （x ）max =2，f （x ）最大值﹣1﹣ln （﹣a ），由此可建立不等式，从而可求a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知f′（x）=2+（x＞0），…（2分）∴f'（1）=2+1=3，f（1）=2，故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，故切线方程是：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0…（4分）（2）求导函数可得f′（x）=a+=（x＞0）．…当a＜0时，由f'（x）=0，得x=﹣．在区间（0，﹣）上，f'（x）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），=﹣1﹣ln（﹣a）…（10分）故f（x）极大值=f（﹣）（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．∵g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2…（11分）由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），所以ln（﹣a）＞﹣3，解得a＜﹣．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）max＜g（x）max．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴∴a=1，∴f（x）=e x，f令h（x）=x2e x﹣1，h'（x）=（2x+x2）e x，h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以x∈（﹣∞，0）时，h（x），即x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，所以函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减．（Ⅱ） 由条件可知，g（x）=e x﹣x+m+1，①g'（x）=e x﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使函数有两个零点，则g（x）min=g（0）=m+2＜0，∴m＜﹣2．‚②证明：由上可知，x1＜0＜x2，∴﹣x2＜0，∴构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，所以m（x）＞m（0）即g（x2）=g（x1）＞g（﹣x1）又g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。
湖北省部分重点中学2018届高三第一次联考数学(理)模拟试题
湖北省部分重点中学2018届高三第一次联考数学(理)模拟试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：湖北省部分重点中学2018届高三第一次联考高三数学（理）试卷命题学校：武汉六中 命题教师：黄圣然 审题教师：田传奎考试时间：2017年11月9日上午9:00——11:00 试卷满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 12izi =+已知＋,则复数z = （ ） （A ）-1+3i (B)-1-3i (C)1+3i (D)1-3i(2) 已知集合113|A x Z x <⎧⎫=∈⎨⎩-⎬⎭， {}2|230B x x x =-<-，则A B =I （ ） (A) {}|-1<x<3x (B) {}0,1,2 (C) {}10,1,2,3-， (D) φ(3) 已知向量a r =（0，1），b r =（1，2），则向量b r 在向量a r方向上的投影为（ ）(A) （0,1） (B) （0,2） (C) 1 (D) 2(4)为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案。
第一步：2017年女职工退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁。
小明母亲是出生于1964年，据此方案，她退休的年份是 （ ） （A ）2019 (B) 2020 (C) 2021 (D) 2022 （5）若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ， 则下列说法正确的是 （ ） （A ）{}n S 单调递减 （B ）{}n S 单调递增（C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值 (6)函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω>0，2||πϕ<，x ∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ( ) (A) )48sin(4ππ+-=x y(B) )48sin(4ππ-=x y-446-2o yx(C) )48sin(4ππ--=x y (D) )48sin(4ππ+=x y (7) 已知1027)4sin(=-πα，2572cos =α，则cos α= （ ） (A)45- (B) 35- (C) 35± (D) 45±(8) 对于任意实数a ，b ，2()a b kab +≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ）(A) [)4,+∞ (B) []0,4 (C) (],4-∞ (D) (][),04,-∞⋃+∞ (9){}{}{}222|2017,|2018,|2000170A x x axB x x axC x x x b =++=+>+>=-+>设集合{}2|2018b R 0D x x x b =-+>∈，其中a ，，下列说法正确的是（ ） ()a R A B b R C A D ∀∈∀∈对，是的子集；对，不是的子集()a R A B b R C B D ∀∈∃∈对，是的子集；，是的子集()a R A B b R C C D ∃∈∀∈，不是的子集；对，不是的子集()a R A b R C D ∃∈∃∈，不是B 的子集；，是D 的子集（10）若2112S dx x =⎰，221ln S xdx =⎰，211(1)S x dx =-⎰，则123,,S S S 的大小关系为（ ）（A ）132S S S << （B ）312S S S <<（C ）321S S S <<（D ）231S S S <<（11）若x ，y 满足121,210yx x y x y ⎧≥⎪⎪+≥⎨⎪++≥⎪⎩则3z x y =-的最小值为 （）（A ）23-（B ）12-（C ）-4（D ）不存在最小值 （12）已知函数55()(1)12f x x x =-+-，2(21)2()x g x e--=，()0h x =，则上述三个函函数图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） （A ） 1 （B ）2 （C ）4 （D ）8第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)-(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)-(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）2017cos3π= （14） 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三个点A 、B 、C ，若320OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r,则BC u u u r=（15） 111x y z 235x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若，，满足① 523z x y >> ②235x y z >> ③532z y x >>④532z y x ==上述关系中可能成立的序号是 .（把符合要求的序号都填上） （16）在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，1,2,3,n =L .那么，100a =_________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本大题满分12分）已知函数2()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π（1）当π0,f x =2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求方程（）0的实根，（2）已知p ：ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， , q: ()1f x m -<,若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围（18）（本大题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，ABCDSc ，向量p u r =（sinA+sinC ，sinB ），向量q r =（a-c ，b-a ）且满足p q ⊥u r r（1） C ABC ∆求的内角的值（2） 若c=2,2sin2A+sin （2B+C ）=sinC,求ABC ∆的面积 （19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S（1）若等比数列{}n a 的公比q<0,求{}n a 的通项； （2）若{}n a 为正项数列,求{}n nS 的前n 项和n T（20）（本大题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC =o ∠，SAB ∆为正三角形（1）证明SA BC ⊥；（2）若6BC =,3AB SA SB ===，求二面角D SA B --的大小的余弦值（21）（本大题满分12分）已知函数2()(21)x f x e ax bx -=++,其中,a b R ∈，2.71828e =L 为自然对数的底数.（1）当0,0b a =≥，讨论()f x 的单调性;（2）若(1)1f =，且关于x 的方程()1f x =在（0,1）内有解，求实数a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学一模试卷(文科)
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|log2(4+x−x2)>1}，集合B={y|y=(12)x, x>1}，则A∩(∁R B)=()A.[12, 2)B.(−1, 12]C.(−1, 0]∪[12,2)D.(−∞, −1)∪(2, +∞)2. 已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若(2−i)⋅z1=i+i2+i3+...+i2018（其中i是虚数单位），则复数z2的虚部等于（）A.−15B.15C.−35D.−15i3. 下列命题中，真命题的是（）A.“∃x0∈R，e x0≤0”的否定是“∀x∈R，e x≥0”B.已知a>0，则“a≥1”是“a+1a≥2”的充分不必要条件C.已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α // βD.若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，则事件A与B是对立事件4. 已知直线l1:x⋅sinα+y−1=0，直线l2:x−3y⋅cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α等于 ( )A.3 5B.±35C.−35D.235. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线C的离心率为（）A.2或√3B.2或2√33C.2√33D.26. 已知定义在R上的函数f(x)在[1, +∞)上单调递减，且f(x+1)是偶函数，不等式f(m+2)≥f(x−1)对任意的x∈[−1, 0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[−3, 1]B.[−4, 2]C.(−∞, −3]∪[1, +∞)D.(−∞, −4)∪[2, +∞)7. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少大米？（ ） A.1170升 B.1380升 C.3090升 D.3300升8. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，点P ，Q ，R 在f(x)的图象上，坐标分别为(−1, −A)、(1, 0)、(x 0, 0)，△PQR 是以PR 为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图象向右平移5个单位后得到函数g(x)的图象，则关于g(x)的说法中不正确的是（ ）A.g(x)是偶函数B.g(x)在区间[0, 4]上是减函数C.g(x)的图象关于直线x =2对称D.g(x)在[−1, 3]上的最小值为−√69. 如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.4πB.8πC.16πD.32π10. 已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3的半径依次为1，2，3，⊙O 1，⊙O 2外切于点M ，⊙O 2，⊙O 3外切于点N ，⊙O 1，⊙O 3外切于点P ，则O 1N →⋅(O 1M →+O 1P →)=( )A.85B.175C.145D.19511. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，焦点为F ，直线y =x 与抛物线C 交于O ，A 两点（O 为坐标原点），过F 作直线OA 的平行线交抛物线C 于B.x =−12A.x =−1 C.y =−1 D.y =−1212. 已知函数f(x)=sinx −xcosx ，现有下列结论：①当x ∈[0, π]时，f(x)≥0；②当0<α<β<π时，α⋅sinβ>β⋅sinα； ③若n <sinx x<m 对∀x ∈(0,π2)恒成立，则m −n 的最小值等于1−2π；④已知k ∈[0, 1]，当x i ∈(0, 2π)时，满足|sinx i |x i=k 的x i 的个数记为n ，则n 的所有可能取值构成的集合为{0, 1, 2, 3}其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题．（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1+2S 5=3S 3，则{a n }的公比等于________．如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的a 1，a 2，…，a 54为茎叶图中的学生成绩，则输出的S 和n 的值分别是________．已知不等式组{|x|−y ≤0x −2y +1≤0 表示的区域为Ω，若存在点P(x 0, y 0)∈Ω，使得2kx 0−2y 0+k =0，则实数k 的取值范围是________．已知曲线C 1:y =lnx(0<x <1)的切线l 与曲线C 2:y =x 2相切于点(m, m 2)，某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线l 只有一条；乙说：m 的取值介于√2与√3之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有________． 三、解答题．（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）如图，在△ABC 中，AB >BC ，∠ABC =120∘，AB =3，∠ABC 的角平分线与AC 交于点D ，BD =1．(Ⅰ)求sinA ；(Ⅱ)求△BCD 的面积．如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是CB ，CD 的中点，点M 在棱CC 1上，CM =tCC 1(0<t <1)．(Ⅰ)三棱锥C −EFM ，C 1−B 1D 1M 的体积分别为V 1，V 2，当t 为何值时，V 1⋅V 2最大？最大值为多少？(Ⅱ)若A 1C // 平面B 1D 1M ，证明：平面EFM ⊥平面B 1D 1M ．某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难．现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x 取13时代表2013年，x 与y （万元）近似满足关系式y =C 1∗2C 2x ，其中C 1，C 2为常数．（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）其中k i =log 2y i ，k =15∑5i=1k i(Ⅰ)估计该市2018年人均可支配年收入；(Ⅱ)求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据(u 1, v 1)，(u 2, v 2)…，(u n , v n )，其回归直线方程v ∧=βu ∧+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β∧=∑(n i=1u i −u)(vv i −v)∑(n i=1u i −u)2，α∧=v −β∧u②已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长和焦距都等于2，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于−1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D ．(Ⅰ)证明：直线BD 的斜率为定值；(Ⅱ)求△ABD 面积的最大值，并求此时直线BD 的方程．已知函数f(x)=12x 2−ax +lnx ，其中a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数；(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点m ，n ，其中m <n 且m >√22是否存在整数k 使得不等式f(n)+k <f(m)<f(n)+3k +51n2恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为{x =tcosαy =−1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π4)．(Ⅰ)求C 2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；(Ⅱ)C 1与C 2相交于不同两点A ，B ，线段AB 中点为M ，点N(0, −1)，若|MN|=2，求C 1参数方程中sinα的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x|；(Ⅰ)若2f(x −1)+f(2x −a)≥1对∀x ∈R 恒成立，求正实数a 的取值范围；(Ⅱ)函数g(x)=3f(x)−f(x −t)(t ≠0)，若函数g(x)的图象与x 轴围成的面积等于3，求实数t的值．参考答案与试题解析2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求函数的定义域和值域得出集合A、B，根据交集和补集的定义计算即可．【解答】集合A={x|log2(4+x−x2)>1}={x|4+x−x2>2}={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}=(−1, 2)，集合B={y|y=(12)x, x>1}={y|0<y<12}，∴∁R B=(−∞, 0]∪[12, +∞)，∴A∩(∁R B)=(−1, 0]∪[12, 2)．2.【答案】A【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】由虚数单位i的性质化简已知等式右边，进一步求得z1，则z2可求．【解答】∵i n(n∈N∗)的取值呈现周期性，周期为4，且i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，∴(2−i)⋅z1=i+i2+i3+...+i2018=i+i2=−1+i，∴z1=−1+i2−i =(−1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=−35+15i，∴z2=−35−15i，则z2的虚部等于−15．3.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意，对选项中的命题分析、判断正误即可．【解答】对于A，“∃x0∈R，e x0≤0”的否定是“∀x∈R，e x>0”，∴A错误；对于B，“a+1a≥2”恒成立的充要条件是a>0，∴ “a≥1”是“a+1a≥2”的充分不必要条件，B正确；对于C，当平面α⊥γ，β⊥γ时，α // β或α与β相交，∴C错误；对于D，几何概型不满足P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，则事件A与B是对立事件，∴D错误．4.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数基本关系的运用直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的斜率【解析】根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．【解答】解：因为l1⊥l2，所以sinα−3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．故选A.5.【答案】B【考点】双曲线的特性【解析】利用双曲线的实轴所在的轴，设出方程，利用渐近线的倾斜角求解离心率即可．【解答】若焦点在x轴上，则方程为x2a2−y2b2=1(a, b>0)，所以ba=√3，则e=ca=√1+b2a2=2；若焦点在y轴上，则方程为y2a2−x2b2=1(a, b>0)，所以ab=√3，则e=ca=√1+b2a2=2√33；6.【答案】A【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由f(x+1)为偶函数，则有f(−x+1)=f(x+1)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，结合函数的单调性可得f(m+2)≥f(x−1)⇒|(m+2)−1|≤|(x−1)−1|，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，f(x+1)是偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又由函数f(x)在[1, +∞)上单调递减，由f(m+2)≥f(x−1)可得|(m+2)−1|≤|(x−1)−1|，即|m+1|≤|x−2|恒成立，又由x∈[−1, 0]，则2≤|x−2|≤3，则有：|m+1|≤2，解可得−3≤m≤1；即m的取值范围为[−3, 1]；7.【答案】D【考点】数列的应用【解析】直接利用数列的求和得出结论．【解答】设第n天派出的人数为a n，则{a n}是以64为首项、7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为S n=a1+a2+a3+...+a n=64n+n(n+1)2∗7，所以前5天共分发的大米数为：3(S1+S2+S3+S4+S5)=3[(1+2+3+4+5)×64+(1+3+6+10)×7]=33(00)8.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数f(x)的部分图象求出函数解析式，写出g(x)的解析式，判断选项中的命题是否正确．【解答】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，T 4=2，所以2πω=8，解得ω=π4；因为PQ=QR=4，作PH⊥x轴于点H，则QH=2，所以A=2√3，当x=1时，ωx+φ=0，所以φ=−π4，所以f(x)=2√3sin(π4x−π4)；所以g(x)=f(x −5)=2√3sin[π4(x −5)−π4]=2√3cos π4x ， 根据余弦函数的性质可知g(x)是偶函数，A 正确；x ∈[0, 4]时，π4x ∈[0, π]，∴ g(x)是单调减函数，B 正确；x =2时，g(2)=2√3cos π2=0，g(x)的图象不关于x =2对称，C 错误；x ∈[−1, 3]时，π4x ∈[−π4, 3π4]，cos π4x ∈[−√22, 1]，∴ g(x)∈[−√6, 2√3]，则g(x)的最小值为−√6，D 正确． 9.【答案】 D【考点】球的体积和表面积 【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥O −ABC ，在三棱锥O −ABC 中，∠AOC =∠ABC =90∘，由已知求出其外接球的直径为AC ，则半径R =12AC ，再由球的表面积公式求解． 【解答】由三视图还原原几何体的直观图如图， 该几何体为三棱锥O −ABC ，在三棱锥O −ABC 中，∠AOC =∠ABC =90∘， ∴ 其外接球的直径为AC ，则半径R =12AC =2√2，∴ 外接球的表面积该几何体外接球的表面积为S =4πR 2=32π． 10.【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据图形可求得O 1O 2=3，O 2O 3=5，O 3O 1=4，从而得出O 1O 2⊥O 1O 3，根据向量加法和数乘的几何意义即可得出O 1N →=35O 1O 2→+25O 1O 3→，然后进行数量积的运算即可．【解答】如图，O 1O 2=3，O 2O 3=5，O 3O 1=4； ∴ O 1O 2⊥O 1O 3； O 1N →=O 1O 2→+O 2N →=O 1O 2→+25O 2O 3→=O 1O 2→+25(O 1O 3→−O 1O 2→)=35O 1O 2→+25O 1O 3→；∴ O 1N →∗(O 1M →+O 1P →)=(35O 1O 2→+25O 1O 3→)∗(O 1M →+O 1P →)=35×3×1+0+0+25×4×1=175．11.【答案】 A【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设B(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，利用斜率公式，推出y 1+y 2=2p ，取BD 中点M 、OA 中点N ，则E 、M 、N 三点共线，且所在直线方程为y =p ，求解即可． 【解答】如图所示，设B(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则1=y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 12p −y 22p=2py 1+y 2，则y 1+y 2=2p ，取BD 中点M 、OA 中点N ，则E 、M 、N 三点共线，且所在直线方程为y =p ，所以△OEF 的面积S =12×OF ×p =p 24=1，所以p =2，准线方程为x =−(1)故选：A ．12.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①利用导数判断x ∈[0, π]时f(x)是单调增函数，判断f(x)≥0； ②构造函数g(x)=sinx x ，判断g(α)>g(β)，得出αsinβ<βsinα；③由g(x)=sinx x在(0, π2)上为减函数，求出n 的最大值和m 的最小值，再判断正误；④令ℎ(x)=|sinx|，k 表示点（x i , ℎ(x i )）与原点(0, 0)连线的斜率，结合图象求得n 的所有可能取值． 【解答】当x ∈[0, π]时，f′(x)=xsinx ≥0， 所以f(x)≥f(0)=0，①正确； 令g(x)=sinx x，由①知，当x ∈[0, π]时，g′(x)=xcosx−sinxx 2≤0，所以g(α)>g(β)，sinαα>sinββ，所以αsinβ<βsinα，②错误；由②可知g(x)=sinxx 在(0, π2)上为减函数，所以g(x)=sinxx >g(π2)=2π，则n≤2π，令φ(x)=sinx−x，x∈(0, π2)时，φ′(x)=cosx−1<0，所以φ(x)=sinx−x<φ(0)=0，所以sinxx<1，所以m≥1，则(m−n)min=m min−n max=1−2π，③正确；令ℎ(x)=|sinx|，k表示点（x i, ℎ(x i)）与原点(0, 0)连线的斜率，结合图象可知，当k∈[0, 1]时，n的所有可能取值有0、1、2、3，④正确．综上，正确的命题序号是①③④．二.填空题．（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）【答案】√22【考点】等比数列的性质【解析】设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q>0，S1+2S5=3S3，可得a1+2(a1+a2+……+a5)=3(a1+a2+a3)，化为：2(a5+a4)=a3+a2，利用通项公式及其性质即可得出．【解答】设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q>0，∵S1+2S5=3S3，∴a1+2(a1+a2+……+a5)=3(a1+a2+a3)，化为：2(a5+a4)=a3+a2，a5+a4 a3+a2=q2=12，∵{a n}的各项均为正数，∴q>0，∴q=√22．【答案】86，13【考点】程序框图【解析】算法的功能是计算学生在54名学生的政治考试成绩中，S为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得S=86，n表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知n=13，由此得解．【解答】由程序框图知：算法的功能是计算学生在54名学生的政治考试成绩中，S为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得S=86；n表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知n=(13)【答案】(−∞, −1)∪[23, +∞)【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，由直线l:y =k(x +12)过定点P(−12, 0)，结合直线的斜率得答案． 【解答】作出可行域如图所示，联立{x −2y +1=0y =−x ，解得A(−13, 13)， 联立{x −2y +1=0y =x ，解得B(1, 1)， 由2kx 0−2y 0+k =0，得y 0=k(x 0+12)，直线l:y =k(x +12)与区域有公共点，l 过定点P(−12, 0)，PB 的斜率等于23，由图形可知实数k 的范围为(−∞, −1)∪[23, +∞)．【答案】 甲、乙 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】设l 与C 1的切点为(n, lnn)，根据导数的几何意义求出直线l 的方程，求出关于m 的函数的单调性和零点个数得出答案． 【解答】设直线l 与曲线C 1相切于(n, lnn)，则直线l 的方程为：y −lnn =1n (x −n)， 又直线l 与C 2:y =x 2相切于(m, m 2)，∴ 直线l 的方程为：y −m 2=2m(x −m)， ∴ {1n =2m lnn −1=−m 2，消去n 得：ln(2m)+1=m 2(m >1)，令ℎ(m)=m 2−ln(2m)−1=m 2−lnm −1−ln2， 则ℎ′(m)=2m −1m=2m 2−1m>0，∴ ℎ(m)单调递增，∵ ℎ(√2)=1−ln(2√2)<0，ℎ(√3)=2−ln(2√3)>0， ∴ ℎ(m)只有一个零点m 0，故甲说法正确； 又m 0∈(√2, √3)，所以乙说法正确． 三、解答题．（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） 【答案】(Ⅰ)在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ×BD ×cos∠ABD =9+1−2×3×1×12=7， 所以AD =√7；…3分 由正弦定理得BDsinA =ADsin∠ABD ，所以sinA=BD×sin∠ABDAD =√32√7=√2114；…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知cosA=√1−sin2A=2√7；…7分在△ABC中，sinC=sin(120∘+A)=√32×27−12×√327=√217；…8分在△BCD中，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=AB×sinAsinC =32；…10分所以△BCD的面积为S=12×BD×BC×sin∠CBD=12×1×32×√32=3√38．…12分【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)利用余弦定理和正弦定理即可求得sinA的值；(Ⅱ)由三角恒等变换和正弦定理以及三角形的面积公式求得△BCD的面积．【解答】(Ⅰ)在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB×BD×cos∠ABD=9+1−2×3×1×12=7，所以AD=√7；…3分由正弦定理得BDsinA =ADsin∠ABD，所以sinA=BD×sin∠ABDAD =√32√7=√2114；…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知cosA=√1−sin2A=2√7；…7分在△ABC中，sinC=sin(120∘+A)=√32×2√7−12×√32√7=√217；…8分在△BCD中，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=AB×sinAsinC =32；…10分所以△BCD的面积为S=12×BD×BC×sin∠CBD=12×1×32×√32=3√38．…12分【答案】(Ⅰ)由题可知，CM=2t，C1M=2−2t，∴V1=13S△ECF⋅CM=13×12×1×1×2t=t3，V2=13S△B1C1D1⋅C1M=13×12×2×2×(2−2t)=43(1−t)，∴V1⋅V2=4t(1−t)9≤49⋅(12)2=19．当且仅当t=1−t，即t=12时等号成立．所以当t=12时，V1⋅V2最大，最大值为19．(Ⅱ)连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，∵A1C // 平面B1D1M，平面A1CC1∩平面B1D1M=OM，∴A1C // OM，∴M为CC1的中点，连接BD，∵E，F为BC、CD的中点，∴EF // BD，又AC⊥BD，∴AC⊥EF．∵AA1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴AA1⊥EF，又AA1∩AC=A，∴EF⊥平面A1AC，又A1C⊂平面A1AC，∴EF⊥A1C．同理可得：EM⊥A1C，又EF∩EM=E，∴A1C⊥平面EFM．又A1C // 平面B1D1M，∴平面EFM⊥平面B1D1M．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算平面与平面垂直【解析】（I）用t表示出V1，V2，得出V1⋅V2关于t的函数，根据函数性质得出最大值；(II)由线面平行的性质可求得M为CC1的中点，证明A1C⊥平面EFM即可得出结论．【解答】(Ⅰ)由题可知，CM=2t，C1M=2−2t，∴V1=13S△ECF⋅CM=13×12×1×1×2t=t3，V2=13S△B1C1D1⋅C1M=13×12×2×2×(2−2t)=43(1−t)，∴V1⋅V2=4t(1−t)9≤49⋅(12)2=19．当且仅当t=1−t，即t=12时等号成立．所以当t=12时，V1⋅V2最大，最大值为19．(Ⅱ)连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，∵A1C // 平面B1D1M，平面A1CC1∩平面B1D1M=OM，∴A1C // OM，∴M为CC1的中点，连接BD，∵E，F为BC、CD的中点，∴ EF // BD ，又AC ⊥BD ，∴ AC ⊥EF ． ∵ AA 1⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ， ∴ AA 1⊥EF ，又AA 1∩AC =A ，∴ EF ⊥平面A 1AC ，又A 1C ⊂平面A 1AC ， ∴ EF ⊥A 1C ．同理可得：EM ⊥A 1C ，又EF ∩EM =E ， ∴ A 1C ⊥平面EFM ． 又A 1C // 平面B 1D 1M ，∴ 平面EFM ⊥平面B 1D 1M ．【答案】(Ⅰ)因为x =15(13+14+15+16+17)=15所以：∑5i=1(x i −x)2=(−2)2+(−1)2+12+22=10；关系式y =C 1∗2C 2，其中k i =log 2y i 得：k =log 2C 1∗2C 2x ， ∴ k =log 2C 1+C 2x ， 所以C 2=∑(5i=1x i −x)(k i −k)∑(5i=1x i −x)2=110∴ log 2C 1=k −C 2x =1.2−110×15=−0.3所以C 1=2−0.3=0.8 所以y =0.8×2x10当x =18时，2018年人均可支配年收入y =0.8×21.8=2.8（万）(Ⅱ)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人 2018年人均可支配收入比2017年增长0.8×21.8−0.8×21.70.8×21.7=20.1−1=0.1=10%所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1−10%)=2520人， 很困难的学生有4200×(1−20%)+2800×10%=3640人 一般困难的学生有7000×(1−30%)+4200×20%=5740人所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万． 【考点】求解线性回归方程【解析】(Ⅰ)根据表中数据，求出x ，y ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；代入x =18即可．(Ⅱ)通过由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，按照增长比例关系求解2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生：即可得财政预算． 【解答】(Ⅰ)因为x =15(13+14+15+16+17)=15所以：∑5i=1(x i −x)2=(−2)2+(−1)2+12+22=10；关系式y =C 1∗2C 2，其中k i =log 2y i 得：k =log 2C 1∗2C 2x ， ∴ k =log 2C 1+C 2x ， 所以C 2=∑(5i=1x i −x)(k i −k)∑(5i=1x i −x)2=110∴ log 2C 1=k −C 2x =1.2−110×15=−0.3所以C 1=2−0.3=0.8 所以y =0.8×2x10当x =18时，2018年人均可支配年收入y =0.8×21.8=2.8（万）(Ⅱ)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人 2018年人均可支配收入比2017年增长0.8×21.8−0.8×21.70.8×21.7=20.1−1=0.1=10%所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1−10%)=2520人， 很困难的学生有4200×(1−20%)+2800×10%=3640人 一般困难的学生有7000×(1−30%)+4200×20%=5740人所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万． 【答案】(Ⅰ)证明：由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，2b =2c =2，则a 2=b 2+c 2=2， 所以C 的方程为x 22+y 2=1...2分设D(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则A(−x 1, −y 1)，直线BD 的斜率k =y 2−y1x 2−x 1，由{x 122+y 12=1x 222+y 22=1，两式相减，y 2−y 1x2−x 1=−12×x 1+x2y 1+y 2，由直线k AB =y 1+y 2x 1+x 2=−1，所以k =y 2−y 1x 2−x 1=12，∴ 直线BD 的斜率为定值； ...5分(Ⅱ)因为A ，D 关于原点对称，所以S △ABD =2S △OBD ，由(Ⅰ)可知BD 的斜率k =12，设BD 方程为y =12x +t(−1<t <√22且t ≠0)，O 到BD 的距离d =√1+4=√5分由{y =12x +tx 22+y 2=1 ，整理得：3x 2+4tx +4(t 2−1)=0， 所以x 1+x 2=−4t3，x 1x 2=4(t 2−1)3...7分所以S △ABD =2S △OBD =2×12×|BD|×d =√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2√5=|t|×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2， =|t|√(−4t3)2−163(t 2−1)=4|t|3√t 2−3(t 2−1)=43√t 2(3−2t 2)，=3√2√2t 2(3−2t 2)≤3√22t 2+3−2t 22=√2，…10分当且仅当2t 2=3−2t 2，即t =−√32时等号成立，所以△ABD 面积的最大值为√2 (11)分此时直线BD 的方程为y =12x −√32，即x −2y −√3=0，∴ △ABD 面积的最大值√2，直线BD 的方程x −2y −√3=(0)…12分 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程，根据椭圆的性质即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程，利用点差法即可求证直线BD 的斜率为定值；(Ⅱ)设直线BD 的方程，由S △ABD =2S △OBD ，将直线BD 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得△ABD 面积的最大值，并能求出t 的值，求得直线BD 的方程． 【解答】(Ⅰ)证明：由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，2b =2c =2，则a 2=b 2+c 2=2， 所以C 的方程为x 22+y 2=1...2分设D(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则A(−x 1, −y 1)，直线BD 的斜率k =y 2−y1x 2−x 1，由{x 122+y 12=1x 222+y 22=1，两式相减，y 2−y 1x2−x 1=−12×x 1+x2y 1+y 2，由直线k AB =y 1+y 2x 1+x 2=−1，所以k =y 2−y 1x 2−x 1=12，∴ 直线BD 的斜率为定值； ...5分(Ⅱ)因为A ，D 关于原点对称，所以S △ABD =2S △OBD ，由(Ⅰ)可知BD 的斜率k =12，设BD 方程为y =12x +t(−1<t <√22且t ≠0)，O 到BD 的距离d =√1+4=√5分由{y =12x +tx 22+y 2=1 ，整理得：3x 2+4tx +4(t 2−1)=0， 所以x 1+x 2=−4t3，x 1x 2=4(t 2−1)3...7分所以S △ABD =2S △OBD =2×12×|BD|×d =√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2√5=|t|×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2， =|t|√(−4t3)2−163(t 2−1)=4|t|3√t 2−3(t 2−1)=43√t 2(3−2t 2)，=3√2√2t 2(3−2t 2)≤3√22t 2+3−2t 22=√2，…10分当且仅当2t 2=3−2t 2，即t =−√32时等号成立，所以△ABD 面积的最大值为√2 (11)分此时直线BD 的方程为y =12x −√32，即x −2y −√3=0，∴ △ABD 面积的最大值√2，直线BD 的方程x −2y −√3=(0)…12分【答案】（1）f(x)的定义域是(0, +∞)， f′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，令g(x)=x 2−ax +1，(x >0)， 对称轴x =a2，①a2≤0即a ≤0时，g(x)在(0, +∞)递增， g(x)>g(0)=1，故f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增， 函数f(x)无极值； ②a 2>0即a >0时，g(x)在(0, a2)递减，在(a2, +∞)递增， 故g(x)min =g(a2)=4−a 24，当0<a ≤2时，g(x)>0，故f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增， 函数f(x)无极值； a >2时，g(a2)<0， 令g(x)=0，解得：x =a±√a2−42，故f(x)在(0, a−√a2−42)递增，在(a−√a2−42, a+√a 2−42)递减，在(a+√a2−42, +∞)递增，故函数f(x)2个极值点，综上，a ≤2时，f(x)无极值点，a >2时，f(x)2个极值点； （2）由(Ⅰ)得：a >2， m =a−√a 2−42，n =a+√a2−42，故m1∈(√22, 1)，令t =m 2，因为m ∈(√22, 1)，所以t ∈(12, 1)，设g(t)=−12(t −1t )+lnt （t ∈(12, 1)） 因为g′(t)=−(t−1)22t 2<0，所以g(t)在(12, 1)上为减函数， 所以g(1)<g(t)<g(12)， 因为g(1)<0，g(12)=34−ln2，所以0<g(t)<34−ln2，即0<f(m)−f(n)<34−ln2， 因为f(n)+k <f(m)<f(n)+3k +51n2， 所以k <f(m)−f(n)<3k −51n2，所以{k ≤03k +51n2≥34−ln2 ，解得14−2ln2≤k ≤0， 因为ln2≈0.7，所以14−2ln2≈0.25−2×0.7=−1.15，又因为k ∈Z ，所以k =0或k =−1，所以存在整数k =0或k =−1使得不等式f(n)+k <f(m)<f(n)+3k +51n2恒成立． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可；(Ⅱ)得到0<f(m)−f(n)<34−ln2，由f(n)+k <f(m)<f(n)+3k +51n2，求出k <f(m)−f(n)<3k −51n2，得到关于k 的不等式组，解出即可． 【解答】（1）f(x)的定义域是(0, +∞)， f′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，令g(x)=x 2−ax +1，(x >0)， 对称轴x =a2，①a 2≤0即a ≤0时，g(x)在(0, +∞)递增，g(x)>g(0)=1，故f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增，函数f(x)无极值；②a 2>0即a >0时，g(x)在(0, a 2)递减，在(a 2, +∞)递增，故g(x)min =g(a 2)=4−a 24，当0<a ≤2时，g(x)>0，故f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增，函数f(x)无极值；a >2时，g(a 2)<0，令g(x)=0，解得：x =a±√a2−42，故f(x)在(0, a−√a2−42)递增，在(a−√a2−42, a+√a 2−42)递减，在(a+√a 2−42, +∞)递增，故函数f(x)2个极值点，综上，a ≤2时，f(x)无极值点，a >2时，f(x)2个极值点；（2）由(Ⅰ)得：a >2，m =a−√a 2−42，n =a+√a2−42，故m 1∈(√22, 1)， 令t =m 2，因为m ∈(√22, 1)，所以t ∈(12, 1)， 设g(t)=−12(t −1t )+lnt （t ∈(12, 1)）因为g′(t)=−(t−1)22t 2<0， 所以g(t)在(12, 1)上为减函数，所以g(1)<g(t)<g(12)，因为g(1)<0，g(12)=34−ln2，所以0<g(t)<34−ln2，即0<f(m)−f(n)<34−ln2，因为f(n)+k <f(m)<f(n)+3k +51n2，所以k <f(m)−f(n)<3k −51n2，所以{k ≤03k +51n2≥34−ln2 ，解得14−2ln2≤k ≤0，因为ln2≈0.7，所以14−2ln2≈0.25−2×0.7=−1.15，又因为k ∈Z ，所以k =0或k =−1，所以存在整数k =0或k =−1使得不等式f(n)+k <f(m)<f(n)+3k +51n2恒成立． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】(Ⅰ)由C 2的极坐标方程ρ=2√2cos(θ−π4)，转化为直角坐标方程为：(x −1)2+(y −1)2=(2)该曲线表示以(1, 1)为圆心，√2为半径的圆．(Ⅱ)将C 1的参数方程为{x =tcosαy =−1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，代入(x −1)2+(y −1)2=2，整理得：t 2−(2cosα+4sinα)t +3=0，t 1和t 2为A 、B 对应的参数，所以：t 1+t 2=2cosα+4sinα，由于|MN|=2，则：|t 1+t 22|=2，整理得：cosα+2sinα=2，所以：1−sin 2α=4(1−sinα)2，解得：sinα=35，或sinα=(1)【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线的参数方程，建立一元二次方程组，进一步利用根和系数的关系求出结果．【解答】(Ⅰ)由C 2的极坐标方程ρ=2√2cos(θ−π4)，转化为直角坐标方程为：(x −1)2+(y −1)2=(2)该曲线表示以(1, 1)为圆心，√2为半径的圆．(Ⅱ)将C 1的参数方程为{x =tcosαy =−1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，代入(x −1)2+(y −1)2=2，整理得：t 2−(2cosα+4sinα)t +3=0，t 1和t 2为A 、B 对应的参数，所以：t 1+t 2=2cosα+4sinα，由于|MN|=2，则：|t 1+t 22|=2，整理得：cosα+2sinα=2，所以：1−sin 2α=4(1−sinα)2，解得：sinα=35，或sinα=(1)[选修4-5：不等式选讲]【答案】(Ⅰ)函数f(x)=|x|，可得2f(x −1)+f(2x −a)=|2x −2|+|2x −a|≥|2x −2−2x +a|=|a −2|， 2f(x −1)+f(2x −a)≥1对∀x ∈R 恒成立，所以[2f(x −1)+f(2x −a)]min ≥1，所以|a −2|≥1，解得a ≥3或a ≤1，因为a >0，所以a 的取值范围为0<a ≤1或a ≥3；(Ⅱ)g(x)=3f(x)−f(x −t)=3|x|−|x −t|，由g(x)=0得3|x|=|x −t|，解得x 1=−t 2，x 2=t 4，因为g(0)=−|t|<0，g(t)=3|t|>0，所以g(x)的图象与x 轴围成的图形为三角形，且落在x 轴上的底边长为|x 1−x 2|=34|t|．高ℎ=|g(0)|=|t|，所以面积S =12|x 1−x 2|⋅ℎ=38t 2=3，所以t 2=8，所以t =±2√2．【考点】函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)由题意可得[2f(x −1)+f(2x −a)]min ≥1，由绝对值不等式的性质可得最小值，解不等式即可得到所求范围；(Ⅱ)g(x)=3f(x)−f(x −t)=3|x|−|x −t|，可令g(x)=0，求得两根，求得g(0)，g(t)，可得g(x)的图象与x 轴围成的图形为三角形，求得底边和高，计算可得面积，解方程可得t ．【解答】(Ⅰ)函数f(x)=|x|，可得2f(x −1)+f(2x −a)=|2x −2|+|2x −a|≥|2x −2−2x +a|=|a −2|， 2f(x −1)+f(2x −a)≥1对∀x ∈R 恒成立，所以[2f(x −1)+f(2x −a)]min ≥1，所以|a −2|≥1，解得a ≥3或a ≤1，因为a >0，所以a 的取值范围为0<a ≤1或a ≥3；(Ⅱ)g(x)=3f(x)−f(x −t)=3|x|−|x −t|，由g(x)=0得3|x|=|x −t|，解得x 1=−t 2，x 2=t 4，因为g(0)=−|t|<0，g(t)=3|t|>0，所以g(x)的图象与x 轴围成的图形为三角形，且落在x 轴上的底边长为|x 1−x 2|=34|t|．高ℎ=|g(0)|=|t|，所以面积S =12|x 1−x 2|⋅ℎ=38t 2=3，所以t2=8，所以t=±2√2．。
湖北省重点高中协作校2018届高三第一次联考数学理试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1A a =，，{}2540B x x x x Z =-+<∈，，若A B ≠∅，则a 等于 （ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或42.已知角θ的终边经过点()3P x ，()0x <且cos θ=，则x 等于 （ ） A ．1-B ．13- C ．3- D．3.已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4.为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C .向右平移3π个单位D ．向右平移23π个单位5.“11e eb dx x ≤⎰”是“函数()2030x x x f x b x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，，是在R 上的单调函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C .充要条件D ．既不充分也不必要条件6.sin3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（ ） A ．sin1.5sin 3cos8.5<< B ．cos8.5sin 3sin1.5<< C .sin1.5cos8.5sin 3<<D ．cos8.5sin1.5sin 3<<7.已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题q ：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧8.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9.若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）AB C D 10.cos104sin80sin10︒︒-︒等于（ ）AB ．CD ．311.设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数a 的最大值为（ ）A ．94B ．2C .92D ．412.若存在两个正实数x y ，，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()0-∞，B ．30]2e（，C .3[)2e+∞，D ．()30[)2e-∞+∞，， 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为．14.已知集合(){}221A x y x y xy =∈+=R ，，，，(){}241B x y x y y x =∈=-R ，，，，则AB 的元素个数是 .15.若2tan sin 2cos 42ππααααπ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则()tan πα-= .16.设函数()f x 对任意实数x 满足()()1f x f x =-+，且当01x ≤≤时，()()1f x x x =-，若关于x 的方程()f x kx =有3个不同的实数根，则k 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)已知函数()f x =的定义域为A ，0m >，函数()()140x g x x m -=<≤的值域为B ．（1）当1m =时，求()C R A B ；； （2）是否存在实数m ，使得A B =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 18.（本小题满分12分）设03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，αα=（1）求cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；19.（本小题满分12分）设p ：实数a 满足不等式39a ≤，q ：函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点. （1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）已知. “p q ∧”为真命题，并记为r ，且t ：2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，且()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是32-，求实数λ的值.21.（本小题满分12分） 已知函数()()1ln 0a x f x a x a x a a ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：当122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 没有零点（提示：ln 20.69≈）．22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 0x ae b xf x a b a x+=∈≠R ，，且．（1）若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与y 轴垂直，且()f x 有极大值，求实数a 的取值范围；（2）若1a b ==，试判断()f x 在()0+∞，上的单调性，并加以证明．（提示：233416994e e ><，）．高三数学试卷（理科）试卷答案一、选择题1．C ，因为{}{}123A a B AB ==≠∅，，，，，所以2a =或3．2．A，由三角函数的定义知r =cos θ=x =，从而1x =±，由0x <，得1x =-．3．A ，由已知得()2112x f x x x -==-，则()21'f x x =，所以()'11f =． 4．C ，将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，得2sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，故选C ．5．B ，11ln 21e eeb dx x xe≤⎰==，若函数()f x 是在R 上的单调函数，则0302b +≤+，即1b ≤．6．B ，由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为8.522πππ<-<，所以cos8.50<，又()sin3sin 3sin1.5π=-<，∴cos8.5sin 3sin1.5<<． 7．D ，∵48lg lg 11log log lg 4log8lg 4lg8x x x x ==>，，， ∴当1x >时，lg lg lg 4lg8x x >，即48log log x x >，即p 为假命题． 8．D ，易判断函数为偶函数，由0y =得1x =±，()()21f ef e -->且()112f e f e --⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选D ． 9．C ，∵()2122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，∴3k πϕπ=+，又2πϕ<，∴3πϕ=，从而()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，()()1212x x f x f x ≠=，， ∴127263x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，且()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称， ∴12116x x π+=-，从而()121133f x x ππ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭． 10．B ，原式cos104cos10sin10︒=︒-︒2sin 20cos10sin10︒-︒=︒()2sin 3010cos10sin10︒-︒-︒=︒=．11．A ，设()()2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，中的每一个数，又()01h =，于是，实数a 需要满足0a ≤或0940a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得94a ≤．12．D ，由题意知()342lnxa yex y x=-，设()012yt t t t e x =>≠≠且，，则()342ln a e t t=-，()122ln 3e t t a =-，令()()()2ln 0f t e t t f t =-≠，，则()()2'1ln e f t t t =-+，令21ln et t =+，得2t =，由数形结合可知，当t e >时，()'0f t <，当0t e <<时，()'0f t >，所以()f t e ≤，且()0f t ≠，所以1203e a <≤或10a <，解得0a <或32a e≥． 二、填空题13.若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定．14.3，在平面直角坐标系中画出圆与抛物线的图形，可知它们有3个交点．15.3，设()tan 0t t α=<，∵1tan tan 41tan πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，222tan 1sin 2cos 1tan αααα++=+，∴212111t t t t++=-+， 解得0t =或3-，又0t <，∴3t =-，∴()tan tan 3παα-=-=． 16.(){5132--+，，因为()()1f x f x =-+，所以()()2f x f x +=，即()f x 是以2为周期的函数．当[]01x ∈，时，()()1f x x x =-，当[]10x ∈-，时，[]101x +∈，，所以()()()11f x f x x x =-+=+，当[]23x ∈，时，[]201x -∈，，则()()()()223f x f x x x =-=--，当[]21x ∈--，时，[]201x +∈，，则()()()()212f x f x x x =+=-++，当[]01x ∈，时，()()1f x x x =-，()()'21'01f x x f =-+=，．当[]23x ∈，时，由256y x x y kx ⎧=-+-⎨=⎩，消去y 得， ()()225605460x k x k +-+=∆=--⨯=，，解得)55k k =-=+，当[]21x ∈--，时，由232y x x y kx ⎧=---⎨=⎩，消去y 得， ()()223203420x k x k +++=∆=+-⨯=，，解得)33k k =-+=--．数形结合知，(){5132k ∈--+，．三、解答题17.解（1）由()0.3410log 410x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得1142x <≤，即11(]42A =，． (2)分当1m =时，因为01x <≤，所以11414x -<≤，即1(1]4B =，， (4)分 所以()1(1]2R C A B =，．…………………………………………………………………………5分∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． (6)分（2）由（1）可得221cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．………………………………8分∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭10分∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=．………………………………………………………………………………12分 19.解：由39a ≤，得2a ≤，即p ：2a ≤．……………………………………1分 ∵函数()f x 无极值点，∴()'0f x ≥恒成立，得()293490a ∆=--⨯≤，解得15a ≤≤， 即q ：15a ≤≤．…………………………………………………………3分（1）∵“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴p 与q 只有一个命题是真命题． 若p 为真命题，q 为假命题，则2115a a a a ≤⎧⇒<⎨<>⎩或．………………………………5分 若q 为真命题，p 为假命题，则22515a a a >⎧⇒<≤⎨≤≤⎩．……………………………………6分于是，实数a 的取值范围为{}125a a a <<≤或．……………………………………7分 （2）∵“p q ∧”为真命题，∴21215a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩．……………………………………8分又2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()102a m a m ⎡⎤⎛⎫--+> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴a m <或12a m >+，……………………………………………………………………10分 即t ：a m <或12a m >+，从而t ⌝：12m a m ≤≤+． ∵r 是t ⌝的必要不充分条件，即t ⌝是r 的充分不必要条件，∴1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312m ≤≤．…………………………………………………………12分 20.解：（1）∵()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 22sin cos sin cos 2x x x x x x =++-+2211cos 22sin cos cos 22cos 222x x x x x x x =++-=- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．………………………………………………………………2分∴22T ππ==，…………………………………………………………………………3分 由222262k x k πππππ-≤-≤+得()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调增区间为()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．………………………………5分（2）()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭24sin 212sin 266x x ππλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22sin 24sin 2166x x ππλ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222sin 2126x πλλ⎡⎤⎛⎫=---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．…………………………………………………………7分∵123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴0262x ππ≤-≤，∴0sin 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭． (8)分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值1-，这与已知不相符；…………9分②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x πλ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值212λ--，由已知得23122λ--=-，解得12λ=．……………………………………………………………………………………10分③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-，解得58λ=,这与1λ>相矛盾．……………………………………………………………………………………11分 综上所述：12λ=．…………………………………………………………………………………………12分21.解：（1）因为()()2211ln 1ln a x a f x a x x a x x a a a x ⎡⎤⎛⎫=+--=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()()()221'x x a f x ax +-=． (2)分因为0x >，所以当()20x a ∈，时，()'0f x <，当()2x a ∈+∞，时，()'0f x >． 所以函数()f x 的单调增区间为()2a +∞，，单调减区间为()20a ，．………………………………4分当2x a =时，()f x 取得极小值()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦．…………………………………………5分（2）由（1）可知：当2x a =时，()f x 取得极小值，亦即最小值．()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦，又因为122a ≤≤，所以2144a ≤≤，设()()11ln g x x x x =+--144x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()1'ln g x x x =-． (7)分因为()'g x 在144⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，且()()'10'20g g ><，，所以()'g x 有唯一的零点()12m ∈，，使得()g x 在1[)4m ，上单调递增，在(4]m ，上单调递减．……9分 又由于()156ln 20456ln 2044g g -⎛⎫=>=-> ⎪⎝⎭，．………………………………………………10分 所以()0g x >恒成立，从而()()2222111ln 0f a a a a a⎡⎤=+-->⎣⎦恒成立，则()0f x >恒成立． 所以当122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 没有零点．……………………………………………………12分 22.解：（1）∵()()2ln 'x xb ae x ae b x x f x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=，∴()'10f b ==，………………………………1分 ∴()()21'x ae x f x x -=．当0a >时，由()'0f x >得1x >；由()'0f x <得01x <<． 故()f x 只有极小值，不合题意．……………………………………………………………………3分 当0a <时，由()'0f x >得01x <<；由()'0f x <得1x >． 故()f x 在1x =处取得极大值，所以实数a 的取值范围为()0-∞，．………………………………5分（2）当1a b ==时，()ln x e x f x x+=，则()()211ln 'x e x x f x x -+-=．设()()11ln x g x e x x =-+-，则()21'x g x x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设()'0g m =，∵233416994e e ><，，且21x y e x =-在()0x ∈+∞，上递增，∴2334m <<．不难得知()()g x g m ≥． ∵21me m =，∴2ln m m =-，∴()()322212221122m m m m g m m m m ++-=-++=， ∵()322222'3420m m m m m ++-=++>恒成立，∴()32222m m m m ϕ=++-递增．∴()2140327m ϕϕ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭，∴()0g m >，∴()0g x >，从而()'0f x >． 故()f x 在()0+∞，上递增．………………………………………………………………12分。
复合函数的零点问题
复合函数的零点问题I ．题源探究·黄金母题【例1】设函数()1,0,()11,11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩（a 为常数且()0,1a ∈）．若0x 是()()ff x x -的零点但不是()f x x -的零点，则称0x 为()f x 的二阶周期点，求函数()f x 的二阶周期点．【答案】函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++． 【解析】2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩当20x a ≤≤时，由21x x a=解得0x =，由于()00f =，故0x =不是()f x 的二阶周期点； 当2a x a <≤时，由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++，故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点；当21a x a a <<-+时，由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+，因精彩解读【试题来源】2013年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．111112122f a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；当211a a x -+≤≤时，1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+，因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++， 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点．综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大． 【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8． 【例3】【2015年高考天津】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （ ） A ．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D ． 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． III ．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦． 【解析】()2224f ==，()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x ．由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大． 【技能方法】求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围． 【易错指导】1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f （2）的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f （2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）>0，因此选D ．易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2，2)内有一个零点时，f(－2)·f（2）的符号不能确定．2．要注意对于在区间[a ，b]上的连续函数f(x)，若x 0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a ，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件． 注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<，如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数()f x 在区间[],a b 上是一个单调函数，那么当)(a f ·)(b f 0<时，函数()f x 在区间),(b a 内有唯一的零点，即存在唯一的(,)c a b ∈，使0)(=c f ．②如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且有)(a f ·)(b f 0>，那么，函数()f x 在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，那么当函数()f x 在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<，也可能有)(a f ·)(b f 0>． V ．举一反三·触类旁通 【例1】【2018四川绵阳一诊】函数满足，且当时，．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【例2】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，，所以只需画出，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a 的范围，图像如下，一定过（-1，0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B ，点C 下面穿过就有4个零点，所以解得，选D ．【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a 的范围．【例3】【2018河南天一大联考】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】作图如下： 因此要使方程有3个，实数的取值范围是，选D ．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【例4】【2018广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数()3log ,03{4,3x x f x x x <≤=->，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】AA （0，﹣2），B （3，1），C （4， 0），则g （x ）的图象介于直线AB 和AC 之间，介于k AB ＜m ＜k AC ，可得12＜m ＜1．故答案为：（12，1）． 点睛:函数h （x ）=f （x ）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f （x ）﹣mx +2=0有三个不同的实根，可令y=f （x ），y =g （x ）=mx ﹣2，分别画出y=f （x ）和y=g （x ）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m 的范围．【例5】【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】A【解析】解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣32=0， 【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ． 【例6】【2018安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知，若关于的方程恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】∵，∴，∴∴当或时，，当时，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增可作出大致函数图象如图所示： 令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解∴，解得，故答案为【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．【例7】【2018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数()2log ,02{2,22x x f x x x x<<=+≥，若0＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则()abf c 的范围为__． 【答案】（1，2）0a b c Q ＜＜＜，满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()21122c f c c c+==+Q ，()112f c ∴<<，故()()112ab f c f c <=<，故答案为()12，．【名师点睛】画出函数()f x 的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里2log x 由的图象和计算得1ab =，可以当作结论，这样三个未知数就只剩下c ，由反比例即可求出结果．【例8】【2018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数()ln 1||f x x =-， ()f x m -的四个零点1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且12341111k x x x x =+++，则()kf k e -的值是__________． 【答案】2e -【例9】【2018山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>，把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和n S =__________．【答案】()12n n -【解析】当01x <≤时，有110x -<-≤，有()()1112x f x f x -=-+= ，当12x <≤时，有011x <-≤ ，有()()21121x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时，有112x <-≤ ，有()()31122x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时，有213x <-≤ ，有()()31123x f x f x -=-+=+依次类推，当()1n x n n N <≤+∈时，则()()1112x n f x f x n --=-+=+ ，所以()()12x n g x f x x n x --=-=+- ，故21n a n +=+ ，所以通项公式1n a n =-， ()12n n n S -=．【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前n 项的和．【例10】【2018江苏南通如皋第一次联考】已知函数()211{ 52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】714⎛⎤ ⎥⎝⎦，【例11】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>，若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】()1,1,1e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭．【解析】数形结合，由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y g x =恰有两个零点．【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．【例12】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】已知函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭数()22ln h x x m x =+-最小值为21112ln 222h m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ，可得1ln22m <-，此时函数()22ln h x x m x =+-有两个零点，故函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点，实数m 的取值范围为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． 【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数()y f x =零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题． 【跟踪练习】1．【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】D【解析】函数的零点满足： ()4log f x x =，则原问题等价于考查函数4log y x =与函数()f x 的交点的个数．()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当32x ππ<≤时， 22x πππ<-≤，据此可得： ()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时， 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而445log log 414π<=， 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点， 很明显，当32x π>时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得： 函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个． 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．【2018江西上饶高三下学期一模】已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 【答案】A即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()23129g x x x =-+'，当13x <<时， ()0g x '<， ()g x 递减；当01x <<时， ()0g x '>， ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ， ()04g a =-， ()34g a =-，分别作出13log y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，将32694y x x x =-+-的图象向上平移，至经过点()3,1，有两个交点，由()31g =，即41a -=，解得5a =，当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A ．3．【201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调】若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>，则方程()()330f f x e -=的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．4．【2018安徽滁州高三9月联合质量检测】已知()()11,011{ ,10x f x f x x x +<<-=-<≤，若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当01x <<时， 110x -<-<，所以()11f x x -=-．()()111111f x f x x =+=+--．若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解，即() 2f x ax a =-，有唯一解． 作出()y f x =和y 2ax a =-的图象，根据题意两函数图象有唯一交点． 由图可知： 13a ≤． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 5．【2018山西45校高三第一次联考】已知(),01,{ 11,1.x e x f x e x e x<≤=+-<≤若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦设()0,A e ，AB 为()y f x =的切线，B 为切点， 1,1C e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，观察可知，当位于切线AB 和割线AC 之间时， y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点，设()00,B x y ．由2111'e x x ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，可得切线AB: ()02001110y e x x x ⎛⎫-+-=--⎪⎝⎭，解得02x =，故14AB k =-，又2111AC e ee e k e e+---==，所以当方程()f x kx e =+在(]0,e 上有三个实数解，实数k 的取值范围为211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．6．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤，若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________．【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】因为1234342x x x x x x +++=-++，所以，故答案为10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 7．【2018河郑州一中模拟】已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<，若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】38a <≤【解析】画出()f x 的图象如图所示 当()0f x =时，得x 0=或x 2=此时()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦化为， 20b -< 若b 0≠，则此时有两解x 0=或x 2=，违背题意， 故b 0=此时()()a 0f x f x ⎡⎤+<⎣⎦若a 0>，则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解．结合图象可知()()33{48a f a f -<=--≥=-，可得3a 8<≤若a 0<，则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解． 结合图象可知()()11{13a f a f ->=-≤-=，可得3a 1-≤<-综上， 3a 13a 8-≤<-<≤或．8．【2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研】已知函数()22,0{,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[0，2]∪[3，8]满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 9．【2018浙江温州一模】已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________． 【答案】单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是，故答案为．10．【2018湖南永州高三上学期一模】定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>， ()f x x =， ()224g x x x =--，若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()(),54,-∞-⋃+∞【解析】11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知()22,{ 2,x x a f x x x a -≥=+<，若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[][)1,23,-⋃+∞ 综上可得： 1a 2-≤≤或a 3≥ 故答案为： [][)1,23,-⋃+∞【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 12．【2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考】若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】由可得，则问题转化为函数的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当时，即时满足题设，应填答案．【名师点睛】本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，进而通过解不等式求出参数的取值范围．13．【2018山东齐河晏婴学校一模】已知()1x f x e =-，又()()()()2g x f x tf x t R =-∈，若满足()1g x =-的x 有三个，则t 的取值范围是__________．【答案】()2,+∞【解析】由题意作函数()1x f x e =-的图象：【名师点睛】本题考查方程根的个数问题的转化，一元二次方程根的分布问题，以及换元法的应用，考查数形结合思想，转化思想；由题意作函数()1x f x e =-的图象，令()m f x =，由图求出m 的范围，代入方程()1g x =-化简，由条件和图象判断出方程的根的范围，由一元二次方程根的分布问题列出不等式，求出t 的取值范围．14．【2018浙江名校协作体上学期考试】已知函数()()22,0{,14,0x x f x x ln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________．【答案】4个【解析】函数 ()f x 图像如图所示， ()22424t x x x =-=--，由图15．【2018河南郑州一中模拟】已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=，当(]0,1x ∈时， ()2f x x = ，当(]1,0x ∈-时，()()21f x fx +=+，若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________． 【答案】()0,627-【解析】当(]1,0011x x ∈-⇒<+≤时，则11f x x +=+，故()221f x x =-+；当(]1,2021x x ∈⇒≤-<时，则()()222f x x -=-，故()()222f x x =--；当()2,3120x x ∈⇒-<-<时，则()()()()22224213f x f x f x f x⎡⎤⎥=--=--=⎥-+-⎦，又因为()2,3031x x ∈⇒<-<，所以()33fx x -=-，则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-，(](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈，画出函【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解，可求得627t =-0627t <<-()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点，即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点．16．【2018江苏南京师范大学附属中学模拟】函数()()()({ 4x x x t f x x x t ≤=>其中0t >，若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________．【答案】()3,4【解析】314{ 34127t t t<⇒<<>时，两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点，应填答案()3,4． 【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}，集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．[，2）B．（﹣1，]C．（﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018（其中i是虚数单位），则复数z2的虚部等于（）A．﹣B．C．﹣D．﹣i3．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．“∃x0∈R，e≤0”的否定是“∀x∈R，e x≥0”B．已知a＞0，则“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件C．已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是对立事件4．（5分）已知直线l1：x•sinα+y﹣1＝0，直线l2：x﹣3y•cosα+1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．5．（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）A．2或B．2或C．D．26．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣4，2]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）7．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少大米？（）A．1170升B．1380升C．3090升D．3300升8．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，点P，Q，R在f（x）的图象上，坐标分别为（﹣1，﹣A）、（1，0）、（x0，0），△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f（x）的图象向右平移5个单位后得到函数g（x）的图象，则关于g（x）的说法中不正确的是（）A．g（x）是偶函数B．g（x）在区间[0，4]上是减函数C．g（x）的图象关于直线x＝2对称D．g（x）在[﹣1，3]上的最小值为﹣9．（5分）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π10．（5分）已知⊙O1，⊙O2，⊙O3的半径依次为1，2，3，⊙O1，⊙O2外切于点M，⊙O2，⊙O3外切于点N，⊙O1，⊙O3外切于点P，则•（+）＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，直线y＝x与抛物线C 交于O，A两点（O为坐标原点），过F作直线OA的平行线交抛物线C于B．D 两点（其中B在第一象限），直线AB与直线OD交于点E，若△OEF的面积等于1，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣1B．x＝﹣C．y＝﹣1D．y＝﹣12．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣x cos x，现有下列结论：①当x∈[0，π]时，f（x）≥0；②当0＜α＜β＜π时，α•sinβ＞β•sinα；③若n对∀x恒成立，则m﹣n的最小值等于1﹣；④已知k∈[0，1]，当x i∈（0，2π）时，满足＝k的x i的个数记为n，则n的所有可能取值构成的集合为{0，1，2，3}其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二.填空题．（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）13．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1+2S5＝3S3，则{a n}的公比等于．14．（5分）如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的a1，a2，…，a54为茎叶图中的学生成绩，则输出的S和n的值分别是．15．（5分）已知不等式组表示的区域为Ω，若存在点P（x0，y0）∈Ω，使得2kx0﹣2y0+k＝0，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知曲线C1：y＝lnx（0＜x＜1）的切线l与曲线C2：y＝x2相切于点（m，m2），某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线l只有一条；乙说：m的取值介于与之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有．三、解答题．（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．（12分）如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1．（Ⅰ）求sin A；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD 的中点，点M在棱CC1上，CM＝tCC1（0＜t＜1）．（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大？最大值为多少？（Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．19．（12分）某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5：3：2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n %，一般困难的学生中有3n %会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n %转为一般困难，特别困难的学生中有n %转为很困难．现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x 取13时代表2013年，x 与y （万元）近似满足关系式y ＝C 1，其中C 1，C 2为常数．（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变） （k i ﹣）2（y i ﹣）2 （x i ﹣）（y i）（x i ﹣）（k i ）其中k i ＝log 2y i ，＝k i （Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据（u 1，v 1），（u 2，v 2）…，（u n ，v n ），其回归直线方程＝+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣②20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长和焦距都等于2，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于﹣1的直线与椭圆C 交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．（Ⅰ）证明：直线BD的斜率为定值；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值，并求此时直线BD的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点m，n，其中m＜n且m是否存在整数k 使得不等式f（n）+k＜f（m）＜f（n）+3k+5ln2恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（Ⅱ）C1与C2相交于不同两点A，B，线段AB中点为M，点N（0，﹣1），若|MN|＝2，求C1参数方程中sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|；（Ⅰ）若2f（x﹣1）+f（2x﹣a）≥1对∀x∈R恒成立，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）函数g（x）＝3f（x）﹣f（x﹣t）（t≠0），若函数g（x）的图象与x轴围成的面积等于3，求实数t的值．2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}，集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．[，2）B．（﹣1，]C．（﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}＝{x|4+x﹣x2＞2}＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2），集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}＝{y|0＜y＜}，∴∁R B＝（﹣∞，0]∪[，+∞），∴A∩（∁R B）＝（﹣1，0]∪[，2）．故选：C．2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018（其中i是虚数单位），则复数z2的虚部等于（）A．﹣B．C．﹣D．﹣i【解答】解：∵i n（n∈N*）的取值呈现周期性，周期为4，且i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，∴（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018＝i+i2＝﹣1+i，∴，∴，则z2的虚部等于﹣．故选：A．3．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．“∃x0∈R，e≤0”的否定是“∀x∈R，e x≥0”B．已知a＞0，则“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件C．已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是对立事件【解答】解：对于A，“∃x0∈R，e≤0”的否定是“∀x∈R，e x＞0”，∴A错误；对于B，“a+≥2”恒成立的充要条件是a＞0，∴“a≥1”是“a+≥2”的充分不必要条件，B正确；对于C，当平面α⊥γ，β⊥γ时，α∥β或α与β相交，∴C错误；对于D，几何概型不满足P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是对立事件，∴D错误．故选：B．4．（5分）已知直线l1：x•sinα+y﹣1＝0，直线l2：x﹣3y•cosα+1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．【解答】解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为（）A．2或B．2或C．D．2【解答】解：若焦点在x轴上，则方程为（a，b＞0），所以，则e＝＝＝2；若焦点在y轴上，则方程为（a，b＞0），所以，则e＝＝＝；故选：B．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣4，2]C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）【解答】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）＝f（x+1），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，由f（m+2）≥f（x﹣1）可得|（m+2）﹣1|≤|（x﹣1）﹣1|，即|m+1|≤|x﹣2|恒成立，又由x∈[﹣1，0]，则2≤|x﹣2|≤3，则有：|m+1|≤2，解可得﹣3≤m≤1；即m的取值范围为[﹣3，1]；故选：A．7．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少大米？（）A．1170升B．1380升C．3090升D．3300升【解答】解：设第n天派出的人数为a n，则{a n}是以64为首项、7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为S n＝a1+a2+a3+…+a n＝，所以前5天共分发的大米数为：3（S1+S2+S3+S4+S5）＝3[（1+2+3+4+5）×64+（1+3+6+10）×7]＝3300．故选：D．8．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，点P，Q，R在f（x）的图象上，坐标分别为（﹣1，﹣A）、（1，0）、（x0，0），△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f（x）的图象向右平移5个单位后得到函数g（x）的图象，则关于g（x）的说法中不正确的是（）A．g（x）是偶函数B．g（x）在区间[0，4]上是减函数C．g（x）的图象关于直线x＝2对称D．g（x）在[﹣1，3]上的最小值为﹣【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，＝2，所以＝8，解得ω＝；因为PQ＝QR＝4，作PH⊥x轴于点H，则QH＝2，所以A＝2，当x＝1时，ωx+φ＝0，所以φ＝﹣，所以f（x）＝2sin（x﹣）；所以g（x）＝f（x﹣5）＝2sin[（x﹣5）﹣]＝2cos x，根据余弦函数的性质可知g（x）是偶函数，A正确；x∈[0，4]时，x∈[0，π]，∴g（x）是单调减函数，B正确；x＝2时，g（2）＝2cos＝0，g（x）的图象不关于x＝2对称，C错误；x∈[﹣1，3]时，x∈[﹣，]，cos x∈[﹣，1]，∴g（x）∈[﹣，2]，则g（x）的最小值为﹣，D正确．故选：C．9．（5分）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π【解答】解：由三视图还原原几何体的直观图如图，该几何体为三棱锥O﹣ABC，在三棱锥O﹣ABC中，∠AOC＝∠ABC＝90°，∴其外接球的直径为AC，则半径R＝＝，∴外接球的表面积该几何体外接球的表面积为S＝4πR2＝32π．故选：D．10．（5分）已知⊙O1，⊙O2，⊙O3的半径依次为1，2，3，⊙O1，⊙O2外切于点M，⊙O2，⊙O3外切于点N，⊙O1，⊙O3外切于点P，则•（+）＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，O1O2＝3，O2O3＝5，O3O1＝4；∴O1O2⊥O1O3；＝＝＝；∴＝＝．故选：B．11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，直线y＝x与抛物线C交于O，A两点（O为坐标原点），过F作直线OA的平行线交抛物线C于B．D 两点（其中B在第一象限），直线AB与直线OD交于点E，若△OEF的面积等于1，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣1B．x＝﹣C．y＝﹣1D．y＝﹣【解答】解：如图所示，设B（x1，y1），D（x2，y2），则1＝＝＝，则y1+y2＝2p，取BD中点M、OA中点N，则E、M、N三点共线，且所在直线方程为y＝p，所以△OEF的面积S＝＝＝1，所以p ＝2，准线方程为x＝﹣1．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣x cos x，现有下列结论：①当x∈[0，π]时，f（x）≥0；②当0＜α＜β＜π时，α•sinβ＞β•sinα；③若n对∀x恒成立，则m﹣n的最小值等于1﹣；④已知k∈[0，1]，当x i∈（0，2π）时，满足＝k的x i的个数记为n，则n的所有可能取值构成的集合为{0，1，2，3}其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：当x∈[0，π]时，f′（x）＝x sin x≥0，所以f（x）≥f（0）＝0，①正确；令g（x）＝，由①知，当x∈[0，π]时，g′（x）＝≤0，所以g（α）＞g（β），＞，所以αsinβ＜βsinα，②错误；由②可知g（x）＝在（0，）上为减函数，所以g（x）＝＞g（）＝，则n≤，令φ（x）＝sin x﹣x，x∈（0，）时，φ′（x）＝cos x﹣1＜0，所以φ（x）＝sin x﹣x＜φ（0）＝0，所以＜1，所以m≥1，则（m﹣n）min＝m min﹣n max＝1﹣，③正确；令h（x）＝|sin x|，k表示点（x i，h（x i））与原点（0，0）连线的斜率，结合图象可知，当k∈[0，1]时，n的所有可能取值有0、1、2、3，④正确．综上，正确的命题序号是①③④．故选：C．二.填空题．（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）13．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1+2S5＝3S3，则{a n}的公比等于．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S1+2S5＝3S3，∴a1+2（a1+a2+……+a5）＝3（a1+a2+a3），化为：2（a5+a4）＝a3+a2，＝q2＝，∵{a n}的各项均为正数，∴q＞0，∴q＝．故答案为：．14．（5分）如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的a1，a2，…，a54为茎叶图中的学生成绩，则输出的S和n的值分别是86，13．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在54名学生的政治考试成绩中，S为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得S＝86；n表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知n＝13．故答案为：86，13．15．（5分）已知不等式组表示的区域为Ω，若存在点P（x0，y0）∈Ω，使得2kx0﹣2y0+k＝0，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）．【解答】解：作出可行域如图所示，联立，解得A（，），联立，解得B（1，1），由2kx0﹣2y0+k＝0，得，直线l：与区域有公共点，l过定点P（，0），PB的斜率等于，由图形可知实数k的范围为（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[，+∞）．16．（5分）已知曲线C1：y＝lnx（0＜x＜1）的切线l与曲线C2：y＝x2相切于点（m，m2），某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线l只有一条；乙说：m的取值介于与之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有甲、乙．【解答】解：设直线l与曲线C1相切于（n，lnn），则直线l的方程为：y﹣lnn ＝（x﹣n），又直线l与C2：y＝x2相切于（m，m2），∴直线l的方程为：y﹣m2＝2m（x﹣m），∴，消去n得：ln（2m）+1＝m2（m＞1），令h（m）＝m2﹣ln（2m）﹣1＝m2﹣lnm﹣1﹣ln2，则h′（m）＝2m﹣＝＞0，∴h（m）单调递增，∵h（）＝1﹣ln（2）＜0，h（）＝2﹣ln（2）＞0，∴h（m）只有一个零点m0，故甲说法正确；又m0∈（，），所以乙说法正确．故答案为：甲、乙．三、解答题．（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．（12分）如图，在△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1．（Ⅰ）求sin A；（Ⅱ）求△BCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB×BD×cos∠ABD＝9+1﹣2×3×1×＝7，所以AD＝；…3分由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝；…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cos A＝＝；…7分在△ABC中，sin C＝sin（120°+A）＝×﹣×＝；…8分在△BCD中，由正弦定理得＝，所以BC＝＝；…10分所以△BCD的面积为S＝×BD×BC×sin∠CBD＝×1××＝．…12分18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD 的中点，点M在棱CC1上，CM＝tCC1（0＜t＜1）．（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大？最大值为多少？（Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，CM＝2t，C1M＝2﹣2t，•CM＝＝，∴V1＝S△ECFV 2＝S•C1M＝（2﹣2t）＝（1﹣t），∴V1•V2＝≤•（）2＝．当且仅当t＝1﹣t，即t＝时等号成立．所以当t＝时，V1•V2最大，最大值为．（Ⅱ）连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，∵A1C∥平面B1D1M，平面A1CC1∩平面B1D1M＝OM，∴A1C∥OM，∴M为CC1的中点，连接BD，∵E，F为BC、CD的中点，∴EF∥BD，又AC⊥BD，∴AC⊥EF．∵AA1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴AA1⊥EF，又AA1∩AC＝A，∴EF⊥平面A1AC，又A1C⊂平面A1AC，∴EF⊥A1C．同理可得：EM⊥A1C，又EF∩EM＝E，∴A1C⊥平面EFM．又A1C∥平面B1D1M，∴平面EFM⊥平面B1D1M．19．（12分）某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5：3：2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元．经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难．现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y（万元）近似满足关系式y＝C 1，其中C1，C2为常数．（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）（k i﹣）2（y i﹣）2（x i﹣）（y i）（x i﹣）（k i）其中k i＝log2y i，＝k i（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线方程＝+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣②【解答】解：（Ⅰ）因为＝＝15所以：＝（﹣2）2+（﹣1）2+12+22＝10；关系式y＝C1，其中k i＝log2y i得：k＝log2C1，∴k＝log2C1+C2x，所以＝C1＝＝1.2∴log所以C1＝2﹣0.3＝0.8所以y＝当x＝18时，2018年人均可支配年收入y＝0.8×21.8＝2.8（万）（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%＝14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人2018年人均可支配收入比2017年增长所以2018年该市特别困难的中学生有2800×（1﹣10%）＝2520人，很困难的学生有4200×（1﹣20%）+2800×10%＝3640人一般困难的学生有7000×（1﹣30%）+4200×20%＝5740人所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000＝1624万．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长和焦距都等于2，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于﹣1的直线与椭圆C 交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．（Ⅰ）证明：直线BD的斜率为定值；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值，并求此时直线BD的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），2b ＝2c＝2，则a2＝b2+c2＝2，所以C的方程为…2分设D（x1，y1），B（x2，y2），则A（﹣x1，﹣y1），直线BD的斜率k＝，由，两式相减，＝﹣×，由直线k AB ＝＝﹣1，所以k ＝＝，∴直线BD 的斜率为定值； …5分（Ⅱ）因为A ，D 关于原点对称，所以S △ABD ＝2S △OBD ，由（Ⅰ）可知BD 的斜率k ＝，设BD 方程为y ＝x +t （﹣1＜t ＜且t ≠0），O 到BD 的距离d ＝＝…6分由，整理得：3x 2+4tx +4（t 2﹣1）＝0，所以x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝…7分所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2××|BD |×d ＝×＝|t |×，＝|t |＝＝，＝≤×＝，…10分当且仅当2t 2＝3﹣2t 2，即t ＝﹣时等号成立，所以△ABD 面积的最大值为…11分此时直线BD 的方程为y ＝x ﹣，即x ﹣2y ﹣＝0，∴△ABD 面积的最大值，直线BD 的方程x ﹣2y ﹣＝0．…12分21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣ax +lnx ，其中a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数；（Ⅱ）若函数f （x ）有两个极值点m ，n ，其中m ＜n 且m是否存在整数k使得不等式f （n ）+k ＜f （m ）＜f （n ）+3k +5ln 2恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1） 【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣a+＝，令g（x）＝x2﹣ax+1，（x＞0），对称轴x＝，①≤0即a≤0时，g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＞g（0）＝1，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，函数f（x）无极值；②＞0即a＞0时，g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）min＝g（）＝，当0＜a≤2时，g（x）＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，函数f（x）无极值；a＞2时，g（）＜0，令g（x）＝0，解得：x＝，故f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，故函数f（x）2个极值点，综上，a≤2时，f（x）无极值点，a＞2时，f（x）2个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a＞2，m＝，n＝，故m（，1），令t＝m2，因为m∈（，1），所以t∈（，1），设g（t）＝﹣（t﹣）+lnt（t∈（，1））因为g′（t）＝﹣＜0，所以g（t）在（，1）上为减函数，所以g（1）＜g（t）＜g（），因为g（1）＜0，g（）＝﹣ln2，所以0＜g（t）＜﹣ln2，即0＜f（m）﹣f（n）＜﹣ln2，因为f（n）+k＜f（m）＜f（n）+3k+5ln2，所以k＜f（m）﹣f（n）＜3k﹣5ln2，所以，解得﹣2ln2≤k≤0，因为ln2≈0.7，所以﹣2ln2≈0.25﹣2×0.7＝﹣1.15，又因为k∈Z，所以k＝0或k＝﹣1，所以存在整数k＝0或k＝﹣1使得不等式f（n）+k＜f（m）＜f（n）+3k+5ln2恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（Ⅱ）C1与C2相交于不同两点A，B，线段AB中点为M，点N（0，﹣1），若|MN|＝2，求C1参数方程中sinα的值．【解答】解：（Ⅰ）由C2的极坐标方程，转化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．该曲线表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）将C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，整理得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+3＝0，t1和t2为A、B对应的参数，所以：t1+t2＝2cosα+4sinα，由于|MN|＝2，则：，整理得：cosα+2sinα＝2，所以：1﹣sin2α＝4（1﹣sinα）2，解得：sin，或sinα＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|；（Ⅰ）若2f（x﹣1）+f（2x﹣a）≥1对∀x∈R恒成立，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）函数g（x）＝3f（x）﹣f（x﹣t）（t≠0），若函数g（x）的图象与x轴围成的面积等于3，求实数t的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x|，可得2f（x﹣1）+f（2x﹣a）＝|2x﹣2|+|2x﹣a|≥|2x﹣2﹣2x+a|＝|a﹣2|，2f（x﹣1）+f（2x﹣a）≥1对∀x∈R恒成立，所以[2f（x﹣1）+f（2x﹣a）]min≥1，所以|a﹣2|≥1，解得a≥3或a≤1，因为a＞0，所以a的取值范围为0＜a≤1或a≥3；（Ⅱ）g（x）＝3f（x）﹣f（x﹣t）＝3|x|﹣|x﹣t|，由g（x）＝0得3|x|＝|x﹣t|，解得x1＝﹣，x2＝，因为g（0）＝﹣|t|＜0，g（t）＝3|t|＞0，所以g（x）的图象与x轴围成的图形为三角形，且落在x轴上的底边长为|x1﹣x2|＝|t|．高h＝|g（0）|＝|t|，所以面积S＝|x1﹣x2|•h＝t2＝3，所以t2＝8，所以t＝±2．。
山东省、湖北省部分重点中学2018届高三上学期第一次(9月)联考数学(文)试题含解析
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考数学(文）试题一、选择题（12个小题,每小题5分，共60分）P Q =( A ．)1,0( B ．)2,1(- C ．)0,1(- D ．)2,1( 【答案】B【解析】()1,1P =-,()0,2Q =，所以()1,2PQ =-【考点】简单函数的定义域、简单的绝对值不等式、集合运算2、（原创,容易）“0.20.2loglog a b <"是“a b >”的（）A. 充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据函数0.2()log f x x =是减函数,由0.20.2log log a b <可得a b >,充分性成立;但当a b ，之一为非正数时，由a b >不能推出0.20.2log log a b <，必要性不成立；故选A 。
【考点】①充分、必要、充要条件的判断；②对数函数的单调性。
3、（原创，容易）关于函数()sin f x x π=的说法，正确的是( ）A 、)(x f 在)1,0(上是增函数B 、)(x f 是以π为周期的周期函数C 、)(x f 是奇函数D 、)(x f 是偶函数【答案】D【解析】由复合函数的单调性可知)(x f 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减。
sin x π的周期为1，则)(x f 的周期为1。
()()()sin sin f x x x f x ππ-=-==，)(x f 为偶函数，故选D【考点】函数的性质(单调性、周期性、最值、奇偶性）。
4、（原创，容易)已知角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2sin 2θ的值为（ ） A 、110B 、15C 、45D 、910【答案】C【解析】因为点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，又在角θ的终边上,所以3cos 5θ=-； 则231()1cos 45sin 2225θθ---===；故选C 。
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齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考数学（文）试题一、选择题（12个小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数()()2lg 1f x x =-的定义域为P ，不等式11x -<的解集为Q ，则P Q ⋃=（ ）A. ()0,1B. ()1,2-C. ()1,0-D. ()1,2【答案】B 【解析】因为210,1x 1x ->-<<，所以()1,1P =-，由11x -<可得02x << ,所以()0,2Q =，所以()1,2P Q ⋃=-，故选B.2. “0.20.2log log a b <”是“a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据函数0.2()log f x x =是减函数，由0.20.2log log a b <可得a b >，充分性成立； 但当a b ，之一非正数时，由a b >不能推出0.20.2log log a b <，必要性不成立；故选A.3. 关于函数()|sin |f x x π=的说法，正确的是（ ） A. ()f x 在(0,1)上是增函数 B. ()f x 是以π为周期的周期函数 C. ()f x 是奇函数 D. ()f x 是偶函数【答案】D 【解析】由复合函数的单调性可知()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在112，⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减； sin x π的周期为1，则()f x 的周期为1()()()sin f x x sin x f x ππ-=-==，()f x 为偶函数，故选D4. 已知角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2sin 2θ的值为（ ） A.110 B.15C.45D.910【答案】C 【解析】 因为点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，又在角θ的终边上，所以3cos 5θ=-； 则231()1cos 45sin 2225θθ---===；故选C. 5. 已知tan 2θ=，则23sin cos 2θθ-=（ ） A.45B. 3C. 0D.95【答案】B 【解析】22222222223sin cos 24sin cos 4tan 13sin cos 23sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθ----====+++,故选B. 6. 已知函数()()()21221f x f x x f '=++，则()2f '的值为 A. 2- B. 0 C. 4- D. 6-【答案】D 【解析】由题意()()()11221f f f =++'，化简得()()112f f '=--，而()()212f x f x ''=+，所以()()1212f f ''=+，得()12f '=-，故()10f =， 所以()222f x x x =-+，()42f x x ∴=-+'，所以()26f '=-，故选D ．7. 要得到cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将sin 2y x 3π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象经过这样的变换（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移43π个单位长度 D. 向右平移43π个单位长度【答案】B 【解析】平移前的函数为33sin cos2cos22y x x xπππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将cosy x=的图象向右平移6π个单位长度可得到函数cos6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以要得到cos6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将3sin2y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，平移后的函数为cos6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭；所以向右平移6π个单位长度，故选B.8. 已知()2,0A-，点(),P x y满足2,244x y sin x y sinππθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线AP的斜率的取值范围为（）A.33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 3,3⎡⎤-⎣⎦ C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []22-,【答案】A【解析】由2424x y sinx y sinπθπθ⎧⎛⎫+=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⎪⎪⎝⎭⎩，得cosx sinyθθ=⎧⎨=⎩，故221x y+=，即点(),P x y的根据方程是，221x y+=过A33，由图可知，33k⎡∈⎢⎣⎦，故选A.【方法点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式、直线的斜率、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.9. 已知()221x x a f x -=+为奇函数， ()()2ln g x x b =-，若对任意的12,x x R ∈， ()()12f x g x ≤恒成立，则b 的取值范围为（ ） A. (],e -∞- B. (],0-∞C. [],0e -D. [),e -+∞【答案】A 【解析】由于()221x x af x -=+为奇函数，故()00f =，可得1a =；因为对()()1212,,x x R f xg x ∀∈≤恒成立，所以()()max minf xg x ≤，而()221x x a f x -=+=21212121x x x-=-++，所以()[)1,1f x ∈-，从而要求()22ln 1,x b x b e -≥-≥，在R 上恒成立，()2minb x eb e ≤-≥-，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，只需()max f x ≥()min g x .10. 已知函数()lg f x x =，若0a b >>，有()()f a f b =，则()22a bi a b+-（i 是虚数单位）的取值范围为（ ） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞【答案】C 【解析】因为()lg x x =，由()()f a f b =，可得10>>>a b ，所以lg lg 1a b ab =-⇒=，所以()222212a bi a b a b a a ba b a+-==+=+>--，故选C. 11. ABC ∆中，3BC =,D 在边BC 上，且2CD DB =,1AD =.当ABC ∆的面积最大时，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）A.B.3C.2D.2【答案】C 【解析】因为3,1BC AD ==所以ABC ∆的面积最大时AD BC ⊥,由题可知，1BD =,1AD =,2CD =可得4B π∠=,所以AC =由正弦定理可得2sin4R π==，故2R =，故选C. 12. 已知函数()21()(),,2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈（其中e 为自然对数底数）在1x =取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A. 0a < B. 0a ≥C. 0e a -≤<D. a e <-【答案】D 【解析】 因为()()21,2xx f x e a e e aex b =+--+所以可得2()()()()x x x x f x e a e e ae e a e e '=+--=+-． 当0a ≥时，由()0f x '> 可得()f x 在()1,+∞上递增，()0f x '<得()f x 在(),1-∞上递减，所以()f x 在1x =取得极小值，无极大值，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=得1x =或ln()a -，只有当ln()1,a a e -><-时，由()0f x '> 可得()f x 在(),1-∞，()()ln ,a -+∞上递增，()0f x '<得()f x 在()()1,ln a -上递减，()f x 在1x =取得极大值，所以函数()()()21,,2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈（其中e 为自然对数底数）在1x =取得极大值，则a 的取值范围是 a e <-,故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、分类讨论思想、.属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.二、填空题（4个小题，每小题5分，共20分）13. 一个质量为2kg 的物体做直线运动，设运动距离s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，并且物体的动能212k E mv =，则物体开始运动后第5s 时的动能为________________.（单位：J ）. 【答案】121 【解析】由()21s t t t =++，由导数的物理意义可得得()/21v s t t ==+，则物体开始运动后第5s 时的瞬时速度()/511v s ==，此时的动能为212111212k E =⨯⨯=，故答案为121 .14. 已知,,A B C 为ABC 的内角，且s :sin :sinC 4:5:6inA B =,则cos :cos :cos A B C = .【答案】12:9:2 【解析】【详解】因为sin :sin :sinC 4:5:6A B =，所以由正弦定理可得::4:5:6a b c =，设4,5,6a k b k c k ===2223cos 24b c a A bc +-∴==，2229cos 216a cb B ac +-==，2221cos 28a b c Cab， cos :cos :cos 12:9:2A B C ∴=，故答案为12:9:2.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 15. ①“若2x y π+=，则sin cos x y =”的逆命题是假命题；②“在ABC 中，sin sin B C >是B C >的充要条件”是真命题； ③“1a =-是函数0.81()log 1axf x ax -=+为奇函数的充要条件”是假命题； ④函数()1ln 4f x x x =-区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，在区间()1,e 无零点.以上说法正确的是 _______________. 【答案】①②③ 【解析】对于①“若2x y π+=，则sin cos x y =”的逆命题是“若sin cos x y =，则2x y π+=”举反例：当0x =，32y π=时，有sin cos x y =成立，但32x y π+=，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在ABC中，由正弦定理得sin sin B C b c B C >⇔>⇔>，②正确；对于③，a R ∈时，()f x 都是奇函数，故 “1a =-是函数0.81()log 1axf x ax-=+为奇函数”的充分不必要条件，③正确；对于④，()/1144x f x x x-=-=，所以()f x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，()()11110,10,10444e f f f e e e⎛⎫=+>=>=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭无零点，在区间()1,e 有零点，④错误，正确的是①②③，故答案为①②③. 16. 已知2ln ,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________. 【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出()2,02,0lnx x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩的图象，如图，不妨设1234x x x x <<<，根据二次函数的对称性可得，由对数函数的性质可得34ln ln x x =- ，，若()=f x a 有4个根，由图可知，从而易知，于是，因为1234342x x x x x x +++=-++，所以，故答案为10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 三、解答题（6个小题，共70分）17. 设命题:p 幂函数22aa y x --=在(0,)+∞上单调递减．命题:q 212a x x=-+在()0,3上有解； 若p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围.【答案】(],1(1,2)-∞-⋃. 【解析】试题分析：由p 真可得12a -<<，由q 真可得1a ≤ ，p q ∧假，p q ∨为真等价于,p q 一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可. 试题解析：若p 正确，则220a a --<，12a ∴-<< 若q 正确，()2120,3y a y x x⇔==-+与的函数图像在上有交点 1a ⇔≤p q ∧为假，p q ∨为真，∴,p q 一真一假121211a a a a a -<<≤-≥⎧⎧∴⎨⎨>≤⎩⎩或或 112a a ⇔≤-<<或即a 的取值范围为(](),11,2-∞-⋃.18. 在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足()2cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且()sin sin 2sin 2B C A A +-=，求ABC 的面积.【答案】(1)3π；（2）23. 【解析】 【分析】（1）由()2cos cos 0c a B b A --=，根据正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式可得1cos 2B =，从而可得结果；（2）根据两角和与差的正弦公式即二倍角的正弦公式化简()sin sin 2sin2B C A A +-=可得cos sin 2sin cos A C A A =,讨论两种情况，分别应用直角三角形的性质以及正弦、余弦定理即可求得ABC ∆的面积.【详解】（1）在ABC 中，∵()2cos cos 0c a B b A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0C B A B B A --=，即()2sin cos sin 0C B A B -+=，即()sin 2cos 10C B -=，sin 0C ≠，∴1cos 2B =， ∴()0,,3B B ππ∈∴=.（2）在ABC 中，A B C π++=， 即()B A C π=-+，故()sin sin B A C =+，由已知()sin sin 2sin2B C A A +-=，可得()()sin sin 2sin2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =,若cos 0A =，则2A π=，于是由2b =，可得2tan c B ==， 此时ABC的面积为12S bc ==若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =， 由正弦定理可知，2c a =， 代入222a c b ac +-=，整理可得234a =，解得3a =3c =，此时ABC的面积为1sin 2S ac B ==∴综上所述，ABC ∆. 19. 设函数[]22()2,()()4f x x g x f x =--=- （1）求函数()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值()h m ；（3）若不等式2(42)(2)g a a g -+≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）424x x +；（2）()()4242242,20,204,0m m m m m m m ⎧+++≤-⎪-<<⎨⎪+≥⎩；（3）[]0,4.【解析】试题分析：（1）()()2242244g x x x x =---=+；（2）分三种情况讨论2m ≤-，0m ≥，20m -<<，分别根据函数的单调性求得最小值，即可得到求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值分段函数()h m 的解析式；（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增可得()()()2242242(2g a a g g a a g -+≤⇔-+≤)，解不等式即可的结果.试题解析：（1）()()2242244g x x x x =---=+.（2）()()g x g x -=，()g x ∴为偶函数,()3'48g x x x =+，故函数在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增， ①当20m +≤，即2m ≤-时，()g x 在区间[],2m m +单调递减，()()()()422242h m g m m m ∴=+=+++.②当0m ≥时，()g x 在区间[],2m m +单调递增，()()424h m g m m m ∴==+.③当20m -<<时，()g x 在区间[],0m 单调递减，在区间[]0,2m +单调递增，()()00h m g ∴==.综上：.（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增 ()()()()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤. 2422a a ⇔-+≤, 2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤所以不等式解集为[]0,4.20. 一大学生自主创业，拟生产并销售某电子产品m 万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行促销，促销费用x （万元）满足24x m +=（其中0,x a a <≤为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6(12m m +-万元（不含促销费用），产品的销售价格定为30(4)m+元/件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此大学生所获利润最大？ 【答案】（1）329)2x x a --<≤；（2）当4a ≥时，投入4万元时，利润最大；当4a <时，投入a 万元时，利润最大. 【解析】试题分析: （1）利用销售收入与成本的差，结合24x m +=即可该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）由（1）可得332929(0)22y x x x a ⎛=-=-+<≤ ⎝ ，讨论4a ≥、4a <，分别利用导数研究函数的单调性，从而可得结果.试题解析：（1）由题意知，3046y m x m m ⎛⎫⎪⎛⎫ =+--+⎪ ⎝⎭ ⎝将24x m +=代入化简得：329)2y x x a =-<≤. （2）332929(0)22y x x x a ⎛=-=-<≤ ⎝ 令()()()()0),04,004,04g x x x g x x g x x g x x '=>>⇒><⇒<='⇒'<= 故()g x 在()0,4单调递减，()4,+∞单调递增，()()min 412g x g == 所以max 11y =万元，当且仅当4x =取得.当4a ≥时，促销费用投入4万元时，该大学生获得的利润最大，最大为11万元； 当4a <时，函数在(]0,a 上单调递增，∴x a =时，函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，该大学生获得的利润最大，最大为3292a ⎛- ⎝万元.21. 已知函数()xf x e =，()ln 2g x x =+.（1）若直线y kx b =+是曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线，求,k b ； （2）设()()()2h x g x f x a a =--+-，若()h x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）0k e b =⎧⎨=⎩或11k b =⎧⎨=⎩；（2）1a >.【解析】试题分析：（1）设直线y kx b =+与x y e =切于点()11,xP x e ，与ln 2y x =+切于()22,ln 2Q x x +，P 处的切线方程为()1111x x y e x x e =+-.Q 处的切线方程为221ln 1y x x x =++.根据 这两条直线为同一条直线，可得关于1x 和2x ，解得1x 和2x 的值，从而可得结果；（2）()ln x ah x x ea -=-+，()()/1,0x a h x e x x-=->，显然()/h x 在()0,+∞上为减函数，存在一个0x ，使得()/00h x =，且()00,x x ∈时，()/0h x >，()0,x x ∈+∞时，()/00h x x <，为()h x 的极大值点，只需求()00h x >恒成立即可得结果.试题解析：对函数x y e =求导，得/xy e =，对函数ln 2y x =+求导，得/1y x=． 设直线y kx b =+与xy e =切于点()11,xP x e ，与ln 2y x =+切于()22,ln 2Q x x +.则在点P 处的切线方程为：()111xxy e e x x -=-，即()1111xxy e x x e =+-.在点Q 处的切线方程为：()2221ln 2y x x x x --=-，即221ln 1y x x x =++. 这两条直线为同一条直线，所以有()()()1121211112x x e xx e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩由（1）有12ln x x =-，代入（2）中，有()()122110x x x --=，则11x =或21x =.当11x =时，切线方程为y ex =，所以0k e b =⎧⎨=⎩,当21x =时，切线方程为1y x =+，所以11k b =⎧⎨=⎩. （2）()ln x ah x x ea -=-+．求导：()()/1,0x ah x e x x-=->， 显然()/h x 在()0,+∞上为减函数，存在一个0x ，使得()/00hx =，且()00,x x ∈时，()/0h x >，()0,x x ∈+∞时，()/0h x <， 所以0x 为()h x 的极大值点． 由题意，则要求()00h x >.由()0/0010x a h x e x -=⇔=，有00ln x x a -=-，所以00ln a x x =+， 故()000012ln h x x x x =-+. 令()12ln x x x xϕ=-+，且()10ϕ=． ()/22110x x xϕ=++>，()x ϕ∴在()0,+∞上增函数，又()10ϕ=，要求()00h x >，则要求01x >，又ln y x x =+在()0,+∞上为增函数， 所以由01x >，得00ln 1a x x =+>． 综上，1a >【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4―4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为122(2x tty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）；曲线1C的极坐标方程为2cosρθθ=+；曲线2C的参数方程为sinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程、曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的普通方程；（2）若直线l与曲线1C曲线2C在第一象限的交点分别为,M N,求,M N之间的距离.【答案】（1）y=，()(2214x y-+-=，2212xy+=；（2）4【解析】试题分析：（1）利用代入法消去参数可得直线l的普通方程，利用222,cos,sinx y x yρρθρθ=+==即可得曲线1C的直角坐标方程，利用平方法可得曲线2C的普通方程；（2）由2212yxy⎧=⎪⎨+=⎪⎩求得交点坐标，利用两点间的距离公式可得结果.试题解析：（1）直线l的直角坐标方程：y=，曲线1C的直角坐标方程：()(2214x y-+=，曲线2C的普通方程：2212xy+=.（2）由（1）知1,,,O M N C及圆心四点共线，所以4OM=，22222=761=27xyONxy y由方程组解得所以⎧⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨+=⎪⎪⎩⎪⎩，47MN OM ON=-=-故.23.已知函数()f x x a=+（a R∈）.（1）若()23f x x≥+的解集为[31]--，，求a的值；（2）若x R ∀∈ ，不等式2()2f x x a a a +-≥- 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0a =;（2）[04]，. 【解析】试题分析：（1）利用平方去绝对值，并由解集解得0a =；（2）利用绝对值三角不等式，得到222a a a ≥-，分类讨论，求得a 的取值范围是[]04，. 试题解析：（1）()23f x x ≥+ ，即23x a x +≥+ ，两边平方并整理得()22312290x a x a +-+-≤所以3- ，1- 是关于x 的方程()22312290x a x a +-+-= 的两根由根与系数的关系得212243933aa -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩解得0a =（2）因为()()()2f x x a x a x a a +-≥+--= ， 所以若不等式()22f x x a a a +-≥- 恒成立，只需222a a a ≥-当0a ≥ 时，222a a a ≥- ，解得04a ≤≤ ；当0a < 时，222a a a -≥- ，此时满足条件的a 不存在综上可得实数a 的取值范围是[]04，. 点睛：本题考查绝对值不等式的应用．绝对值不等式的去绝对值的常用方法是分类讨论和平方．绝对值三角不等式可以解决绝对值不等式的最值问题．本题充分考查了这两类题型的方法应用．。