2019-2020年高考数学小题综合训练3

2019-2020年高考数学小题综合训练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x，x>2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝⎝⎛⎭⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件． 3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x≤1，log2 010x ，x>1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( ) A ．(1,2 010) B ．(1,2 011) C ．(2,2 011) D ．[2,2 011]答案 C解析 因为a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， 则0<a <b <1<c ，由f (a )＝f (b )知，a ，b 关于直线x ＝12对称，所以a ＋b ＝1.由0<log 2 010c <1，知1<c <2 010，所以2<a ＋b ＋c <2 011.4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a5a3＝73，则S5S3等于( )A.73B.359 C ．4 D ．5 答案 D解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ， 由于a5a3＝73，得a1＋4d a1＋2d ＝73，解得a 1＝－d 2，S5S3＝5a1＋a523a1＋a32＝5a33a2＝5·3d23·d 2＝5. 5.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝m AB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝n BN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋n BN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝⎛⎭⎫14NC →－AB → ＝AB →＋n ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB → ＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝m AB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.6．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.12B.13C.14D.15 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为 V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD －V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1－112＝14. 所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为 112∶14＝1∶3. 7．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入n 的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 C解析 模拟程序的运行，可得x ＝3，k ＝0，s ＝0，a ＝4，s ＝4，k ＝1； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝16，k ＝2； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝52，k ＝3； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝160，k ＝4； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝484，k ＝5.由题意，此时应该满足条件k >n ，退出循环，输出s 的值为484， 可得5>n ≥4，所以输入n 的值为4.8．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎫1－1x 6的展开式中的常数项是( ) A ．－5 B ．7 C ．－11 D ．13 答案 C解析 ∵⎝⎛⎭⎫1－1x 6的展开式的通项公式是Ck 6⎝⎛⎭⎫－1x k ，其中含1x的项是C16⎝⎛⎭⎫－1x 1，常数项为C06⎝⎛⎭⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝⎛⎭⎫1－1x 6的展开式中的常数项是2x ×⎣⎡⎦⎤C16⎝⎛⎭⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11. 9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点棱锥体积最大时，直线B D 和平面ABC 所成角的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°答案 C解析 如图，当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°. 10．在区间[－1,1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2＋2sx ＋t ＝0的两根都是正数的概率为( ) A.124B.112C.14D.13 答案 B解析 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤s≤1，－1≤t≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x 2＋2sx ＋t ＝0有两正根，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧4s2－4t≥0，－2s>0，t>0，即⎩⎪⎨⎪⎧s2≥t ，s<0，t>0，其区域如图阴影部分所示，面积S ＝ʃ0－1s 2d s ＝⎪⎪13s30－1＝13， 所求概率P ＝134＝112.11．椭圆x 2＋y2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，1 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 A解析 方法一 如图所示，右顶点B (1,0)，上顶点A (0，b )，左焦点F (－1－b2，0)，线段FB 的垂直平分线为x ＝1－1－b22.线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b ，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12，把x ＝1－1－b22＝m ， 代入上述方程，可得y ＝b2－1－b22b＝n .由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可得m ＋n <0， ∴1－1－b22＋b2－1－b22b<0， 化简得b <1－b2， 又0<b <1，解得0<b <22. ∴e ＝c a ＝c ＝1－b2∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.方法二 设A (0，b )，B (a,0)，F (－c,0)，设△FAB 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A ，B ，F 代入外接圆方程， 解得m ＝－c ＋a 2，n ＝b2－ac2b.由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可知m ＋n <0， ∴－c ＋a 2＋b2－ac2b<0， 整理得1－c ＋b －cb <0，∴b －c ＋b －c b <0，∴b －c <0，又椭圆的离心率e ＝ca ＝c ，∴c 2>b 2，即c 2>a 2－c 2,2c 2>a 2,2e 2>1， 由0<e <1，解得22<e <1， ∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.12．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z2xyz 的最小值为( )A ．3 B.33＋12C ．4D ．2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号．又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z22xy≥1， ∴1＋z1－z2xy≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z，∴1＋z 2xyz ≥11－z z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.13．已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第__________象限．答案 三解析 ∵i z ＝4＋3i1＋2i，∴z ＝4＋3i 1＋2i i ＝4＋3i －2＋i ＝4＋3i－2－i－2＋i－2－i＝－5－10i5＝－1－2i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．14．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x≤m ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－1，＋∞)解析 由题意作出其平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1. 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________． 答案15解析 根据余弦定理的推论 cos B ＝a2＋c2－b22ac ，可得14＝a2＋c2－422ac， 化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得 2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ， 化简得c 2＝4，所以c ＝2， 则a ＝4， 又B ∈(0，π)， 则sin B ＝1－cos2B ＝154， S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15，即△ABC 的面积为15. 16．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k1k2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________．答案3解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝y22－y21x22－x21，∵点A ，C 都在双曲线上， ∴x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b2a2>0，对于2k1k2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k1k2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0， ∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k1k2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b2a2＝2，∴e ＝1＋b2a2＝ 3.。