期末高等数学上试题及答案
高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 （2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
工程大学2023-2023学年第1学期《高等数学(上)》期末考试试卷(A卷)及标准答案
工程大学2023-2024学年第1学期《高等数学（上）》期末考试试卷（A卷）及标准答案试卷题目：高等数学（上）期末考试试卷（A卷）科目：高等数学（上）时间：2024年1月一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1.在直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x 的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (-1, 1)2.设函数f(x) = sin(2x + π/3)，则函数 f(x) 的一个周期是（）A. π/3B. π/2C. πD. 2π3.函数 y = 3ln(2x + 1) 的图像在 x 轴上的截距是（）A. -1/2B. 1/2C. 0D. -14.设函数 f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x，则 f(x) 的极值点是（）A. (-1, -1)B. (0, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)5.已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2 - 4, y = t - 1，则曲线 C 属于（）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线…二、填空题（共10题，每题3分，共30分）1.函数 f(x) = sin(2x) 的最小正周期是 _______。
2.函数 y = x^3 + 4x^2 的导函数是 _______。
…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求方程组 x^2 + y^2 = 4, x - y = 1 的解。
2.计算不定积分∫(cos^2x + 2sinx)dx。
…四、大题（共2题，每题20分，共40分）1.设 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为常数，且a ≠ 0。
若曲线 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (1, -1)，且该曲线与直线 y = x + 1 相切于点 (2, 3)，求曲线方程。
2.设函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，求f’(x) 和f’’(x)。
高等数学期末试卷及答案
高数试卷（一）（上册）一、单项选择题（每题4分，共20分，把选择题答案填在括号里）1．当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）．A.11, 6a b ==B.11, 6a b =-= C.11, 6a b ==- D.11, 6a b =-=-2．函数2()sin πx x f x x-=的可去间断点的个数为（ ）．A.1B.2C.3D.无穷多个3．曲线321x y x =-的渐近线有（ ）．A.1条B.2条C.3条D.4条 4．下面等式正确的是（ ）．A. d ()()f x f x '⎡⎤'=⎣⎦⎰B.()d()d ()f x x f x =⎰C.d ()d ()d f x x f x C x =+⎰ D.d ()d ()d ba f x x f x x=⎰ 5．已知广义积分2d 1xkx+∞+⎰收敛1（0k >），则k =（ ）．A.π22π2 D.2π4二、填空题（每题4分，共20分）6．222111lim π2ππn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 7．设函数)(x y y =由方程y x xy+=2所确定，则d x y== ．8．设⎩⎨⎧-=-=),1e (,π)(3tf y t f x 其中f 可导且(0)0f '≠，则0d d t y x == ． 9．不定积分6d (1)xx x =+⎰． 10．定积分π322π2(sin cos )d x x x -+=⎰ ． 三、计算题（每题7分，共28分）11．求极限0x →．12．曲线y =的切线与x 轴和y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为a ，试求切线方程和这个图形的面积S ．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？13．求不定积分⎰．14．已知21()e d xt f x t -=⎰，求10()d f x x ⎰．四、证明题（本题6分）15．设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()d (0)f x x f =⎰，求证：在(0,1)内存在一点ξ使()0f ξ'=．五、讨论题（每小题8分，共16分）16．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=.0),ln(,0,1sin )(2x x a x bx x x x f 试讨论 （1）a 、b 取何值时，)(x f 在0=x 点连续；（2）a 、b 取何值时，)(x f 在0=x 点可导，并求)0(f '．17．讨论函数0()(4)d xF x t t t =-⎰在[1,5]-上的增减性、极值和凹凸区间及拐点．六、应用题（本题10分）18．设2y x =定义在[0,1]上，t 为[0,1]上任意一点，试问t 为何值时，参考答案一、1．C ；2．B ；3．C ；4．A ；5．D ．二、6．1；7． x d )12(ln -；8．3；9．61ln ln(1)6x x C -++；10．2π． 三、11．解 因为当0→x 时，x x x x 232sin 31~1sin 1-+， x x 2~1e 2-， 22~tan x x ，所以，2222001sin 13lim lim (e 1)tan 2x x x x xxx x →→=-⋅ 2221sin 1sin 1666x x x x ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭． 12．解 由题设可知切点的横坐标为0>a，代入曲线方程y =可求的切点坐标为a ⎛⎝，因为312212y x x --''⎛⎫'===-= ⎪⎝⎭，所以，曲线在该点的切线斜率x ak y ='==，切线方程为)y x a =-，即230x a +-=．分别令0y =和0,x =得切线在x 轴和y 轴上的截距分别为3, X a Y ==，切线与x 轴和y 轴围成一个图形为直角三角形AOB ∆，（如图所示）其面积为a a a XY S 492332121=⋅⋅==.因为+∞==+∞→+∞→a S a a 49limlim ，049lim lim 00==++→→a S a a ， 故当切点沿曲线趋于x 轴正方向无穷远时，面积S 趋于无穷大；当切点沿曲线趋于y 轴正方向无穷远时，面积S 趋于零．13．解 设sin x t =，ππ,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则 原式1cos d sin cos tI t t t==+⎰，若设2sin d sin cos tI t t t=+⎰，则121cos sin d cos sin t tI I t t C t t++==++⎰，122cos sin d ln sin cos cos sin t tI I t t t C t t--==+++⎰，故()11ln cos sint 2I t t C =+++(1arcsin ln 2x x C =+++． 14．解 由题设可得2()e x f x -'=，(1)0f =，则111201()d ()()d 0e d 0x f x x xf x xf x x x x -'=-=-⎰⎰⎰ 122101111e d()(e 1)1222e x x --⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰． 四、15．证明 由积分中值定理知12323()d (), ,13f x x f ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦⎰ηη， 即()(0)f f η=．于是)(x f 在[0,]η上满足罗尔定理的条件，知存在(0,)(0,1)ξη∈⊂，使()0f ξ'=.五、16．解（1）因00lim ()lim ln()ln ,x x f x a x a --→→=+= 2001lim ()lim sin 0,x x f x x bx x +-→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(0)ln ,f a =要使函数)(x f 在0=x 点连续必须使函数在该点左、右极限相等且等于该点的函数值即ln 0, 1a a ==．故当1, a b =为任意实数时，函数)(x f 在0=x 点连续．（2）由于连续是可导的必要条件，所以要使)(x f 在0=x 点可导，必须首先令1a =，此时函数变为⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=.0),ln(,0,1sin )(2x x a x bx xx x f 又因为0()(0)ln(1)0(0)lim lim0---→→-+-'==-x x f x f x f x x1lim ln(1)ln e 1,-→=+==xx x 2001sin 01(0)lim lim sin ,0x x x bx x f x b b x x +++→→+-⎛⎫'==+= ⎪-⎝⎭要使)0(f '存在必须使其在该点左、右导数存在并相等即(0)(0)(0)11f f f b -+'''===⇒=．所以当1a =且1b =时，)(x f 在0=x 点可导，此时(0)1f '=．17．解（1）0()(4)d (4)xF x t t t x x '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰， 令()0F x '=，得驻点120, 4x x ==． （2）()24F x x ''=-，令()0F x ''=，得 32x =． （3）列表：（4(1,0)-(0,2)单减且上凸；在区间上(2,4)单减且上凹；在区间(4,5)上单增且上凹． 在0x =处取得极大值0，在4x =处取得极小值332-；)316,2(-. 五、18．解 如图所示，阴影1S 部分的面积为222331012()d 033t t S t x x t x x t =-=-=⎰， 阴影2S 部分的面积为122323221121()d 333t S x t x x t x t t t =-=-=-+⎰，故)10(3134)(2321≤≤+-=+=t t t S S t S ，从而2d 42d S t t t =-，令d 0d S t =，得驻点1210, 2t t ==． 分别求出1112(0), , (1),3243S S S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭比较可知，当12t =时，1S 与2S 之和最小．检测题（二）（上册）一、单项选择题（每题4分，共20分，把选择题答案填在括号里）1．函数y =ln u x =能构成复合关系的区间是（ ）．A.1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.(0,)∞C.1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(0,e) 2．设1010()ln , (), ()e xf x xg x xh x ===则当x 充分大时有（ ）A.()()()g x f x h x <<B.()()()h x g x f x <<C.()()()f x g x h x <<D.()()()g x h x f x <<3．设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<．若0()g x a =是()g x 的极值，则[()]f g x 在0x 取得极大值的一个充分条件是（ ）．A.()0f a '<B.()0f a '>C.()0f a ''<D.()0f a ''> 4．下面等式正确的是（ ）． A.21arctan d C 1x x x=++⎰； B.arcsin C x =+； C.1ln d x x C x=+⎰； D.d()d ()d baf x x f x x =⎰．5．已知广义积分11d kx x ⎰收敛2（0k >），则k =（ ）． A.32； B.1； C.2； D.12．二、填空题（每题4分，共20分）6．若011lim e 1x x a x x →⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a = ． 7．设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则()f x 在x a =取得极 值．8．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-则b = ． 9．定积分π32π2(sin cos )d x x x -+=⎰ ． 10．不定积分22d (1)(4)x xx x =++⎰．三、计算题（每题8分，共32分）11．求极限20ln(1)lim sin x x x x x→+-． 12．已知 ⎩⎨⎧+==),1ln(,arctan 2t y t x 求22d 1d y t x =．13．设可导函数()y y x =由方程2200e d sin d x yxt t x t t --=⎰⎰确定，求d 0d yx x =．14．分别用第一换元法（凑微分法）和第二换元法求不定积分．四、讨论题（12分）15．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=,0,1e ,0,,0,1)(2x x x x x x f x αα试讨论α的值在什么范围内，函数满足（1）在0x =点有极限；（2）在0x =点连续；（3）在0x =点可导．五、应用题（本题10分）16．设位于曲线)y x t =≤≤下方，x 轴上方的区域为G ，求（1）G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积()V t ；（2）当t 为何值时，该旋转体的体积()V t 最大？最大体积是多少？六、证明题（6分）17．设)(x f 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，如果存在两个正数12k k 、满足1212(0)()d 0k k k k f f x x +-=⎰，证明：存在ξ0>使()0f ξ'=．检测题（二）参考答案一、1．A ；2．C ；3．B ；4．B ；5．D ．二、6．2；7．大；8．3；9．34；10．2211ln 64x C x +++．三、11．解 因为当0→x 时，22~)1ln(x x x x ⋅+，所以，222000ln(1)3lim lim lim sin sin 1cos x x x x x x x x x x x x x→→→+⋅==--- 061limsin 6x x x →==． 12．解 因为2d 2, d 1y t t t =+2d 1d 1x t t=+，所以 22d d d 212 d d d 11y y t t t t x x t t +===+， 2222d d d 2d d 2(1)d d d 11y y t x t x x t t⎛⎫⎪⎝⎭===++， 22211d 2(1)4d t t y t x ===+=． 13．解 由题设可知2200e d sin d x yxt t x t t --=⎰⎰，方程两边同时求导得2()220e(1)sin d sin xx y y t t x x --'-=+⎰，把0x =代入上述等式得1y '=，故d 10d yx x ==．14．解法1 凑微分法2C===．解法2 第二类换元积分法==设11sin22x t-=π2t⎛⎫<<⎪⎝⎭，则原式1cos d d2t t t==⎰arcsin(21)t C x C=+=-+．解法3 第二类换元积分法x=⎰，令2πsin02x t t⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则d2sin cos dx t t t=，所以原式112sin cos d2dsin cost t t tt t=⋅⋅=⎰⎰2t C C=+=．四、解（1）因为00lim()lim(1)1,x xf x x--→→=+=00lim()lim(e1)1,xx xf x x++→→=+=α可见α是任意实数时，函数在0x=点左、右极限都相等．（2）又因为2(0)f=α，要使函数)(xf在0=x点连续必须使函数在该点极限值等于该点的函数值，即21,1a==±α．故当1±=α时，函数)(xf在0=x点连续.（3）由于连续是可导的必要条件，所以要使)(xf在0=x点可导，必须首先令21=α，此时函数变为⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=,0,1e ,0,1,0,1)(x x x x x x f x α0()(0)(1)1(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→-+-'===-， 00(e 1)1(0)lim lim e ,x x x x x f x+++→→+-'===ααα 要使)0(f '存在必须使其在该点左、右导数存在并相等，即(0)(0)(0) 1 1f f f -+'''====⇒=αα．所以当1=α时，)(x f 在0=x 点可导，此时(0)1f '=． 五、16．解 （1）222e ee 11()πd πd πd ln (1ln )1ln ttt x V t y x x x x x x ===++⎰⎰⎰ []e ππarctan(ln )πarctan(ln )4t x t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（2）因为2π()0 (e)(1ln )V t t t t '=>>+，这说明()V t 在[e,)+∞上单调递增，所以当t →+∞时，()V t 取得最大值，其最大值为[]2max e πππ()πlim arctan(ln )π244tt V t x →+∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭． 六、17．证明 由积分中值定理知[]1212112()d (), ,k k k f x x k f k k k +=∈+⎰ηη，代入题设等式得()(0)f f η=．于是)(x f 在[0,]η上满足罗尔定理的条件，知存在112(0,)[,](0,)k k k ∈⊂+⊂+∞ξη，使()0f ξ'=．。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答以下各题(本大题共 16 小题，总计 80 分 )1、(本小题 5 分)求极限limx 3 12 x 163 9x 212x 4x 22x2、 (本小题 5 分 )求x2 2dx. (1 x )3、(本小题 5 分)求极限 limarctan x arcsin1xx4、(本小题 5 分)求x d x.1 x5、 (本小题 5 分 )求 dx 21 t 2dt ．dx6、 (本小题 5 分 )求 cot 6 x csc 4 x d x.7、(本小题 5 分)21 cos 1dx ．求 1 x 2 x 8、 (本小题 5 分 )xe t cost 2y( x), 求dy．设确立了函数 y ye 2t sin tdx9、 (本小题 5 分 )3求 x 1x dx ．10、 (本小题 5 分 )求函数 y 4 2 x x 2 的单一区间 11、 (本小题 5 分 )求 2sin x dx ．sin 2 x0 812、 (本小题 5 分 )设 x t) e kt(3cos t4 sint ，求 dx ．()13、 (本小题 5 分 )设函数 yy x 由方程 y 2ln y 2x 6 所确立 , 求 dy ．( )dx14、 (本小题 5 分 )求函数 yexe x的极值215、 (本小题 5 分 )求极限 lim( x1)2(2x 1)2 ( 3x 1) 2(10x 1)2x16、 (本小题 5 分 )(10x 1)(11x 1)求cos2x d x. sin xcos x 1二、解答以下各题(本大题共 2 小题，总计 14 分 )1、(本小题 7 分)某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 ,一边可用本来的石条围 沿,另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时 ,才能使资料最省 .2、(本小题 7 分)求由曲线 yx 2 和 y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积 .28三、解答以下各题 (本大题6分 )设 f (x)x(x 1)( x 2)( x 3), 证明 f ( x) 0有且仅有三个实根 .一学期期末高数考试 (答案 )一、解答以下各题(本大题共 16 小题，总计 77 分 )1、(本小题 3 分)解:原式lim 3x 2 12218x 12x 2 6x6xlimx 212 x 1822、(本小题 3 分)xd x(1 x 2 )21 d(1 x2 ) 2(1x 2 ) 2112 1 x 2c.3、(本小题 3 分)因为 arctan x2而 limarcsinx故 limarctan x arcsin1xx4、(本小题 3 分)x d x1 x1 x 1 d x 1 xd xd x1 xx ln 1 x c.5、(本小题 3 分)原式2 x 1 x 46、(本小题 4 分)cot 6 x csc 4 x d xcot 6 x(1cot 2 x) d(cot x)1 0x1cot 7 x 1cot 9x c.797、 (本小题 4 分 )211原式1 cos d ()x x1 sin2 118、 (本小题 4分 )解：dy e2t (2 sin t cost)dx e t (cos t 22t sin t 2 )e t (2 sin t cost)(cost 22t sin t 2 ) 9、 (本小题 4分 )令 1 x u2原式 2 (u4u2 ) du12( u5u3) 12531161510、 (本小题 5 分 )函数定义域 (,)y 2 2 x2(1x)当 x 1， y 0当x，y函数单一增区间为,1 10当x，y函数的单一减区间为1,1011、 (本小题5 分 )原式2d cos x09cos2x13cosx 2lncosx 0631ln 2612、 (本小题 6 分 )dx x (t) dte kt(43k ) cos t ( 4k 3 ) sin t dt13、 (本小题 6 分 )2yy2y6x5yy 3yx5 y2114、 (本小题 6 分 )定义域 (，), 且连续y2e x (e2 x1)2驻点： x1 ln 12 2因为 y2e xe x故函数有极小值 ,, y( 1ln 1 ) 2215、 (本小题 8 分 ) 22(1 1 ) 2 ( 2 1 )2 ( 3 1 ) 2(10 1 ) 2原式lim x x xxx(10 1)(11 1)10 11 21x x 6 10 117216、 (本小题 10 分)解 :cos2x dxcos2x dx1 sin x cos x11sin 2xd(12sin 2x 1)2 11sin 2x1 2sin 2xcln 12二、解答以下各题(本大题共 2 小题，总计 13 分 )1、 (本小题 5 分 )设晒谷场宽为 x, 则长为512米 ,新砌石条围沿的总长为x L2x512(x0)xL2512 独一驻点x 16x 2L10240 即 x 16 为极小值点x 3故晒谷场宽为 16米 , 长为51232米时 , 可使新砌石条围沿16所用资料最省2、(本小题 8 分)解:x 2x 3 , 22x3x 1,.28x0 x 148V x4 x 2 ) 2 (x 3 2dx 4 x 4x 6() 0()dx28464(11 x 541 1 x 7 ) 4 564 7 044 ( 11 ) 51257 35三、解答以下各题 (本大题10分)证明 : f (x)在 ( , ) 连续 , 可导 , 进而在 [ 0,3]; 连续 , 可导 .又 f (0) f (1) f (2) f (3) 0则分别在 [0,1],[ 1,2],[2,3] 上对 f ( x) 应用罗尔定理得, 起码存在1 (0,1),2(1,2), 3(2,3)使 f ( 1 ) f (2 ) f (3 ) 0即 f (x) 0起码有三个实根 , 又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述 f ( x) 有且仅有三个实根参照答案一。
大学高数期末考试题与答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分），1．求极限lim1 cos x x2 x．3 x 0 si n x解：1 cosx x x x2 1 1 c o xs 1cosx x 2x21 2lim lim lim si n 3 x x 3 x 3 x 0 x 0 x 0x ln 1 cosx x ln 1 c oxs 1 cosx ln 1 cosxe 2 1 e 2 1 xln 2 2 lim lim limlimx 3 1 cosx x 3 x 2x 0 x 0 x 0 x 0xln 2l i m s inx 1 ．x 0 1 c o sx 2x 4与 x 2 3x2．设 x 0 时，fx 是等价无穷小， f t dt 与 Ax k等价无穷小，求常数 k 与 A ．2 0 解：3 x3 x f t dt由于当 x 0 时， f t dt 与 Ax k等价无穷小，所以 lim 0 k 1 ．而0 x 0 Ax3 x21 x 31f t dt f 3 x 2 23 3 x 2f 3 x 2 3 3 x 2x 3 x 31lim 0 lim li m li mlimAx kxx 0 Akx k 1 x 0 2Akx k 1 x 0 6Akx k 1 x 0 6Akx k 1x 32所以， lim11．因此， k 1, A 1． x 0 6 Akx k 163 x 2ax b dx 中不含有对数函数，求常数 a 与b应满足的条件．2 ．如果不定积分x 1 1x 2解：x 2ax b 化为部分分式，有将2 1 x 2x 1x 2ax bA B CxD ，x 1 2 1 x 2x 1 x 1 21 x 2因此不定积分x 2ax bdx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 2 x 21A C 0 ．即x 2ax bB D B 1 x 2D x 1 22 22 2 ．1 x 2x 1 1 x 2x 1 x 1 1 x所以，有x 2ax b B 1 x 2 D x 1 2 B D x 2 2DxB D ．比较上式两端的系数，有 1 B D , a 2D , b B D ．所以，得 b 1．525．计算定积分 min 1, x 2 dx ． 0解：m i n1, x 2 x 2x 2 11 x2 1 1 x 12 x 1 x 2x 2 2 x ．31x35521 2 2 13 所以， min 1, x 2 dx 1dx 2 x dx x 2 dx ．0 0 1 2 85．设曲线 C 的极坐标方程为 r a sin 3，求曲线 C 的全长． 3解：曲线 r a sin 3一周的定义域为 0 3 ，即 03 ．因此曲线 C 的全长为 3 3 2 2 3 3 3 s r r d 2 6 a 24 2 2aa s i n s i n c o s d a s i n d ．0 0 3 3 3 0 3 2二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分），6．求出函数f x sin x lim 2n 的所有间断点，并指出这些间断点的类型． n 1 2 x解：sin x x1 21sin x x 1 2 2f x lim 2n．1 1 n12 x x 2 20 x 1 2因此 x 1 1 1 是函数 f x与 x 2 2 的间断点． 2l i m f x l i m 0 0 ， lim f x lim si nx 1 ，因此 x 1x 的第一类可 是函数 f 1 x 1 x 1 1 2x 2 2 x2 2去型间断点．li mf x lim s i n x1 ，limf x lim 0 0 1 是函数 f x 的第一类可去型 ，因此 x 1 x 1x 1 x 1 2 x2 2 2 2 间断点．7．设 是函数 f x arcsin x 在区间 0, b 上使用 Lagrange （拉格朗日） 中值定理中的 “中值 ”， 求极限 lim ．b 0 b 解：f x ar c s ixn 在区间0, b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在 0, b ，使得arcsinb arcsin0 1 b 0 ．1 2b 2所以， 21．因此，arcsinbb 22 12 2arcsinblim lim a r c s bin bb 2 2 lim2b 0 b 0 bb 0 b 2a r c sbin令t arcsinb，则有2lim t 2 2limt2 2lim sin t s i n tb 0b 2t 0t2 sin 2tt0 t 4lim 2t sin 2t lim 22cos2t 1 lim 1 cos2t1 lim2 s in2t 1 t 0 4t 3t 0 12t 26 t 0 t 2 6 t 0 2t 3所以， lim 1 ．b 0 b31 x 18．设 fx e y 2 y dy ，求f x dx ．0 0解：111f x dx xf xf x dxx 00 01 x在方程f x e y 2ydy 中，令x 1 ，得1 1 0f 1 e y 2 y dy e y 2 y dy 0 ．0 0再在方程1 因此，1 xf xe1 x2f x e y 2y dy 两端对 x 求导，得，011 1f x dx xfx xf x dx xf x dx 00 0 01 11 11 x 2x 2e x2xe dx e xe dx e0 0 2 0 1e 1 ．29．研究方程 e x a x2 a 0 在区间, 内实根的个数．解：设函数f x ax2 e x1， f x 2axe x ax2e x ax 2 x e x．令f x 0 ，得函数 f x 的驻点 x10, x2 2 ．由于 a 0 ，所以lim fx lim ax2e x 1 ，x xlim f x lim 2ex1 a limx21 a lim2x1 a lim21 1．axe xexexx x x x x因此，得函数 f x 的性态x , 0 0 0, 2 2 2,f x 0 0f x 1 4ae 21 1⑴若 4ae 2 1 0，即 a e2时，函数f x ax2 e x1在, 0、0, 2、2, 内4各有一个零点，即方程e x a x2在, 内有 3 个实根．⑵若 4ae 2 1 0 ，即 a e2时，函数f x ax2 e x1在, 0、0, 内各有一个零4点，即方程 e x a x2在, 内有 2 个实根．⑶若 4ae 2 1 0 ，即 a e2时，函数f x ax 2e x 1 在, 0 有一个零点，即方程4e xa x 2在, 内有 1 个实根．10．设函数 f x 可导，且满足f x x f x 1 ， f 0 0 ．试求函数 f x 的极值．解：在方程 f x xf x 1 中令 tx ，得f t t f t 1 ，即f x x f x 1 ．f x xf x x 中消去f x ，得在方程组xf x f x xf x x x2．1 x2x t 2积分，注意 f 0 0 ，得 f x f 0 t 0 1t 2 dt ．即x t t 2 1 ln 1 x 2f x 2 dt x arctan x ．0 1t 2由 f x x x 2f x 的驻点 x10, x21 ．而f 1 2 x x 21 x 2得函数 x 1 x 22 ．所以，f 0 1 0 ， f1 1 0 ．21ln 2所以， f0 0 是函数f x 极小值； f 1 1 是函数 f x 极大值．2 4三．应用题与证明题（本题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分），11．求曲线 y x 的一条切线，使得该曲线与切线 l 及直线 x 0 和 x 2 所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小．解：设切点坐标为 t, t 1 ，可知曲线 y x 在 t , t 处的切线方程为，由 y 2 t yt11x t ．x t ，或 y2 t2 t因此所求旋转体的体积为 2V1 2 82x tx dx 4 2t2 t4 3t所以， dV8 2 0 ．得驻点 t2 ，舍去 t2 ．由于 dt 4 3t 233d 2V16 0 ，因而函数 V 在 t 2 dt 24 3t 2 处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切 t 2 t 3233 线方程为 y 3 x 1 ．4 212．设函数 f x 在闭区间0， 1 上连续，在开区间0， 1 内可导，且2e f xarctan xdx 1， f 1 0 ．2 证明：至少存在一点 0， 1 ，使得 f1．1 2arctan 解：因为 f x 在闭区间 0, 1 上连续，所以由积分中值定理，知存在20,，使得2e fx arctanxdx 2 e f arctan ．0 2由于 e fx arctan xdx 1，所以， 2 e farctan 1 ．再由 f 1 0 ，得 022e farctan e f1 arctan 1．4作函数 g xe f x arctan x ，则函数在区间 , 1 0, 1 上连续，在区间 , 1 内可导．所以由 Rolle 中值定理，存在, 1 0, 1 ，使得 g 0 ．而 g x e fx f e fx 2 ．x a r c t axnx1所以存在, 10, 1 ，使得e ff a r c t a ne f20 ．1由于 e f0 ，所以 farctan 1 2 0，即 f11．12 arctan一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。
高数(大一上)期末试题及答案
第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。
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第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分) .d )1(22x x x ⎰+求3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分) ．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e ty y x dy dx t t ==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分) ．求dx x x ⎰+301 10、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-42211、(本小题5分) ．求⎰π+202sin 8sin dx x x 12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=-13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-215、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222Λ16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分) .8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =22、(本小题3分) ⎰+x x x d )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞=10故limarctan arcsin x x x →∞⋅=10 4、(本小题3分) ⎰-x x x d 1 x x x d 111⎰----= ⎰⎰-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x 6、(本小题4分)⎰⋅x x x d csc cot 46 ⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分) 原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin 112x ππ=-1 8、(本小题4分) 解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )2222 9、(本小题4分)令 1+=x u 原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分) ),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当 (][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302ln cos cos x x π=162ln12、(本小题6分) dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分) 2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分) 定义域，且连续(),-∞+∞ '=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln 由于''=+>-y e e x x 20 22)21ln 21(,,=y 故函数有极小值 15、(本小题8分) 原式=++++++++--→∞lim ()()()()()()x x x x x x x 1121311011011112222Λ =⨯⨯⨯⨯=101121610117216、(本小题10分) dx x x dx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=x x d 2sin 211)12sin 21(=++ln sin 1122x c 二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点 故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,= 2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dx x =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题( 本 大 题10分 ) 证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()参考答案一。
填空题（每小题3分，本题共15分）1、6e2、k =1 ．3、xx +1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．计算题（本题共56分，每小题7分）1.解：x x x 2sin 24lim 0-+→81)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 2.解 ：21lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xee e e xe e e e x x e e x 3、解： 2cos 102lim x dte xt x ⎰-→e x xe x x 212sin lim 2cos 0-=-=-→ 4、解： )111(1122x x x y ++++=' 211x +=5、解：tt t t dx dy 21121122=++= 222232112()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t-+===-+ 6、解：C xd x dx x x ++=++-=+⎰⎰)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 7、 解： ⎰⎰=x xe x x x e d cos d cos⎰+=sinxdx e cos x x e x ⎰+=x de sin cos x x e xdx cos sin cos x e x e x e x x x ⎰-+=C x x e x ++=)cos (sin8、解：⎰⎰⎰⎰--+==-01101120d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f … ⎰⎰+++=-10011d 1d x x e x x 1001)1ln(d )11(x x e e x x +++-=⎰- 2ln )1ln(101++-=-x e)1ln()1ln(11e e +=++=-四． 应用题（本题7分）解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1，1），于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为 31]3132[)(10210232=-=-=⎰x x dx x x A A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：()πππ10352)(10521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 五、证明题（本题7分）证明： 设x x f x F -=)()(，显然)(x F 在]1,21[上连续，在)1,21(内可导，且 021)21(>=F ，01)1(<-=F . 由零点定理知存在]1,21[1∈x ，使0)(1=x F .由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点)1,0(),0(1⊂∈x ξ，使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf …。