2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (1)
(名师导学)2020版高考数学总复习综合试题(一)理(含解析)新人教A版
综合试题(一)理科数学 【p 323】 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x∈R |x 2－2x －3<0}，B ＝{x ∈R |－1<x <m }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(－1，3)C ．[3，＋∞)D ．(－1，3]【解析】因为A ＝{x ∈R |x 2－2x －3<0}＝(－1，3)，又A B ，所以m >3.【答案】A2．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．43B ．55C ．61D ．81【解析】模拟运行：S ＝25，n ＝18，18＞0，S ＝43，n ＝12，12＞0，S ＝55，n ＝6，6＞0，S ＝61，n ＝0，输出S ＝61.【答案】C3．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23【解析】由题意得x ＝CO CB ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.【答案】C4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线x 2－2y 2＝1的右支上的一个动点，若点P 到直线2x －2y ＋2＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为( )A ．2 B.32C.63D.263【解析】令P (x ，y )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤|2x －2y ＋2|6min>c ，而直线2x －2y ＋2＝0与渐近线2x －2y ＝0距离为|2|6＝63，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤|2x －2y ＋2|6min >63，即c ≤63，实数c 的最大值为63. 【答案】C5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．123B ．23C ．63D ．48 3 【解析】由43πR 3＝43π，得R ＝1，∴正三棱柱的高等于球的直经h ＝2R ＝2， 设其底面边长为a ， 则13×32a ＝1，∴a ＝23， ∴V ＝34×(23)2×2＝6 3. 【答案】C6．若函数f ()x ＝a ()x －2e x＋ln x ＋1x在()0，2上存在两个极值点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14e 2 B.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，14e 2∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1eD.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，－14e 2 【解析】f ′()x ＝a ()x －1e x＋x －1x 2＝()x －1⎝⎛⎭⎪⎫a e x ＋1x 2， 令f ′()x ＝0，得x ＝1或a ＝－1x 2e x ，设g ()x ＝－1x 2e x，则g ′()x ＝e x()x 2＋2x ()x 2e x 2，当x >0时，g ′()x >0，∴g ()x 在()0，2上递增，当x →0时，g ()x →－∞，又g ()2＝－14e2， ∴g ()x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14e 2，∴a <－14e 2， 又a ≠g ()1，∴a ≠－1e ，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，－14e 2. 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤4，f （x －2），x>4，则f(7)的值为________．【解析】f(7)＝f(5)＝f(3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.【答案】188．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO(O 为坐标原点)的面积为________．【解析】由题意得x P ＝5－1＝4⇒y P ＝±4，因此△PFO 的面积为12×4×1＝2.【答案】29．二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________． 【解析】由T r ＋1＝C r 8·(3x)8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12rC r8·x 8－4r3.令8－4r3＝0，得r ＝2. ∴二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.【答案】710．如图，将绘有函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB 之间的空间距离为15，则f(－1)＝____________．【解析】作AC⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，连接CB ，则CD ＝T 2，则AB 2＝AC 2＋BC 2＝AC 2＋CD 2＋BD 2，即(15)2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(3)2,即15＝3＋3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＝9，即T 2＝3，即T＝6＝2πω，∴ω＝π3，即f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，则f(－1)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋5π6＝3sinπ2＝ 3.【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】(1)由题意知S n ＝2－a n ，① 当n≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1，由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)知，数列{b n }是等差数列， 设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9，故d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1，综上，数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1.(2)∵c n ＝b n a n＝(2n －1)·2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，④③－④得－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n，即－T n ＝1＋2(2n－2)－(2n －1)2n＝－(2n －3)2n－3， ∴T n ＝(2n －3)·2n＋3.12．(16分)如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，且DE ＝6，AF ＝2.(1)试在线段BD 上确定一点M 的位置，使得AM∥平面BEF ； (2)求二面角A －BE －C 的余弦值．【解析】(1)取BE 的三等分点K(靠近点B)，过K 作KM⊥BD 交BD 于M ，则有KM ＝13DE＝2，由DE⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，可知AF⊥平面ABCD ，∴AF ⊥BD ，∴FA ∥KM ，且FA ＝KM.所以四边形FAMK 为平行四边形，可知AM∥FK ⇒AM ∥平面BEF ， ∵MK ED ＝BM BD ＝13，∴M 为BD 的一个三等分点(靠近点B)． (2)如图建立空间直角坐标系：则A(3，0，0)，B(3，3，0)，E(0，0，6)，C(0，3，0)，EB →＝(3，3，－6)，AB →＝(0，3，0)，BC →＝(－3，0，0)，设平面AEB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋3y 1－6＝0，3y 1＝0，可得n ＝(2，0，1)． 设平面BCE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2－6＝0，3x 2＝0可得m ＝(0，2，1)， 因为二面角A －BE －C 为钝二面角， 可得cos θ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×0＋0×2＋122＋1·22＋1＝－15， 所以二面角A －BE －C 的余弦值为－15.13．(18分)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知点A (2，1)是椭圆G ：x 2＋4y 2＝m 上的点．(1)若过点P (0，10)的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆G 1所截得的弦长；(2)椭圆G 上的B ，C 两点满足4k 1·k 2＝－1(其中k 1，k 2是直线AB ，AC 的斜率)，求证：B ，C ，O 三点共线．【解析】(1)因为点A (2，1)是椭圆G ：x 2＋4y 2＝m 上的点， ∴22＋4·12＝m ，∴m ＝8，即椭圆G ：x 28＋y 22＝1.∴a 2＝8，b 2＝2，∴伴随圆G 1：x 2＋y 2＝10.当直线l 的斜率不存在时，显然不满足l 与椭圆G 有且只有一个公共点．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋10与椭圆G ：x 2＋4y 2＝8联立得(1＋4k 2)x 2＋810kx ＋32＝0.由直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点得Δ＝(810k )2－4·(1＋4k 2)·32＝0， 解得k ＝±1，由对称性取直线l ：y ＝x ＋10，即l ：x －y ＋10＝0. 圆心到直线l 的距离为d ＝|0＋0＋10|1＋1＝5，直线l 被椭圆G 的伴随圆G 1所截得的弦长＝210－5＝2 5. (2)设直线AB ，AC 的方程分别为y －1＝k 1(x －2)，y －1＝k 2(x －2)． 设点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立y －1＝k 1(x －2)与x 2＋4y 2＝8，得(1＋4k 21)x 2－(16k 21－8k 1)x ＋16k 21－16k 1－4＝0， 则2x 1＝16k 21－16k 1－41＋4k 21，得x 1＝8k 21－8k 1－21＋4k 21. 同理x 2＝8k 22－8k 2－21＋4k 22. 斜率k OB ＝y 1x 1＝k 1（x 1－2）＋1x 1＝－4k 21－4k 1＋18k 21－8k 1－2，同理k OC ＝－4k 22－4k 2＋18k 22－8k 2－2.因为4k 1·k 2＝－1，所以k OC ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 1＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 12－8⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 1－2＝－1＋4k 1＋4k 212＋8k 1－8k 21＝k OB .∴B ，O ，C 三点共线．。
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学(课件 学案 考点集训 ) (1)
【点评】向量共线充要条件的 2 种形式： (1)a∥b a＝λb(b≠0)； (2)a∥b x1y2－x2y1＝0(其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)). 当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方 便.
考点 4 向量问题坐标化
例5如图，平面内有三个向量O→A、O→B、O→C，其 中O→A与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°， 且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|＝2 3，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ、 μ∈R)，则 λ＋μ 的值为________.
第 29 讲 平面向量的基本定理及坐标运算
【学习目标】 1. 了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面 向量的正交分解及其坐标表示； 2. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.
【基础检测】 1. 已知向量 a＝(4，3)，b＝(－2，1)，如果向量 a ＋λb 与 b 垂直，则|2a－λb|的值为________.
考点 1 平面向量基本定理的应用
例1如果 e1，e2 是平面 α 内一组不共线的向量，那么 下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的 是( )
A. e1 与 e1＋e2 B. e1－2e2 与 e1＋2e2 C. e1＋e2 与 e1－e2 D. e1＋3e2 与 6e2＋2e1
【解析】选项 A 中，设 e1＋e2＝λe1，则11＝＝λ0，无解； 选项 B 中，设 e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ－＝21＝，2λ无解； 选项 C 中，设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ1＝＝1－，λ无解； 选项 D 中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线 向量.
【答案】D
2020版《名师导学》高考理科数学新课标总复习练习：同步测试卷(一) Word版含解析
姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(一) 【p285】(集合、常用逻辑用语、算法初步及框图)时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝｛x|x2＋x－2≤0，x∈R｝，B＝｛x｜x＝2k,k∈Z｝,则A∩B 等于( ）A．{0，1} B．｛－2，0｝C．{－1，0} D．｛－4，－2｝【解析】集合A＝｛x｜x2＋x－2≤0，x∈R｝＝{x|－2≤x≤1}，所以A∩B＝｛－2，0}．【答案】B2．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，<－1.1〉＝－1，那么“｜x－y|＜1"是“〈x〉＝<y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由已知可得令x＝1.8,y＝0.9，满足｜x－y｜＜1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y>，而<x〉＝〈y>时，必有|x－y|＜1,所以“｜x－y|<1”是“〈x>＝〈y〉”的必要不充分条件．【答案】B3．如图所示，程序框图的功能是( )A．求错误!的前10项和B．求错误!的前10项和C．求错误!的前11项和D．求错误!的前11项和【解析】运行程序如下：S＝0＋错误!，n＝4,k＝2,S＝0＋错误!＋错误!，n＝6，k＝3,…,S＝0＋错误!＋错误!＋…＋错误!，n＝22，k＝11，所以该程序求的是错误!的前10项和．【答案】B4．已知集合A＝｛x|y＝错误!｝，B＝{x｜a≤x≤a＋1｝，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞,－3]∪［2，＋∞）B．［－1，2]C．[－2，1] D．[2，＋∞)【解析】函数y＝4－x2有意义,则4－x2≥0，据此可得：A＝{x|－2≤x≤2｝,A∪B＝A，则集合B是集合A的子集，据此有：错误!求解不等式组可得实数a的取值范围是[－2，1］．【答案】C5．下列结论错误的是（)A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题是“若x≠4，则x2－3x －4≠0”B．命题“若m〉0，则方程x2＋x－m＝0有实根"的逆命题为真命题C．“x＝4"是“x2－3x－4＝0"的充分条件D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0"【解析】逆否命题，条件、结论均否定，并交换,所以命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”,故A正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m〉0”，由Δ＝1＋4m≥0,解得m≥－错误!，推不出m〉0，是假命题,故B 错误;x＝4时，x2－3x－4＝0，是充分条件,故C正确;命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．【答案】B6．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图执行(其中a为座位号）,并以输出的值作为下一轮输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（)A．8 B．15C．20 D．36【解析】输入a＝8后，满足条件，则输出a＝2×8－1＝15；输入a＝15，满足条件，则输出a＝2×15－1＝29；输入a＝29，不满足条件，a＝29－25＝4,a＝2×4＝8，输出a＝8，故第三次输出的值为8。
2020版《名师导学》高考理科数学新课标总复习练习：同步测试卷(五) Word版含解析
姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(五) 【p293】(导数及其应用）时间：60分钟总分:100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y＝x sin x＋错误!的导数是( )A．y′＝sin x＋x cos x＋错误!B．y′＝sin x－x cos x＋错误!C．y′＝sin x＋x cos x－错误!D．y′＝sin x－x cos x－错误!【解析】f′（x)＝（x）′sin x＋x（sin x)′＋错误!′＝sin x＋x cos x＋12x－错误!＝sin x＋x cos x＋错误!。
【答案】A2．已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（)A．－4 B．－2C．4 D．2【解析】f′错误!＝3x2－12＝3错误!错误!，令f′错误!＝0得x＝－2或x ＝2，易得f错误!在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，故f错误!的极小值点为2，即a＝2.【答案】D3．定积分错误!错误!d x等于（）A.错误!πa2B。
错误!πa2C．πa2D．2πa2【解析】由题意可知定积分表示半径为a的半个圆的面积，所以S＝错误! (πa2)＝错误!πa2.【答案】B4．直线y＝kx＋1与曲线f（x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，则a＋b＝( ）A．1 B．4C．3 D．2【解析】由f（x）＝a ln x＋b，得f′（x)＝错误!,∴f′（1）＝a.再由直线y＝kx＋1与曲线f（x）＝a ln x＋b相切于点P（1，2），得错误!∴错误!∴a＋b＝3。
【答案】C5．已知函数y＝f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋错误!>0,则函数F(x）＝xf(x)＋错误!的零点个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】由已知得错误!〉0,得错误!>0，得(xf(x)）′与x同号,令g(x)＝xf(x）．则可知g（x)在（－∞，0)上单调递减，在（0，＋∞)上单调递增，且g(0）＝0，又由xf（x)＋1x＝0,即g（x)＝－错误!，显然y＝g(x）的图象与y＝－错误!的图象只有一个交点，选B.【答案】B6．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x）,若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′（x）〈2恒成立,则使x2f（x）－f（1)〈x2－1成立的实数x 的取值范围是（)A．｛x｜x≠±1}B．(－∞，－1)∪(1，＋∞）C．（－1，1)D．（－1，0)∪(0，1)【解析】f（x）是R上的偶函数,则函数g(x）＝x2f(x)－x2也是R上的偶函数，对任意的实数x,都有2f(x)＋xf′（x)<2恒成立，则g′(x)＝x[2f（x）＋xf′（x)－2］．当x≥0时，g′（x）<0，当x〈0时,g′(x）>0，即偶函数g(x)在区间（－∞,0)上单调递增，在区间(0,＋∞)上单调递减,不等式x2f（x）－f(1)〈x2－1即x2f（x）－x2〈12f（1）－12，据此可知g(x)<g(1)，则x<－1或x〉1。
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学_三角函数第四章 (1)
【点评】1.终边在某直线上角的求法 4 步骤： (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的 集合； (4)求并集化简集合.
2. 确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤： (1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围；
①1°＝1π80rad；②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长 l＝__ |α|r __
扇形面积公式
S＝__12lr__＝__12|α|r_2_
3.任意角的三角函数
三角函 数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么
定 义
__ y __叫做 α 的
正弦,记作 sin α
∴2sin α＋cos α＝－35×2＋45＝－25.
【答案】A
3. 半径为 2，圆心角为 60°的扇形面积为( )
2π
4π
A. 120 B. 240 C. 3 D. 3
π
【解析】因为扇形的圆心角为 θ＝ 3 ，半径为 2，
所以弧长 l＝θr＝2π3 ， ∴S＝12lr＝12×2π3 ×2＝2π3 .
的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需 角.
(2)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ ＋α，k ∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成 [0，2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后 判断角 α 的象限.
2. 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；
第四章 三角函数
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学 同步测试卷 (13)
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十三) 【p 309】(统计)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则普通职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为( )A ．16，3，1B ．16，2，2C ．8，15，7D ．12，5，3【解析】∵普通职员、中级管理人员和高级管理人员之比为160∶30∶10＝16∶3∶1，∴从中抽取20个人进行身体健康检查，普通职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为16，3，1.【答案】A2．某单位为了解用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天由表中数据得到回归直线方程y ＝－2x ＋a ，预测当气温为－4 ℃时，用电量为( ) A ．68.2度 B ．68度 C ．69度 D ．67度【解析】x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40，中心点的坐标为(10，40)，代入回归直线方程y ^＝－2x ＋a ，解得a ^＝60，当x ＝－4时，y ^＝8＋60＝68. 【答案】B3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为( )A ．13B ．12C ．11.52D .1009【解析】设中位数为a ，样本数列落在[2，6)上的频率为0.02×4＝0.08，在[6，10)上的频率为0.08×4＝0.32，0.5－0.08－0.32＝0.1，则0.1＝(a －10)×0.09，故a ＝109＋10＝1009.【答案】D4．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为( )A 【解析】被选中的红色球号码依次为17，12，33，06，所以第四个被选中的红色球号码为06.【答案】C5．已知X 的分布列则在下列式子中①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X ＝0)＝13，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，知①正确；由D(x)＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，知②不正确；由分布列知③正确．【答案】C6．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布N(110，100)，则分数位于区间(130，150]分的考生人数近似为( )(已知若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜x ＜μ＋3σ)＝0.997 4)A ．1 140B ．1 075C ．2 280D ．2 150【解析】由题意得μ＝110，σ＝10， ∴P(110－20＜X ＜110＋20)＝0.954 4，因此P(110＜X ＜130)＝12×0.954 4＝0.477 2，所以P(130＜X ＜150)＝0.5－0.477 2＝0.022 8，即分数位于区间(130，150]分的考生人数近似为0.022 8×10×104＝2 280. 【答案】C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．已知随机变量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，则D(ξ)＝________________________________________________________________________.【解析】由E(ξ)＝36p ＝12，得p ＝13，∴D (ξ)＝36×13×23＝8.【答案】88．某次测量中，测量结果ξ～N(2，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0，4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为________．【解析】由正态分布ξ～N(2，σ2)(σ＞0)，可知正态分布密度曲线的对称轴为x ＝2，由P(0＜ξ＜2)＝0.4，得P(2＜ξ＜4)＝0.4，P (ξ＜0)＝0.1，P (ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝0.1，所以P(ξ＜4)＝1－P(ξ＞4)＝0.9. 【答案】0.99．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是________．(填序号)①甲运动员的成绩好于乙运动员； ②乙运动员的成绩好于甲运动员；③甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异； ④甲运动员的最低得分为0分． 【解析】分析茎叶图可得：甲运动员的得分为：10，15，22，23，31，32，34，36，37，38，44，44，49，51. 乙运动员的得分为：8，12，14，17，21，29，29，33，36，52.则甲运动员得分的平均数为114(10＋15＋22＋23＋31＋32＋34＋36＋37＋38＋44＋44＋49＋51)＝33.3，乙运动员得分的平均数为110(8＋12＋14＋17＋21＋29＋29＋33＋36＋52)＝25.1.甲运动员的最低得分为10分．故甲运动员的成绩好于乙运动员． 【答案】① 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b|的取值”，则X 的数学期望E(X)为________．【解析】对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.【答案】89三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.【解析】(1)列联表补充如下：由已知数据得，K 2＝30×（10×8－6×6）16×14×16×14≈1.158<2.706.所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关． (2)X 的可能取值为0，1，2.P(X ＝0)＝C 28C 214＝413，P(X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P(X ＝2)＝C 26C 214＝1591，所以X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.12．(16分)随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x ：(单位：元/月)和购买人数y(单位：万人)的关系如表：(1)y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关；(2)①求出y 关于x 的回归方程；②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测该城市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人．参考数据：25 000≈158，26 000≈161，27 000≈164.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2∑ni ＝1（y i －y ）2，回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b^＝∑n i ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2，a ^＝y －b ^x. 【解析】(1)根据题意，得x ＝15(30＋35＋40＋45＋50)＝40，y ＝15(18＋14＋10＋8＋5)＝11. 可列表如下根据表格和参考数据，得∑i ＝1(x i －x )(y i －y )＝－160， ∑5i ＝1（x i －x ）2∑5i ＝1（y i －y ）2＝250×104＝26 000≈161. 因而相关系数r ＝∑5i ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑5i ＝1（x i －x ）2∑5i ＝1（y i －y ）2＝－160161≈－0.99. 由于|r|＝0.99很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．由于r ＜0，故其关系为负相关．(2)①b ^＝∑5i ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑5i ＝1（x i －x ）2＝－160250＝－0.64，a ^＝11＋0.64×40＝36.6，因而y 关于x 的回归方程为y ^＝－0.64x ＋36.6.②由①知，若x ＝25，则y ^＝－0.64×25＋36.6＝20.6，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测该城市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人．13．(18分)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【解析】(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P(A 3)＝12，P(A 1)＝13，P(A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P(B 3)＝15，P(B 1)＝35，P(B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P(D)＝P(A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P(A 3B 0)＋P(A 1B 0)＋P(A 0B 1)＋P(A 0B 3)＝P(A 3)P(B 0)＋P(A 1)P(B 0)＋P(A 0)P(B 1)＋P(A 0)P(B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性和互斥性，得P (ξ＝0)＝P(A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P(A 1B 0＋A 0B 1)＝P(A 1B 0)＋P(A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P(A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P(A 3B 0＋A 0B 3)＝P(A 3B 0)＋P(A 0B 3) ＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P(A 3B 1＋A 1B 3)＝P(A 3B 1)＋P(A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P(A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望E(ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.。
2019-2020年高三上学期一轮复习检测一数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题含答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x=∈+-≤Z，，则A、B、C、D、2、是虚数单位，若，则的值是A、B、C、D、3、已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A、B、C、D、4、设，，，则a, b, c的大小顺序是A、B、C、D、5、已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则6、已知菱形边长为2，，点P满足，．若，则的值为A、B、C、D、7、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A、B、 C、 D、8、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A、B、C、D、9、将函数()3cos siny x x x R=+∈的图像向左平移个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称，则的最小值是A、B、C、D、10、若变量满足，则关于的函数图象大致是（）11、设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为A、B、C、D、12、已知函数2|1|,70()ln,x xf xx e x e-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为( )A、B、C、D、第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填入答题纸相应位置)13、已知满足条件102x yx yy-+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则的最小值是。
14、设是等比数列的前n项的和，若，则的值是。
15、已知的展开式中的系数为0，则________．16、若三棱锥P-ABC的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是。
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17、（本小题满分12分）已知向量31(cos2,sin cos)22m x x x=-u r，，设函数．（Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合；（Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求的值。
2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）
2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA?B,?x0∈B,x0?AAB或B?A 相等集合A,B的元素完全A?B,B?A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x?,A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a 的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.< p="">探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1?AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34?A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M?NC.N?MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?AC.A=BD.A∩B=?(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}< p="">C.A∪(?R B)=RD.(?R A)∩B={x|0<x<1}< p="">(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}< p="">B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.</e}<></x<1}<></e}<></x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.<>。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】2 5
10. 已知△ABC，其中顶点坐标分别为 A－1，1，
B1，2，C－2，－1，点 D 为边 BC 的中点，则向量A→D 在向量A→B方向上的投影为__________.
|a|cos 4 联立方程得2xx2＋＋y22y＝＝1－，2， 解得xy＝＝0－1，或xy＝＝－0，1. ∴b＝(－1，0)或 b＝(0，－1).
π (2)∵A，B，C 依次成等差数列，∴B＝ 3 .
∴b＋c＝cos A，2cos2
C2－1＝(cos A，cos C)，
【解析】因为A→B＝2，1，A→C＝(－1，－2)，A→D
＝12A→B＋A→C＝12，－12，故A→B·A→D＝2×12－12＝12，由
于A→B＝ 5，所以向量A→D在向量A→B方向上的投影为
A→BA→·BA→D＝12×
1＝ 5
有：mmax＝1－2 2，nmin＝1＋2 2，(n－m)min＝4 2.
【答案】A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上. )
7. 已知复数 z 满足2－iz＝－3＋4i，则 z 的共轭 复数是________.
【解析】因为
z
＝
－3＋4i 2－i
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】设 z1＝a＋bi，则 z2＝b＋ai，由 z1z2＝4i， 可知 a2＋b2＝4，所以z1＝ a2＋b2＝2.
【答案】A
4. 如图，已知A→B＝a, A→C＝b, D→C＝3B→D， A→E＝ 2E→C，则D→E＝( )
A.34b－13a C.34a－13b
【解析】(1)由三点 A，B，C 不能构成三角形， 得 A，B，C 在同一直线上，即向量B→C与A→C平行，
∴4(2－k)－2×3＝0，解得 k＝12. (2)∵B→C＝(2－k，3)，∴C→B＝(k－2，－3)， ∴A→B＝A→C＋C→B＝(k，1). 当 A 是直角时，A→B⊥A→C，即A→B·A→C＝0， ∴2k＋4＝0，解得 k＝－2.
＝
－3＋4i2＋i 5
＝
－105＋5i＝－2＋i，所以 z 的共轭复数是－2－i.
【答案】－2－i
8. 设 x，y∈R，向量 a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝ (2，－6)，且 a⊥c，b∥c，则a＋b＝__________.
【解析】a⊥c 2x－12＝0 x＝6 a＝(6，2)， b∥c －6－2y＝0 y＝－3 b＝(1，－3) a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝40＋10＝50 a＋b＝5 2.
∴△AOB 为正三角形，则∠AOB＝60°，于是 π
∠AOC＝30°，即 a 与 a＋b 的夹角为 6 .
【答案】B
6. △ABC 是底边边长为 2 2的等腰直角三角形，
P 是以直角顶点 C 为圆心，半径为 1 的圆上任意一点， 若 m≤A→P·B→P≤n，则 n－m 的最小值为( )
A. 4 2
故 22≤|b＋c|< 25.
故△ABM 与△ABC 的面积之比为14.
(2)因为A→M＝34A→B＋14A→C，A→M∥A→P， A→P＝xA→B＋yA→C(x，y∈R)，所以 x＝3y, 因为 N 为 AB 中点，所以N→P＝A→P－A→N＝xA→B＋yA→C－12A→B＝x－12 A→B＋yA→C，C→P＝A→P－A→C＝xA→B＋yA→C－A→C＝xA→B＋(y－ 1)A→C，因为N→P∥C→P，所以x－12(y－1)＝xy，即 2x＋y＝ 1，又 x＝3y，所以 x＝37，y＝17，所以 x＋y＝47.
13. (18 分)向量 a＝(2，2)，向量 b 与向量 a 的夹角
为3π4 ，且 a·b＝－2. (1)求向量 b；
(2)若
t＝(1，0)，且
b⊥t，c＝cos
A，2cos2C2 ，其
中 A，B，C 是△ABC 的内角，若 A、B、C 依次成等
差数列，试求|b＋c|的取值范围.
【解析】(1)设 b＝(x，y)，则 a·b＝2x＋2y＝－2， 且|b|＝ a·b3π＝1＝ x2＋y2，
∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋1s4π3 －2A
＝1＋12cos
2A－12cos
2A－
3 2 sin
2A
＝1＋12cos2A＋π3 .
∵A∈0，2π 3 ， ∴2A＋π3 ∈π3 ，5π 3 ， ∴－1≤cos2A＋π3 ＜12， ∴12≤|b＋c|2<54，
B. 2 2
C. 2
D. 4
【解析】如图所示，建立直角坐标系，则： A(－ 2，
0)，B( 2，0)，P(cos θ， 2＋sin θ)，由平面向量的 性质可得： A→P＝(cos θ＋ 2，sin θ＋ 2)，B→P＝(cos θ－ 2，sin θ＋ 2)，由平面向量的数量积： A→P·B→P＝ cos2θ－2＋sin2θ＋2 2sin θ＋2＝1＋2 2sin θ，据此
)
A. 4 B. 5 C. 2 2 D. 2
【解析】1＋1－5 2i＝1＋（1－5（2i）1＋（21i）＋2i）＝1＋1 ＋2i＝2＋2i，
则它的模等于 22＋22＝2 2.
【答案】C
2. 已知向量 a＝1，m，b＝m，1，则“m＝1”
是“a∥b”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷 理科数学(八)
(平面向量、复数的概念及运算) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )
1. 复数 1＋1－5 2i(i 是虚数单位)的模等于(
5 10 .
【答案】
5 10
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分. 解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. )
11. (16 分)已知平面上三点 A，B，C，B→C＝(2－k，3)， A→C＝(2，4).
(1)若三点 A，B，C 不能构成三角形，求实数 k 应满 足的条件；
(2)若△ABC 中角 A 为直角，求 k 的值.
B.152a－34b D.152b－34a
【解析】由平面向量的三角形法则可知：D→E＝D→C ＋C→E＝34B→C＋－13A→C＝34(A→C－A→B)－13A→C＝－34A→B＋ 152A→C＝－34a＋152b.
【答案】D
5. 已知不共线向量 a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则 a＋
则 cos θ＝a·|（a||aa＋＋bb）| ＝|a|a|2|＋· 312||aa||2＝ 23， ∴θ＝π6 .
法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取 一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，以 OA、OB 为邻边作平 行四边形 OACB.
∵|a|＝|b|，即|O→A|＝|O→B|，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB，这时O→C＝a＋b，B→A＝a－b.而|a|＝|b|＝|a －b|，即|O→A|＝|O→B|＝|B→A|.
b 与 a 的夹角是( )
π
π
π
π
A.12 B. 6 C. 4 D. 3
【解析】法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b| ＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝12|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设 a 与 a＋b 的夹角为 θ，
12. (16 分)在△ABC 中， A→M＝34A→B＋14A→C. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比； (2)若 N 为 AB 中点， A→M与C→N交于点 P，且A→P＝ xA→B＋yA→C(x，y∈R)，求 x＋y 的值.
【解析】(1)在△ABC 中，A→M＝34A→B＋14A→C，可得 3B→M＝M→C，即点 M 在线段 BC 靠近 B 点的四等分点.
【解析】当 m＝1 时，a＝b 可以推出 a∥b；当 a∥b
时， m1 ＝m1 m2＝1，m＝±1，不能推出 m＝1.所以，
“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件.
【答案】A
3. 在复平面上，复数 z1，z2 对应的点关于直线 y ＝x 对称，且 z1z2＝4i，则复数 z1 的模长为( )
【答案】5 2
9. 若向量O→A＝(1，－3)，|O→A|＝|O→B|，O→A ·O→B＝ 0，则 |A→B |＝________.
【解析】法一：设O→B＝(x，y)，由|O→A|＝|O→B|知， x2＋y2＝ 10，又O→A ·O→B＝x－3y＝0，所以 x＝3，y ＝1 或 x＝－3，y＝－1.当 x＝3，y＝1 时，|A→B|＝2 5； 当 x＝－3，y＝－1 时，|A→B|＝2 5.则|A→B|＝2 5.