正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

正弦型三角函数的图像知识讲解一、正弦型三角函数的性质1.函数()sin y A x ωϕ=+的图像与函数sin y x =图像的关系振幅变换：()sin 0,1y A x A A =>≠的图像，可以看成是sin y x =图像上所有点的纵坐标都伸长()1A >或缩短()01A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：)1,0(sin ≠>=w w wx y 的图像，可以看成是sin y x =的图像上各点的横坐标都缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原点的1ω倍（纵坐标不变）而得到的，由于sin y x =的图像得到()sin y A x ωϕ=+的图像主要有下列两种方法：()()()sin sin sin sin y x y x y x A x ϕωϕωϕ=−−−−→=+−−−−→=+−−−−→+相位变换周期变换振幅变换()()sin sin sin sin y x y x y x y A x ωωϕωϕ=−−−−→=−−−−→=+−−−−→=+周期变换相位变换振幅变换2.三角函数的性质函数 sin y x =cos y x =tan y x = cot y x =定义 域 R R{|,,}2x x R x k k ππ∈≠+∈Z 且{|,,}x x R x k k π∈≠∈Z 且值域 [1,1]-[1,1]-RR奇偶性奇函数 偶函数奇函数奇函数3.sin y x=与sin y x=的性质典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•全国）要得到y=cosx，则要将y=sinx（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要将y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，故选：C．2．（2018•榆林一模）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣）的图象，故选：B．3．（2018•岳阳二模）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故选：D．4．（2018•四川模拟）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A．5．（2018•一模拟）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos （4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．6．（2018•通渭县模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．7．（2018•一模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．8．（2018•红桥区二模）设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递增B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递减D．g（x）在（，π）上单调递增【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k=0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：C．9．（2018•佛山一模）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x ﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．10．（2018•渭南二模）函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，可得A=2，•=﹣（﹣），∴=2．再根据当x=﹣时，y=2sin（﹣+φ）=2，可得sin（﹣+φ）=1，故有﹣+φ=2kπ+，求得φ=2kπ+，结合0＜φ＜π，求得φ=，故函数y=Asin（2x+），故选：A．二．填空题（共3小题）11．（2016•淮安一模）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x1，2），B（x2，﹣2），∴（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．故答案为：．12．（2016•海淀区模拟）把函数y=sin（﹣2x）向右平移个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为y=cosx．【解答】解：函数向右平移个单位，得，把横坐标变为原来的2倍，得函数的解析式为y=cosx．故答案为：y=cosx．13．（2016春•南通期末）函数y=sin2x图象的振幅为．【解答】解：函数y=sin2x图象的振幅为，故答案为：．三．解答题（共2小题）14．（2018春•双台子区校级期末）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及图象的对称中心；（2）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=•sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ，求得x=+，可得函数的图象的对称中心为（+，0）．（2）在闭区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为．15．（2010•广州模拟）已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解答】解：（1）函数的振幅为，周期为π，初相为．（2）列表：x0π2π00画简图：（3）函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的一半得到函数的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的一半得到函数的图象．。