锐角三角函数——正弦
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
锐角三角函数-正弦、余弦
C
你想知道小明是 怎样计算的吗？
A 1米 B
30
10米
?
E D
25.2.1锐角三角函数 正弦、余弦
• 1、通过探究知道当直角三角形的锐角固 定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的 比值也固定（即正弦值、余弦值不变） 这一事实。 • 2、了解正弦、余弦的概念，能根据正弦、 余弦概念正确进行计算。
100倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
C.不变
B 6.如图 A 3
） cosA的值（ C ） 1 B.缩小 100 D.不能确定
则
1 2 sinA=______
.
300 7
C
7.如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5 B 求sinA和sinB的值. 13 解:在Rt △ABC中, 5
1.每人拿出含30°的三角板，算一算30°角的 对边与斜边的比是多少？并和同伴交流，由此 你发现了什么？
2。45 °的等腰直角三角板中， 45 °角的对边 与斜边的比又是多少？
3.任何两个相似但不全等的直角三角形，对应 角的对边与斜边的比相等吗？
• 观察图中的Rt△AB1C1、 Rt△AB2C2和Rt△AB3C3， 它们之间有什么关系？
边与斜边的比是否也是一个固定值？
直角三角形的一个锐角的对边与斜边 的比值为这个锐角的正弦
如：∠A的正弦 记作：sinA 即
sinA=
∠A的对边 斜边
a = c
B
a
对 边
C 斜边
锐角三角函数-正弦
《锐角三角函数-正弦》教案
沙溪初级中学梁亮亮
教学目标
知识与技能：初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的意义，会求已知直角三角形的边长时的一个锐角的正弦并会利用正弦求直角三角形的边长.
过程与方法：通过从特殊的角度到任意角度来探究，发现在直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的规律.
情感、态度与价值观：经历在探究直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的规律的过程，体会研究数学问题的一般方法和所采取的思考问题的方法.
教学重难点
重点：理解锐角的正弦的概念，通过探究让学生知道在直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的规律。
难点：引导学生探究发现：在直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值
二、实践探索
问题1
为了绿化荒山，某地打算从位于
山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，
问题2
如图，任意画一个Rt
AB
猜想
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90
2
°时，我们有
2
=
2．如图，sinA=_____
观察在同一个直角三角形中sinA
例2 如图，在Rt△ABC中，∠
3
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C
90°，sinA=1
2
，求sinB.
例4 如图，Rt△ABC中，
度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条
练习3 如图，AB是直径，
AB=9,求sinD
四、课后小结
如图，在Rt△ABC中，
我们学习了哪些知识？
五、作业布置。
锐角三角函数—余弦和正切 课件
tan A BC 6 3 . AC 8 4
巩固 1、如图，分别求出下列两个直角三角 形两个锐角的余弦值和正切值。
C 5
B
12
13 （1）
A A
B
13
2 C 3
（2）
随堂练习
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的 值为( C )
A. 2 B． 5 C． 1
当A确定时，它的 邻边与斜边的比值 也是固定的。
探究
三、如图，Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’=α，那么
BC 与 B,C, 有什么关系？
AC A,C,
B
B
Aα
C A'
C'
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos A AC 4，tan B AC 4 .
AB 5
BC 3
练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10，tanA=
3 4
，求sinA、AC的值。
B
C
A
小结
在Rt△ABC中
sinA
A的对边 A的斜边
a c
cosA A的的邻边 b A的的斜边 c
tanA
A的的对边 A的的邻边
a b
三角函数的定义：
锐角A的正弦、余弦、正切统称为 锐角三角函数。
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
A
5K
3K
B
4K C
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
中考数学三角函数公式汇总与解析
中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。
【教案】锐角的三角函数——正弦与余弦
锐角的三角函数——正弦与余弦教课目的【知识与技术】认识锐角三角函数的观点, 可以正确应用 sinA 、cosA 表示直角三角形中两边的比 .【过程与方法】经过锐角三角函数的学习进一步认识函数 , 领会函数的变化与对应的思想 , 领会数学在解决实质问题中的应用 .【感情、态度与价值观】1.经过学习培育学生的合作意识 .2.经过研究提升学生学习数学的兴趣 .要点难点【要点】锐角三角函数的观点【难点】锐角三角函数观点的理解.教课过程一、创建情境 , 导入新知师：前方我们学过在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o，那么这个角的对边与斜边的比值都等于如图，随意画一个o o，计算∠ A 的对边与斜边的比，Rt△ABC，使∠ C=90，∠A=45能获得什么结论？生：由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o，那么不论三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于师：回答的很对，一般地，当∠A取其余必定度数的锐角时，它的对边与斜边的比能否也是一个固定值？二、共同研究 , 获得新知教师多媒体课件出示 :师: 在这个图中 , 这些直角三角形都是相像的 , 当锐角 A 的大小确立后 , 不单∠A 的对边与邻边的比随之确立 , 还有一些量也是确立的 , 你知道还有哪些量也是确立的吗 ?学生思虑、沟通 .教师提示 : 还有哪两条边的比值也是确立的 ?生甲 : ∠ A的对边与斜边的比值也是确立的 .生乙 : 邻边与斜边的比值也是确立的 .师: 对.教师画一个图形 :师: 在这个直角三角形 ABC中, 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦 , 记作 sinA, 即 sinA===. 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦 , 记作 cosA,即 cosA===.锐角 A 的正弦、余弦、正切称为锐角 A 的三角函数 . 我们介绍了正弦、余弦 , 下边我们经过详细的实例加深对这些函数的印象 .三、举例应用 , 稳固新知老师多媒体课件出示 :【例 1】如图 , 在 Rt △ABC中, 两直角边 AC=12,BC=5求.∠ A 的各个三角函数值 .师: 要求这三个三角函数的值, 需要知道几条边的长 ?生: 三条.师: 此刻已知了哪几条边的长?生:AC、 BC两条边的长 .师: 那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值?生: 还要求出 AB的长 .师: 如何求呢 ?生: 用勾股定理 .师: 很好 ! 此刻请同学们求出AB的长 , 并进一步求出∠ A 的各个三角函数的值 .学生做题 .师: 请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相对比 , 对不正确的地方加以纠正 .学生比较 .教师多媒体课件出示 :【例 2】如图 , 在平面直角坐标系内有一点P(3,4), 连结 OP.求 OP与 x 轴正方向所夹锐角α的各个三角函数 .教师读题 , 学生思虑 .师: 从前是在直角三角形中 , 用直角三角形的边长之比求三角函数的 , 此刻没有直角三角形怎么办 ?学生思虑 .生: 作协助线 .师: 如何作 ?生: 过点 P 向 x 轴作垂线 , 垂足为 Q.这样在直角三角形 OPQ中求角α的三角函数值就行了 .师: 很好 ! 作出这样的协助线就方便了 , 就变为了我们从前碰到过的种类 , 同学们能求出吗 ?生: 能.师: 好! 此刻请同学们画出协助线, 并求出角α的三角函数值 .学生作图 , 计算 .师: 请同学们将结果与课本上的解答比较, 加以修正 .学生比较 , 修正 .四、练习新知师: 请同学们看课本第116 页练习的第 1、2 题.学生看题 .教师找两生疏别板操练习第1、2 题, 其余同学在下边做 , 而后集体校正。
锐角三角函数——正弦函数说课
学法分析
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锐角三角函数——正弦函数
归纳概念：
教材分析
教法分析
在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边 与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
学法分析
A的对边 BC a sin A 斜边 AB c
指出：“sinA”是一个完整的符号，不要误解sin ， A，记号里习惯省去角的符号“∠”． 单独写出符 号sin是没有意义的，因为它离开了确定的锐角无法 显示它的含义．
情感、态度与价值观：
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锐角三角函数——正弦函数
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教法分析
重点：
使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜 边的比值是固定的这一事实．
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难点：
正弦概念建立及表示 ．
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锐角三角函数——正弦函数
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教法分析
确定本节主要教法为：
1.探究式教学
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锐角三角函数——正弦函数
引入新知识，发现新问题：
教材分析
教法分析
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红 旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
如图（1）所示，九年级（1）班的 同学们，站在离旗杆AE底部10米处的 D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水 平线的夹角∠ABC为34°，并已知目 高BD为1米．便算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？
2．体会这种研究问题的方法。
学法分析
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锐角三角函数——正弦函数
布置作业
教材分析 1．课本P92
教法分析 2．目标P85
锐角三角函数（含习题及答案）
锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2，AB =BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝= (举例说明：若a = 1，c = 3，则sinA=)注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C．D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90o，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90o，∠B=∠B’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；即cosA ==类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，BC=6，sinA =，求cosA和tanB的值．解：∵sinA =，∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==，tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30º、45º、60º角的三角函数值，能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点：30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30º =，sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗？(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形，分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果（三）教学互动例1、求下列各式的值：(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解：(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值．易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中，∠C = 90º，AB =，BC =，求∠A的度数．(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.解：(1)在图(1)中，∵sinA ===，∴∠A = −45º，(2)在图(2)中，∵tanα ===，∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．（二）实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝．典型例题1．若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的，已知其中∠C = 90º，则锐角A的正弦，则sinA的变化情况为( )A．nsinA B．sinA C． D．保持原值不变答案：D说明：因为当一个锐角大小不变时，其正弦值是固定的，与∠A的两边大小无关，所以正确答案为D．2．已知ΔABC中，∠C = 90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b，则cosA = ( )A． B． C．D．答案：C说明：因为cosA =，而c = 3b，所以cosA =，答案为C．3．a、b、c是ΔABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a)，且有5a−3c = 0，求sinA+sinB的值．分析：用正弦的定义把正弦换为边的比，再由所给的边与边的关系即可求值．解：由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2，∴c2 = a2+b2，∴ΔABC是直角三角形，且∠C = 90º；由5a−3c = 0，得=，即sinA =设a = 3k，则c = 5k，∴b == 4k，∴sinB ===∴sinA+sinB =+=．4．如图，∠POQ = 90º，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC = 30º；分别求点A、D到OP的距离．分析：由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG，再由∠OBC = 30º，即可求出OC、CG、AE的长．解：过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP，DG⊥OG，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º，∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º，又AB = BC = CD = 2 cm，∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为(+1)cm．习题精选选择题：1．如图，CD是RtΔABC斜边上的高，AC = 4，BC = 3，则cos∠BCD的值是( )A．B．C． D．答案：D说明：因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B = 90º；又∠A+∠B = 90º，所以∠BCD =∠A；由BC = 3，AC = 4，得AB === 5，∴cos ∠BCD = cosA ==，所以答案为D．2．如图，以平面直角坐标系的原点为圆心，以1为半径作圆，若点P是该圆在第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是( )A．(cosα，1)B．(1，sinα)C．(sinα，cosα)D．(cosα，sinα)答案：D说明：如图，作PA⊥x轴于点A；由锐角三角函数定义知，cosα =，sinα =，所以OA = OPcosα = cosα，PA = OPsinα，所以点P的坐标为(cosα，sinα)，所以答案为D．3．如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，下列结论不一定成立的是( )A．AD = BC’B．∠EBD =∠EDBC．ΔABE与ΔBCD相似D．sin∠ABE =答案：C说明：因为ΔBC’D≌ΔBCD，所以BC’ = BC；又BC = AD，所以AD = BC’；因为AD//BC，所以∠EDB =∠CBD，而∠CBD =∠EBD，所以∠EDB =∠EBD，所以EB = ED；而sin∠ABE ==，所以A、B、D都是成立的，答案为C．4．如图，RtΔABC中，∠C = 90º，D为BC上一点，∠DAC = 30º，BD = 2，AB = 2，则AC的长是( )A． B．2 C．3D．答案：A说明：在RtΔACD中，因为∠CAD = 30º，设CD = x，因为tan∠DAC =，则AC =x，在RtΔABC中，由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2，即(2)2= (x)2+(x+2)2，∴x2+x−2 = 0，解得x1 = 1或x2 = −2(舍去)，即DC = 1，AC =，答案为A．5．在RtΔABC中，∠C = 90º，如果∠A = 30º，那么sinA+cosB的值等于( )A．1 B． C．D．答案：A说明：因为在RtΔABC中，∠C = 90º，∠A = 30º，所以∠B = 60º，所以sinA = sin30º =，cosB = cos60º =，故sinA+cosB =+= 1，所以答案为A．6．在矩形ABCD中，BC = 2，AE⊥BD于E，∠BAE = 30º，那么ΔECD的面积是( )A．2 B． C．D．答案：C说明：如图，由题意得，ΔABE与ΔBDC相似，∴∠CBD =∠BAE = 30º，∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=，AB = CD =，BE = AB•sin30º =×=，EF = BE•sin30º =×=，∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=，答案为C．7．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A． B．sinα C． D．cosα答案：C说明：如图，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN = DM = 1，∠DCM =α，在RtΔDCM中，CD == ，所以S平行四边形ABCD = CD•AN =，答案为C．解答题：1．如果α是锐角，且cosα =，求sinα及tanα的值．分析：事实上，因为α为锐角，所以可构造一个RtΔABC，使∠C = 90º，∠A = α，则有AC = 4k，AB = 5k，由勾股定理得BC == 3k，从而可求sinα；还可直接用公式sinA =求解．解：构造RtΔABC，使∠A = α，∠C = 90º，如图，∵cosα = cosA =，∴可令AC = 4k，AB = 5k，∴BC == 3k，∴sinA ===，tanA ===，即sinα =，tanα =．2．若tan2x−(+1)tanx+= 0，求锐角x．分析：这是以tanx为未知数的一元二次方程，可先求出tanx，再求x．解：tan2x−(+1)tanx+= 0，(tanx−1)(tanx−) = 0，得tanx = 1或tanx =；当tanx = 1时，x = 45º；当tanx =时，x = 60º；∴x1 = 45º，x2 = 60º．。
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50
当∠A=30°时
A的对边 斜边
BC AB
1 2
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．
（3）现测得斜坡与水平面所成角的度数是45°，为使出 水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C A
当∠A=45°时
A的对边 斜边
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．
（1）现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使 出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C A
当∠A=30°时
A的对边 斜边
BC AB
1 2
70
B
35
A
C
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌． （2）若测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出 水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
AD AB
求一个角的正弦值，除 了用定义直接求外，还 可以转化为求和它相等
=2AO·sin∠1
=2×5×4
=8
5
角的正弦值。
答：线段AD的长为8
1.在Rt△ABC中，
4
①若∠C=90°, BC=6，sinB=
3
5，3 则AC=
②若AC=4,BC=3，则sinA=
或
54
;
8。
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB
A
上的中线，已知CD=5，AC=6，则
3
D
sin∠BCD= 5 。
B
C
3.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，
21
则sinB的值是 14 。
D
1.正弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦，记作sinA，即
a c
c
a
2.经验体会：
①在直角三角形中，某锐角的正弦和三边中，已知任意两个 量可以求其余各量；
BC AB
2 2
B
352a2 35 a
A aC
在Rt△ABC中，∠C=90°，
当∠A=30°时,
A的对边 斜边
BC AB
1 2
当∠A=45°时,
当∠A取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
任意画 RtABC和 RtABC，使得 C C 90，
②若sinA=153 ,AB=39,求BC的长。
5
解：①在Rt△ABC中，
AC AB2 BC2 132 52 12
sin
B
AC
AB
12 13
②在Rt△ABC中，sinA=
BC AB
∴BC=AB·sinA
=39×153
=15
答：①sin B 12 13
②BC=15
问题2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求
A
A
，那么
BC AB
与
BC AB
有什么关系？
解：BC BC
AB AB
理由如下：
∵∠A=∠A′，∠C=∠C′
∴△ABC∽ ABC
AB BC AB BC
BC BC AB AB
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 都是一个固定值。
定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，记作sinA，
①底角B的正弦值；②∠BAC的正弦值。
解：①过点A作AD⊥BC于D，
E
则∠ADB=90°
又∵AB=AC
∴BD=
1 BC 1 12 6
2
2
D
在Rt△ABD中，
AD AB2 BD2 102 62 8
∴sinB= AD 8 4 AB 10 5
若无直角三角形可以通过 作垂线构造直角三角形。
即
a c
斜边
c
a
∠A的对边
当∠A=30°时, sinA =
sin30°=
1 2
当∠A=45°时,
sinA =
sin45°=
2 2
对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一 确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。
问题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若AB=13，BC=5，求sinB的值。 3193
作业：
《课时》P76-77
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ，
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ，
②使用正弦的前提是直角三角形，若无直角三角形可以通 过作垂线构造直角三角形。
③求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化 为求和它相等角的正弦值；
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与斜边的比 是一个固定值，
（1）∠A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ （2）∠A的对边与邻边的比是否也是一个固定值？
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ， 解：连接BD ∵AB为直径 ∴∠ACB=90° ∴∠1+∠2=90°
∵AB⊥CD
∴∠3=90°
3
∴∠2+∠4=90°
∴∠1=∠4 在Rt△ABD中，sin 4
∴AD=AB·sin∠4