对偶理论与影子价格
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运筹学教学中对影子价格和对偶问题最优解关系的讨论
运筹学教学中对影子价格和对偶问题最优解关系的讨论用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。
用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。
影子价格与对偶价格：
当求目标函数的最大值时，增加的数量就是改进的数量，所以影子价格就等于对偶价格；
当求目标函数的最小值时，改进的数量应该是减少的数量，所以影子价格即为负的对偶价格。
1 矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
8 16 12
b
单纯形法的矩阵描述
1 0 2 x 1 1 0 8 4 0 0 x 0 0 x 3 16 5 x 0 1 4 x 2 0 1 4 12
解: 把原问题化为标准型
m axz 2 x 1 3 x 2 8 x1 2 x 2 x 3 4 x 1 x4 16 s .t. 4 x2 x 5 12 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
单纯形法的矩阵描述
用单纯形法求解如下:
1 0 2 B3 4 0 0 0 1 4
线性规划问题的对偶问题
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
B 1 1 / 4 0 0 2 0.5 1 0.5 1 / 8 0
第一讲 对偶理论和影子价格
四川农业大学数学系王莉莉
14
线性规划问题的参数变化灵敏度分析
灵敏度分析中研究C、b等参数在保持最优解或最优 基不变时的允许变化范围或改变到某一值时对问题 最优解的影响，若C按( C+λC* )或b按( b+ λ b* )连 续变化，而目标函数Z(λ )是参数λ的线性函数时， 将下面的问题称为参数线性规划。
四川农业大学数学系王莉莉
9
对偶问题解的经济含义：
对偶问题解中变量 yi* 的经济含义是在其他条件 不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起 的目标函数最优值的变化。所以， yi* 描述了原 始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处 于最优的配置时），第 i 种“资源”的某种“价 值”，故称其为第 i 种“资源”的影子价格。
25
四川农业大学数学系王莉莉 16
并进一步讨论以下3个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项 投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付 给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
对偶理论与灵敏度分析
线性规划的对偶理论
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是 深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同 时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它 成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分 析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为 什么会产生这样一种问题呢？
四川农业大学数学系王莉莉
四川农业大学数学系王莉莉
22
最优基不变条件 下目标函数系数 的允许变化范 围：x1的系数为 Ranges in which the basis is unchanged: （72-8， 72+24）= Objective Coefficient Ranges （64，96） Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Row 2 3 4 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 50.00000 10.00000 6.666667 480.0000 53.33333 80.00000 100.0000 INFINITY 40.00000
2.3对偶解的经济解释
木工的影子价格 y 3 = 10 即增加1小时的木工，总收入增加 元 小时的木工， ，即增加 小时的木工 总收入增加10元 餐桌的影子价格 y 4 = 0 ，即增加1个餐桌的需求，总收入不增加 个餐桌的需求， 即增加 个餐桌的需求
投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？ 投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？
（j = 1,2, L , n)
资源
B1
B2 L Bn
资源 限制
A1 A2 M Am
单位 利润
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L L L L am1 am2 L amn
b1 b2 M bm
x1 , x 2 L , x n ≥ 0
c1 c2 L cn
种资源增加一个单位， 决策依据： 比较第 种资源增加一个单位 决策依据： 比较第i种资源增加一个单位，其余资源不增加 时利润的增加值
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余， 因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。 650 若把最优方案带入钢材 约束：有 5 x1 * +2 x 2 * = < 170 7 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 只能造成积压，不会给工厂增加效益。
⇒ y1 * = 0
*影子价格的大小客观地反映了资源 影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度 在系统内部的稀缺程度
(2)若有某个αi X* ≠ bi ,则必有yi * = 0
(3)若 某 xj * ≠ 0,必 则 *Pj = cj 有 个 有 Y (4)若 某 Y *Pj ≠ cj ,则 有 j * = 0 有 个 必 x
(1)若有某个yi * ≠ 0,则必有αi X* = bi
资源的合理利用问题：
投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？ 投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？
（j = 1,2, L , n)
资源
B1
B2 L Bn
资源 限制
A1 A2 M Am
单位 利润
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L L L L am1 am2 L amn
b1 b2 M bm
x1 , x 2 L , x n ≥ 0
c1 c2 L cn
种资源增加一个单位， 决策依据： 比较第 种资源增加一个单位 决策依据： 比较第i种资源增加一个单位，其余资源不增加 时利润的增加值
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余， 因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。 650 若把最优方案带入钢材 约束：有 5 x1 * +2 x 2 * = < 170 7 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 只能造成积压，不会给工厂增加效益。
⇒ y1 * = 0
*影子价格的大小客观地反映了资源 影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度 在系统内部的稀缺程度
(2)若有某个αi X* ≠ bi ,则必有yi * = 0
(3)若 某 xj * ≠ 0,必 则 *Pj = cj 有 个 有 Y (4)若 某 Y *Pj ≠ cj ,则 有 j * = 0 有 个 必 x
(1)若有某个yi * ≠ 0,则必有αi X* = bi
资源的合理利用问题：
运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件
3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
16
价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
34
2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
22
例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
运筹学课件第三节影子价格
运筹学教程
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
对偶理论与影子价格
9
管
理
运
筹
学
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： 1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的 不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等 于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。 2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量 3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换 4.两个规划模型中的变量皆非负
21
管
理
运
筹
学
弱对偶定理的推论： 1.（P）任一可行解的目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下界；（D）任一可行解的目标函数值是 其原问题目标函数值的上界。 2. 若（P）可行，那么（P）无有限最优解的充分 必要条件是（D）无可行解。 3. 若（D）可行，那么（D）无有限最优解的充分 必要条件是（P）无可行解。 4. 若（P）、（D）可行，那么（P）、（D）都有 最优解。
第六节 对偶理论与影子价格
对偶问题的提出 对偶问题的形式 对偶问题的基本性质 影子价格
1
管
理
运
筹
学
对偶问题的提出
2
管
理
运
筹
学
例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。 设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数 目标函数 min f 65 y1 40 y2 75 y3 max z 1500 x1 2500 x2 目标函数 3 y1 2 y2 1500 3 x1 2 x2 65 （不少于甲产品的利润） 2 x x 40 约束条件 1 2 约束条件 2 y1 y2 3 y3 2500 3 x2 75 （不少于乙产品的利润） x 0, x 0 1 2 y1 0, y2 0, y3 0
对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用
影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
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y 1 0 , y 2 0 , y 3 0
解： 可以建立如下的线性规划模型：
目标函数 m axz 1 5 0 0 x 1 2 5 0 0 x2
约束条件
3 x1 2 x2 6 5
2 3
x x
1 2
x2 75
40
x 1 0 , x 2 0
化为标准型，利用单纯形法进行求解。 最优解X=(5, 25, 0, 5, 0)， 最优值（利润）为70000。
m axz 1 5 0 0 x 1 2 5 0 0 x2
3 x1 2 x2 6 5
2 3
x1 x2
x2 75
40
x 1 0 , x 2 0
m inf 6 5 y 1 4 0 y 2 7 5 y 3
3 y1 2 y2 1500
2
y1
y2
3 y3
2500
y1
0,
y2
0,
y3
（DP） s.t.
minzYTb ATY CT
Y 0
“Min——≥”
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系：
1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的不等 式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等于”的不等 式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。
2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量
第六节 对偶理论与影子价格
▪ 对偶问题的提出 ▪ 对偶问题的形式 ▪ 对偶问题的基本性质 ▪ 影子价格
对偶问题的提出
▪ 例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
目标函数 m inf 6 5 y 1 4 0 y 2 7 5 y 3
3 y1 2 y2 1500
约束条件
3 x1 2 x2 6 5
2 3
x x
1 2
x2 75
40
x 1 0 , x 2 0
约束条件
（ 2
不 y1
少
于 y2
甲产品 3 y3
的利润 2500
）
（ 不 少 于 乙 产 品 的 利 润 ）
x
3
1
x
1
x 2
x 2 x 3
6 x 3 6 x 3 x 3 4
1
x1
x 2
x 3
x 3
4
x 1 , x 2 , x 3 , x 3 0
写出对偶问题：
m i n f 2 y 1 y 2 4 y 3 4 y 3
2 y 1 3 y 2 y 3 y 3 1
解： 设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。可以建立以下线性规划模型：
m inf 6 5 y 1 4 0 y 2 7 5 y 3
3 2
y1 y1
2 y2 1500 y2 3 y3 2500
y1
0,
y2
0,
y3
0
化为标准型，利用单纯形法进行求解。 最优解Y=(500, 0, 500, 0, 0) 最优值（收费）为70000。
现在从另一个角度来讨论该问题： 如果工厂考虑不安排生产，而准 备把所有设备出租（或用于外协加 工），工厂收取租金（或加工费）。 试问：设备 A、B、C 每工时各如何 收费（租金或加工费）才最有竞争力？
工厂为了获得最大利润，在为设
产品甲 产品乙 设备能力 备定价时，应保证生产某产品的设备
设备A
3
2
65
3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换
4.两个规划模型中的变量皆非负
Max z x1 Min f
y1
a11
y2
a21
…
…
ym
am1
x2 … xn
a12 … a1n a22 … a2n ……… am2 … amn
xi ≥0
≤ b1 ≤ b2 ≤… ≤ bm
≥ ≥ ≥ ≥
yi ≥0
工时所收取的费用不低于生产该产品
设备B
2
1
40
的利润；同时，为了提高竞争力，应
设备C
0
3
75
该使定价尽可能低。
利润
1500 2500
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、
B、C 的收费。
设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数
目标函数 m axz 1 5 0 0 x 1 2 5 0 0 x2
c1
c2 … cn
一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称 形式的对偶规划。
对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关 系进行处理并给出其对偶规划：
1. 将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对 于其中的等式约束按下面的方法处理；
2. 若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶 规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制；
0
原问题 对偶问题
可以看到，这两个问题关系密切，用同样的原始数据：
目标函数 约束条件 系数矩阵 资源常数 目标系数
原问题
Max
≤ A b
c 2个变量 3个约束 解 检验数
对偶问题
Min
≥ AT c
b 2个约束 3个变量 检验数 解
线性规划有一个有趣的特性，就是对于任何一个 求极大的线性规划问题都存在一个与其匹配的求极小 的线性规划问题，并且这一对线性规划问题的解之间 还存在着密切的关系。线性规划的这个特性称为对偶 性。
对这两个线性规划问题，一般称前者为原问题， 后者是前者的对偶问题
对偶问题的形式
如果线性规划问题的变量均具有非负约束，其约束 条件当目标函数求极大值时均取“≤”，当目标函数求极小 值时均取“≥”，则称具有对称形式。
对称形式下原问题和对偶问题的形式：
（LP） maxzCX AX b
s.t.
X 0 “Max——≤”
3. 若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对 偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。
也可以直接给出其对偶规划。
例2：写出下面线性规划的对偶规划模
m ax z x1 4 x2 3 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
s
.t
.
3
x1
x2
6
x3
1ห้องสมุดไป่ตู้
x1
x2
x3
4
x1
0,
x2
0,
x
没
3
有
非
负
限
制
解：先化为对称形式（Max—≤）
“≥”的约束两端同乘以“–1”
“=”的约束等价转换为“≤”和“≥”的两个约束，再
变换 变量≤0，用变量替换，如 x2 = -x2 变量无非负限制，用变量替换，如 x3 x3 x3
m a x z x 1 4 x 2 3 x 3 3 x 3
2 x 1 3 x 2 5 x 3 5 x 3 2