计数排列与组合
计数原理与排列组合
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关.
例1：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
计数原理和排列组合
计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有N m1 m2 种不同m的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
排列与组合的区别与联系
n
m
1
m!
n! n
m
!
共同点：元素的取法相同,都是从n个元素中取出m(m ≤ n)个元素 不同点：排列问题与顺序有关，
组合问题与顺序无关.
例2：(1)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的线
段共有多少条?
没有顺序，根据组合公式有
C52
A52 A22
5 43 21
21 3 21
10
(2)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的有
向线段共有多少条? 含有顺序，根据排列公式有
A52 5 4 20
解题关键：从n个元素中抽取m个元素是“含有顺序”, 还是“没有顺序”.再根据其对应的排列组合计算.
排列组合
1、排列的定义及公式：从n个不同元素中，任取m(m ≤n)
计数原理与排列、组合(讲解部分)
每一步得到的只是中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步 骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列 各步之间是相互依存的,并且既
的、独立的
不能重复也不能遗漏
2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)5种情况,共有
A
3种情况,而这
3
A
3种情况仅是
3
AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
C62C42C22
A
3 3
=15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式
C62C42C22 A33
·A33
A
6 6
种
方法,故共有5×A66 =3 600(种)方法.
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有 A 44 种方
法,再将4名女生进行全排列,有
A
4 4
种方法,故共有
A44
·A
4 4
=576(种)方法.
(5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有
A
4 4
种方法,再
注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有
关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
n!
(1) Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=③ (n-m)! ;
性质
组合数学中的排列与组合计数法
组合数学中的排列与组合计数法在我们的日常生活和各种科学领域中，排列与组合计数法是一个非常重要的概念。
它帮助我们解决许多与数量计算、可能性分析相关的问题。
想象一下，在安排座位、挑选礼物、组织比赛等场景中，我们都在不知不觉地运用着排列与组合的知识。
首先，让我们来理解一下什么是排列。
简单来说，排列就是从给定的元素集合中选取一定数量的元素，并按照一定的顺序进行排列。
举个例子，如果我们有三个字母A、B、C，那么从中选取两个进行排列，就有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这六种情况。
这里的顺序是重要的，AB 和 BA 被视为不同的排列。
计算排列的数量可以使用排列数公式。
如果从 n 个不同元素中取出m 个元素进行排列，排列数记作 A(n, m) ，其计算公式为：A(n, m) ＝n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
接下来，我们看看组合。
组合与排列不同的是，组合只关注选取的元素，而不考虑它们的顺序。
比如还是从 A、B、C 三个字母中选取两个字母的组合，就只有 AB、AC、BC 这三种情况。
因为在组合中，AB 和 BA 被视为同一种情况。
组合数记作 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
排列和组合在实际问题中的应用非常广泛。
比如在抽奖活动中，如果有 100 个人参加，要从中抽取 5 个获奖者，这就是一个组合问题，因为获奖者的顺序并不重要。
但如果要给这 5 个获奖者分别颁发一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖和鼓励奖，那么这就变成了一个排列问题，因为奖项的顺序是有区别的。
再比如，在密码学中，排列和组合也发挥着重要作用。
假设我们要设置一个 8 位数字的密码，每位数字可以是 0 到 9 中的任意一个，那么总共可能的密码数量就是一个排列问题。
因为密码的每一位数字的顺序都是至关重要的。
计数原理、排列、组合
计数原理、排列、组合一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)(!)1()2)(1(n m n m n n n n A m n ≤=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上） 即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
组合数学中的排列与组合计数法
组合数学中的排列与组合计数法在我们的日常生活和数学领域中，排列与组合计数法是非常重要的概念。
它们帮助我们解决各种各样的问题，从挑选衣服的搭配到计算概率，从安排比赛的场次到设计密码的可能性。
让我们先从排列开始说起。
排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，有5 个不同的字母A、B、C、D、E，从中选取 3 个进行排列，那么就有 5×4×3 ＝ 60 种不同的排列方式。
这是因为第一个位置有 5 种选择，第二个位置剩下 4 种选择，第三个位置则剩下 3 种选择。
我们可以用一个简单的例子来理解排列。
假设你要参加一个比赛，有三个奖项：一等奖、二等奖、三等奖。
现在有 5 个人参加比赛，那么这 5 个人获得这三个奖项的可能性有多少种呢？这就是一个排列问题。
因为获得一等奖的人选有 5 种可能，获得二等奖的人选在剩下的 4 个人中选择，有 4 种可能，获得三等奖的人选则在剩下的 3 个人中选择，有 3 种可能。
所以总的可能性就是 5×4×3 ＝ 60 种。
排列的公式可以表示为：A(n, r) ＝ n! ／（n r)！其中，n 表示总数，r 表示选取的个数。
“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1。
接下来，我们再看看组合。
组合则是从给定的元素集合中，选取若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
还是用上面 5 个字母 A、B、C、D、E 的例子，从中选取 3 个字母组成一组（不考虑顺序），那么组合的数量就是 10 种。
比如说，从 5 个人中选 3 个人组成一个团队，不考虑这 3 个人在团队中的具体职位和顺序，这就是一个组合问题。
组合只关心选取的元素，而不关心它们的排列顺序。
组合的公式是：C(n, r) ＝ n! ／ r!（n r)！排列和组合在实际应用中有很多有趣的例子。
比如在彩票中，号码的选择就是组合问题。
计数原理与排列组合
计数原理与排列组合1．两个计数原理2．排列3．组合1．计数原理的两个不同点(1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事．(2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分．2．排列与组合问题(1)三个原则①有序排列、无序组合．②先选后排．③复杂问题分类化简或正难则反．(2)两个优先①特殊元素优先．②特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．3．正确理解组合数的性质(1)C m n＝C n－mn从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．(2)C m n＋C m－1＝C m n＋1n从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1种方法．n[四基自测]1．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C．12D．16答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13 D．10答案：C3．(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．答案：604．如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3人完成3项工作，每人完成一项，有______种安排方式．答案：6授课提示：对应学生用书第187页考点一计数原理◄考基础——练透[例1](1)已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.答案：B(2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有24种．答案：D(3)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．答案：D(4)从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位．若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12种．若2或4在个位，个位数字有2种排法，再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18，故总12＋18＝30.答案：30应用计数原理的三个注意点(1)注意完成“这件事”是做什么．(2)弄清完成“这件事”是分类还是分步．①根据完成事件的特点，进行“分类”，根据事件的发生过程进行“分步”．②分类要按照同一个标准，任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．③分步时各步相互依存，只有各步都完成时，才算完成这件事．(3)合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选择．1．将本例(3)改为从1，2，3，4，9中每次取出两个数记为a，b，则可得到log a b 的不同值的个数为()A．9 B．10C．13 D．16解析：显然a≠1，若a＝2，3，4，9，b＝1时，有log a b＝0，1个；若a＝2，b＝3，4，9时，有log23，log24＝2，log29，3个；若a ＝3，b ＝2，4，9时，有log 32，log 34，log 39＝2(舍去)，2个； 若a ＝4，b ＝2，3，9时，有log 42＝12，log 43，log 49＝log 23(舍去)，2个； 若a ＝9，b ＝2，3，4时，有log 92，log 93＝12(舍去)，log 94＝log 32(舍去)，1个，共有1＋3＋2＋2＋1＝9个． 答案：A2．将本例(4)改为用数字2，3，4，6，8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48种排法，对应48个三位偶数． 答案：483．将本例(4)改为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．解析：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题设条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知：符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 答案：36考点二 排列问题◄考能力——知法[例2] (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有________种排法．(用数字作答)解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间有A 33＝6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中，有A24＝12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有A22＝2(种)排法．所以不同的排法种数为23×6×12＝576.答案：576(2)(2019·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A55A22＝300种不同的编排方法．答案：300有限制条件的排列问题的解题方法1．(2019·衡水冀州中学月考)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A．120种B．210种C．420种D．240种解析：可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有A22A22A35＝240种排法，所以选D．答案：D2．6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．解析：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法．答案：480考点三组合问题及混合问题◄考基础——练透角度1简单的组合问题[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：16(2)有甲、乙、丙3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，从10个人中选出4个人承担这3项任务，不同的选法有________．解析：要从10个人中选出4个人承担3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，先从10个人中选出2个人承担甲项任务，不同的选法有C210种；再从剩下8个人中选1个人承担乙项任务，不同的选法有C18种；最后从另外7个人中选1个人承担丙项任务，不同的选法有C17种．综上，不同的选法共有C210C18C17＝2 520(种)．答案：2 520角度2简单的组合与排列混合问题[例4](1)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C24A33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C(2)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是() A．150 B．300C．600 D．900解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C25×A44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C46×A44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．答案：C角度3分组、分配问题[例5](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案：D(2)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名老师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名老师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种，故选A．答案：A1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．(3)由分类加法计数原理计算总数．2．“分组分配”问题的解题技巧1．(2019·河南豫北名校联考)2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C12C12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C12C12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B．答案：B2．(2019·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C24C22A22×A22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B．答案：B数学建模、数学运算——不定方程与组合问题中的学科素养在学习排列组合知识时，我们经常遇到把若干相同元素分成几组的问题．这类问题可以用一个比较简单的模型，就是转化为不定方程解的个数问题，从而得以快速解决．[直接隔板法][例]把6个相同的小球放入4个盒子中，每个盒子都不为空，有多少种不同的放法？解析：本题相当于将6个相同的球分为4组．可以先把6个球排成一排，中间有五个空位，我们只需在这五个位置中任取三个位置放上隔板就可把小球分隔成4组了，故有C35＝10种不同的放法．[拓展为不定方程法]设每个盒子中的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求x1＋x2＋x3＋x4＝6的正整数解的组数．这是四元不定方程，把6分为6个1，6个1之间有5个空，选3个空放3个加号，所以有C35＝10种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝6的一组正整数解，故此不定方程有C35＝10组正整数解．[拓展模型]设n，m∈N*，n≥m≥1，则不定方程x1＋x2＋x3＋…＋x m＝n的正整数解有C m－1n－1组．拓展应用1把20个相同的小球放入4个盒子中，有多少种不同的放法？解析：与例题相比少了“每个盒子都不为空”这个条件，就是说盒子里可以为空．我们可以这样理解：设每个盒子的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的非负整数解的组数．那么能否转化为模型1来解决呢？先在每个盒子里放上1个球，保证每个盒子不空，然后再来放这20个球，就是模型1了．即(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＝20＋4＝24，令y1＝x1＋1，y2＝x2＋1，y3＝x3＋1，y4＝x4＋1，则y1，y2，y3，y4为正整数，问题转化为求不定方程y1＋y2＋y3＋y4＝24的正整数解的组数，从而转化为模型1，可知不定方程有C4－1＝C323组正整数解．所以，原20＋4－1问题中，有C323种不同的放球方法．拓展应用2把20个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中，且每个盒子里的球数不得少于编号，问有多少种不同的放法？解析：问题即是解不定方程x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20，(x i≥i，x i∈N*)．我们先在2号盒子里放1个球，3号盒子放2个球，4号盒子放3个球，5号盒子放4个球，则有x1＋(x2－1)＋(x3－2)＋(x4－3)＋(x5－4)＝10，令y i＝x i－(i－1)，则y1，y2，y3，y4，y5为正整数，只需求y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝C49＝126种不同＝10的正整数解有多少组，从而转化为模型1，知有C5－110－1的放法．课时规范练单独成册：对应学生用书第325页A组基础对点练1．把标号为1，2，3，4，5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36B．20C．12 D．10解析：依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C．答案：C2．一个学习小组有6个人，从中选正、副组长各一个，则不同的选法种数为()A．C26B．A26C．62D．26解析：问题可转化为从6个元素中任选两个元素的排列问题，共有A26种不同的选法．答案：B3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的含偶数个元素的子集的个数为()A．16 B．32C．64 D．128解析：由题意，集合A的含偶数个元素的子集的个数为C06＋C26＋C46＋C66＝1＋15＋15＋1＝32.答案：B4．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24B．18C．12 D．6解析：当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位、百位全排列即可，共有C23C12A22＝12个．当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有C23C12＝6个．综上，共有12＋6＝18个．选B．答案：B5．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有()A．336种B．120种C．24种D．18种解析：分三步完成：第一步，插入第1本书，有6种方法；第二步，插入第2本书，有7种方法；第三步，插入第3本书，有8种方法，所以不同的插法有6×7×8＝336种．答案：A6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24种放法，故选D．答案：D7．若从1，2，3，…，9这9个数字中同时取4个不同的数字，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．答案：D8．(2019·洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．72 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.答案：C9．(2019·唐山模拟)某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为()A．8 B．16C．24 D．60解析：根据题意，9个座位中满足要求的座位只有4个，现有4人就座，把4人进行全排列，即有A44＝24种不同的坐法．答案：C10．(2019·成都模拟)由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若2与4相邻，且1与2不相邻，则这样的五位数共有()A．12个B．24个C．36个D．48个解析：分步完成，先排2，4，有A22种排法，再把排好的2，4看成一个整体，与3，5再排，有A33种排法；最后把1插空，仅有3个空位可选，有3种插法，故共有A22A33·3＝2×6×3＝36个不同的五位数．答案：CB组能力提升练11．如图所示，∠MON的边OM上有四点，A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：分类完成．在O，A1，A2，A3，A4这5个点中取2个，在B1，B2，B3中取1个，有C25C13个三角形；在B1，B2，B3中取2个，在A1，A2，A3，A4中取1个，有C23C14个三角形，故共C25C13＋C23C14＝42个．答案：B12．某学习小组共6人，现遇到了两道难题，一道物理题，一道数学题，其中甲、乙、丙三人对数学题感兴趣，丁对两道题都感兴趣，戍、己两人对物理题感兴趣，现从感兴趣的人中各选2人解这两道难题，则不同的选法种数为() A．9 B．15C．18 D．30解析：若丁解数学题，则不同的选法为C24C22；若丁解物理题，则不同的选法为C23C23；故共有C24C22＋C23C23＝15种不同的选法．答案：B13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C212＝66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C24＝6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C24＝18对．所以成60°角的有C212－3C24＝66－18＝48(对)．答案：C14．在一次8名运动员参加的百米成绩测试中，甲，乙，丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人随意安排，则安排这8人进行成绩测试的方法的种数为________．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有3，4，5三条跑道可安排．所以安排方式有3×2×1＝6种．第二步：安排另外5人，可在余下的5条跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．所以安排这8名运动员的方式有6×120＝720种．答案：72015．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：“小集团”处理，特殊元素优先，则不同的排法共有C36C12A22A33＝480(种)．答案：48016．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.解析：首先看图形中的3，5，7，有C13＝3种涂法．对于2，有两种涂法，对于4有两种涂法．当2，4涂的颜色相同时，1有2种涂法；当2，4涂的颜色不同时，1有1种涂法．根据对称性可知共有3×(2×2＋2×1)2＝108种涂法．答案：108第二节二项式定理授课提示：对应学生用书第190页[基础梳理]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)，其中右端为(a＋b)n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式＝C k n a n－k b k．第k＋1项为：T k＋13．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n(k∈{0，1，2，…，n})．(2)二项式系数的性质和1．一对易混概念二项展开式中第r＋1项的(1)二项式系数是C r n .而不是C r ＋1n .(2)项的系数是该项的数字因数． 2．两个常用公式(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.(展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等) 3．三个重要特征(1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0. (2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数和等于n .[四基自测]1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( )A ．240B ．60C ．192D ．180答案：A2．(x －1)10的展开式中第6项的系数是( ) A ．C 610 B ．－C 610 C ．C 510 D ．－C 510答案：D3．二项式(2a 3－3b 2)10的展开式中各项系数的和为________． 答案：14．C 111＋C 311＋…＋C 1111＝________.答案：2105．(2018·高考全国卷Ⅲ改编)(x 2＋2x )5的展开式的二项式系数和为________． 答案：32授课提示：对应学生用书第190页考点一 通项公式法解决特定项或系数问题◄考基础——练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. 故选C ． 答案：C(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________．解析：由题意可知T r ＋1＝C r 6x 6－2r(－1)r ·a －r ，0≤r ≤6，r ∈Z ，则x 2项的系数是C 26a－2＝15，又a >0，则a ＝1. 答案：1(3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x (r＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x 4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2. 答案：3通项公式法即利用二项展开式的通项公式，根据题意，对相应的指数进行赋值，从而解决指定项问题的方法．此方法适用于已知二项式，求常数项、指定项的系数等问题．破解此类题的关键点：(1)求通项，根据二项式(a ＋b )n 的展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0，1，2，…，n )，整理出T k ＋1＝m ·x f (k )．(2)找方程，依题设条件中的指定项的相关信息，寻找关于k 的方程． (3)解方程，通过解方程，求出k 的值． (4)得结论，把k 的值代入通项公式，得结论．1．在本例(2)的条件下求展开式中的常数项．解析：由于a ＝1，(x －1x )6的通项公式T r ＋1＝(－1)r C r 6·x 6－2r . 令6－2r ＝0，∴r ＝3. 常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20.2．将本例(1)改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 4的系数为40，求a 的值．解析：T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 5·a r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4.∴r ＝2.∴C 25a 2＝40，∴a 2＝4，∴a ＝±2.考点二 赋值法解决二项展开式的各项系数和问题◄考能力——知法[例2] (1)设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________． 解析：(1)由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 54－r C r 4x ，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式的第6项是T 5＋1＝C 5n (－1)5x 2n －15，令2n －15＝1，得n ＝8.在二项式(1－3x )8的展开式中，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝255. 答案：(1)150x (2)255赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值，从而求得二项展开式的各项的系数和的方法．此方法体现的是从一般到特殊的转化思想．破解此类题的关键点： (1)赋值，认真观察已知等式，给未知元合理赋值．常赋的值有1，－1，0等． (2)求参数，通过合理赋值，建立关于参数的方程，并解方程，求出参数的值． (3)得结论，求出指定项的系数和．1．(2019·河北邯郸模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135D ．405解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴4n2n ＝64，解得n＝6，∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r·x ，令6－32r ＝3，求得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32＝135，故选C ．答案：C2．(2019·湖南湘潭模拟)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39， ∴a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D ． 答案：D考点三 求非二项式结构的展开的特定项(或系数)◄考基础——练透[例3] (1)如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________；(2)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为________； (3)(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋14x 10展开式中的常数项为________． 解析：(1)∵(1＋x ＋x 2)(x －a )5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a )5＝0， ∴a ＝1.∴(1＋x ＋x 2)(x －a )5＝(1＋x ＋x 2)(x －1)5＝(x 3－1)·(x －1)4＝x 3(x －1)4－(x －1)4，其展开式中含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04(－1)0＝－5.(2)由题意，(x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10 ＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10， 因为x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210.(3)分别求两个因式的通项：T r ＋1＝C r 6x，T r ′＋1＝C r ′10x ，则C r 6x ·C r ′10x＝C r 6C r ′10x.又0≤r ≤6，0≤r ′≤10，则r 3－r ′4＝0，解得r ＝r ′＝0，r ＝3且r ′＝4，r ＝6且r ′＝8. 即常数项为1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.[答案] (1)－5 (2)－210 (3)4 246非二项式结构求指定项的方法1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C3．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C ．答案：C考点四 二项式系数或项的系数的最值问题◄考基础——练透[例4] (1)已知二项式(a x ＋13x)n (a ＞0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x 2项的系数为84，则a 的值为( ) A ．1 B ．14 C ．2D ．12解析：由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知n ＝9，则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(a x )9－r(13x)r ＝C r 9a9－rx ·x＝C r 9a9－rx (r ＝0，1，2，3，…，9)，令92－5r 6＝2，则r ＝3，所以C 39a 9－3＝C 39a 6＝84，解得a ＝±1，因为a ＞0，所以a ＝1. 答案：A(2)(2019·石家庄模拟)在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．解析：由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1 120x 4. 答案：1 120x 41．二项式系数的最大值，根据(a ＋b )y 的二项式系数性质求解．2．项的系数的最值，利用不等式法．求出展开式的通项公式T r ＋1＝C r n ·m ·x q ＝a r x q为最大系数，则⎩⎪⎨⎪⎧a r ≥a r ＋1，a r ≥a r －1.求r 的整数解．1．设n 为正整数，(x －2x 3)n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．解析：依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2x 3)r ＝C r 8x8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.答案：1122．(2019·厦门模拟)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．210 C ．252D ．45解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C 52n 最大，可得展开式有11项，即2n ＝10，n ＝5. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10xx＝C r 10x，令5－56r ＝0可得r ＝6，此时T 7＝C 610＝210.答案：B数学运算、逻辑推理——二项式定理的展开原理的应用 [例1] (x ＋2y －3z )9的展开式中含x 4y 2z 3项的系数为( ) A ．－136 000 B ．－136 080 C ．－136 160D ．136 280解析：由(x ＋2y －3z )9＝[x ＋(2y －3z )]9，得展开式的通项T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·(2y －3z )r ＝C r 9·x 9－r ·C t r ·(2y )r －t ·(－3z )t ＝C r 9·C t r ·2r －t ·(－3)t ·x 9－r ·y r －t ·z t (t ≤r ≤9)，令⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r －t ＝2，9－r ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r ＝5.故含x 4y 2z 3项的系数为C 59×C 35×22×(－3)3＝－136 080.故选B ． 答案：B[例2] (2019·临沂模拟)489被7除的余数为________．解析：由489＝(49－1)9＝C 09499＋C 19498(－1)＋C 29497(－1)2＋…＋C 8949(－1)8＋C 99(－1)9＝49[C 09498＋C 19497(－1)＋C 29496(－1)2＋…＋C 89(－1)8]－7＋6，知489被7除的余数为6. 答案：6课时规范练单独成册：对应学生用书第326页A 组 基础对点练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20D ．10解析：T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40. 答案：B2．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( ) A ．56 B ．－56 C ．28D ．－28解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.答案：A3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15. 答案：C4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B ．54 C ．－1516D ．1516解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D ．。
计数原理与排列组合知识点总结
计数原理与排列组合知识点总结计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。
本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。
一、计数原理计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。
常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。
1. 加法原理加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。
2. 乘法原理乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。
3. 容斥原理容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。
它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
4. 抽屉原理抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。
二、排列组合排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。
它包括排列和组合两个不同的概念。
1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。
常见的排列问题有全排列和有限排列。
- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3! = 3×2×1 = 6种。
- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。
例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。
2. 组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。
§10.1计数原理、排列与组合
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(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,
Am 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 n 表示.
(3)排列数公式: Am n =n(n-1)…(n-m+1). (4)全排列:n个不同元素全部取出的排列,叫做n个不同元素的一个全排
不同的摆法. (2)不同的获奖情况可分为以下两类:
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2 C3 A2 ①有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 4
=36种获奖情况. ②有三个人各获得一张有奖奖券,有 =24种获奖情况. A3 4 故不同的获奖情况有36+24=60种.
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(1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分 组,再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种 类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.无序分组要除以均匀组
1 3 = 3· (种).根据分步计数原理知,第二类中符合条件的五位数的个数为 · A1 3 A3 A3 3
54. 由分类计数原理知,符合条件的五位数共有24+54=78(个).
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组合问题
典例2 (2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医 生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 ( A.60种
上的五位数?
解析
本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所
以符合条件的五位数的个数为 =24.第二类:0不在十位位置上,这时,由于 A4 4 5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有 =3种 A1 3 方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作 十位位置上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法 =3(种).十位、 A1 3 万位位置上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 =6
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计数排列与组合一.排列 1.相邻问题——捆绑法5名男生、2名女生站成一排，求以下情况下不同站法（1）2名女生相邻 （2）男生相邻（3）男生站一起，女生站一起6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的种数为（ ）A.66A B 333A . C.3333A A D.3344A A7人站成一排,其中甲、乙相邻且丙丁相邻,共有不同的排数为________.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数中,含数学2,52,5且相邻的四位数的个数是_________.232332,:C A A 一取二排2.不相邻问题——插空法5名男生、2名女生站成一排，求以下情况下不同站法（1）甲、乙不相邻 （2）女生不相邻8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）A.2988A A B 2988C A . C.2788A A D.2788C A有数学书3本，语文书2本，物理书1本，若将其并排摆放在书架的同一层上，则同类书都不相邻的放法数为_______.120在5,4,3,2,1的任一排列中,使相邻两数都互质的排列方式共有________种.某班班会准备从含甲、乙的8名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时的顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ）A.960B.1040C.1140D.1320(分析:分两类:①甲、乙中只有1人参加发言.此类无特殊要求故134264960C C A =②甲、乙2人都参加发言.此类有”不相邻”要求故222623180C A A =)[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120 C．72 D．24[解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，先放3张椅子,再在4个空位中选3个放人34A＝24.[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168[解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A33种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有C12A22A22种．所以由计数原理可得节目的排法共有A33(2A33＋C12A22A22)＝120(种)．3.相邻与不相邻的综合A,B,C,D,E五种不同商品在货架上排成一列,其中A,B两种商品必须排在一起,而C,D两种商品不能排在一起,则不同的排法有( )A.12B.20C.24D.48用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,则这样的八位数共有________个.（14.北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有______种.32132336A A C有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本．将这些书排成一排放在书架上，那么数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起，并且数学书与外文书不相邻的排法共有________种．A33A24A33A224.元素或位置有要求限制——优先考虑七人排成一列，求下列条件下的站法（1）甲不站最左端（2）甲不站两端五个工程队承建某项工程的五个子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有________种.(14.四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种甲、乙、丙三位志愿者在周一至周五的五天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排1人，并且甲排在另两位前面，则不同的安法共有（）A.20 B.30 C.40 D.605.限制条件与相邻、不相邻的综合记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人照相,要求排成一列且2位老人相邻,但不排两端,则不同的排法有( )A.1440B.960C.720D.480某校召开文艺晚会，其中5个舞蹈，4个唱歌，唱歌节目不排两头，并且任两个唱歌不连排，有_______种不同排法.有6名男生和4名女生自左至右排成一列,其中女同学不相邻但最右端必须是女同学的排法有( )种A.4466A A B 663614A A A . C.6633A A D.3666A A将3本互不相同的数学书与4本互不相同的英语书放在书架同一层排成一排,则仅有2本数学书相邻且这2本数学书不放两端的放法的种数为__________(分析:此题含三个要求:①有2本数学书要相邻②剩下1本数学又不能与前2本数学书相邻③相邻的数学书不排在两端.故采用”捆绑””插空””优先原则” 一般先插空再捆绑,特殊要求分类讨论.4212143324()A C C A C(09.四川)2位男生和3位女生共5名同学站成一排,若男生甲不排两端,3位女生中有且仅有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )A.24B.36C.48D.726.对立问题从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )A.108B.186C.216D.270在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复的四位数中,不能被5整除的共有_______个.二.组合1.一次”任取”一个口袋内有大小相同的7个白球和1个黑球,从口袋内取出3个小球共有_____种不同取法.在10件产品中,有3件次品,从中任取5件,(1)恰有2件次品的抽法有多少种? (2)至多有2件次品的抽法有多少种?(3)至少有2件次品的抽法有多少种?2.”限制”下取元——分类讨论甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出4人中恰好有1名女同学的不同选法共有( )A.150B.180C.300D.345从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答) C 110C 26＋C 210C某校要派6名老师中的4位去参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣的方法数共有（ ）A.7B.8C.9D.103.不同对象有分组问题有9种不同的书,求下列情况下不同的方法数(1)分成3堆,各堆分别为2本,3本,4本(4)分给甲2本,乙3本,丙4本（2）分成3堆,每堆3本(5)分给3个人,每人3本(3)分成3堆,其中2堆各2本,一堆5本(6)分给甲,乙,丙3人,其中甲,乙各2本,丙得5本4.相同对象的分配问题——隔板法将5个相同的小球任意放入3个不同的盒子中,每个盒子都不空,则不同的放法种数是( )A.8B.12C.16D.6将12个参加青少年创新大赛的名额分配给3所学校,要求每校至少有一个名额,则不同的分配方法有( )个.A.36B.42C.55D.545.对立问题现有男运动员6名,女运动员4名,现选送5人外出比赛,则至少有1名女运动员的选派方法共有______种.从4名男生和3名女生中选4人参加座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生的不同选法种数有________.三.排列与组合的综合从5名志愿者中选派4人在星期五、六、日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同选派方法是（）A.120 B.96 C.60 D.48从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、保洁、司机四项不同工作，若甲、乙两名志愿者都不从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）A.280B.240C.180D.96(09.广东)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小罗、小王、小李五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作，其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能胜任这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36B.12C.18D.48(08.辽宁)一生产过程有4道工序,每道工序要安排一人照看,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两人安排1人，第四道工序只能从甲、丙中安排1人，则不同的安排方案共有（）A.24B.36C.48D.72将5名实习教师分配到高一级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案共有( )A.30B.90C.180D.270(2007·陕西理，16)安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)[解析]分配的方案分两类：①3名教师分2组去2所学校有C23·C11·A26＝90(种)②3名教师分3组去3所学校有A36＝120(种)，故分配方案90＋120＝210(种)．(2009·湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为() A．18B．24 C．30D．36[解析]用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C24，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，所以种数是C24A33－A33＝30.用分步法解答：第一步分成三组2,1,1，有C24种分法，其中排除甲、乙两名学生在同一组，所以第一步共有(C24－1)种方法，第二步将三组分到三个不同的班，共有A33种分法，由乘法原理可得共有(C24－1)·A33＝30种分法．。