2010级数学分析2期末试题
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一、填空题(每小题2分,共26分)
1、函数155345++-=x x x y 在]1,1[-上的最大值为 ,最小值为 。
2. 利用定积分定义得=-∑=∞→n i n i n 1
2241lim 。
3. 若点)2,1(为曲线23bx ax y +=的拐点,则=a , =b 。
4.若级数∑∞
=1n n a 收敛,则=∞→n n a lim 。
5.设集合?
?????∈+-=+N n n S n 1)1(]1,0[ ,则集合S 的所有聚点之集为 。
6、积分?1
02dx x a 当 时收敛,级数∑-p n n
)1(当 时条件收敛。
7、=?-1
132tan xdx x 。
8、?+=)1()(x e dx x f x ,则=)(x f 。
9、曲线)(x f y =,],[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为
=S 。
10、函数列一致收敛的柯西准则为 。
11、=+--?dx x x x 3
252 。 12、设]1,1[-∈x ,则=?∑∞=-x n n dt n
t 0121
。
13、函数x e 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式为
=x e 。
二、计算下列积分(每题6分,共18分)
1、
?xdx x arctan ; 2、
?-10221dx x x ; 3、?-40
22dx x x 。
三、判断下列反常积分和级数的敛散性,(每题6分,共24分) 1、dx x x ?+∞+12)1ln(; 2、dx x
x ?103arctan ; 3、 ∑∞
=-1!)2(n n n n n ; 4、∑∞=??? ??+-11)21(n n n 。 四、证明题(第1题12分,第2、3题各10分,共32分)
1、利用定积分证明:
(1)半径为R 的园周长为R π2。
(2)半径为R 的球体体积为33
4R π。 2、设)(x f 是定义在),(+∞-∞上且以T 为周期的连续函数,证明:)(x f 在),(+∞-∞上有最大值与最小值。
3、证明函数∑∞==13sin )(n n nx x f 在),(+∞-∞上连续,且有连续的导函数。