复变函数考试要求与知识点

复变函数考试题型与基本要求
考试题型：
一、单选题（每题3分，共15分）
二、填空题（每题3分，共15分）
三、计算题（每题7分，共42分）
四、解答题（每题7分，共28分）
第一章、 复数与复变函数（作为基础内容后面应用）
1、熟练掌握复数的定义及三种表示法；
2、熟练掌握复数的一些相关概念及性质（例如模、辐角与主辐角，复数的共轭等）；
3、熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘幂和方根）；
4、熟悉复平面上几种曲线的表示法：
（1）圆周方程R a z C =-||:
（2）圆的方程R a z K <-||:
（3）曲线的参数方程：i t y t x t z z )()()(+==，βα≤≤t
⇔实分析中参数方程)()
(t y y t x x ==，βα≤≤t
（4）复平面上连接点1z 和2z 的直线段方程为()t z z z z 121-+=，10≤≤t
5、了解复变函数的极限定义与计算方法（对于解析函数可用洛比达法则）
第二章、解析函数（约33分）
1、深刻理解函数可微与解析的定义和关系
2、熟练掌握复变函数的导数计算公式
3、熟悉柯西—黎曼方程形式
4、熟练掌握复变函数可微与解析的判别条件（主要是充分条件）
5、熟悉初等解析函数z e ，z sin ，z cos 的定义形式及性质（尤其要注意和实分
析的区别）
6、熟练掌握多值函数Lnz，n z的定义及计算（注意辐角）
7、掌握函数n z
(分支点的判断方法
P)
第三章、复变函数的积分（约24分）
1、深刻理解复积分的定义
2、熟练掌握复积分的计算方法
（1）参数方程法
（2）化为实分析中第二型曲线积分
（3）利用柯西积分公式
（4）利用无穷可微性定理
（5）利用复合闭路原理
（6）利用柯西留数定理（较方便）
3、熟练掌握判断二元实函数为调和函数的方法，并能由)
(y
x
v，使
,
,
(y
x
u求) ,
(
(
)
)
=解析
(+
,
v
x
y
i
f)
y
x
z
u
（1）利用偏微分方程的方法（较简单，分两次求不定积分）
（2）利用线分析取折线的方法（类似于数分中路径无关性时原函数的求法）第四章、解析函数的幂级数表示法（作为基础内容后面应用）1、熟练掌握幂级数中收敛半径和收敛圆的求法（注意圆心不在原点时的情形怎
么处理）
2、熟记几类初等函数的展开式及收敛范围（间接展开时经常用到，同时能掌握
由定理4.16求收敛半径的方法）
3、掌握解析函数零点定义及判断方法：
（1）定义法（2）定理4.17
第五章、解析函数的洛朗展式与孤立奇点（约17分）
1、熟练掌握解析函数在圆环域及孤立奇点去心邻域内的洛朗展式（考题中会给
出具体的范围）（尽量不用级数乘积或和的表达式，需要写出具体式子）2、熟练掌握奇点类型的判断，包括无穷远点，极点写出其阶数（需要写出过程）
第六章、留数理论及其应用（约20分）
1、理解留数的定义及留数定理
2、熟练掌握有限奇点处留数的计算（重点是极点）
（1）a z =为函数)(z f 的一阶极点时())(lim Re z f a z s a
z a z -=→=，具体有 ①a z z z f -=)
()(ϕ，)(Re a s a
z ϕ==； ②)
()()(z h z g z f =，)()(Re a h a g s a z '== （2）a z =为函数)(z f 的可去奇点时0Re ==a
z s （3）a z =为函数)(z f 的本质奇点时1Re -==C s a
z 3、利用留数计算第三类积分，即dx e x Q x P I imx ⎰+∞
∞-=)()( （注意此积分包含两个实积分，21I I I +=，mxdx x Q x P I cos )()(1⎰+∞
∞-=，
mxdx x Q x P I sin )()(2⎰+∞
∞-=，考试中一般只要求计算对应的实部或虚部） 4、了解辐角原理的内容及应用（借助零点和极点个数求函数沿周线的辐角变化）
5、理解并能熟练运用鲁歇定理判断方程根的个数及范围
6、了解对数留数定义及引理6.4内容。