二元一次方程组应用题类型大全
二元一次方程应用题8种类型
二元一次方程应用题8种类型一、行程问题1. 题目- 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲在乙后面，5小时后甲追上乙。
求甲、乙两人的速度。
2. 解析- 根据相向而行时，路程 = 速度和×时间，可得到方程3(x + y)=30，化简为x + y = 10。
- 根据同向而行时，路程差=速度差×时间，可得到方程5(x - y)=30，化简为x - y=6。
- 联立方程组x + y = 10 x - y = 6，将两式相加，2x=16，解得x = 8。
- 把x = 8代入x + y = 10，得y = 2。
二、工程问题1. 题目- 一项工程，甲队单独做需要x天完成，乙队单独做需要y天完成，两队合作需要6天完成；甲队单独做比乙队单独做少用5天。
求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？2. 解析- 把工作总量看作单位“1”，根据工作效率 = 工作总量÷工作时间，两队合作的工作效率为(1)/(6)，甲队工作效率为(1)/(x)，乙队工作效率为(1)/(y)，则(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)。
- 又因为甲队单独做比乙队单独做少用5天，所以y - x=5，即y=x + 5。
- 将y=x + 5代入(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)中，得到(1)/(x)+(1)/(x + 5)=(1)/(6)。
- 去分母得6(x+5)+ 6x=x(x + 5)，展开6x+30+6x=x^2+5x，移项化为一元二次方程x^2-7x - 30 = 0，因式分解(x - 10)(x+3)=0，解得x = 10或x=-3（天数不能为负舍去）。
- 当x = 10时，y=10 + 5=15。
三、利润问题1. 题目- 某商店购进甲、乙两种商品，甲商品进价为x元/件，乙商品进价为y元/件。
已知购进5件甲商品和4件乙商品共花费300元；甲商品每件售价20元，乙商品每件售价30元，全部售出后利润为100元。
二元一次方程组应用题经典题型
二元一次方程组应用题经典题型1. 行程问题比如，甲、乙两人相距30千米，若两人同时相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲6小时可追上乙。
求甲、乙两人的速度。
设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时。
相向而行时，根据路程 = 速度和×时间，可得到方程3(x + y)=30；同向而行时，根据路程差 = 速度差×时间，可得到方程6(x - y)=30。
这两个方程组成二元一次方程组，解这个方程组就能求出甲、乙的速度啦。
2. 工程问题有一项工程，甲队单独做需要x天完成，乙队单独做需要y天完成，两队合作需要6天完成，并且甲队做2天的工作量和乙队做3天的工作量相等。
求x和y的值。
把这项工程的工作量看成单位“1”，根据工作效率 = 工作量÷工作时间，甲队的工作效率就是1/x，乙队的工作效率就是1/y。
两队合作的工作效率就是1/6，可得到方程1/x+1/y = 1/6。
又因为甲队做2天的工作量和乙队做3天的工作量相等，即2/x = 3/y。
这样就组成了二元一次方程组，通过解方程组就能得到x和y的值啦。
3. 销售问题某商场购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品进价每件35元，利润率是20%，乙种商品进价每件20元，利润率是15%，共获利278元。
求甲、乙两种商品各购进多少件？设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件。
因为总共购进50件商品，所以x + y = 50。
甲种商品每件获利35×20% = 7元，乙种商品每件获利20×15% = 3元，总共获利278元，可得到方程7x+3y = 278。
这两个方程组成二元一次方程组，解方程组就可以求出x和y的值啦。
4. 调配问题有两个仓库，甲仓库有粮食x吨，乙仓库有粮食y吨。
如果从甲仓库调出10吨到乙仓库，那么乙仓库的粮食就是甲仓库的2倍；如果从乙仓库调出5吨到甲仓库，那么两仓库的粮食就相等。
求x和y的值。
根据题意可得到方程组：y + 10 = 2(x - 10)和x + 5 = y - 5。
二元一次方程组经典应用题及答案
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）一：列二元一次方程组解决——行程问题甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是 6千米/每小时，乙的速度是 3.6千米/每小时。
两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20 （x-y）=28014 （x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，二：列二元一次方程组解决——工程问题小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱 5.2万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱 4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：1三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（注：获利=售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；解：设购进A的数量为x件、购进 B的数量为y件，依据题意列方程组1200x+1000y=360000(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000解得x=200，y=120答：略四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则X+Y=4000X*2.25％*3+Y*2.7％*3=303.75解得：X=1500，Y=2500。
二元一次方程组应用题经典题及答案
二元一次方程组应用题经典题及答案一、商品销售问题例 1：某商店购进一批衬衫，成本价每件 40 元，按每件 50 元出售，一个月内可售出 500 件。
已知这种衬衫每件涨价 1 元，其销售量就减少 10 件。
为了在一个月内赚取 8000 元的利润，售价应定为每件多少元？解：设售价应定为每件 x 元，每件的利润为(x 40)元。
因为每件涨价 1 元，销售量就减少 10 件，所以销售量为500 10(x 50)件。
根据总利润＝每件利润×销售量，可列方程：（x 40)500 10(x 50) ＝ 8000（x 40)（500 10x ＋ 500) ＝ 8000（x 40)（1000 10x) ＝ 80001000x 10x² 40000 ＋ 400x ＝ 8000－10x²＋ 1400x 48000 ＝ 0x² 140x ＋ 4800 ＝ 0（x 60)（x 80) ＝ 0解得 x₁＝ 60，x₂＝ 80答：售价应定为每件 60 元或 80 元。
二、行程问题例 2：A、B 两地相距 18 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时相向而行，2 小时后在途中相遇；相遇后甲返回 A 地，乙继续向 A 地前进，甲回到 A 地时，乙离 A 地还有 2 千米。
求甲、乙两人的速度。
解：设甲的速度为 x 千米/小时，乙的速度为 y 千米/小时。
根据相遇问题的公式：路程＝速度和×时间，可列方程：2(x ＋ y) ＝ 18甲返回 A 地所用的时间也为 2 小时，这 2 小时乙走的路程为 2y 千米。
因为甲回到 A 地时，乙离 A 地还有 2 千米，所以可列方程：18 2y ＝ 2x将第一个方程变形为 x ＋ y ＝ 9，即 x ＝ 9 y，代入第二个方程得：18 2y ＝ 2(9 y)18 2y ＝ 18 2y方程恒成立。
将 x ＝ 9 y 代入第一个方程得：2(9 y ＋ y) ＝ 1818 ＝ 18所以原方程组有无数组解。
二元一次方程应用题经典题型
二元一次方程应用题经典题型
二元一次方程组在数学中应用广泛，以下是一些经典的应用题型：
- 和差倍数问题：已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
- 产品配套问题：本题的第一个等量关系比较容易得出，即生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
- 工作量问题：把工作总量看成1；工作量=工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。
- 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价；利润率=利润÷进价×100%。
- 行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：快行距+慢行距=原距；追及问题：快行距-慢行距=原距；航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度，逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度。
二元一次方程组解应用题专题分类常见十三类
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程相遇问题:两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
A车路程+B车路程=相距路程总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.练习：学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？A甲、乙二人相距2. 甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。
根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？3. 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程是多少？4. 甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.5. 两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.6. 某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.7. 通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
二元一次方程组经典应用题及答案
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）一：列二元一次方程组解决——行程问题甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，二：列二元一次方程组解决——工程问题小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则X + Y = 4000X * 2.25％* 3 + Y * 2.7％* 3 = 303.75解得：X = 1500，Y = 2500。
(完整版)二元一次方程组应用题的常见类型
（二元一次方程组实际应用〔1〕（列方程解应用题的根本关系量（〔1〕行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆（水速度=静水速度—水流速度（2〕工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（4〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间（二元一次方程组解决实际问题的根本步骤（1、审题，搞清量和待求量，分析数量关系.〔审题，寻找等量关系〕（2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．〔设未知数，列方程组〕（3、列出方程组并求解，得到答案．〔解方程组〕（4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．〔检验,答〕（列方程组解应用题的常见题型（1〕和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量（2〕产品配套问题：加工总量成比例（3〕速度问题：速度×时间=路程（4〕航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类（1．顺流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度+水〔风〕速（2．逆流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度--水〔风〕速（5〕工程问题：工作量=工作效率×工作时间（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问（题（6〕增长率问题：原量×〔1＋增长率〕=增长后的量，原量×〔1＋减少率〕（=减少后的量（7〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（8〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率（9〕利润问题：利润=售价—进价，利润率=〔售价—进价〕÷进价×100%（10〕盈亏问题：关键从盈〔过剩〕、亏〔缺乏〕两个角度把握事物的总量（11〕数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12〕几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13〕年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【典题精析】例1〔南京市〕某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得x y 50,6x4y230.x15,解得，35.y故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2〔四川省眉山市〕某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利〔元〕100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨〔两种加工不能同时进行〕．〔1〕如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成以下表格：销售方式全部直接全部粗加工尽量精加工，剩余局部销售后销售直接销售获利〔元〕〔2〕如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，那么应如何分配加工时间？解：〔1〕全部直接销售获利为：100×140=14000〔元〕；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000〔元〕；尽量精加工，剩余局部直接销售获利为：450×〔6×18〕＋100×〔140－6×18〕=51800〔元〕.〔2〕设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.由题意，得x y15,6x16y140.x10,解得，y 5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.1、小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的3、〔分配问题〕某幼儿园分萍果，假设每人3个，那么剩2个，假设每人4个，邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票那么有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，题中的两个相等关系：萍果有y个=总枚数1、10分邮票的枚数可列方程为：+20分邮票的枚数题中的两个相等关系：1、萍果总数可列方程为：2、萍果总数=每人分=3个+2、10分邮票的总价+=全可列方程为：部邮票的总价可列方程为：10X+=4、〔金融分配问题〕需要用多少每千克售元的糖果才能与每千克售元的糖果混合成每千克售糖果为x千克，每千克售元的杂拌糖200千克？解：设每千克售元的糖果为y千克元的2、小兰在玩具工厂劳动，做题中的两个相等关系：4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个元的糖果销售总价+=1、每千克售小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时可列方程为：间？2、每千克售元的糖果重量+=题中的两个相等关系：可列方程为：1、做4个小狗的时间+=3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：二元一次方程组实际应用〔1〕〔李老师〕姓名：一、和差倍分例1、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，那么乙盒球就是甲盒球数的6倍，假设从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？例2、我区某学校原方案向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原方案的120%，高中学生捐赠了原方案的115%，问初中学生和高中学生各比原方案多捐赠了图书多少册？例3、(2021年浙江省宁波市)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表〞生活用水阶梯式计费价格表的一局部信息：小王家2021年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元,求a,b的值自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a超过17吨不超过30吨的局部b超过30吨的局部例4、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，方案撤除一局部旧校舍，建造新校舍，撤除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.方案在年内撤除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了方案的80%，而撤除旧校舍那么超过了方案的10%，结果恰好完成了原方案的拆、建总面积.1〕求：原方案拆、建面积各是多少平方米？2〕假设绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？同步练习：1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，假设设男生人数为x人，女生人数为y人，那么可列方程组为2、甲乙两数的和为10，其差为2，假设设甲数为x，乙数为y，那么可列方程组为3、某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为4、学校购置35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，那么列方程组，方程组的解是5、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为6、〔2021广东肇庆〕顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，那么到两地旅游的人数各分别为7、〔2021湖北咸宁〕某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，那么入住单人间和双人间各5个共需元．8、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，那么这个队胜了场，平了场，负了场。
二元一次方程组的应用题,总结了十个题型,学透很容易!
初学二元一次方程组的应用，好多同学会遇到会解不会列的尴尬局面。
为此，特把二元一次方程组应用中常见的题型整理出来，希望能对同学们有所帮助。
类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。
类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。
二元一次方程组应用题12种常考题型大全
二元一次方程组应用题12种常考题型大全列二元一次方程组解应用题的一般步骤1．审题:找出题目中的数量关系；找出题目中的等量关系；2．设未知数:设两个关键未知量为未知数，可直接设元，也可间接设元；3．根据题目中的等量关系列方程组；4．解方程组；5．检验作答.要点诠释(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.类型一：列二元一次方程组解决——行程问题(1) 追及问题：速度差×追及时间=路程差(2)相遇问题: 速度和×相遇时间=路程和(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行逆水航行问题类似.例1 甲乙两地相距km 60，一辆汽车好一辆摩托车同由两地相向而行，1小时20分钟相遇，相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，半小时后汽车追上了摩托车，求汽车和摩托车的速度各是多少？【解答】解：设汽车的速度是x 千米每小时，摩托车速度y 千米每小时， 由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+y x y x 232160)(34 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4454135y x 答：汽车的速度是4135千米/时，摩托车速度445千米/时．【变式1】甲、乙两人从相距30千米的两地相向而行．如甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【解答】解：设甲的速度是x 千米/时，乙速度是y 千米/时，由题意得：⎩⎨⎧=++=++30)23(3305.2)25.2(y x y x 解得：⎩⎨⎧==35y x 答：甲的速度是5千米/每小时，乙的速度是3千米/每小时．【变式2】甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地间，顺流用18小时，逆流用24小时，求轮船在静水中的速度和水流速度．【解答】解：设轮船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时，由题意得：⎩⎨⎧=-=+360)(24360)(18y x y x 解得⎩⎨⎧==5.25.17y x 答：船在静水中的速度为17.5千米/小时，水流速度为2.5千米/小时．类型二：列二元一次方程组解决——工程问题工程问题：工作效率×工作时间=工作量.例2 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？（2）单独请哪组，商店所付费用较少？（3）装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．【解答】解：（1）设甲组单独工作一天商店应付x 元，乙组单独工作一天商店应付y 元．由题意可得：⎩⎨⎧=+=+34801263520)(8y x y x 解得：⎩⎨⎧==140300y x 答：甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元．（2）设工作总量为单位1，甲组工作效率为a ，乙组工作效率为b ．由题意可得：⎩⎨⎧=+=+11261)(8b a b a解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==241121b a ∴甲组单独完成装修需121211= （天）， 乙组单独完成装修需 242411=（天）， ∴单独请甲组需付360012300=⨯（元），单独请乙组需付336024140=⨯（元），33603600> ， ∴单独请乙组费用较少；（3）由题意，得①甲组单独做12天完成，商店需付款3600元；乙组单独做24天完成，商店需付款3360元；但甲组比乙组早12天完工，商店12天的利润为240012200=⨯元，即开支为120024003600=-元3360<元，故选择甲组单独做比选择乙组单独做划算．②甲、乙合作8天可完成，需付费用3520元，此时工期比甲单独做少4天，商店开业4天的利润为8002004=⨯元，开支为27208003520=-元3600<元；则甲、乙合作比甲单独做12天合算．综上所述，甲、乙合作这一方案最优．【变式】某家庭新购住房需要装修，如果甲、乙两个装饰公司合做，12天可以完成，需付装修费1.04万元；如甲公司先做9天，剩下的由乙公司来做，还需16天完成，共需付装修费1.06万元．若只选一个装饰公司来完成装修任务，应选择哪个装饰公司？试说明理由．【解答】解：设工作总量为单位1，甲公司的工作效率为x ，乙公司工作效率为y .由题意得：⎩⎨⎧=+=+11691)(12y x y x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==281211y x ∴甲组单独完成装修需212111= （天）， 乙组单独完成装修需282811= （天），设甲公司单独完成装修工程需装修费a 万元，乙公司单独完成装修工程需装修费b 万元， 由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+⨯=+06.1281621904.1)2821(12b a b a 解得：⎩⎨⎧==12.198.0b a 甲公司完成装修工程需21天，装修费0.98万元；乙公司完成装修工程需28天，装修费1.12万元． 答：从节约时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项装修任务．类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题（1）利润＝售价－成本(进价) （2）%100⨯-=进价进价售价利润率 （3）利润＝成本（进价）×利润率（4）标价＝成本(进价)×(1＋利润率)（5）实际售价＝标价×打折率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 例3 有甲、乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元．价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的进价分别是多少？【解答】解：设甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元.根据题意可得：⎩⎨⎧=+=+44%5%446%4%5y x y x 解得：⎩⎨⎧==400600y x 答：甲商品的进价为600元，乙商品的进价为400元，【变式1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【解答】解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x 、y 亩.由题意得：⎩⎨⎧=+=+180001500200010y x y x 解得：⎩⎨⎧==46y x 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩．【变式2】某商场用36万元购进A ，B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件） 1200 1000售价（元/件） 1380 1200求该商场购进A ，B 两种商品各多少件．【解答】解：设购进A 种商品x 件，B 种商品y 件．由题意得：⎩⎨⎧=-+-=+60000)10001200()12001380(36000010001200y x y x 化简得⎩⎨⎧=+=+3000109180056y x y x 解得⎩⎨⎧==120200y x 答：该商场购进A ，B 两种商品分别为200件和120件．类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金. ②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.基本关系式①期数利率本金利息⨯⨯=②期数）利率（本金期数利率本金本金利息本金本息和⨯+⨯=⨯⨯+=+=1 ③利息税率期数利率本金利息税率利息利息税⨯⨯⨯=⨯=④利息税率）（利息税后利息-⨯=1⑤12⨯=月利率年利率⑥月利率=年利率121⨯ 注意：免税利息=利息例4 小明以两种方式储蓄了压岁钱2000元．其中一种是年利润率为%25.2的教育储蓄，另一种是年利润率为%25.2的一年定期存款，一年后共得利息44.4375元，求这两种储蓄各存了多少钱？（定期存款税率为%5）【解答】解：设一年定期存款为x 元，教育储蓄为y 元.由题意可得：⎩⎨⎧=+⨯-=+4375.44%25.2%5%25.2%25.22000y x x y x 解得：⎩⎨⎧==1500500y x 答：一年定期存款为500元，教育储蓄为1500元.【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，可得利息54.9元，已知两种储蓄的年利润的和为%24.3，问这两种储蓄的年利润各是多少？【解答】解：设2000元的年利率为x ，则1000元的年利率为y .由题意得：⎩⎨⎧=+=+9.5410002000%24.3y x y x 解得：⎩⎨⎧==%99.0%25.2y x 故这2000元的年利率为%25.2，1000元的利率为：%99.0．答：这两种储蓄的年利润各是%25.2、%99.0.【变式2】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存2000元钱，一种是年利率为%25.2的教育储蓄，另一种年利率为%25.2的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税=利息金额%20⨯，教育储蓄没有利息所得税，列二元一次方程组解决）【解答】解：设教育储蓄存款x 元，另一种存款y 元，由题意得：⎩⎨⎧=⨯-+++=+7.2042%20%25.2%)25.21(%)25.21(2000y y x y x 解得：⎩⎨⎧==5001500y x 答：教育储蓄存款1500元，另一种存款500元．类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.例5 红星服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？【解答】解：设用x 米布料生产上衣，y 米布料生产裤子才能配套．由题意得：⎩⎨⎧==+y x y x 32600 解得：⎩⎨⎧==240360y x 则用360米生产上衣，240米生产裤子才能配套，共能生产240套．【变式1】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有108张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？【解答】解：设用x 张铁皮制作盒身，用y 张铁皮制作盒底，可以正好制成配套罐头盒.由题意得：⎩⎨⎧=⨯=+y x y x 42152108 解得：⎩⎨⎧==4563y x 答：用63张铁皮制作盒身，用45张铁皮制作盒底，可以正好制成配套罐头盒．【变式2】某车间有660名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应安排多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【解答】解：设安排x 人生产螺栓，y 人生产螺母，由题意得：⎩⎨⎧=⨯=+y x y x 20214660 解得：⎩⎨⎧==385275y x答：安排275人生产螺栓，385人生产螺母．【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条，现有10立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？若每个方桌能售80元，这批方桌能卖多少钱？【解答】解：设用3m x 木料制作桌面，用y 立方米木料制作桌腿恰好配套.由题意得：⎩⎨⎧=⨯=+y x y x 30050410 解得：⎩⎨⎧==46y x 共有：300650=⨯个方桌，卖：2400030080=⨯元．答：用36m 木料制作桌面，4立方米木料制作桌腿恰好配成方桌，若每个方桌能售80 元，这批方桌能卖24000元钱．类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题解这类问题的基本等量关系式是：增长后的量增长率）（原量=+⨯1；减少后的量减少率）（原量=-⨯1.例6 某工厂去年的利润（总产值﹣总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了%20，总支出比去年减少了%10，今年的利润为780万元，问去年的总产值、总支出各是多少万元？【解答】解：设去年总产值为x 万元，总支出为y 万元.由题意得：⎩⎨⎧=--+=-780%)101(%)201(200y x y x 解得：⎩⎨⎧==18002000y x 答：去年的总产值、总支出各是2000万元、1800万元．【变式1】某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加%8.0，农村人中增加%1.1，这样全市人口得增加%1，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？【解答】解：设现有城镇人口x 万人，农村人口y 万人．由题意得：⎩⎨⎧⨯=•+•=+%142%1.1%8.042y x y x 整理得⎩⎨⎧=+=+②420118①42y x y x ②﹣①×8，得843=y ，即28=y ，代入①，得14=x ．故这个方程的解为：⎩⎨⎧==2814y x 答：这个城市的现有城镇人口和农村人口分别是14万人和28万人．类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题解这类问题的基本等量关系是：多余量较少量较大量+=，倍量倍数总量⨯=.例7 “爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？【解答】解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶，“温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶．由题意得：⎩⎨⎧=+=+145.16.19y x y x ∴解得：⎩⎨⎧==45y x 856.16.1=⨯=x （千顶），645.15.1=⨯=y （千顶）， 答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶，“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶．【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．【解答】解：设中国内地去年有x 个城市参加了此项活动，今年有y 个城市参加了此项活动．由题意得：⎩⎨⎧-==+133119x y y x 解得：⎩⎨⎧==8633y x 答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动．【变式2】 阳春三月，街柳垂杨，一群学生组织去踏青，其中男生戴蓝色太阳帽，女生戴红色太阳帽．如每位男生看到蓝色与红色的太阳帽一样多；而每位女生看到蓝色的太阳帽比红色的多1倍．你知道男生与女生各有多少人吗？【解答】解：（1）设男生有x 人，女生有y 人.由题意得：⎩⎨⎧-==-)1(21y x y x 解得：⎩⎨⎧==34y x 答：男生有4人，女生有3人．类型八：列二元一次方程组解决——数字问题解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n 为整数时，奇数可表示为12+n (或12-n )，偶数可表示为n 2等，有关两位数的基本等量关系式为：个位数字十位数字两位数+⨯=10例8 如果两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求这两个两位数.【解答】解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y .由题意得：⎩⎨⎧=+++=-5050)100()100(10x y y x y x 解得：⎩⎨⎧==2030y x 答：这个两位数分别是30和20.【变式1】有一个两位数，除以它的各位数字之和，商为7，余数是6，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新数除以其各位数字之和，商为3，余数是5，求这个两位数．【解答】解：设这个两位数的十位数字为x ，个位上的数字为y .由题意得：⎩⎨⎧++=+++=+5)(3106)(610y x y x y x y x 解得：⎩⎨⎧==38y x 所以这个两位数为83．答：这个两位数为83．【变式2】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原来大63，求这个两位数.【解答】解：设十位上的数字是x ，个位上的数字是y ．由题意得：⎩⎨⎧=++=++111063)10(y x x y y x解得：⎩⎨⎧==92y x ∴这个两位数为299210=+⨯答：这个两位数是29.类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.例9 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？【解答】解：设甲种酒精溶液取x 克，乙种酒精溶液取y 克. 由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2:3)51107(:)54103(50y x y x y x 解得：⎩⎨⎧==3020y x 答：甲种酒精溶液取20克，乙种酒精溶液取30克.【变式1】把质量分数分别为%90和%60的甲、乙两种酒精溶液配制成质量分数为%75的消毒酒精溶液g 500，求从甲、乙两种酒精中各取多少克．【解答】解：设甲、乙两种酒精各取x 克，y 克，由题意得：⎩⎨⎧⨯=+=+%75500%60%90500y x y x 解得：⎩⎨⎧==250250y x 答：甲、乙两种酒精各取g 250.【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效.用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？【解答】解：设用x 千克浓度为35%的农药，加y 千克水.由题意得：⎩⎨⎧⨯==+%75.1800%35800x y x 解得：⎩⎨⎧==76040y x 答：用40千克浓度为35%的农药加水760千克，才能配成1.75%的农药800千克.类型十：列二元一次方程组解决——几何问题几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式例10 如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？（要求列方程组进行解答）【解答】解：设每块小长方形地砖的长为cm x ，宽为cm y .由题意得：⎩⎨⎧=+=403y x y x 解得：⎩⎨⎧==1030y x 答：长是cm 30，宽是cm 10．【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【解答】解：设矩形的长为x ，宽为y .由题意得：⎩⎨⎧=++=-48)(233y x y x 解得：⎩⎨⎧==915y x 则可得矩形的面积为：2135915cm =⨯；正方形的面积为：21441212cm =⨯；则正方形的面积比矩形面积大9平方厘米．答：正方形的面积比矩形面积大9平方厘米．【变式2】一块矩形草坪的周长是170米，它的长比宽的2倍多10米，求矩形草坪长和宽分别为多少米？【解答】解：设矩形草坪长和宽分别为x 米和y 米．由题意得：⎩⎨⎧+==+10217022y x y x 解得：⎩⎨⎧==2560y x 答：矩形草坪长和宽分别为60米和25米．类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的.例11 8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子现在的年龄．【解答】解：设父亲现在年龄为x 岁，儿子现在的年龄为y 岁，由题意得：⎩⎨⎧+=+-=-)8(28)8(48y x y x 解得：⎩⎨⎧==1640y x 答：父亲现在年龄为40岁，儿子现在的年龄为16岁．【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的51．小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的31．求今年小李和爷爷的年龄．【解答】解：设今年小李的年龄为x 岁，则今年他爷爷的年龄是y 岁. 由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⨯+=1231)12(51x y x y解得：⎩⎨⎧==6012y x 答：今年小李的年龄为12岁，爷爷的年龄为60岁．类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.例12 我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售． 方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？【解答】解：选择第三种方案获利最多．方案一：因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完．总利润63000014045001=⨯=W （元）（2分）方案二：因为每天精加工6吨，15天可以加工90吨，其余50吨直接销售．总利润7250001000507500902=⨯+⨯=W （元）（4分）方案三：设15天内精加工蔬菜x 吨，粗加工蔬菜y 吨． 由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+15166140y x y x 解得：⎩⎨⎧==8060y x 总利润8100004500807500603=⨯+⨯=W （元）（7分）综合以上三种方案的利润情况，知321W W W <<，所以第三种方案获利最多．举一反三【变式1】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．【解答】解：（1）设购进甲种x 台，则乙种y 台．由题意得：⎩⎨⎧=+=+900002100150050y x y x 解得：⎩⎨⎧==2525y x 故购进甲种25台，乙种25台．（2）设购进乙种a 台，丙种b 台．由题意得：⎩⎨⎧=+=+900002500210050b a b a 解得：⎩⎨⎧-==5.375.87b a 5.37-=b （不合题意，舍去此方案）（3）设购进甲种m 台，丙种n 台．由题意得：⎩⎨⎧=+=+900002500150050n m n m 解得：⎩⎨⎧==1535n m 故购进甲种35台，丙种15台．则有两种方案成立：①甲、乙两种型号的电视机各购25台．②甲种型号的电视机购35台，丙种型号的电视机购15台；方案①获利为：87502002515025=⨯+⨯（元）方案②获利为：90002501515035=⨯+⨯（元）所以为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案．【变式2】某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？【解答】解：设A 种纪念品的进价是x 元，B 种纪念品的进价是y 元.由题意得：⎩⎨⎧=+=+38061038087y x y x解得：⎩⎨⎧==3020y x答：A 种纪念品的进价为20元，B 种纪念品的进价为30元.。
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路程=时间×速度
时间=路程÷速度 速度=路程÷时间
（1）相遇问题：
两者所走的路程之和＝两者原相距路程
（2）追击问题：
快者所行路程－慢者所行路程 =两者原相距路程
例1.某站有甲、乙两辆汽车，若甲 车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后 5ｈ追上甲车；若甲车先开出30ｋｍ后 乙车出发，则乙车出发4ｈ后乙车所走的 路程比甲车所走路程多10ｋｍ．求两车 速度．
解之得
X=77 Y=8
答:这批零件有77个,按计划需8 小时完成
例1.某车间22名工人生产螺钉与螺母，每 人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一 个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品 刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多 少名工人生产螺母？
一个螺钉配两个螺母 螺钉数:螺母数=1:2 解:设分配名x工人生产螺钉,y名工人生产螺母,则一天 生产的螺钉数为1200x个,生产的螺母数为2000y个.
根据题意, 得 x+y =22
2×1200x=2000y
解得 x=10
Y =12
所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排10人生产螺 钉,12人生产螺母
例2.某工地需雪派48人去挖土和运土,如果 每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该 怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?
每天挖的土等于每天运的土
解:设安排x人挖土 ,y人动土,
则一天挖土5x ,一 天动土3y方
根据题意,得
x+y=48 5x=3y
解得 X=18
Y=30
所以每天安排18人挖土，30 人运土 正好能使挖的土及时运走
本息和＝利息+本金 利息＝本金× 年利率× 年数
例1：某企业向商业银行申请了甲、乙丙种贷款， 共计35万元，每年需付出利息4.4万元。甲种贷款 每年的利率是12％，乙种贷款的利率是13％。求 这两种贷款的金额分别是多少？
解：设这两种贷款的金额分别 x万元，y万元 ，
由题意得， x y35 120 0 x130 0 y 4.4 解之得 x15 y 20
答：这两种贷款的金额分别是15万元，20万元。
例3.已知A、B两码头之间的距离为240km,一艏 船航行于A、B两码头之间,顺流航行需4小时 ;逆 流航行时需6小时, 求船在静水中的速度及水流 的速度.
解:设船在静水中的速度及水流的速度 分别为xkm/h、ykm/h，根据题意，得
4（x+y）=240 解之得 X=50
6（x-y）=240
Y=10
答：船在静水中的速度及水流的速度 分别为50km/h、10km/h
练习.
1、一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。 用相同时间，若车速每小时60千米，就能越 过桥2千米；若车速每小时50千米，就差3千 米才到桥。问甲地与桥相距多远？用了多长 时间？
2、已知A、B两码头之间的距离为320km, 一艘船航行于A、B两码头之间,顺流航行需 3.2小时 ;逆流航行时需5小时, 求船在静水中 的速度及水车先出发1ｈ后
x Km/h、y Km/h
乙车出发，则乙车 出发后5ｈ追上甲车
根据题意，得
5y=6x 解之得 X=50
4y=4x+40
Y=6o
答：甲乙两车的速度分别为
若甲车先开出30ｋｍ后乙 车出发，则乙车出发4ｈ 后乙车所走的路程比甲车 所走路程多10ｋｍ．
50km、60km
例2．甲、乙两人在周长为400ｍ的环形 跑道上练跑，如果同时同地相向出发，每隔 2.5分钟相遇一次；如果同时同地同向出发， 每隔10钟相遇一次，假定两人速度不变，且 甲快乙慢，求甲、乙两人的速度．
解：设甲乙两人的速度分 别为xm/min、ym/min 根据题意，得
2.5(x+y)=400
甲、乙两人在周长为 400ｍ的环形跑道上练 跑，如果同时同地相向 出发，每隔2.5min相 遇一次。
小结
列方程组解应用题的一般步骤
审 审清题目中的数量关系, 弄清已知与未知 设 根据题意设两个未知数（注意单位）
找出两个等量关系
列 列出方程组
根据等量关系列出方程组
解 解出方程组，求出未知数的值
检 检验求得的值是否正确和符合实际情形
答 作答（注意单位）
工作量=工作时间×工作效率 工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间
一般把总工作量看作 单位“1”.
例1.某工人原计划在限定时间内加工一批零 件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完 成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前 1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多 少小时完成?
解:设这批零件有x个,按原计划需y小时完成, 根据题意,得 10y=x+3
11(y-1)=x
乙行5小时的路程
甲先行1小时
甲 的路程
乙 甲先行30千米
甲后行5小时的路程 甲后行4小时的路程
10千米
乙行4小时的路程（比甲行的全路程多10千米）
甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉 机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇 后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转 车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉 机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
小结：
环形跑道追及、相 遇问题等同于直线追 及、相遇问题
船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流的速度
水流方向
轮船航向
船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速 度
水流方向
轮船航向
顺流（风）： 航速=静水（无风）中的速度 + 水（风）速
逆流（风）： 航速=静水（无风）中的速度－水（风）速
160千米 甲
汽车行驶1小时20分的路程
汽车行驶半小时的路程
乙 拖拉机行驶1小时 20分的路程
拖拉机行驶1个半小时 行驶的路程
1、同时同地相向而行第一次相遇（相当 于相遇问题）：
甲的路程 + 乙的路程 ＝ 跑道一圈长
2、同时同地同向而行第一次相遇（相当于 追击问题）：
快者的路程 － 慢者的路程 ＝ 跑道一圈长
甲 乙
解：设甲乙两人的速度分 甲、乙两人在周长为400ｍ的
别为xm/min、ym/min 环形跑道上练跑，如果同时同
根据题意，得
地同向出发，每隔10min相遇
2.5(x+y)=400
解之得
10(X-Y)=400
一次。 X=100 答:甲乙两人的速度分别 Y=60 为100m/min、60m/min