数学培训班第六次课

第六章 定积分应用一、定积分应用的类型及定积分的元素法 1、基本内容：本章是利用定积分理论来分析解决几何学和物理学中的一些问题，进而掌握用元素法（微元法）求解问题的基本思想。

几何问题包括：平面图形的面积；旋转体的体积；平行截面面积为已知的立体的体积；平面曲线的弧长。

物理问题包括：变力沿直线作功（含吸水和将水中物体提出）；铅直放入水中的平板所受压力；细棒对质点的引力。

2. 构造微元的基本思想及解题步骤 （1）构造微元的基本思想无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。

元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。

将局部],[],[b a dx x x ∈+上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分⎰b adx x f )(。

(2) 元素法是应用定积分求具有可加性几何量和物理量的重要方法，具体步骤如下：①根据实际问题，先作草图，再选取适当的坐标系和积分变量(例如x 为积分变量)，并确定其取值区间；②在积分区间[b a ,]上，任取一个小区间，如[dx x x +,]，dx 很小，故运用“以直代曲”，“不变代变”等思想，求出欲求量U 的元素dx x f dU )(=； ③对元素进行积分，得⎰=badx x f U )(，并应用微积分基本公式计算出U 值.注意()dU f x dx =中不能出现dx 的其它幂次，如2dx ；正确找出dx x f dU )(=是求总量U的关键.二、定积分在几何上的应用 1 平面图形的面积（1）直角坐标系下的面积① 设平面图形由连续曲线)(x f y =，)(x g y =，a x =和b x =)(b a <围成，则面积 =A ()bay y dx -⎰上下.② 设平面图形由连续曲线)(y g x =，)(y h x =，c y =和d y =)(d c <围成，则面积 =A ()d cx x dy -⎰右左.（2）极坐标系下的面积设曲边扇形由连续曲线)(θρρ=及射线)(,βαβθαθ<==围成,则面积θθρβαd A )(212⎰=.2 平行截面面积)(x A （b x a ≤≤）为已知的立体体积⎰=ba dx x A V )( .3 旋转体的体积① 设由a x =，b x =，x 轴和连续曲线)(x f y =)(b a <所围成的曲边梯形设为G 。

G 绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积为dx x f V bax )(2⎰=π；② 设由c y =，d y =，y 轴和连续曲线)(y x ϕ=()d c <所围成的曲边梯形设为H ，H 绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积为dy y V dc)(2⎰=ϕπ4 曲线弧长①直角坐标方程)(x f y = )(b x a ≤≤,则弧长公式dx y S ba⎰'+=21.②参数方程)( )()(βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x ，则弧长公式=S ⎰'+'βαdt t y t x )()(22.③极坐标)(θρρ=)(βθα≤≤,则=S θθρθρβαd ⎰'+)()(22三、几何应用典型例题【例1】求由0=-y x ，x x y 22-=所围成图形的面积。

【例2】 求位于曲线xe y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积。

【例3】求曲线θρcos 3=及θρcos 1+=所围成的在原点侧图形的面积。

解：画草图，求得极坐标下交点)0,0(，)3,23(π和)3,23(π-。

由图形的对称性，仅考虑x 轴上方部分的面积的计算方法。

选θ为积分变量，变化范围是]2,0[π。

从而，所求面积⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰θθθθπππd d A 22 3 23 0 )cos 3(21)cos 1(212 π45=【例4】假设曲线21:1L y x =-与x 轴、y 轴所围的平面图形D ，被曲线22:L y ax =分成面积相等的两部分，其中0a >为常数，试确定的a 的值。

【例5】设由曲线x y sin =（20π≤≤x ），1=y 及0=x 围成平面图形A，试分别求平面图形A 绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。

【例6】设由曲线x y sin =（20π≤≤x ），2π=x 及0y =围成平面图形A ，试求平面图形A 绕直线21-=y 旋转而成的旋转体的体积。

解：取x 为积分变量，则[0,]2x π∈，绕21-=y 轴旋转而成的旋转体的体积为 222002011cos 21(sin sin )(sin )4241113[(sin 2)cos ](1)2248x x V x x dx x dxx x x x ππππππππ-=++=++=--+=+⎰⎰【例7】 计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。

解：建立如图8所示的坐标系，则底圆方程为422=+y x 。

取x 为积分变量，所以]2,2[-∈x 。

因为过点x 的截面为等边三角形（如图9），其边长为242x -，高为23422x-，所以截面积为)4(323424221)(222x x x x A -=⋅-⋅-⋅=所求立体的体积为2222())V A x dx x dx --==-=⎰⎰【例8】计算半立方抛物线32)1(32-=x y ，被抛物线32xy =截得的一段弧的长度。

【例9】求星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长.解：取参数t 为积分变量，[0,]2t π∈，有对称性得14S s =所求的曲线弧长为14S s=4=4=206sin 26atdt a π==⎰四、定积分在物理上的应用与典型例题：定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。

本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。

重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。

特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。

【例1】一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘米，求每面所受的压力。

【例2】 将半径为R 的半球形水池内注满水，若将满池水全部抽出，需作多少功？ 【例3】为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深m 30，抓斗自重N 400，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥重N 2000，提升速度为s m 3，在提升过程中，污泥以s N 20的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功．（说明：(1) J s N m J m N ,,,;111=⨯分别表示米，牛顿，秒，焦耳．(2) 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计）．【例4】用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板 的深度成正比，在击第一次时，将木板击入木板1cm ，如果木板每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？【例5】一质量为M 长为l 的均匀细杆AB ，在AB 的延长线上且与B 的距离为r 处有一质量为m 的质点.（1）求杆AB 对质点的引力，（2）当质点在AB 的延长线上从与B 端距离为1r 运动到2r 处时，求克服引力所需作的功.【例6】有一半径为r 的均匀半圆弧，质量为m ，求它对位于圆心处的单位质量质点的引力。

【例7】在平面上, 有一条从点(a ,0)向右的射线,线密度为ρ,在点(0, h )处（其中h > 0）,有一质量为m 的质点. 求射线对该质点的引力. 五、习题1 求由抛物线2x y =，直线x y =和直线x y 2=所围成的图形的面积。

2求由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=的一拱(π20≤≤t )与x 轴所围成图形的面积.3 求抛物线342-+-=x x y 在点)3,0(-和点)0,3(处的两条切线与该抛物线所围成的图形的面积。

4 求曲线2(2cos )(0)a a ρθ=+>围成的图形的面积.5 设D 是由曲线23x y =，直线1=x 及x 轴所围成的图形，求(1) D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积；(2) D 绕y 轴旋转所成旋转体的体积。

6 设有一截锥体，其上、下底均为椭圆面，椭圆的轴长分别为a 2，b 2和A 2，B 2，截锥体的高为h ，求这截锥体的体积。

7 设曲线2ax y =)0,0(≥>x a 与21x y -=交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积最大？最大体积是多少？ 8 求曲线⎰=xdt t y 0sin )0( π≤≤x 的弧长9 在星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =)0(>a 上已知两点)0,(a A 及),0(a B ，求点M 使弧AM 等于四分之一弧AB 。

10.求曲线|1|32--=x y 与x 轴围成的封闭图形绕直线3=y 旋转所得的旋转体体积． 11.计算曲线)1ln(2x y -=上相应于210≤≤x 的一段弧的长度．12.曲线1=ρθ从43πθ=到34πθ=的一段弧长为： （A ）⎰+34432)1(1ππθθd ； （B ）⎰-+344322)1(1ππθθd ； （C ）⎰+34432211ππθθθd ； （D ）⎰⎪⎭⎫⎝⎛+3443211ππθθd .13 设半径为10米的半球形蓄水池盛满水，试计算抽空池中水需作的功。

14 有圆柱形的储水桶，深10米，底圆半径为3米，内部盛满水.若把其中的水吸出原有的51，需作多少功？ 15 有等腰梯形水闸，上底6米，下底2米，高10米，试求当水面与上底相齐时，闸门所受的水压力（水密度1=ρ3米吨）.16斜边为定长的直角三角形薄板，垂直放置于水中，并使一直角边与水相齐，设斜边与水面交成的锐角是θ，问θ取多大时薄板所受的压力最大？17设密度与水相同、半径为r 的球沉在水中，恰与水面相切，为将球从水中取出，需作多少功？18有一半径为R ，中心角为θ的均匀圆弧形细棒，其线密度为μ，求它对位于圆心处的质量为m 的质点的引力。