第二章 动量守恒定律和能量守恒定律

第二章动量守恒定律和能量守恒定律【主要内容】1.质点和质点系的动量定理和动能定理；2.外力与内力、保守力与非保守力的概念；3.机械能守恒定律；4.能量守恒定律。

【教学重点】动量定理，动量守恒定律；动能定理、功能原理、能量守恒定律。

【教学难点】内力所做的功，外力所做的功；保守力与非保守力的概念。

【教学过程】2-1 质点和质点系的动量定理动能守恒定律2-2 动能定理保守力与非保守力能量守恒定律2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律引入章首问题：P29，你知道安全带的作用吗？一、冲量 质点的动量定理1．动量 p mv =2. 冲量由牛顿第二定理得：dtv d m a m F ==；v md dt F=牛顿定律可以写为：()d mv dp F dt dt == （1）式具有更为普遍的形式。

上式中的F为物体所受的合外力，当然包括重力，这在应用动量定理时要特别注意。

积分：⎰⎰=2121t t v v v md dt F⎰-=2112t t v m v m dt F写为：12P P I-=⎰=21t t dt F I为作用于物体上的力和作用时间之积，称为物体所受的冲量。

3. 质点的动量定理：12P P I-=，在给定时间内，外力作用在物体上的冲量等于物体在时间内动量的增量，这就是动量原理。

矢量式：2121t t I Fdt mv mv ==-⎰分量式：212121212121t x x x xt t y y y y t t z z z zt I F dt mv mvI F dt mv mv I F dt mv mv⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩⎰⎰⎰ 说明：某方向受到冲量，该方向上动量就改变。

4. 平均冲力一般说来，力F为变量，但变力冲量的大小可以用在一相同的时间内，具有恒定大小的平均作用力F来代替，其冲量是等效的，即：dt F t F t t ⎰=∆⋅21用图形表示如左图，图中t F -曲线下的面积与t F - 曲线下的面积相等。

二、质点系的动量定理对于由两个质点组成的质点系，第1、2质点受的力为外力1F 和2F ，内力分别为12F 和21F，由质点1、2的动量定理有2111211110()d t t F F t m m +=-⎰v v 2122122220()d t t F F t m m +=-⎰v v因内力12210F F +=故将两式相加后得：21121122110220()d ()()t t F F t m m m m +=+-+⎰v v v v21ex 0011d n n t i i i i t i i F t m m p p ===-=-∑∑⎰v v上式表明：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系动量定理三、动量守恒定律∑==n i i i C v m 1，条件ex ex 0i iF F ==∑上式即为动量守恒定律的数学表达式，即如果系统所受合外力的矢量和为零，则系统内各物体的动量矢量和保持不变。

说明：(1)系统的总动量不变，但系统内任一质点的动量是可变的；(2)守恒条件：合外力为零ex ex 0i iF F ==∑。

当ex in F F <<时，可近似地认为系统总动量守恒。

(3)若ex ex0i iF F =≠∑ ，但满足ex 0x F =有x i x ip m C ==∑ix v分量式exex ex 0,0,0,x x i ix xiy y i iy y iz z i iz ziF p m C F p m C F p m C ⎧===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪===⎪⎩∑∑∑v v v(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。

2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律一、功 动能定理 1.功(1) 恒力的功cos W F r F r θ=⋅∆=⋅∆力对质点所作的功为力在质点位移方向上的投影与位移大小的乘积。

是力对空间的积累效应。

(2) 变力的功可以将总位移r ∆进行无限分割，在每个元位移：r d内，可以认为F 是恒定的。

在位移元d r 内做的元功为：d cos d W F r θ=d d s r = ⇒d cos d W F s θ=⇒d d W F r =⋅ A →B 外力所作的功为：d cos d B B A A W F r F s θ=⋅=⎰⎰讨论：① 正功 2πϕ< 0A ∆>，表示力F对物体作正功或力对质点作功； 负功 2πϕ>0A ∆<，表示力F对物体作负功或质点反抗力作功；0A ∆= 002F r πϕ=∆=⎧⎪⎨=⎪⎩或 ② 作功的图示 21cos d s s W F s θ=⎰根据积分式的几何意义，可以得到功的几何意义：即：功在数值上等于示功图曲线下的面积。

③ 功是一个过程量，与路径有关。

④ 合力的功，等于各分力的功的代数和。

x y z F F i F j F k =++ ；d d d d r xi yj k =++z ⇒d d d d B B x y z AAW F r F x F y F =⋅=++⎰⎰ （）z d d d B A B A B Ax x xx y y y y z z W F xW F y W F ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰z zz ⇒x y W W W W =++z 注意：功是过程量，与路径有关，是描述力作用与物体的空间积累效应的物理量；功是标量，但有正负；功的物理含义：功是能量转化的量度，或物体运动状态变化的一种量度。

单位：焦耳（J ）2. 质点的动能定理如图，质量为m 的物体在力F 的作用下由A 到B ，速度由1v 到2v，元功 cos dW F dr F dr θ=⋅=由牛顿第二定律及切向加速度t a 的定义cos t t dv F F ma mdtθ===；dr ds ds vdt =⇒=mvdv ds dtdvmdW == 质点自A 到B 这一过程中，合外力所作的总功为2122211122B v A v W mvdv mvdv mv mv ===-⎰⎰ （1）(1) 动能定义：221mv E k =，标量，状态量，与参考系的选择有关。

(2) 动能定理2221k2k11122W m m E E =-=-v v （2）合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量 ——质点的动能定理① W 为合外力作的功；从广义上说，合外力所作的功，在数值上等于物体总能量的改变，功是能量改变的量度；② 动能是标量，只有正值，单位与功相同；③ W 只与始末状态的动能有关，不管是恒力还是变力，过程如何复杂。

二、保守力与非保守力 势能 1．几种力做功的特点 (1)万有引力作功'm 对m 的万有引力为2'r m m F G e r=-，m 移动d r时，F 作元功为 2'd d d r m m W F r G e r r=⋅=-⋅m 从A 到B 的过程中F作功：2d d B r A m'm W F r G e r r=⋅=-⋅⎰⎰d d cos d r re r e r r θ⋅=⋅=211d ()BAr r B Am'm W Gr Gm m r r r '=-=-⎰ 若选择无限远处引力势能为零，引力势能表达式为p mm E Gr'=-物体在点P 和点Q 的引力势能分别为p p ,A B A Bmm mm E GE Gr r ''=-=- p p ()B A B Amm mm W GG E E r r ''=-=-- 此式表示，万有引力所作的功等于系统引力势能增量的负值，即引力势能的降低。

（2）重力作功重力作功是处于地球附近的物体与地球之间万有引力作用结果的一种简单而重要的特例。

在地球表面附近时，近似有2P Q r r R =， 2Gm g R'=22()()B A B A A B r r r rW Gmm mgR r r R--'=-=- ()()B A B A W mg r r mg h h =--=--式中,A A B B h r R h r R =-=-分别为点A 和点B 距地面的高度。

若选择0h =处的重力势能为零，则重力势能表达式p E mgh = 于是有 p p ()()B A B A W mg h h E E =--=--此式表明，重力所作的功等于系统重力势能增量的负值，即重力势的降低。

由以上讨论知：万有引力、重力所作的功，决定于质点的始、末位置，而与质点运动的路径无关。

（3）弹性力作功弹性力F kxi =-弹簧位移为dx时，弹簧力作的元功为d d W kx x =-弹簧的伸长量由1x 变到2x ，弹性力所作的功等于各个元功之和，在数值上等于图中梯形的面积2211222111d d ()22x x x x W F x kx x kx kx ==-=--⎰⎰选择平衡位置处弹力势能为零，弹力势能表达式为2p 12E k x = 所以 p2p1()W E E =--此式表示，弹性力所作的功等于弹簧系统弹力势能增量的负值，即弹力势能的减少量。

2.保守力与非保守力保守力所作的功与路径无关，仅决定于始、末位置。

d d ACBADBF r F r ⋅=⋅⎰⎰d d d lACBBDAF r F r F r ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰d 0lW F r =⋅=⎰(1) 定义：力F对物体所作的功决定若于作功的起点和终点而与作功的路径无关，称此力为保守力。

或：若有一个力能满足条件：0l F dr ⋅=⎰，则称此力为保守力。

非保守力：如果某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力。

(2) 种类：重力、万有引力、弹簧弹性力、电场力等。

(3) 保守力的功与势能增量的关系：p A E =-∆保内力 3.势能 势能曲线引力势能p mm E Gr'=- 重力势能p E mgh = 弹性势能2p 12E k x =讨论：①势能是状态量；②势能是属于系统的；③势能的相对性，势能的值与零势能位置的选取有关。

三、功能原理 机械能守恒和能量守恒定律 1.质点系的动能定理和功能原理对第i 个质点，有ex in k k 0i i i i W W E E +=- 外力功ex i W ；内力功in i W对质点系，有ex in k k 0k k0i i i i iiiiW W E E E E +=-=-∑∑∑∑质点系动能定理 ex in k k0W W E E +=-表明：质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力的功和非保守力的功三者之和。

注意：内力可以改变质点系的动能。

ex in k k0W W E E +=-in in in in c nci iW W W W ==+∑ 非保守力的功in nc W in c p p 0p p0()()i i iiW E E E E =--=--∑∑ex innc k p k0p0()()W W E E E E ∴+=+-+机械能k p E E E =+ex in nc 0W W E E +=-质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和。