第14节 平面图

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集合论 与图论
几点补充
(1)若平面图G有k个面，可用R1, R2, …, Rk表示.
(2) 面 Ri 的边界——包围Ri的闭通道组 (3) 面 Ri 的次数——Ri边界的长度 (4) 闭通道组是指：边界可能是 圈，也可能是闭通 道. 特别地，还可能是非连通的闭通道之并. 定理 平面图各面次数之和等于边数的两倍.
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集合论 与图论
对偶图的性质
(6) 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, f*和 n, m, f分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 1) n*= f；2) m*=m；3) f*=n； 4) 设G*的顶点v*i 位于G的面Ri中，则 degG*(v*i)=面 Ri的次数. 只证明(3) f*=n. 由图G与G*都是连通平面图，所以 n*-m*+f*=2 得 f*=m*-n*+2=m-f+2 n-m+f=2 可得 n=m-f+2 因此f*=n.


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集合论 与图论
实例Biblioteka 下面两图中，实线边图为平面图，虚线边图为 其对偶图.
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集合论 与图论
对偶图的性质
G 的对偶图G*有以下性质： (1) G*是平面图，而且是平面嵌入. (2) G*是连通图. (3) 若边e为G中的环，则G*与e对应的边e*为桥， 若e为桥，则G*中与e对应的边e*为环. (4) 在多数情况下，G*为多重图(含平行边的图). (5) 同构的平面图(平面嵌入)的对偶图不一定是同构 的.
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K5和K3,3不是平面图. 平面图的每个子图都是平面图，因此，平面图中不 含子图K5和K3,3.
定义4 设x=uv是图G=(V,E)的一条边，w不是G 的顶点，则当用边uw和wv代替边x时，就称x被细分. 如果G的某些边被细分，产生的图称为G的细分图.
u x 图G v

u

w
v
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G的细分图
(1) 消去2度顶点v，见下图中，由(1) 到(2) ； (2) 插入2度顶点v，见下图中，从(2) 到(1) . 定义5’ 若G1G2，或经过反复插入或消去2 度顶点后所得G1G2，则称G1与G2同胚.
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集合论 与图论
库拉托斯基定理
定理3（库拉托斯基,1930）一个图是可平面 的充分必要条件是它没有同胚于K5和K3,3的子图. 例2 证明左下图不是可平面图. 因为它含有与K5同胚的子图. u
(1)
(2)
(3)
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上图中，只有(3)为极大平面图.
集合论 与图论
极大平面图的性质
极大平面图的主要性质：
性质1 极大平面图是连通的.
性质2 n(n3)阶极大平面图中不可能有割点和桥. 证明：G中若有桥，则一定有割点，因而只需证无 割点即可. (用反证法.)
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集合论 与图论
欧拉公式
定理1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 顶点、q条边、f个面，则p-q+f=2. 定理2 (欧拉公式的推广)设G是具有k(k2)个连 通分支的平面图，则nm+r=k+1. 证明定理1： 对面数用归纳法. 当f=1时，G没有内部面，所以G中无圈，G是树. p-q+f=1+1=2 假如对一切不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式 成立，现证f个面时的情况.
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集合论 与图论
实 例
平面图有4个面， deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界.
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集合论 与图论
极大(最大)平面图
定义3 若在(简单)平面图G中的任意两个不相邻 的顶点之间加一条新边所得图为非平面图，则称G 为极大平面图. 说明：若简单平面图G中已无不相邻顶点，G显然是 极大平面图，如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图.
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第14节
主要内容：
平面图
平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断(库拉托斯基定理) 平面图的对偶图
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集合论 与图论
1 平面图的基本概念
定义1 图G称为被嵌入平面S内，如果G的图解 已画在平面S上，而且任何两条边均不相交(除顶点外). 已嵌入平面的图称为平面图. 如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的.
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集合论 与图论
与欧拉公式有关的结论

推论5 K5与K3,3都不是可平面图. 证 如果K5是平面图，则5-10+f=2， 即f=7.
. 每个面至少三条边， 7个面至少需要21条边
考虑到每条边在两个面上， 2q≥3f，即 20≥21. 矛盾. 其实直接利用推论4，任意(p,q)平面图都满足 q≤3p-6，这里p≥3. q=10≤3p-6=9，这是不成立的. 所以K5不是可平面图.

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集合论 与图论
与欧拉公式有关的结论
如果K3,3是平面图，则p-q+f=2， 即6-9+f=2，亦即f=5. 在偶图K3,3中每个圈的长至少为 4，所以2q≥4f=20，q≥10，但q=9， 矛盾. 所以K3,3不是平面图.






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集合论 与图论
与欧拉公式有关的结论
推论6 每个平面图G中顶点度的最小值不超 过5， 即(G)≤5. 仍然用推论4，q≤3p-6. 如果G的每个顶点的度大于5，也就是≥6， 那么所有顶点的度数和大于或等于6p. 由欧拉定理，2q≥6p，即q≥3p. 不满足推论4，q≤3p-6. 因此，每个平面图G中顶点度的最小值不超过 5，即(G)≤5. 17/29
集合论 与图论
图与图之间同胚
定义5 两个图称为同胚的，如果它们都可以 从同一个图通过一系列的边细分得到. 下面几个图是同胚的.


x 图G


w
v

G的细分图


v
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补 充
定义4 所定义的的细分也称为插入2度顶点. 与之相对应的还有一种方法：消去2度顶点.
定义7 设G=(V,E)是一个平面图，由G按如下方 法构造一个图G*，G*称为G的对偶图: (1)对G的每个面f对应地有G*的一个顶点f*； (2)对G的每条边e对应地有G*的一条边e*：G*的两 个顶点f*与g*由边e*联结，当且仅当G中与顶点f*与g*对 应的面f与g有公共边e; (3)如果某条边x仅在一 个面中出现而不是两个面的 公共边 (是不是桥？) ，则在 G*中这个面对应的顶点有一 个环.
一个图G可收缩到图H，如果H可以从G经一系列 的初等收缩得到. 24/29
集合论 与图论
库拉托斯基定理
定理4 一个图是可平面的当且仅当它没有一个 可以收缩到K5或K3,3的子图.
例2 证明左下图不是可平面图.
因为它可以收缩到K5 .


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集合论 与图论
平面图的对偶图
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集合论 与图论
欧拉公式
f≥2，G至少有一个内部面，从而G中有一个圈. 这个内部面是由这个圈围成的，从这个圈上去掉一 条边x，则打通了两个面.
G-x有p个顶点，q-1条边，f-1个面. 由归纳假设知： p-(q-1)+(f-1)=2 即：p-q+f=2 因此面数是f时也成立.
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集合论 与图论
与欧拉公式有关的结论
推论1 若平面连通图G有p个顶点q条边且每个 面都是由长为n的圈围成的，则q=n(p-2)/(n-2).
证 因为G的每个面都是长为n的圈围成的，所 以G的每条边都在G的两个面上. q=fn/2 f=2q/n p-q+2q/n=2
q=n(p-2)/(n-2)
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集合论 与图论
(1)
(2)
(3)
(4)
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在图中，(2)是(1) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
集合论 与图论
几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入. 但讨论 某些性质时，是指平面嵌入.
结论： (1) K5, K3,3都不是平面图(待证). (2) 设GG，若G为平面图，则G也是平面图. 由此可知，Kn(n≤4)，K2,n(n1) 都是平面图. (3) 设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图. 由此可知，Kn(n5)，Km,n(m,n3) 都是非平面图. (4) 平行边与环不影响平面性.
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集合论 与图论
平面图的内部面与外部面
定义2 平面图把平面分成了若干个区域，这 些区域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。
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集合论 与图论
平面图的内部面与外部面
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连 通区域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
与欧拉公式有关的结论
推论2 设G是一个有p个顶点q条边的极大平面图， 则G的每个面都是三角形，且q=3p-6，p≥3。 证 若G的一个面不是三角形, (1)假如有两点不相邻，则 在此面中把不相邻的两顶点连 接起来，不影响平面性。矛盾！ (2)假如圈上每两点都相邻; 若v1,v3和v2,v4在G中都相邻, 可以看到这两个边不可能不相交. 综合以上情况，极大平面图的每个面都是三角形.
集合论 与图论
实
例
v
例1 顶点数p≥4的极大平面图，(G)≥3.
证 设G是极大平面图，其最小度顶点为v.

设G-v也是一个平面图，v在G-v的一个面内. 在这个面内，边界上至少有三个顶点. 由极大性，v必然与这些顶点都相连. 因此， (G)≥3.