探索三角形相似的条件同步练习集(2) 北师大版 2

4．6探索三角形相似的条件⑵
一、目标导航
两角对应相等(非平行)的两个三角形相似方法及应用． 二、基础过关
1．△ABC 中，∠BAC=900
，AD⊥BC 于D ，图中共有 对相似三角形． 2．Rt△ABC 中，∠ACB=900，CD⊥AB 于D ，AD=4，BD=2，则CD =_______， AC =________．
3．△ABC 中，DE∥BC 交AB 于D ，AC 于E ，AB=12，AD-DB=4，BC=9，则DE=________． 4．△ABC 中AB=AC=10，∠A=36°，BD 是角平分线交AC 于D ，则DC________． 5．△ABC 中P 是AB 上一点，且∠ACP=∠B，AC=4，AB=6，则PB=________．
6．如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，E 是AD 的中点，则点C 到BE 的距离CF= ．
三、能力提升
7．下列图形中不一定相似的是( )
A ．各有一个角等于45°的两个等腰三角形
B ．各有一个角等于60°的两个等腰三角形
C ．两个等腰直角三角形
D ．各有一个角等于105°的两个等腰三角形
8．△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上一点，若∠AED=∠B，则下列各式中，成立的是( ) A ．AD∶AB=AE∶AC B ．AD∶BD=AE∶CE C ．AD·AB=AE·AC D ．AD·BD=AE·CE
9．在Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于D ，且BC∶AC=2∶3，则BD∶AD = ( ) A ．2:3 B ．4:9 C ．2:5 D ．3:2
10．在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，则下列式子中错误的是( )
6题
F E
D
C
B
A
12题
D
C
B
A P
第1题图
D
C
B
A
A ．AD 2= BD·DC
B ．CD 2= CF·CA C．DE 2= AE·EB D ．AD 2
= AF·AC 11．梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AC⊥BD，AD=1，BC=4，则两条对角线AC∶BD 为( ) A ．4∶1 B ．2∶1 C． 1:3 D ． 2:2
12．如图，在等边△ABC 中，P 是BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP = 1，CD =3
2
，则△ABC 的边长为( )
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
13．如图， 等边△ABC ，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ． ⑴试说明△ABD≌△BCE ．；
⑵△AEF 与△ABE 相似吗?说说你的理由； ⑶BD 2
=AD·DF 吗?请说明理由．
14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD
⑴请再写出图中另外一对相等的角；
⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度．
15．如图，AD 是Rt△ABC 斜边上的高，DE⊥DF，且DE 和DF 分别交AB ，AC 于E ，F ．求证:
BD
BE
AD AF ． F
E D
C
B
A
D
A B
C
16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，连结AD 交BC 于E ，若∠C=∠D，AE=6，DE=2．求AC 的长．
17．如图，四边形ABCD 是菱形，AF⊥BC 交BD 于E ，交BC 于F ．求证:AD 2
=2
1
DE·DB．
18．如图，P 是等边三角形△ABC 的一边BC 上任意一点，连结AP ，AP 的垂直平分线交AB ，AC 于M ，N
两点．求证:BP·PC=BM·CN．
E
D C
B
A
F
E D
C
B
A
C
B
A
P
M
N F E
D
C
B
A
19．如图，O 是△ABC 的内角平分线的交点，过O 作DE⊥AO 交AB ，AC 于D ，E ．
求证:BD·CE=OD·OE．
20．已知:如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ．求
证：⑴FD 2
= FB·FC；⑵AB 2
:AC 2
=BF:CF ．
四、聚沙成塔
21．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=60°，P 为下底BC 上一点（不与B 、
C 重合），连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B．⑴求证：△ABP∽△PCE；⑵求等腰梯形的腰AB 的长；⑶在底边BC 上是否存在一点P ，使得DE∶EC=5∶3?如果存在，求出BP 的长，如果不存在，请说明理由．
22．如图，已知△ABC 中，∠ACB=900
，AC=BC ，点E ，F 在AB 上，∠ECF=45°． 60°
A E
P
D C
B
E
D
C
B
A
O
E D
C
B
A
⑴求证:△ACF∽△BEC；⑵设△ABC 的面积为S ，求证:AF·BE=2S．
23．已知，梯形ABCD 中，AD∥BC，AD<BC ，且AD=5，AB=DC=2．⑴P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A，
求证:△ABP∽△DPC；⑵如果点P 在AD 边上移动（P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE=∠A，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么，当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP=x ，CQ=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的自变量取值范围．
24．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°D 为BC 的中点，AE⊥AD，AE 交CB 的延长线于点E ．⑴求
证:△EAB∽△ECA；⑵△ABE 和△ADC 是否一定相似?如果相似，加以说明，如果不相似，那么增加一个怎样的条件， △ABE 和△ADC 一定相似．
45° A
E
F
B C
B
C
D
A
P
B
C
D A P
E
Q
A
4．6探索三角形相似的条件⑵
1．三；2．22，26；3．6；4；15－55；5．3
10
；6．2.4；7．A ；8．C ；9．B ；10．A ；11．B ；12．A ；13．⑴略．⑵相似，由⑴得∠AFE=∠BAC=600
，∠AEF 公共．⑶由△BDF∽△ABD 得: AD
BD BD DF =，即BD 2
=AD·DF．
14．⑴∠BAC=∠D 或∠CAD=∠ACB．⑵由△ABC∽△ACD 得BC
AC
AC AD =，解得:AD= 4，所以中位线的长= 6.5． 15．证: △ADF∽△BDE 即可． 16．AC = 43．
17．提示:连结AC 交BD 于O ．
18．连结PM ，PN ．证: △BPM∽△CPN 即可． 19．证△BOD∽△EOC 即可．
20．⑴连结AF ．证; △ACF∽△BAF 可得AF 2
=F B·FC，即FD 2
=FB·FC．⑵由⑴相似可得:
CF AF AC AB =，AF BF AC AB =，即CF
BF
AC AB =22． 21．⑴略．⑵作AF//CD 交BC 与F ．可求得AB=4．⑶存在．设BP=x ，由⑴可得x
x -⨯=748
3
4，解得x 1=1，
x 2= 6．所以BP 的长为1cm 或6cm ．
22．⑴由∠AFC=∠BCE=∠BCF+450
，∠A=∠B=450
可证得相似．⑵由⑴得AF·BE=AC·BC =2S ．
23． ⑴略． ⑵△ABP∽△DPQ，
DQ PD AP AB =
，x
y x -+=52
2，得y =－21x 2+25x －2．(1＜x ＜4)． 24． ⑴略． ⑵不相似．增加的条件为: ∠C=300
或∠ABC=600
．。